Las relaciones de indeterminación energía-tiempo, el efecto Zenón cuántico y la indistinguibilidad de los estados cercanos

"Si todo, cuando ocupa un mismo espacio, está en reposo, y si lo que está en movimiento está ocupando ese mismo espacio en algún momento, entonces la flecha volante permanece inmóvil". Aristóteles, Física VI:9, 239b5 

 

Por Martin Grandjean - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, Enlace

 

Según la famosa paradoja de la flecha de Zenón de Elea, tal y como la cuenta Aristóteles, en cualquier instante de tiempo que no tenga duración, un objeto, el que sea, no puede moverse de donde está ni a donde no está, porque no transcurre el tiempo suficiente para que se mueva allí. Dicho de otro modo, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si en cada instante todo permanece inmóvil, y el tiempo está formado únicamente por instantes, entonces el movimiento resulta imposible.

Hoy en día no resulta difícil, para cualquier persona con una formación matemática básica de nivel bachillerato, refutar esta paradoja, entendida al pie de la letra, sin demasiado esfuerzo. Sólo es necesario utilizar el cálculo infinitesimal inventado por Newton y Leibniz en el siglo XVII. No se puede juzgar, observando solo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, la posición $x$ de una flecha en un instante concreto $t$ está relacionada con la posición de la flecha en un instante infinitesimalmente cercano $t+\Delta t$ mediante la relación:

\[
v(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
\]

donde a la funcion $v(t)$ la llamamos velocidad de la flecha. Definiento, además, la aceleración de la flecha como

 \[
a(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}
\]

 podemos escribir:

$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)(\Delta t)^2+...$

donde los puntos suspensivos nos indican cantidades que, a medida que nos acercamos al límite $\Delta t \to 0$, se van haciendo más pequeñas que los sumandos anteriores. Todas estas expresiones no expresan más que el hecho geométrico de que toda curva diferenciable, por ejemplo, la que se obtiene al representar $x$ como función de $t$, se puede aproximar en un punto dado de la gráfica (es decir, en un instante de tiempo $t$):

• primero por una recta horizontal,
• si queremos que la aproximación sea mejor, por una recta tangente a la curva (cuya pendiente es la velocidad del objeto en ese instante)
• si queremos hilar más fino, por una parábola
• o por un polinomio de grado n mayor, haciendo el desarrollo de Taylor hasta orden n.

 

Lo que hizo Zenón de Elea fue quedarse con la aproximación a orden cero, en la que la posición no cambia con el tiempo y por eso argumentaba que no es posible el movimiento. Pero esta es solo la aproximación más burda. "Si las paradojas se expresan en la terminología matemática precisa de las variables continuas (...) las contradicciones aparentes se resuelven" [Boyer1959]. Basta darse cuenta de que hay un término más en el desarrollo de Taylor (el de orden 1, que es proporcional a la velocidad) para apreciar que la flecha se está moviendo.

Sin embargo, este análisis que hemos llevado aquí sólo vale en el contexto de la mecánica clásica, donde las partículas, en su movimiento, tienen asociado en todo instante de tiempo una posición y, a la vez, una velocidad. Y resulta que el mundo en el que vivimos no es clásico, sino cuántico, y aquí el principio de indeterminación se cumple rigurosamente. En general, en mecánica cuántica, las magnitudes físicas no son propiedades exclusivas del sistema cuántico que estamos estudiando (una flecha o una partícula), sino también del conjunto de aparatos de medida que usamos para determinarla, y por eso lo más general es que el sistema cuántico este en un estado en el que esa magnitud que queremos medir no toma ningún valor bien definido. No es que tome un valor que es desconocido, es que no toma ningún valor determinado. Así, en un isntante concreto una partícula cuántica va a estar en general en un estado superposición de varias posiciones, de tal forma que sólo podemos hacer que la magnitud física "posición x de la partícula" tome un valor bien definido si disponemos los aparatos de medida para que esta magnitud exista. Si, además, queremos que tome también un valor bien definido en un instante posterior $t+ \Delta t $, entonces también hay que que disponer los aparatos de medida de la manera adecuada en ese instante posterior. 

Una de las ideas que vamos a explicar en este post es que, en mecánica cuántica, en cierto sentido, Zenón tenía razón: si hacemos tender a cero al intervalo de tiempo $\Delta t$ que transcurre entre mediciones sucesivas de una magnitud física, entonces esta magnitud no cambia con el tiempo. Es decir, en la condiciones en las que puedo asegurar de manera continua que esa magnitud física toma un valor bien definido, entonces ese valor no se mueve, ¡es siempre el mismo! A esta característica de la mecánica cuántica, que, como todas las demás, ha sido verificada experimentalmente, se la conoce con el nombre de efecto Zenón cuántico [von Neumann1955, SudarshanMisra1977, Venugopalan2012, Steele2015, Itano2009]  

Para poder explicar el efecto Zenón cuántico va a ser necesario tener claro en qué consiste en mecáncia cuántica la relación de indeterminación energía-tiempo. Esta relación a menudo se escribe vagamente como:

\[ \Delta E\,\Delta t\gtrsim \hbar. \]

lo que choca con la precisión de la relación de indeterminación posición-momento

\[ \Delta x\,\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}. \]

De hecho, según la fuente que se consulte, el coeficiente que multiplica a $\hbar$ en la relación de indeterminación energía-momento va cambiando, lo cual no sólo resultaría desagradable a Zenón, sino también a todas las personas que estudian física. En este post también vamos a aclarar este asunto.

¿Existen las partículas que detectan nuestros detectores?

 Detector CMS, del colisionador LHC, en el CERN, en enero de 2006, antes de bajarlo al túnel.

El modelo estándar de las partículas elementales es la teoría que describe, con una precisión extraordinaria sin precedentes en la historia de la ciencia, la materia y las interacciones fundamentales conocidas (excepto la gravedad). Su fundamento matemático y conceptual es la teoría cuántica de campos (QFT, por sus siglas en inglés, AQFT, por "algebraic" en su versión más rigurosa a nivel matemático). A diferencia de la mecánica cuántica, que se formuló inicialmente hace 100 años, donde los objetos básicos eran partículas puntuales, en la teoría cuántica de campos lo fundamental son los campos: entidades que asignan un valor (que clásicamente tiene significado físico) a cada punto del espacio y del tiempo, de forma continua. Pero estos campos en esta teoría son cuánticos: obedecen a los mismo principios de la mecáncia cuántica, así que estos valores de los campos sólo tienen sentido en el límite clásico y sólo para campos bosónicos, ya que los valores de los campos fermiónicos son múmeros que anticonmutan.

En este marco, cada tipo de partícula elemental está asociado a un campo específico. Por ejemplo, existe un campo electrónico, los campos de quarks, los campos de gluones y así sucesivamente. El estado "vacío" no es la ausencia de todo, sino el estado en el que los campos están en su nivel más bajo de energía. Cuando un campo es excitado, aparecen lo que nosotros identificamos como partículas. Así, un electrón no es un objeto independiente y autónomo, sino la manifestación de una excitación cuántica del campo electrónico. Por eso todos los electrones son indistinguibles y no tienen identidad.

