FÍSICA BACHILLERATO: Campo electrostático

En mecánica clásica (newtoniana) para la descripción de la interacción entre las distintas partículas materiales es útil el concepto de campo: suponemos que una partícula crea un campo alrededor suyo de tal forma que cierta fuerza actúa sobre todas las demás partículas localizadas en ese campo. Esto sería simplemente una mera herramienta matemática si no llega a ser por el hecho, puesto de manifiesto por la teoría especial de la relatividad, de que las interacciones se propagan a una velocidad finita. Hay que considerar, por tanto, que el campo mismo posee realidad física.

Además de la interacción gravitatoria, existe otra interacción en la naturaleza denominada interacción electromagnética y su campo asociado se denomina campo electromagnético.

Cuando una partícula se encuentra en el seno de un campo electromagnético, se observa que sobre ella se aplica una fuerza que depende en general de la velocidad de esa partícula. No obstante, cuando la velocidad es cero esa fuerza electromagnética no se anula, con lo que podemos decir que la fuerza electromagnética tiene un sumando independiente de la velocidad (ya que está presente incluso cuando \(v=0\)). A este sumando se le llama fuerza eléctrica y a la parte del campo electromagnético responsable de esta fuerza se le llama campo eléctrico. Por otro lado, a la parte de la fuerza electromagnética que depende de la velocidad de la partícula situada en el campo se le denomina fuerza magnética y a la parte del campo electromagnético responsable de esa fuerza, campo magnético.

En esta unidad estudiamos la interacción electromagnética entre partículas en el caso particular de que éstas estén en reposo en algún sistema inercial. A esta situación se le llama electrostática y en ella todo el campo electromagnético es sólo campo eléctrico.

No todas las partículas sufren la interacción electromagnética. Aquellas que sí lo hacen se dicen que son partículas cargadas y la intensidad con la que estas partículas interaccionan con el campo electromagnético se cuantifica con una magnitud denominada carga eléctrica \(q\). En el SI se mide en culombios (\(\mathrm C\)).

Si rompiendo núcleos de átomos obtenemos energía, ¿por qué uniéndolos también?

Conocemos como energía nuclear al uso de reacciones nucleares que liberan energía para generar calor. Básicamente, existen dos formas de liberar energía a partir de los núcleos de los átomos:

• la fisión nuclear, que es una reacción nuclear o un proceso de desintegración radioactiva en el que el núcleo de un átomo se divide en partes más pequeñas (núcleos más ligeros). Esta energía liberada es la que se usa con frecuencia en turbinas de vapor para producir electricidad en las centrales nucleares.

Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=486924

• la fusión nuclear, que es una reacción en la que dos núcleos atómicos se fusionan para formar un núcleo más pesado. Los reactores de fusión nuclear aún no son económicamente viables, pero esta tecnología se encuentra actualmente en investigación y podría ser viable en algunas décadas.

Por Wykis - Trabajo propio, basado en w:File:D-t-fusion.png, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2069575

Si dividir un núcleo en dos núcleos más pequeños libera energía, parecería que combinar dos núcleos más pequeños en un núcleo más grande requeriría energía, no liberarla, porque es el proceso inverso. Con la fisión nuclear obtenemos energía en las centrales nucleares rompiendo núcleos. Con la fusión, obtenemos energía uniéndolos, que es lo contrario. Pero el inverso de un proceso exotérmico es un proceso endotérmico, no obtienes energía, la pierdes. Acabamos de experimentar lo que se denomina un conflicto cognitivo. 

¿Cómo es esto posible? Eso es lo que vamos a intentar explicar en este post a un nivel de bachillerato.

Por qué todos los físicos deberían estudiar unas nociones básicas de supersimetría

 

Luke es un joven inquieto que no se conforma con las cuestiones mundanas que rodean a la granja donde vive. Cuando observa las estrellas por la noche, o la puesta de los dos soles que calientan su planeta, Tatooine, siente la llamada que le lleva a tratar de desvelar los secretos del universo. Afortunadamente para él, un astrónomo retirado, llamado Obi Wan, le proporciona a Luke los datos que obtuvo su padre, Anakin, el mejor observador de cuerpos celestes de su época, acerca del movimiento de los planetas de su sistema solar.

