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Los grupos de transformaciones en mecánica cuántica
Se dice que el conjunto de todas estas transformaciones lineales sobre el espacio de estados cuánticos forma una representación del grupo $G$ sobre el espacio $\mathcal{H}$. Más concretamente, una representación es una función $\pi$ que asocia, a cada elemento $a$ de un grupo, su correspondiente transformación lineal $\pi(a)$ en un espacio vectorial, de manera que la estructura del grupo se respete, es decir, que da lo mismo componer dos transformaciones y hallar la representación del resultado, que componer las representaciones de cada transformación. Matemáticamente, se escribe $$
\pi(b) \cdot \pi(a)=\pi(ba)
$$ Es evidente que mapear todos los elementos de un grupo a la transformación identidad en un espacio vectorial es trivialmente una representación, que se denomina representación trivial o escalar. Lo interesante para los matemáticos es estudiar las representaciones no triviales de los distintos grupos que reproduzcan la estructura de los mismos de forma fiel. A la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{H}$ sobre el que actúan los operadores $\pi(g)$ se la denomina dimensión de la representación $\pi$. También es interesante desde el punto de vista matemático estudiar cuáles son las representaciones irreducibles de cada grupo $G$. Éstas son aquellas que no tienen subrepresentaciones, es decir, donde no hay ningún subespacio vectorial propio $\mathcal{H}^\prime \subset \mathcal{H}$ tal que $\pi$ actuando sobre $\mathcal{H}^\prime$ sea una representación. Esto es así porque, dadas dos representaciones $\pi_1$ y $\pi_2$ actuando sobre dos espacios vectoriales $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$, siempre es posible construir la representación suma directa $\pi_1 \oplus \pi_2$ que actúa sobre el espacio vectorial suma directa $ \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$ generado por el conjunto de vectores que surge al unir el conjunto de los vectores de una base de $ \mathcal{H}_1 $ con el de una base de $\mathcal{H}_2$. En notación matricial:
En física, sin embargo, lo interesante es saber en cada caso concreto bajo qué representaciones transforman los estados cuánticos de cada sistema físico. Como todas estas representaciones tienen que ser unitarias, los operadores $\pi(g)$ tienen que ser todos unitarios, es decir, su adjunto debe ser igual a su inverso. A este tipo de representaciones del grupo $G$ se las denomina representaciones unitarias. Como las transformaciones unitarias en un espacio vectorial conservan el producto escalar, vectores que eran ortogonales lo siguen siendo después de esa transformación. Esto hace que toda representación reducible se pueda escribir como suma directa de representaciones irreducibles, aunque puede ser difícil encontrar la base en la que ésta se exprese en forma de bloques en la diagonal, como en la matriz anterior.
Reflexiones en el plano
\gamma_1^2=\gamma_2^2=1
$$ siendo $1$ el elemento neutro, la transformación identidad, dejarlo todo igual.
Vamos a ver que es posible construir una representación del grupo de reflexiones y rotaciones en la que los operadores que representan esa reflexión son los mismos objetos matemáticos que los vectores de la base cartesiana ortonormal del espacio de dos dimensiones. Es decir, vamos a representar cada vector en esta base como $$
v=v_1\gamma_1+v_2\gamma_2
$$ Como hacer una reflexión en el eje $\gamma_1$ es lo mismo que hacerla en el mismo eje pero con orientación contraria ($-\gamma_1$), y multiplicar los vectores de la base por un número real $\lambda\neq 0$ tampoco afecta a la forma en que se hacen las reflexiones, las reflexiones tienen que actuar sobre el vector $v$ de una forma que no dependa de su signo o del factor $\lambda$. Nos vemos obligados a probar con la conjugación $$
v \to x \gamma_1^{-1} v \gamma_1=x\gamma_1 v \gamma_1
$$ donde $x$ es una constante por determinar. Se tiene, por tanto: $$
x\gamma_1 v \gamma_1=-v_1\gamma_1+v_2 \gamma_2
$$ De aquí se deduce que: $$
x\gamma_1 \gamma_1 \gamma_1 =-\gamma_1
$$ con lo que x=-1. También se deduce que: $$
\gamma_1 \gamma_2 \gamma_1=\gamma_2
$$ y multiplicando a la derecha por $\gamma_1$ se encuentra que $$
\gamma_1\gamma_2=-\gamma_2 \gamma_1
$$ Por tanto, $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son objetos matemáticos que anticonmutan recíprocamente entre ellos, y cada uno es el inverso de sí mismo. A los objetos que cumplen estas dos características se les dice que constituyen una representación del álgebra de Clifford en dos dimensiones. Estrictamente hablando, el álgebra de Clifford en 2 dimensiones es el espacio vectorial generado por todas las combinaciones lineales de las reflexiones $\gamma_1$, $\gamma_2$ y de todos los productos de estas gammas.