Esto significa que las partículas no son entidades fundamentales en sí mismas, sino que surgen como cuantos de energía de un campo. La analogía más usada en divulgación es la de las ondas en el agua: el agua es el campo, mientras que las ondas o "olas" visibles son las excitaciones. En la teoría cuántica de campos, la diferencia es que esas excitaciones están cuantizadas: sólo existen en "paquetes discretos" de energía que Planck llamó "cuantos" y nosotros ahora llamamos "partículas".

Sin embargo, a la física de partículas la seguimos llamando "física de partículas" y no "física de los campos cuánticos". El motivo es que estos campos cuánticos, al obedecer también los postulados de la relatividad especial, tienen interacciones locales. Es decir, en esta teoría, para que algo en una zona del espacio afecte a otro, tiene que haber algún campo que se propague de un sitio a otro, y esta propagación no se hace más rápido que la luz. Al ser las interacciones entre los campos locales, y al ser las partículas de las que están hechos nuestros detectores también excitaciones de campos, las excitaciones de esos campos siempre las detectamos como partículas prácticamente puntuales.

Por tanto, por un lado, en la teoría a nivel fundamental, el esquema conceptual fisicalista más sencillo con el que actualmente incluímos y ordenamos de manera tan precisa y espectacular casi todos los desordenados fragmentos de la experiencia, la teoría cuántica de campos, lo que existen son los campos, no las partículas. Pero, por otro, lo que detectamos son partículas y, desde un punto de vista fenomenista, los campos son una especie de "mito" conveniente, pero lo que realmente existe es lo que detectamos: las partículas. ¿Existen realmente las partículas? Eso es lo que vamos a discutir en este post, que no es para el público en general, sino sólo para personas que estén estudiando o hayan estudiado física.

 

El engaño ontológico y la importancia de su descubrimiento para la ciencia moderna

 

Hemos escuchado mil veces que la cuna del pensamiento filosófico y científico occidental está en la antigua Grecia, donde se forjó la emancipación del pensamiento respecto a sus antiguas ataduras mítico-religiosas y psicológicas. Hay un aspecto concreto de esta emancipación en la que nos vamos a detener en este post, y que ya se empezó a apreciar en el arte incluso antes de los primeros filósofos. Los pensadores en la antigua Grecia, en un determinado momento, al liberarse de sistemas de significación estrictamente realistas, donde palabra, cosa y experiencia se confundían, comenzaron a utilizar los conceptos de manera hipotética, sin temor a mentir o a caer en contradicción con una supuesta realidad inmediata. Fue entonces cuando las artes pudieron explorar mundos posibles desde una imaginación autónoma [Feyerabend, Forsdyke]. Al abrirse una zona ambigua entre invención y realidad, donde la ficción se volvió una forma válida y necesaria de conocimiento, se empezó a crear el clima intelectual adecuado para el surgimiento de la filosofía y la ciencia teórica más especulativa.  

Es en este contexto de transformación que se inscribe una de las intuiciones más radicales de la filosofía griega: la posibilidad de que haya palabras que no refieran a nada real. Parménides fue el primero en dar forma a esta idea: una cosa es decir lo falso, entendiendo por ello una mentira epistemológica, y otra muy distinta es decir algo que no es en absoluto, nombrar lo que no es, caer en un engaño ontológico. Esta distinción, tan sutil como revolucionaria, supone que hay palabras que no remiten a nada real, que son meras etiquetas flotantes sin correlato ontológico.

Parece algo evidente hoy en día, pero Parménides dio un paso enorme: la palabra dejó de ser la cosa, y pasó a ser solo su nombre, lo que implica una disociación fundamental entre el lenguaje y el ser. Parménides sembró la duda (¿y si la palabra fuera sólo un signo, incapaz de captar el verdadero ser de la cosa?), naciendo así una tensión escéptica que atraviesa toda la filosofía posterior. Si las palabras no garantizan verdad, ¿está la filosofía, hecha de palabras, diciéndonos algo verdadero? ¿Podría en algún momento hacerlo?

Esta separación entre palabra y cosa, inaugurada por Parménides, es, por tanto, una de las condiciones de posibilidad de la ciencia, ya que este cuestionamiento continuo de la filosofía es la que la hace florecer, y la ciencia no es más que el conjunto de las partes de la filosofía que ya han florecido. Si la palabra ya no es la cosa misma, entonces puede haber múltiples nombres para una misma cosa, incluso nombres con significados claramente diferentes (como, por ejemplo, los nombres "lucero del alba" y "lucero del crepústulo", que ambos hacen referencia al planeta Venus). También puede ocurrir que una cosa pueda recibir predicados contradictorios. De esta contradicción emerge, como necesidad lógica, el concepto de sujeto, entendido no como individuo psicológico, sino como aquello que permanece idéntico bajo la multiplicidad de los nombres. Y, cuando aquí decimos "nombre", nos podemos referir también a "modelo matemático sobre el mundo". Como veremos al final de este post, las dualidades que se han descubierto en física teórica en el último siglo nos llevan a tener que aceptar que varios modelos matemáticos claramente distintos pueden hacer referencia a una misma realidad. Está bastante extendido el mito de que el mundo sigue un único modelo matemático y que de éste hay distintas "interpretaciones físicas". Pero lo que nos indica la física teórica es que es al revés.

En la línea del decubrimiento parmenideo del engaño ontológico, la ciencia nos ha permitido cuestionar y desmontar muchas de las ideas preconcebidas que teníamos sobre el mundo. Y el culmen lo hemos tenido durante los últimos 125 años, en los que la física moderna ha llevado esta intuición a su límite, desmontando sistemáticamente algunas de las nociones más básicas de nuestra experiencia intuitiva del mundo, como el tiempo absoluto, las trayectorias de las partículas e incuso el mismo concepto de partícula. En este sentido, las grandes teorías físicas contemporáneas no sólo han transformado nuestro conocimiento del universo: han revelado, una tras otra, las ilusiones ontológicas que durante siglos dimos por evidentes. Así como Parménides mostró que los nombres pueden ser sólo nombres, la física moderna ha mostrado que muchos de nuestros conceptos sobre el mundo que nos parecen más fundamentales carecen de realidad.

Nos surge así, más que nunca, la duda de si los entes de los que ahora creemos que está hecho el universo existen en realidad o son simplemente mitos, más útiles y elaborados con más madurez que los antiguos, pero mitos al fin y al cabo. En este post, además de revisar por encima las implicaciones del descubrimiento de Parménides en la historia de la filosofía y explicar el concepto del compromiso ontológico de las teorías, hacemos un repaso de hasta dónde ha llegado el que seamos conscientes del engaño ontológico en la física moderna, desde la relatividad hasta la teoría de cuerdas.

 

¿Es la naturaleza discreta?

El jueves 24 de julio a las 20:30 estuve con Enrique Fernandez Borja en directo en el canal de Youtube Cuentos Cuánticos explicando por qué hay cuantos en mecánica cuántica y discutiendo si el espaciotiempo es discreto.

De los ÁTOMOS al ESPACIOTIEMPO:  ¿Es la Naturaleza Discreta?

Se puede ver la grabación completa en diferido en este enlace:

https://www.youtube.com/live/lpKH2nNe-n8?feature=shared 

Más sobre los tema que he tratado en el directo:

El engaño ontológico y su importancia para la ciencia moderna

Si vivimos en una simulación informática, ¿dónde están los bits fundamentales?