A Luke le han dicho que su padre está muerto. No sabe que abandonó la astronomía para pasarse al lado oscuro. Ahora le lee el futuro al emperador mediante el timo de la astrología. El emperador es un señor muy malvado que paga mejor a los astrólogos que a los astrónomos. Pero Luke se dispone a continuar el trabajo que dejó a medias su padre, y descifrar así las leyes fundamentales del universo.

Los planetas a veces se mueven más rápido y a veces más despacio. Parece difícil encontrar un patrón, una regularidad. Y entonces a Luke se le ocurre una idea muy atrevida: a lo mejor los planetas cambian su velocidad para que el vector que une el astro mayor del sistema con el planeta barra áreas iguales en tiempo iguales.

A estas alturas seguro que usted piensa que es capaz de adivinar cómo continúa la historia. Luke es Kepler, y con los datos de su padre, Tycho Brahe, descubre la ley de las áreas, y también la ley que relaciona los cubos de las distancias con los cuadrados de los periodos. Este impresionante trabajo hace que, unas décadas después, una científica de la nueva generación, Rey, que es bastante más valiente e inteligente que Luke, hace de Newton y, a partir de las leyes de Luke, llega a elaborar unas leyes de la física universales, que explican tanto la caída de una manzana como el movimiento de los planetas.

Pero no. El área barrida por unidad de tiempo es, salvo constante multiplicativa, el momento angular del planeta. La ley de las áreas en realidad es la ley de conservación del momento angular. Gracias al trabajo de la matemática Emmy Noether, sabemos que a toda simetría global continua de un sistema físico le corresponde una ley de conservación. Un caso concreto es la ley de conservación del momento angular. Esta ley se cumple cuando el planeta se mueve en un campo gravitatorio con simetría esférica. Sin embargo, el campo gravitatorio en el sistema solar al que pertenece Tatooine no tiene, ni de lejos, simetría esférica, porque hay dos soles, dos objetos muy masivos cuyos campos gravitatorios no podemos despreciar. Luke gasta mucho dinero y esfuerzo en construir telescopios cada vez más grandes, en medir las posiciones con cada vez mejor precisión. Pero no hay ni rastro de la ley de las áreas. Luke, desesperado por el movimiento caótico de los planetas, acaba en una disputa muy fuerte con un malvado y poderoso astrólogo (Vader), el cual, tras cortarle la financiación, le confiesa que es su padre y le convence para que se una al lado oscuro. Luke dedica el resto de su vida a entretener a los ricos con estupideces astrológicas que nada tienen que ver con la realidad.

En nuestro Sistema Solar, cuando los meses del año quedan los sábados por la noche para jugar al Risk, piden pizzas elípticas y las cortan de tal forma que todos coman la misma porción de pizza más o menos (menos Febrero, al que descaradamente le dan menos). Pero en el sistema solar de Tatooine esto no pasa. 

La analogía no es la que esperábamos. Luke somos nosotros, y la ley de conservación del momento angular de cada planeta es la supersimetría. La supersimetría es una hipotética simetría de la naturaleza que implica que cada grado de libertad fermiónico tiene asociado uno bosónico y viceversa. Al igual que Luke vive en un sistema solar que no tiene simetría de rotación y, por tanto, el momento angular de cada planeta no se conserva, nosotros vivimos en un universo en el que existe el electrón, pero no existe su compañero supersimétrico bosónico, el selectrón. Al menos a las escalas de baja energía en las que hemos explorado el mundo de la física de partículas (bajas comparadas con la escala de Planck) este mundo no es supersimétrico. Por mucho que nos hemos esforzado no hemos encontrado compañeros supersimétricos de las partículas conocidas. ¿Debemos, por tanto, abandonar la idea de la supersimetría? Eso es lo que vamos a analizar en este artículo.