Rotaciones en el plano
v \to \gamma_2 \gamma_1 v \gamma_1^{-1} \gamma_2^{-1}=(\gamma_2 \gamma_1)v (\gamma_2 \gamma_1)^{-1}=-v_1\gamma_1-v_2\gamma_2
$$
Si, en cambio, lo que queremos es hacer una rotación de 360º, entonces, como $$
(\gamma_2 \gamma_1) (\gamma_2 \gamma_1)= -\gamma_2 \gamma_1\gamma_1 \gamma_2=-\gamma_2 \gamma_2=-1
$$ tenemos $$
v \to (-1) v (-1)=v
$$ Es decir, el vector se queda igual. Las cosas se quedan igual al darles una vuelta completa. ¿Asunto zanjado? No todavía.
Acabamos de ver que el operador $\gamma_1\gamma_2$ tiene una propiedad interesante: su cuadrado es $-1$, ¡exactamente igual que la unidad imaginaria! Es por ello por lo que el álgebra generada por las combinaciones lineales de $1$ y de $\gamma_1\gamma_2$ y todos sus productos es isomorfa al álgebra de los números complejos. Por tanto, podemos aplicar la fórmula de Euler $$
e^{\phi i}=\cos\phi+i\sin \phi
$$ a nuestro caso $$
e^{\phi \gamma_1\gamma_2}=\cos\phi+\gamma_1\gamma_2\sin \phi
$$ Y este operador, ¿qué transformación implementa sobre $v$? Vamos a calcularla: $$
e^{-\phi \gamma_1\gamma_2} v e^{\phi \gamma_1\gamma_2}=(v_1\cos(2\phi)-v_2\sin(2\phi))\gamma_1 + (v_1\sin(2\phi)+v_2\cos(2\phi))\gamma_2
$$ Se obtiene que ¡se trata de una rotación un ángulo $\theta=2\phi$ en torno al eje z perpendicular al plano! Por tanto, podemos generar todas las rotaciones en el plano con los operadores $$
e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}=\cos(\frac{\theta}{2})+\sin( \frac{\theta}{2}) \gamma_1\gamma_2
$$ actuando sobre los vectores mediante conjugación.
El grupo Spin(2)
Y aquí es donde viene el meollo de la cuestión. Los operadores $ e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}$ y $- e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}$ son diferentes, pero implementan sobre los vectores $v$ exactamente la misma rotación. Esto es así porque el operador que implementa la vuelta completa de $2 \pi$ radianes es $$
e^{\frac{2\pi}{2} \gamma_1\gamma_2}=-1
$$ Esto lo que significa es que los operadores $ e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}$ forman un grupo que es un doble recubrimiento del grupo U(1)=SO(2). En este nuevo grupo, que vamos a llamar Spin(2), es necesario dar dos vueltas para obtener el elemento neutro. Si hacemos que estos operadores actúen por conjugación sobre los vectores, lo que tenemos es una representación de Spin(2) que no es fiel, ya que es una representación en la que obtenemos el elemento neutro con sólo dar una vuelta. Pero es posible definir matemáticamente de forma consistente un espacio vectorial, que llamaremos espacio de espinores $\chi$, sobre el que el grupo $Spin(2)$ actúa de forma fiel: $$
\chi \to \chi\prime= e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2} \chi
$$
Por tanto, existen objetos matemáticos, los espinores, a los que, al contrario que los vectores, es necesario darles dos vueltas para que se queden igual. Se trata de objetos que, al rotarlos, transforman de acuerdo con elementos del grupo Spin(2), en vez de SO(2).