Por qué la interferencia cuántica promete revolucionar la computacion

La factorización eficiente de números en sus factores primos constituye, desde hace ya muchas décadas, un desafío crucial en matemáticas y criptografía. El interés en este proceso, que se puede reducir a encontrar el período de una función periódica, viene de que los sistemas de encriptación más utilizados en el mundo digital descansan en la suposición (ampliamente aceptada pero no demostrada rigurosamente) de que es prácticamente imposible factorizar el producto de dos números primos grandes y desconocidos en un tiempo razonable. Esta dificultad es lo que hace que los códigos modernos sean seguros y prácticamente irreversibles. Calcular el producto de dos primos grandes es sencillo, pero determinar cuáles son esos números a partir del resultado es una tarea que, utilizando algoritmos clásicos y los ordenadores actuales, tomaría miles o millones de años.

Sin embargo, el nacimiento de la computación cuántica ha cambiado este panorama. Los ordenadores cuánticos no solo prometen resolver ciertos problemas de manera exponencialmente más rápida que las computadoras clásicas, sino que también tienen el potencial de romper los sistemas de encriptación actuales, como nos mostró por primera vez el algoritmo de Shor, presentado por Peter W. Shor en 1994. Este algoritmo aprovecha el fenómeno de las interferencias que se da en mecánica cuántica para factorizar números semiprimos de manera mucho más eficiente que cualquier algoritmo clásico.

El impacto de esta amenaza no es menor. Sistemas como RSA, que se basan en la dificultad de la factorización para garantizar la seguridad de datos financieros, comunicaciones y otros aspectos de la vida digital, podrían volverse vulnerables ante el poder de una computadora cuántica equipada con el algoritmo de Shor con la suficiente robustez y número de qubits.

Pero, ¿cómo es esto posible? En este post vamos a explicar de maneta pedagógica cómo funciona el algoritmo de Shor, lo vamos a hacer partiendo de la famosa radiografía del ADN de Rosalind Franklin.

Lo que los agujeros negros nos están enseñando acerca de las leyes de la física: el acoplo IR/UV

Galileo Galilei osserva la lampada nel Duomo di Pisa, affresco di Luigi Sabatelli, Tribuna di Galileo, Firenze.Fechahacia 1841Fuente: http://brunelleschi.imss.fi.it/itinerari/galleria/TribunaGalileo_344.html

Un domingo de 1583 Galileo, cuando era un estudiante de apenas 18 años, no se podía concentrar en sus oraciones en la catedral de Pisa porque había algo curioso que le llamaba la atención y no podía parar de pensar en ello. Había una suave corriente de aire en el interior de la iglesia y una gran lámpara suspendida del techo se movía en forma de vaivén. Según la física de Aristóteles, dominante hasta la época, la lámpara lo que estaba haciendo era un movimiento forzado intentando alcanzar su posición natural, que es estar lo más baja posible. Por mucho que un aristotélico quisiera hacer experimentos de precisión con un péndulo, u objeto similar a esa lámpara, nunca habría llegado a ninguna conclusión interesante porque habría intentado medir la magnitud relevante en ese paradigma: el tiempo que el péndulo tarda en llegar a pararse, en llegar a su posición natural, magnitud que depende de si hay más rozamiento o menos y que poco tiene que decirnos acerca de las leyes de la física.

Sin embargo, Galileo, observando el mismo objeto, supo ver otra cosa: un movimiento periódico, que se repite una y otra vez. Y al hacer esto Galileo apreció algo sumamente sorprendente: el periodo de ese péndulo era independiente de la amplitud si ésta no era demasiado grande. ¡Cualquiera diría que para recorrer un arco más grande tendría que tardar más! Pero no. Este tiempo depende sólo de la longitud del péndulo y de la intensidad del campo gravitatorio, pero no de la amplitud, descubrimiento que nos abrió las puertas a conocer los principios más profundos que gobiernan el funcionamiento del universo.

En esta vida es importante incorporar continuamente las enseñanzas de los 3 grandes maestros que tenemos: el señor libro, el señor calle y el señor viaje, pero, sobre todo, hay que saber hacer lo que hizo Galileo: aprender a mirar lo que siempre hemos visto con ojos diferentes cada vez. A veces no hace falta buscar más mundos, sino aprender a mirar a éste con ojos nuevos.

En este post voy a tratar de explicar por qué los agujeros negros nos están haciendo mirar al universo con ojos completamente diferentes. Se trata de un post que, aunque de introducción al tema, es técnico y está escrito sólo para físicos o estudiantes de física. Si, por el contrario, lo que buscas es una introducción divulgativa a los agujeros negros, te va a interesar más este otro texto. A nivel más técnico en este blog hay ya dos articulos sobre los agujeros negros:

• ¿Cuál es el significado físico del tamaño gravitacional de un objeto?
  
• Si hacemos mucho zoom, ¿sigue existiendo la geometría?
  

Lo que vamos empezar a ver ahora en este post es qué consecuencias tiene todo lo que hemos aprendido sobre los agujeros negros acerca de las leyes de la física. Los agujeros negros nos están diciendo sobre el universo muchísimas más cosas de las que parece a simple vista, así que, entre este post y su continuación, me dispongo a dar una lista no completa de las grandes lecciones que los agujeros negros nos están haciendo aprender.

 

También tengo que advertir al lector de que, no sólo ocurre que yo no soy experto en este tema, sino, además, que casi todos los que se hacen llamar "expertos en agujeros negros", tampoco lo son. Hay muchas cuestiones básicas sobre los agujeros negros que no tenemos claras, con lo que el contenido de este post va a tener que estar siempre sujeto a revisiones y correcciones. Podéis dejar vuestros comentarios y sugerencias de mejora en la caja que hay al final. Lo agradeceré.

 

 

Si hacemos mucho zoom, ¿sigue existiendo la geometría?

 

 

By Jarrokam - Own work, CC BY-SA 4.0, Link

 

El descubrimiento de las geometrías no euclídeas y la formulación de la teoría de la relatividad general nos enseñó, hace ya más de un siglo, que la geometría del mundo físico no corresponde en general a la geometría euclídea que, de manera ingenua, esperábamos y que experimentamos en nuestra vida cotidiana. El nacimiento de la física moderna, con el advenimiento de la relatividad y la física cuántica, nos hizo ver que la naturaleza no tiene la obligación de ajustarse a nuestras percepciones intuitivas y limitadas. La imagen mental que teníamos del universo, construida sobre la base de nuestras experiencias diarias, no reflejaba fielmente la estructura de la realidad.