La integral de camino de Feynman de una partícula cargada en presencia de un campo electromagnético

En física clásica, sobre toda partícula con carga $q$ y velocidad $\vec{v}$ sometida a un campo electromagnético se ejerce siempre una fuerza (denominada fuerza de Lorentz) de valor $$
\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $\vec{E}$ es valor del campo eléctrico en el punto donde está situada la partícula y $\vec{B}$ el campo magnético. Esto implica que, en el caso de que la partícula sea no relativista, la ecuación diferencial que describe su movimiento es, si la fuerza de Lorentz es la única que actúa:

$$
m\vec{a}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $m$ es la masa de la partícula y $\vec{a}$ es su aceleración.

Esta ecuación de movimiento se puede obtener imponiendo que el camino que tiene que seguir la partícula entre los puntos espaciotemporales $(t_i, \vec{r}_i)$ y $(t_f, \vec{r}_f)$ sea aquel que minimiza la acción
$$
S=\int \left(  \frac{1}{2} m v^2 -q\phi \right)dt+  q\int \vec{A}\cdot d\vec{r} =
$$ $$
=\int \left(  \frac{1}{2} m v^2 -q\phi +q\vec{A}\cdot\vec{v}\right)dt
$$ (donde las integrales se realizan entre esos dos puntos espaciotiemporales) siempre que identifiquemos a $\vec{E}$ y $\vec{B}$ con
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$ $$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$ Aquí $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{A}$ es el potencial vector magnético.

Pero, ¿qué ocurre en mecánica cuántica? ¿Cómo podemos describir en mecánica cuántica el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético clásico? En mecánica cuántica las probabilidades de cada posible resultado a la hora de realizar una medición se calculan mediante el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad asociada a ese suceso. Esta amplitud de probabilidad la podemos calcular, o bien haciendo uso de la integral de camino de Feynman, o bien haciendo uso de la ecuación de Schrödinger para calcular cómo es la función de onda de la partícula en el instante de la medición. Hay, por tanto, dos procedimientos que a uno se le ocurren para cuantizar la partícula cargada.

El primero consiste en llevar a cabo la integral de camino de Feynman metiendo en la acción el término descrito anteriormente responsable de la interacción de la partícula cargada con el campo electromagnético. En el cálculo de la amplitud de probabilidad de que una partícula situada en $\vec{r}_i$ en el instante $t_i$ acabe en el punto $\vec{r}_f$ en un instante posterior $t_f$, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino posible, siendo cada una de éstas un número complejo de módulo 1 y cuya fase viene dada por la acción $S$ dividida entre $\hbar$:
$$
U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)=\langle \vec{r}_f | \hat{U}(t_f-t_i) | \vec{r}_i \rangle = \int D\vec{r}(t) e^{i\frac{S}{\hbar}}
$$ donde $\hat{U}$ es el operador unitario de evolución del estado de la partícula. A la función $U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)$ se la denomina propagador de la partícula cargada en el espacio de posición.

El segundo procedimiento consiste en hacer uso del hecho de que el hamiltoniano clásico de la partícula cargada es $$
H=\frac{p_F^2}{2m}+ q\phi=\frac{(\vec{p}-q\vec{A})^2}{2m}+ q\phi
$$ (donde $\vec{p}$ es el momento canónico de la partícula cargada, que no coincide con su momento físico $\vec{p}_F=\vec{p}-q\vec{A}$). Así, en mecánica cuántica podemos valernos de esta sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$ para postular que el hamiltoniano cuántico de la partícula cargada es $$
\hat{H}=\frac{\hat{p}_F^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)=\frac{(\hat{\vec{p}}-q\vec{A}(\hat{\vec{r}},t))^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)
$$ Esto hace que la ecuación de Schrödinger, que nos da la evolución temporal de la función de onda de la partícula cargada, sea $$
i \hbar \, \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +
q\phi(\vec{r})
+ \frac{i \hbar q}{m }
\vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla +\lambda \frac{i \hbar q}{m c} \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) +
\frac{q^2}{2 m } \vec{A}^2(\vec{r}) \right] \, \psi(\vec{r},t)
$$