Uno puede decir que esto es sólo un truco matemático que se inventó Cartan en 1913, pero que, en realidad, el grupo que implementa las rotaciones en los objetos físicos es SO(2). Sin embargo, la naturaleza no tiene por qué ser lo que uno tiene en la cabeza. No tiene por qué comportarse toda ella como los juguetes que nos daban cuando éramos bebés. Hemos crecido, y hemos jugado también con átomos y con las partículas elementales. Y ahora sabemos que el grupo que implementa las rotaciones en la naturaleza no es SO(2), sino Spin(2). Los estados cuánticos de algunos objetos transforman de acuerdo con representaciones de Spin(2) en las que basta girar $2\pi$ radianes para obtener el mismo estado, pero muchos otros no. Una vez hemos crecido y hemos asistido a nuestro primer curso de mecánica cuántica en la universidad, aprendemos que la función de onda de un electrón es un objeto matemático, denominado espinor, de dos componentes, que transforma según una representación reducible de Spin(2). La primera componente transforma cuando se realiza una una rotación con respecto al eje z mediante la representación irreducible $$
\chi_1 \to \chi_1\prime= e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2} \chi_1
$$ del grupo Spin(2), mientras que la segunda transforma según la representación inversa $$\chi_2 \to \chi_2\prime= e^{-\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2} \chi_2
$$ Si $\theta=2\pi$, ambas componentes quedan, por tanto, multiplicadas por $-1$. Es decir, si le damos una vuelta completa a un electrón, su estado cuántico queda multiplicado por $-1$.
El grupo Spin(3)
Uno puede pensar que, como en el fondo Spin(2) no es más que el grupo SO(2) pero dando dos vueltas, este descubrimiento, aunque importante desde el punto de vista físico, no aporta mucho desde el punto de vista matemático. De hecho, matemáticamente Spin(2) y SO(2) son isomorfos, consistiendo el isomorfismo entre ellos simplemente en dividir el ángulo de giro entre dos. Pero el mundo real tiene 3 dimensiones espaciales o más, y toda la discusión que hemos llevado a cabo en este artículo se puede generalizar fácilmente a cualquier número $d$ de dimensiones. Y, si lo generalizamos a $d>2$, se puede ver que Spin(d) y SO(d) no son isomorfos. Por ejemplo, en nuestro mundo tridimensional, al estar la base formada por tres reflexiones, $\gamma_1$, $\gamma_2$ y $\gamma_3$, al hacer parejas de reflexiones para construir rotaciones nos salen tres unidades imaginarias $$
i=\gamma_3\gamma_2
$$ $$
j=\gamma_1\gamma_3
$$ $$
k=\gamma_2\gamma_1
$$ cuyo cuadrado es $-1$, que se corresponden, respectivamente, con las rotaciones de $\pi$ radianes en torno a los ejes x, y ,z. Las combinaciones lineales de estas 3 rotaciones y la transformación identidad constituyen una generalización de los números complejos denominada cuaterniones de Hamilton. Nótese que
e^{\frac{\theta}{2} (u_1 i+u_2 j+u_3 k)}=\cos(\theta/2)+(u_1 i+u_2 j+u_3 k)\sin(\theta/2)
$$ y que éstas actúan sobre los vectores $v_1\gamma_1+v_2\gamma_2+v_3\gamma_3$ mediante conjugación. De nuevo se tiene que $-\exp {\frac{\theta}{2} (u_1i+u_2j+u_3k)}$ y $+\exp {\frac{\theta}{2} (u_1i+u_2 j+u_3 k)}$ generan la misma rotación sobre los vectores, y este es el motivo por el que Spin(3) es un recubrimiento doble del grupo SO(3). Pero en el caso de los espinores, la rotación no se hace por conjugación, y ambas rotaciones dan diferentes resultados.