Por ejemplo, para Kant, el espacio y el tiempo eran las condiciones a priori fundamentales del conocimiento científico, inherentes a la estructura del sujeto, con lo que no provenían de los datos de los sentidos. Eran previos a la experiencia. Como condiciones a priori son universales y necesarios, y son los que hacen posible la experiencia (por ello son denominados también condiciones transcendentales). Para el filósofo de Konigsberg espacio y tiempo son el modo como percibimos todas las impresiones, no poseen contenido empírico y su validez es independiente de la experiencia. Pero en la relatividad general, el espacio y el tiempo se combinan en un solo ente, el espaciotiempo, que se curva y se deforma en presencia de energía. Esta curvatura es descrita por una geometría diferenciable y no euclidiana, conocida como geometría riemanniana (con signatura lorentziana). Las trayectorias de los objetos en movimiento no sometidas a ninguna interacción más que la gravitatoria, incluyendo la luz, no son más que geodésicas en este espaciotiempo, curvado por la distribución de energía concreta que haya. Esto supuso un desafío a la concepción kantiana del espacio y el tiempo. El hecho de que en relatividad general la materia condicione la estructura del espacio-tiempo acaba con la idea de que espacio y tiempo son anteriores a la experiencia. Esto impactço a los pensadores posteriores. Por ejemplo, en la base de la filosofía que caracteriza al Círculo de Viena y a su entorno de influencia, donde habría que añadir a Hans Riechenbach, se encuentran incluidas de forma esencial las enseñanzas epistemológicas y metodológicas que proporciona el estudio del surgimiento de la relatividad, estudio que obliga a un reajuste de la concepción kantiana del espacio y del tiempo. Así, Reichenbach escribía [SánchezRon1985] en 1932:

“La teoría de la relatividad me impresionó inmensamente y me llevó a un conflicto con la filosofía de Kant. La crítica de Einstein al problema del espacio-tiempo me hizo darme cuenta de que el concepto de a priori de Kant no se puede mantener.”

El propio Einstein habló sobre este tema en una conferencia sobre las consecuencias filosóficas de la relatividad en la Academia de Ciencias de Barcelona, durante el viaje que realizó a España en 1923. Para Einstein la relatividad no es contraria a la línea de pensamiento de Kant de considerar que todo conocimiento tiene una base a priori, pero impone algunas restricciones. Con la relatividad especial la simultaneidad pierde su caracterización a priori y con la relatividad general el espacio geométrico a priori también pierde su status. No puede haber geometría aparte de la física [Glick1986].

No obstante, visto a posteriori, el cambio conceptual que supuso la relatividad general sobre nuestra concepción del espaciotiempo no es tan radical como parecía. Después de todo, una variedad diferenciable localmente parece un espacio plano, con lo que el espaciotiempo en relatividad general es isomorfo al espacio de Minkowski en el entorno de cada suceso.

Pero la relatividad general no es una teoría cuántica y, si hacemos mucho zoom y nos vamos al mundo ultramicroscópico, es de esperar que los efectos cuánticos sean predominantes. La pregunta que surge entonces es si la geometría diferenciable de la relatividad general sigue siendo aplicable a escalas de longitud muy pequeña.Y eso es lo que vamos a discutor en este artículo.

 

Si rompiendo núcleos de átomos obtenemos energía, ¿por qué uniéndolos también?

Conocemos como energía nuclear al uso de reacciones nucleares que liberan energía para generar calor. Básicamente, existen dos formas de liberar energía a partir de los núcleos de los átomos:

• la fisión nuclear, que es una reacción nuclear o un proceso de desintegración radioactiva en el que el núcleo de un átomo se divide en partes más pequeñas (núcleos más ligeros). Esta energía liberada es la que se usa con frecuencia en turbinas de vapor para producir electricidad en las centrales nucleares.

Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=486924

• la fusión nuclear, que es una reacción en la que dos núcleos atómicos se fusionan para formar un núcleo más pesado. Los reactores de fusión nuclear aún no son económicamente viables, pero esta tecnología se encuentra actualmente en investigación y podría ser viable en algunas décadas.

Por Wykis - Trabajo propio, basado en w:File:D-t-fusion.png, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2069575

Si dividir un núcleo en dos núcleos más pequeños libera energía, parecería que combinar dos núcleos más pequeños en un núcleo más grande requeriría energía, no liberarla, porque es el proceso inverso. Con la fisión nuclear obtenemos energía en las centrales nucleares rompiendo núcleos. Con la fusión, obtenemos energía uniéndolos, que es lo contrario. Pero el inverso de un proceso exotérmico es un proceso endotérmico, no obtienes energía, la pierdes. Acabamos de experimentar lo que se denomina un conflicto cognitivo. 

¿Cómo es esto posible? Eso es lo que vamos a intentar explicar en este post a un nivel de bachillerato.

El tiempo en física moderna

Dejo aquí el trozo en el que participé en el programa número 20 de la 4ª temporada de La Noche Paradigmática, donde hablé sobre los sorprendentes descubrimientos de la física moderna acerca de la naturaleza del tiempo:

• Desde que conocemos la física relativista, sabemos que el tiempo está íntimamente ligado al espacio. No se pueden separar.
• Es una consecuencia de la unión de los principios de la relatividad y la mecánica cuántica que las leyes fundamentales de la naturaleza son invariantes si cambiamos el sentido de la flecha del tiempo, pero también hay que cambiar partícula por antipartícula y derecha por izquierda.
• El sentido de avance del tiempo no viene de que partamos de una condición inicial caprichosa. No tiene relación con las condiciones iniciales. La flecha termodinámica del tiempo es consecuencia de la flecha lógica del tiempo, no al revés.
• La flecha lógica del tiempo es también la responsable de que las mediciones en mecánica cuántica sean, a todos los efectos prácticos, irreversibles.

Las malinterpretaciones de la mecánica cuántica

"Tengo que confesar que el término 'interpretación de Copenhague' no es afortunado, ya que podría sugerir que hay otras interpretaciones, como supone Bohm. Estoy de acuerdo, por supuesto, en que las otras interpretaciones son disparates sin sentido".

Con estas palabras, Werner Heisenberg se lamentaba, en 1955, de haber utilizado por primera vez, 28 años después de la construcción de la mecánica cuántica, el término "interpretación de Copenhague" para referirse a ella [Freire2005]. Para ese momento, la mecánica cuántica ya llevaba más de dos décadas siendo una teoría firmemente establecida, y cualquiera que la negara o no la conociera estaba totalmente fuera de los espectaculares avances que se estaban produciendo en física.

Hasta ese momento, el término que había usado Heisenberg era "espíritu de Copenhague", para referirse a la mentalidad abierta que es necesaria para poder empezar a entender la mecánica cuántica y que durante la década de 1920 hizo falta para poder construir la nueva teoría a los físicos que trabajaron en ella, habiéndose realizado una parte importante de ese trabajo bajo el paraguas de Bohr en esa ciudad danesa.

Los temores de Heisenberg estaban justificados, ya que, inmediatamente después de que él lo acuñara, el término "interpretación de Copenhague" fue ampliamente difundido en cuanto algunos físicos y filósofos, entre los que se encontraban Bohm, Feyerabend y Popper [Howard2004], comenzaron a utilizar ese término en su propio provecho y con significados tergiversados (a favor de Feyerabend hay que decir que se acabó arrepintiendo años después). La bola fue creciendo y se acabó creando el mito de que la "interpretación de Copenhague", la "ortodoxa", es una interpretación cobarde, que se niega a abordar en qué consiste la realidad y que, además, adolece de un problema: el problema de la medida. Era muy burdo, pero fueron con ello. Se creó un hombre de paja al que puede aporrear hasta la persona más ignorante en física que pueda haber en el mundo con nada que sepa medianamente elaborar argumentos razonados, y que ha provocado que, a día de hoy, haya una confusión enorme y generalizada acerca del significado físico de los conceptos de la mecánica cuántica, si bien no entre el grueso de los físicos, sí entre el resto de científicos y filósofos.