¿Nos dan ambos métodos el mismo resultado? El problema es que es posible que no. El término de interacción de la partícula con el campo electromagnético $q\vec{A}(\vec{r})\cdot \vec{v}$ no sólo depende de la posición de la partícula, sino también de su velocidad. Esto nos da lugar a una ambigüedad en cuanto a cómo ordenar los productos de operadores posición y velocidad, ya que en mecánica cuántica la posición $\hat{\vec{r}}$ y la velocidad $\hat{\vec{v}}$ de una partícula no conmutan. Es de sobra conocido que este problema de ordenamiento lo tenemos en el hamiltoniano al sustituir $\vec{r}$ y $\vec{p}$ por los operadores $\hat{\vec{r}}$ y $\hat{\vec{p}}$, ya que éstos no conmutan. Experimentalmente se puede comprobar que el hamiltoniano que nos da el resultado correcto es el de la sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$. Sin embargo, lo que mucha gente no sabe es que este mismo problema de ordenamiento también lo tenemos en la integral de camino de Feynman. Como hemos explicado en otro post, este problema de ordenamiento queda oculto en la notación simplificada de la integral de camino que acabamos de utilizar. ¿Cuál es el orden adecuado que tenemos que establecer en la integral de camino de Feynman para obtener una evolución de la función de onda que sea equivalente a la de la sustitución minimal? Eso es lo que vamos a ver en este post. Si estás interesado en saber qué le ocurre a la invariancia gauge en mecánica cuántica, es mejor que te leas este otro post, bastante más atractivo a nivel conceptual.

¿Dónde se esconden las relaciones de indeterminación en la integral de camino de Feynman?

En las formulaciones de Heisenberg y de Schrödinger de la mecánica cuántica, los observables están representados por operadores hermíticos en el espacio de Hilbert de todos los posibles estados cuánticos. Sus autovalores son los posibles resultados al realizar la medición del observable, y sus autovectores son los estados cuánticos en los que ese observable toma un valor bien definido. Si llamamos $\hat{A}$ a uno de estos operadores, el estado cuántico $|\psi\rangle$ en el que se encuentra el sistema será, en general, una superposición de autoestados correspondientes a diferentes autovalores de $\hat{A}$, de tal manera que, en ese estado cuántico, el observable correspondiente a $\hat{A}$ no toma un valor bien definido. Es importante remarcar que lo que ocurre no es que el sistema cuántico sí tiene un valor de $\hat{A}$, pero que está oculto para nosotros. Lo que pasa en este caso es que, en ese estado cuántico, entre las propiedades del sistema no está el tomar un valor de $\hat{A}$ bien determinado.

Cualquier estudiante que esté en el ecuador de sus estudios universitarios de Física sabe que el grado de indeterminación del observable $\hat{A}$ en ese estado cuántico $|\psi\rangle$ se puede cuantificar como el módulo de un vector $|\psi_A\rangle$ $$
\Delta A = | |\psi_A\rangle | \>,
$$ donde $|\psi_A\rangle$ es un vector que se obtiene, a partir de $|\psi\rangle$, realizando la operación $$
|\psi_A\rangle= (\hat{A}-\langle A\rangle \hat{I})|\psi\rangle \>.
$$ Aquí $\hat{I}$ es el operador identidad, y$$
\langle A\rangle = \langle \psi | \hat{A} |\psi \rangle
$$ es el valor esperado de $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$. Es sencillo comprobar que, si realizamos muchas mediciones de $\hat{A}$, estando en todas ellas el sistema previamente en el estado $|\psi\rangle$, entonces $\Delta A$ coincide con la desviación típica de los resultados $$
\Delta A= \sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}
$$