¿Qué es el spin de una partícula?
Conclusión
La mecánica cuántica nos ha llevado a entender las rotaciones de forma diferente a como las entendíamos clásicamente. Los estados cuánticos de los objetos tienen que cambiar, al aplicar sobre éstos una transformación, según alguna representación de ese grupo de transformaciones. Ya vimos en un artículo anterior que esto implica que el momento angular tiene que estar cuantizado, marcando los valores discretos que toma las distintas representaciones irreducibles del grupo SO(2).
Sin embargo, es un hecho experimental que las rotaciones en el plano en la naturaleza no forman el grupo SO(2), sino el grupo Spin(2), que es un doble recubrimiento del primero. Esto permite que haya objetos, y de hecho la naturaleza está plagada de ellos, para los que es necesario dar dos vueltas para que su estado cuántico se quede igual. Generalizando esto a 3 dimensiones se obtiene que el grupo de rotaciones en la naturaleza no es SO(3), como ingenuamente esperábamos, sino su doble recubrimiento, denominado Spin(3), que es isomorfo a SU(2).
Al contrario de lo que ocurre en SO(3), las representaciones irreducibles de Spin(3) vienen marcadas por valores semienteros, además de los enteros, del momento angular. En el caso del electrón, este valor es 1/2. Que este valor sea semientero es el motivo por el que este momento angular intrínseco no se puede explicar mediante un movimiento orbital interno (una rotación del electrón sobre sí mismo), ya que al girar cualquier posición orbital $2\pi$ radianes volvemos a la misma posición. El origen de este momento angular intrínseco radica en que el estado de los objetos cuánticos no viene descrito por su forma en el espacio tridimensional, sino por una función de onda, que representa un vector en un espacio de Hilbert que contiene la información de las amplitudes de probabilidad de cada suceso. Estas funciones de onda transforman bajo rotaciones de acuerdo con alguna representación del grupo Spin(3) y, en el caso del electrón y los demás leptones, y también de los quarks, esta representación no es trivial, sino que es la representación espinorial, que es una representación irreducible de dos dimensiones complejas (dos componentes). Al hacer una rotación, estas componentes van a cambiar, incluso aunque esta partícula sea completamente puntual y no tenga estructura por dentro, incluso aunque no exista ningún espacio físico que rotar en su interior, incluso también en el caso de que la partícula tenga una posición perfectamente definida con un grado de precisión enorme.
Si la partícula tiene un momento angular $L_3$ bien definido, es decir, si su estado cuántico es un autoestado de $L_3$, entonces la función de onda va a cambiar su fase, pero este cambio de fase vendrá determinado por la suma de los momentos angulares orbital e intrínseco. Es decir, este cambio de fase viene tanto de la dependencia espacial de la función de onda como de las transformaciones de las distintas componentes del espinor, y esta última parte está presente incluso aunque estas componentes de la función de onda estén localizadas en un punto del espacio. Una de novedades que introduce la mecánica cuántica es el hecho de que incluso los objetos perfectamente puntuales pueden tener momento angular intrínseco y, además, este momento angular puede ser tal que sean necesarias, no una, sino dos vueltas completas para que el estado cuántico se quede igual.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
Referencias bibliográficas
- Stillwell J. (2008), Naive Lie theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
- Tapp K. (2016), Matrix groups for undergraduates, second ed., American Mathematical Society.
- Woit P. (2017): Quantum Theory, Groups and Representations. An Introduction. Springer International Publishing.
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