Una de las técnicas más habituales y simples que usan los medios de comunicación que quieren poner a la opinión pública en contra de algún partido político es hablar de ese partido político sólo en lo referente a cosas negativas. Así consiguen que en los espectadores se despierte un sentimiento negativo sólo con pronunciar el nombre del partido. Todos podemos comprobar que, al menos entre los no físicos, casi el 100% de las veces en las que se pronuncia la palabra "Copenhague" cuando se habla de mecánica cuántica, lo es para asociarla a ideas negativas como "dificultades", "negación de la indagación científica", "ingenuidad", "pragmatismo extremo" e incluso "censura".

Una vez creado el hombre de paja y desprestigiado el trabajo de los fundadores de la mecánica cuántica, quedó vía libre, no sólo para que científicos serios se sintieran con fuerzas de "reinterpretar el formalismo de la mecánica cuántica" en vez de dedicar ese tiempo a trabajos más útiles, sino, lo que es todavía peor, para que cualquier chiflado propusiera su propia "interpretación de la mecánica cuántica". No sólo se creó el mito de que Copenhague tiene problemas importantes sin resolver, sino también el mito de que el formalismo matemático de la mecánica cuántica se puede completar con distintas "interpretaciones", y que es una cuestión de gustos metafísicos de cada uno elegir a cuál adscribirse. En todas las universidades del mundo lo que se enseña es la "interpretación de Copenhague" porque sus defensores "tienen una mentalidad muy cerrada" y son "intolerantes con las personas valientes que se atreven a ir más allá buscando alternativas". Y, cuando estos "valientes" se estrellan en contradicciones que no saben resolver, se les excusa con el eslogan "nadie entiende la mecánica cuántica".

Las horribles condiciones laborales con que los científicos desarrollan su carrera investigadora tampoco ayudan en nada a que desparezca esta confusión. La teoría cuántica de campos y su extensión, la teoría de cuerdas, son construcciones inmensas que uno no puede estudiarse en sólo uno o dos años de máster. Hay que publicar mucho y rápido para sobrevivir en un ambiente de inestabilidad laboral brutal, y una salida para algunos grupos ha sido motivar el trabajo que hacen en física teórica (sin usar campos ni cuerdas) vendiendo que "la física cuántica tiene un problema desde hace casi 100 años" y que ellos están "haciendo algo profundo para tratar de resolverlo", cuando en realidad están jugando con los mismos pocos qubits de siempre. Su utilidad en el campo de la información cuántica sí justifica muchos de estos trabajos, pero, con tan pocos recursos disponibles para la investigación, aun así se suele necesitar exagerar la importancia de lo que se hace, y la polémica de las "interpretaciones" permite dar a muchos trabajos un plus de interés que no merecen, pero que muchos aprovechan por necesidad.

En este artículo voy a explicar por qué lo que habitualmente se llaman "interpretaciones de la mecánica cuántica" podrían no ser tales, ya que, una vez analizadas más allá de la música que tararean continuamente los que más hablan, suele pasar que acaban cayendo en uno de estos tres grupos:

• o bien son intentos inconsistentes de construir una teoría alternativa a la cuántica y que no tiene ningún sentido.
• o bien se trata de hipótesis alternativas poco elaboradas que necesariamente dan lugar a predicciones distintas a la mecánica cuántica y/o que viven de espaldas a los experimentos que se han hecho en los últimos 100 años. 
• o bien se trata simplemente de enfoques pedagógicos diferentes para enseñar la misma física que se construyó en Copenhague, construcciones que no aportan nada nuevo a la ciencia y que la única utilidad que pueden tener es proporcionar ideas interesantes para enseñar mecánica cuántica, ya que, en el fondo, no son interpretaciones distintas de lo que ya había.

Dado que se trata de un mercado inundado de una cantidad ingente de productos (donde abundan los de mala calidad y "low cost" en esfuerzo), para llevar cierto orden voy a intentar seguir la clasificación de Adán Cabello [Cabello2017], aunque ya aclaro que no voy a hacer un análisis completo. Esto es un post de un blog, no un estudio riguroso acerca del impacto de la mecánica cuántica en el pensamiento y su mal recibimiento por parte de los "intelectuales". Tampoco hay en este texto ninguna idea mía original acerca de la mecánica cuántica, como mucho algún enfoque propio sobre cómo enseñarla. Casi todo viene de lo que he leído de los autores de las referencias que cito al final.

Por qué todos los físicos deberían estudiar unas nociones básicas de supersimetría

 

Luke es un joven inquieto que no se conforma con las cuestiones mundanas que rodean a la granja donde vive. Cuando observa las estrellas por la noche, o la puesta de los dos soles que calientan su planeta, Tatooine, siente la llamada que le lleva a tratar de desvelar los secretos del universo. Afortunadamente para él, un astrónomo retirado, llamado Obi Wan, le proporciona a Luke los datos que obtuvo su padre, Anakin, el mejor observador de cuerpos celestes de su época, acerca del movimiento de los planetas de su sistema solar.

A Luke le han dicho que su padre está muerto. No sabe que abandonó la astronomía para pasarse al lado oscuro. Ahora le lee el futuro al emperador mediante el timo de la astrología. El emperador es un señor muy malvado que paga mejor a los astrólogos que a los astrónomos. Pero Luke se dispone a continuar el trabajo que dejó a medias su padre, y descifrar así las leyes fundamentales del universo.

Los planetas a veces se mueven más rápido y a veces más despacio. Parece difícil encontrar un patrón, una regularidad. Y entonces a Luke se le ocurre una idea muy atrevida: a lo mejor los planetas cambian su velocidad para que el vector que une el astro mayor del sistema con el planeta barra áreas iguales en tiempo iguales.

A estas alturas seguro que usted piensa que es capaz de adivinar cómo continúa la historia. Luke es Kepler, y con los datos de su padre, Tycho Brahe, descubre la ley de las áreas, y también la ley que relaciona los cubos de las distancias con los cuadrados de los periodos. Este impresionante trabajo hace que, unas décadas después, una científica de la nueva generación, Rey, que es bastante más valiente e inteligente que Luke, hace de Newton y, a partir de las leyes de Luke, llega a elaborar unas leyes de la física universales, que explican tanto la caída de una manzana como el movimiento de los planetas.

Pero no. El área barrida por unidad de tiempo es, salvo constante multiplicativa, el momento angular del planeta. La ley de las áreas en realidad es la ley de conservación del momento angular. Gracias al trabajo de la matemática Emmy Noether, sabemos que a toda simetría global continua de un sistema físico le corresponde una ley de conservación. Un caso concreto es la ley de conservación del momento angular. Esta ley se cumple cuando el planeta se mueve en un campo gravitatorio con simetría esférica. Sin embargo, el campo gravitatorio en el sistema solar al que pertenece Tatooine no tiene, ni de lejos, simetría esférica, porque hay dos soles, dos objetos muy masivos cuyos campos gravitatorios no podemos despreciar. Luke gasta mucho dinero y esfuerzo en construir telescopios cada vez más grandes, en medir las posiciones con cada vez mejor precisión. Pero no hay ni rastro de la ley de las áreas. Luke, desesperado por el movimiento caótico de los planetas, acaba en una disputa muy fuerte con un malvado y poderoso astrólogo (Vader), el cual, tras cortarle la financiación, le confiesa que es su padre y le convence para que se una al lado oscuro. Luke dedica el resto de su vida a entretener a los ricos con estupideces astrológicas que nada tienen que ver con la realidad.

En nuestro Sistema Solar, cuando los meses del año quedan los sábados por la noche para jugar al Risk, piden pizzas elípticas y las cortan de tal forma que todos coman la misma porción de pizza más o menos (menos Febrero, al que descaradamente le dan menos). Pero en el sistema solar de Tatooine esto no pasa. 

La analogía no es la que esperábamos. Luke somos nosotros, y la ley de conservación del momento angular de cada planeta es la supersimetría. La supersimetría es una hipotética simetría de la naturaleza que implica que cada grado de libertad fermiónico tiene asociado uno bosónico y viceversa. Al igual que Luke vive en un sistema solar que no tiene simetría de rotación y, por tanto, el momento angular de cada planeta no se conserva, nosotros vivimos en un universo en el que existe el electrón, pero no existe su compañero supersimétrico bosónico, el selectrón. Al menos a las escalas de baja energía en las que hemos explorado el mundo de la física de partículas (bajas comparadas con la escala de Planck) este mundo no es supersimétrico. Por mucho que nos hemos esforzado no hemos encontrado compañeros supersimétricos de las partículas conocidas. ¿Debemos, por tanto, abandonar la idea de la supersimetría? Eso es lo que vamos a analizar en este artículo.

Las probabilidades bayesianas y la mecánica cuántica

A Ciencia Cierta es un podcast dirigido y presentado por Antonio Rivera que tiene varias virtudes frente al otro gran podcast de éxito que tenemos en España sobre ciencia, Coffee Break: Señal y Ruido. Además de la calidad de las aportaciones de los contertulios que participan en cada episodio, y que son diferentes en función del tema a tratar, la elección del tema no parece que esté asociada a ninguna noticia reciente ni polémica de moda en medios o redes sociales, lo que da más tiempo para elegir y preparar mejor los temas. Por contra, en A Ciencia Cierta no tienen ni a Francis Villatoro, ni a Gastón Giribet ni a Héctor Socas, y los temas de los que se habla no son tan avanzados como los de Coffee Break.

Uno de los episodios recientes de A Ciencia Cierta que me gustaría recomendar es el de Thomas Bayes, con Pablo Beltrán, Víctor Marco y Anabel Forte. Dejo aquí el enlace:

https://go.ivoox.com/rf/90488602

En este podcast no se habla específicamente sobre física, sino sobre la historia de cómo surgió el teorema de Bayes y por qué es tan importante hoy en día en todas las ramas de la ciencia. Pero entre los minutos 59 y 63, a raíz de un comentario de Anabel Forte, Víctor Marco explica que en mecánica cuántica las probabilidades son intrínsecas a la misma naturaleza, ya que no hay variables ocultas. El mundo es no determinista y por eso la probabilidad es la herramienta que explica la realidad. En mecánica cuántica hay probabilidades que no se deben al desconocimiento que tenemos sobre una realidad subyacente, sino que se deben a que en la misma naturaleza los observables en general no toman valores bien definidos antes de ser medidos. Pero ha sido un comentario demasiado breve, en mi opinión, ya que en seguida los contertulios han pasado a otro tema ajeno a la mecánica cuántica.

Como me ha parecido que dos horas de podcast son poco, voy a intentar en este post aclarar de forma más amplia cuál es la relación entre las probabilidades bayesianas y las mecánica cuántica. Sobre el uso de la fórmula de Bayes para la realización de inferencias y su importancia en filosofía de la ciencia el lector puede consultar este otro post. 

1+1 no es igual a 2

Los que nos dedicamos a la enseñanza estamos ya bastante hartos de recibir la acusación de que las enseñanzas que proporciona la escuela son demasiado teóricas e irreales. Nos dicen que, en el tecnificado mundo actual, una educación más orientada hacia lo práctico, en el que las humanidades, las artes y la parte teórica de las ciencias de la naturaleza jueguen un papel secundario, pudiera preparar para la vida de modo mucho más adecuado. Nos dicen también que no se debería apenas invertir dinero en investigación básica, sino en aquellas investigaciones que tiene como objetivo resolver problemas reales. Se trata de una visión miope de la realidad en la que están atrapados algunos de los que han recibido formación excesivamente aplicada en campos, como la ingeniería, la administración de empresas o el derecho, y no han podido disfrutar del trasfondo teórico de su disciplina.

Es necesario tener claro que ciencias, artes y humanidades no son cosas distintas. Cuando hablamos de humanidades (por ejemplo, la literatura, el arte, la política, la economía), hablamos de cosas que hace el ser humano, a diferencia de los procesos de la naturaleza. Pero resulta que la ciencia también es una humanidad, porque la ciencia la hace el ser humano. La ciencia estudia la naturaleza, pero es una disciplina humanística. Los científicos debemos vernos a nosotros mismos y ser vistos como humanistas, porque es lo que somos, aunque nuestro objeto de estudio no sea el ser humano. Y también debemos vernos como artistas, porque ¿qué son el planteamiento de preguntas, la emisión de hipótesis, la construcción de sistemas teóricos y el diseño de experimentos científicos, sino procesos creativos?

Dado que no son muy conocidas, voy a citar aquí las palabras que escribió sobre este asunto Werner Heisenberg, el físico más brillante de todos los padres de la mecánica cuántica, en su obra La imagen de la naturaleza en la física actual (actual de 1955, claro está). En esta obra Heisenberg reconoce que la formación humanística que recibió fue fundamental para el desarrollo de su actividad científica. Dice Heisenberg:
"toda la energía de nuestra cultura occidental procede y procedió siempre del estrecho enlace de las cuestiones de principio con la actuación práctica. En el dominio meramente práctico, otros pueblos y otras culturas alcanzaron un saber equiparable al de los griegos. En cambio, lo que desde el primer instante distinguió al pensamiento griego de los de otros pueblos fue la aptitud para retrotraer todo problema a una cuestión de principios teóricos, alcanzando así puntos de vista desde los cuales fue posible ordenar la policroma diversidad de la experiencia y hacerla asimilable por el intelecto del ser humano. [...] leer a los griegos significa ejercitarse en el uso de la más poderosa herramienta intelectual que el pensamiento del occidente ha conseguido crear. En este sentido, puede decirse que la educación humanística proporciona también un saber muy útil" [Heisenberg1955].

Dejando a un lado la obsoleta visión eurocéntrica de Heisenberg, me gustaría señalar que el físico alemán sí da en la clave en este texto sobre el motivo por el que ha sido tan fructífero el pensamiento filosófico y científico desde su nacimiento. Desgraciadamente, muchas personas todavía desconocen la importancia de la articulación de este pensamiento en base a primeros principios, y quieren encajonar nuestro conocimiento actual en una simple colección de hechos.

Una de las cosas que estas personas ignoran es que los primeros principios no son acumulativos. Si a un principio de la física teórica le sumamos otro, el resultado no es simplemente dos principios. Si estos principios son incompatibles, el resultado es nada. Pero, si estos dos principios en última instancia se pueden reconciliar, la historia de la ciencia nos dice que esta reconciliación, cuando es no trivial, implica puntos de vista nunca antes vistos que nos llevan a nuevos principios y procesos físicos que inicialmente no parecían ser consecuencia de esos 1+1 principios iniciales. En este caso, la suma 1+1 no es igual a 2, sino una obra de arte intelectual muchísimo mayor.

Por qué a toda simetría continua le corresponde una cantidad conservada

Uno de los teoremas más importantes en física es el teorema que dice que:

"A toda simetría global diferenciable que tenga un sistema físico le corresponde una cantidad que se conserva"

Este teorema se denomina primer teorema de Noether, en honor a la gran matemática Emmy Noether, quien lo demostró en 1915 en el contexto de la mecánica clásica (tanto relativista como no relativista, pero no cuántica). Por cierto, Noether forma parte del grupo de científicos y profesores punteros en su campo que perdieron su empleo a causa de la intolerancia de los nazis en cuando llegaron al poder, ya que estos inmediatamente aprobaron una ley que impedía a judíos y comunistas trabajar en la universidad y en organismos públicos. Esto ocurrió antes del holocausto y de la segunda guerra mundial. Es importante recordarlo para que no se vuelva a repetir.

Esta relación entre simetrías y leyes de conservación que estableció Noether constituye una de las ideas más potentes que ha tenido el ser humano. Las leyes de conservación son un instrumento muy útil para poder averiguar cómo cambian las magnitudes de un sistema físico con el tiempo. Saber que hay cantidades que no cambian nos permite escribir ecuaciones (igualdades) donde las incógnitas son las magnitudes que sí cambian. Podemos así utilizar las magnitudes que no cambian para averiguar cómo cambian las magnitudes que sí cambian.

Por otro lado, las simetrías de un sistema físico están relacionadas con su aspecto estético. Por ejemplo, una esfera es bella porque, la rotes como la rotes, se queda igual. El teorema de Noether nos relaciona, por tanto, de cierta manera la belleza con la utilidad en física. Pragmatismo y estética van de la mano.

Sin embargo, para el estudiante de física a primera vista no resulta tan evidente que una simetría continua implique una cantidad conservada. Aparentemente son dos cosas que no tienen nada que ver. ¿A qué se debe esta relación?

Por otro lado, hoy sabemos que el mundo no es clásico, sino cuántico, y que la mecánica clásica no es más que una aproximación del comportamiento de los sistemas físicos en cierto límite. Por tanto, la demostración original de Noether no nos sirve para las leyes fundamentales de la naturaleza. ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Noether en mecánica cuántica?

Estas dos preguntas son las que vamos a responder en este post.

CURSO DE MECÁNICA CUÁNTICA: 12 - El colapso de la función de onda no es un proceso físico

Una transcripción de parte de este vídeo se encuentra en el artículo "Las probabilidades bayesianas y la mecánica cuántica"

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CURSO DE MECÁNICA CUÁNTICA: 11 - El espacio de Hilbert de los estados cuánticos

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CURSO DE MECÁNICA CUÁNTICA: 10 - Los estados cuánticos y la notación de Dirac

 

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¿Se quedan las cosas igual si les damos una vuelta completa?

Tome usted un folio rectangular de tamaño A4.

Gírelo 45 grados. ¿Se queda igual? Es evidente que no. Ahora está inclinado.

Ahora gírelo 90º. Sigue sin estar igual. Antes estaba en posición horizontal, pero ahora está vertical.

¿Y si lo giramos 180ª? Entonces sí se queda igual.

Como el folio se queda invariante al realizar una rotación de 180º, entonces decimos que tiene simetría de rotación al girarlo 180º, o cualquier múltiplo de 180º.

Tomemos ahora un triángulo equilátero.

En este caso esta figura, para que se quede igual, hay que rotarla  120º o cualquier múltiplo de 120º.

Pero si elegimos una figura que no tiene ninguna simetría, como por ejemplo:

Entonces la única forma de que se quede igual es rotarla 360º, es decir, dándole una vuelta completa.

Esta última propiedad que hemos descrito, ¿es universal? ¿Se quedan todos los objetos igual al darles una vuelta completa? La mayoría de las personas piensan que sí. Vaya pregunta más estúpida, ¿verdad? Incluso hay quien se atreve a afirmar que el enunciado que dice "Todos los objetos se quedan igual si les damos una vuelta completa" es un juicio analítico, esto es, un enunciado cuya verdad o falsedad no necesita ser comprobada experimentalmente. Es un teorema matemático, una "verdad absoluta" a la que tienen que obedecer todos los objetos del universo.

Pero la realidad es que se trata de un enunciado sintético. El motivo por el que la mayoría de las personas están convencidas de que los objetos se quedan igual al darles una vuelta completa es porque tienen una fuerte evidencia experimental a favor de este enunciado, ya que han manipulado objetos y los han girado desde que tenían pocos meses de vida. Todos los objetos que les damos a los bebés para que jueguen se quedan igual al rotarlos 360º.

Sin embargo, si dejáramos a los bebés jugar directamente con electrones, entonces no sacarían la conclusión de que todos los objetos se quedan igual al darles una vuelta completa. Los electrones no se quedan igual. De hecho, son objetos a los que es necesario darles dos vueltas para que se queden igual. ¿Cómo es eso posible? Eso es lo que voy a tratar de explicar en este post.

 

Funciones de onda que dependen a la vez de las coordenadas y de los momentos. Parte 2: Estados estrujados generalizados y funciones de distribución cuánticas

En el artículo anterior hemos visto que es posible definir una representación, denominada holomorfa, en la que las funciones de onda dependen, a la vez, de las coordenadas $q$ y de los momentos $p$. Aunque el sistema cuántico con el que estamos trabajando sea muchísimo más complicado que el oscilador armónico, dado un número real positivo $\omega$, podemos definir los correspondientes operadores aniquilación y creación como

$ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} + i \hat{p}) $

$ \hat{a}^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} - i \hat{p}) $

de forma que $\omega$ se interpreta como la frecuencia asociada a un oscilador armónico de masa $m=1$. Denotamos los correspondientes estados estacionarios de este oscilador como $|n\rangle$. Si trasladamos el estado fundamental de este oscilador armónico por el espacio de fases hasta que esté centrado en el punto $(q,p)$, podemos obtener el estado coherente $|\alpha\rangle$, donde $\alpha$ es un número complejo cuyas partes reales e imaginaria son, salvo factores multiplicativos, respectivamente $q$ y $p$.

$ \alpha=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q+\frac{i}{\omega} p \right) $

Para conseguir la función de onda correspondiente al estado $|\psi \rangle$ en esta representación sólo hay que multiplicar escalarmente este estado por el estado coherente.

$ |\alpha\rangle_{\rm bad} = e^{\frac{1}{2}|\alpha|^2} | \alpha\rangle $

Este estado no está normalizado a la unidad. Esto es importante, porque si tomamos el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa,

$ | _{\rm bad} \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $

lo que se obtiene es el módulo al cuadrado de un producto escalar de estados cuánticos donde uno de ellos no está normalizado a la unidad. Es por ello que no podemos interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa como una probabilidad cuántica.

También hemos visto que la versión normalizada de este estado coherente no es más que el estado fundamental para un oscilador armónico (que es un estado que satura la relación de indeterminación de Heisenberg) trasladado por el espacio de fases mediante el operador desplazamiento de Weyl.

$ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$

Por ello, si normalizamos adecuadamente a la unidad los estados coherentes utilizados como base en la representación holomorfa, aunque ésta deja de ser holomorfa, el módulo al cuadrado de la función de onda así obtenida

$ | \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $

sí que es una probabilidad cuántica asociada a cada punto del espacio de fases. A esta distribución de probabilidad se la denomina distribución de Husimi. ¿Cuál es su significado físico y qué propiedades tiene? Una de las cosas que vamos a hacer en este artículo es ver en mayor detalle cómo podemos utilizar los estados coherentes para definir funciones de distribución de probabilidad en el espacio de fases.

Las bases de estados coherentes nos permiten explorar en qué punto del espacio de fases se encuentra una partícula cuántica, con la mejor resolución posible dentro de lo que nos permite el principio de indeterminación. La pregunta que surge ahora es, ¿es la representación de estados coherentes la más general posible que se puede conseguir con la técnica de realizar transformaciones en el espacio de fases sobre el estado fundamental del oscilador armónico? Además de traslaciones en el espacio de fases, podemos someter también al estado fundamental del oscilador armónico a otras transformaciones, como rotaciones y estrujamientos. Para asegurarnos de que estamos trabajando con la base de estados $|q,p\rangle$ más general posibles, en este artículo vamos a estudiar cómo afectan a estos estados las distintas transformaciones que podemos hacer en el espacio de fases de la partícula. Esto nos va a permitir generalizar los resultados de la primera parte de este artículo.

Funciones de onda que dependen a la vez de las coordenadas y de los momentos. Parte 1: La representación holomorfa

El principio de indeterminación nos dice que, cada partícula, en su movimiento, no sigue una trayectoria bien definida. Un error común consiste en pensar que lo que nos dice este principio es que las trayectorias de las partículas están ocultas para nosotros. Sin embargo, el principio de indeterminación va mucho más allá. Lo que dice no es sólo que no podemos saber con total precisión cuál es la trayectoria que ha seguido una partícula, sino que la trayectoria, como ente físico, no existe. Usted, querido lector, puede afirmar que su cuerpo ha seguido, desde que se levantó esta mañana de la cama hasta el lugar donde ha tomado el desayuno, una trayectoria bien definida con una precisión de más/menos un micrómetro, pero cada uno de los electrones, protones y neutrones que forman parte de su cuerpo no ha seguido ninguna trayectoria concreta. Y, si no han seguido ninguna trayectoria bien definida, tampoco tienen en cada instante de tiempo unos valores de las coordenadas que dan la posición $q$ y las que dan el momento $p$ bien definidos simultáneamente (ya que, si estuvieran bien definidos en cada instante de tiempo, entonces la trayectoria también estaría bien definida).

Aunque todos los sistemas físicos obedecen al principio de indeterminación, sí es posible seguirle el rastro, seguirle la trayectoria con cierta incertidumbre experimental, a la mayoría de los sistemas macroscópicos. Por ejemplo, es posible ver cómo una aguja de un aparato de medida va pasando de la posición 5 a la posición 6. De esto se aprovecha la mecánica cuántica: los aparatos de medida con los que estudiamos los sistemas físicos son siempre, en buena aproximación, clásicos. Estudiando cómo evoluciona ese sistema clásico mientras interacciona con el sistema cuántico podemos obtener información sobre el sistema cuántico. Este truco nos permite hacer física a pesar del principio de indeterminación.

Pero el precio que tenemos que pagar es trabajar con magnitudes físicas que no son características sólo del sistema cuántico, sino que son propiedades del conjunto formado por el sistema cuántico y los aparatos de medida [Landau1962]. Las características dinámicas de los objetos cuánticos sólo están, por tanto, asociadas a los resultados de la medición cuántica, y por eso se les llama "observables". Por ejemplo, si dispongo los aparatos para medir con muchísima precisión la posición de una partícula, el observable posición $q$ tomará un valor bien definido, y podemos llamar $|q\rangle$ al estado cuántico en el que se encuentra la partícula. Pero entonces el observable momento $p$ no tomará una valor bien definido. ¡Ojo! No es que tome un valor bien definido desconocido para nosotros, sino que no toma ningún valor en concreto. Al ser una característica asociada, no sólo al sistema cuántico, sino también a una disposición concreta de los aparatos de medida que hemos decidido no implementar, es una característica de algo que no existe en ese momento y, por tanto, su valor no existe en ese momento. Si, después, ponemos los aparatos de medida de tal forma que midan la velocidad, entonces el observable momento $p$ sí tomará un valor bien definido y llamamos al estado cuántico correspondiente $|p\rangle$, pero entonces el observable posición $q$ estará indeterminado. Por simplicidad nos limitaremos al caso unidimensional en el que hay sólo una coordenada espacial $q$ y su momento asociado $p$, pero todo lo que vamos a ver se puede generalizar para cualquier número de dimensiones.

En general, el estado mecanocuántico $|\psi \rangle$ en que se encuentra una partícula va a ser un estado superposición de estados $|q\rangle$ con posición bien definida diferente:

$ | \psi \rangle = \int dq \psi (q) | q \rangle $

Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ la posición de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\psi(q)$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir la posición de la partícula, obtengamos el valor $q$. A la función $\psi$ que asigna a cada posición $q$ la amplitud de probabilidad $\psi (q)$ se la denomina función de onda en la representación de coordenadas de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\psi (q)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminada está la posición de la partícula.

Análogamente, este mismo estado $|\psi \rangle$ también se puede escribir como superposición de estados $|p\rangle$ con momento bien definido diferente:

$ | \psi \rangle = \int dp \tilde{\psi (p)} | p \rangle $

Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ el momento de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\tilde{\psi(p)}$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir el momento de la partícula, obtengamos el valor $p$. A la función $\tilde{\psi}$ que asigna a cada momento $p$ la amplitud de probabilidad $\tilde{\psi} (p)$ se la denomina función de onda en la representación de momentos de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\tilde{\psi} (p)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminado está el momento de la partícula.

La función $\tilde{\psi} (p)$ contiene exactamente la misma información que la función de onda en la representación de coordenadas $\psi (q)$ y todo estudiante de física sabe que se puede pasar de una a la otra mediante una transformación unitaria que se denomina transformada de Fourier.

Por tanto, parece que tenemos básicamente dos opciones. O bien representamos el estado cuántico $|\psi\rangle$ mediante la función de onda $\psi(q)$, con la que se visualiza perfectamente la indeterminación de la posición de la partícula, o bien trabajamos con $\tilde{\psi}(p)$ para visualizar la indeterminación en el momento. Sin embargo, en realidad existen infinitas formas de especificar el estado cuántico que son distintas a $\psi(q)$ y $\tilde{\psi}(p)$. ¿Es posible construir una función de onda $\psi^\prime (q,p)$ que represente al estado cuántico $|\psi\rangle$ y que sea dependiente tanto de las coordenadas como de los momentos? Eso es lo que vamos analizar en este artículo.