La característica principal que tiene la mecánica cuántica, que la hace completamente diferente a la física anterior, es que los operadores que se utilizan para describir los observables físicos en general no conmutan. Si llamamos $\hat{B}$ a uno de los operadores que no conmuta con $\hat{A}$ $$
[\hat{A},\hat{B}]\neq 0
$$ entonces se puede ver que la desigualdad de Schwarz, aplicada a los estados $| \psi_A\rangle$ y $| \psi_B\rangle$, $$
\langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle \geq  | \langle \psi_A | \psi_B \rangle |^2 \geq (\operatorname{Im} \langle \psi_A | \psi_B \rangle )^2 \>,
$$ conduce a la relación de indeterminación $$
\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle  \psi | [\hat{A},\hat{B}]   |\psi  \rangle|
$$
El significado físico de esta relación es que, si el conmutador es no nulo, es imposible encontrar algún estado cuántico en el que ambos observables estén bien determinados y, cuanto más determinado esté el observable $\hat{A}$ en un estado cuántico, más indeterminado estará $\hat{B}$ en ese estado, ya que el producto de las indeterminaciones no puede ser inferior a $\frac{1}{2} |\langle  \psi | [\hat{A},\hat{B}]   |\psi  \rangle|$. Por ejemplo, si tomamos $\hat{A}=\hat{x}$ y $\hat{B}=\hat{p}$, como el conmutador entre la coordenada $\hat{x}$ y su momento correspondiente $\hat{p}$ es $$
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \hat{I}
$$ lo que se obtiene es la famosa relación de indeterminación de Heisenberg $$
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$
Sin embargo, hay otra formulación de la mecánica cuántica, equivalente a la de Heisenberg y a la de Schrödinger, en la que los observables no entran como operadores en el espacio de Hilbert de estados cuánticos. Se trata de la formulación de la integral de camino de Feynman. Para una persona que no conozca esta formulación de la mecánica cuántica, puede ser conveniente estudiar qué ocurre en un caso sencillo, como el interferómetro de Mach-Zehnder, donde se produce interferencia entre dos caminos. Para saber si esta interferencia es constructiva o destructiva hay que estudiar la diferencia entre las fases asociadas a cada camino, teniendo cuidado de no equivocarnos en el cálculo de cada una de las fases. Con este ejemplo sencillo se puede ver con claridad que, para que las probabilidades de que el fotón llegue a los distintos detectores sumen uno, lo que hay que sumar de cada camino para calcular la interferencia no es la probabilidad, sino la amplitud de probabilidad.

Dado que los dos caminos en el interferómetro contribuyen al patrón de interferencias, tenemos que admitir que el fotón que es detectado por el detector en el que hay interferencia constructiva no ha seguido ninguno de los dos camino de forma bien definida: entre las propiedades del fotón no está el haber seguido una trayectoria bien determinada. Podemos colocar los detectores de otra manera, para comprobar si el fotón se refleja o no en el primer espejo semireflector, pero entonces el observable que antes sí tomaba un valor bien definido (el que decía que el fotón acabará con probabilidad 1 en el detector donde se producía interferencia constructiva), ahora ya no toma ningún valor bien definido. Tenemos así un ejemplo sencillo de dos observables incompatibles, como $\hat{A}$ y $\hat{B}$ en el ejemplo anterior.

De todo esto se deduce que, para poder calcular la amplitud de probabilidad de que el fotón llegue, desde la fuente $a$ hasta un detector $b$ que haya en el interferómetro de Mach-Zehnder, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino. $$
\Phi(a,b)=\Phi_1+\Phi_2
$$
Pero, ¿qué ocurre si vamos modificando el experimento poco a poco para que cada vez sean más los caminos accesibles al fotón? En ese caso tenemos $$
\Phi(a, b) = \sum _{{\rm todos \>  los \>caminos \> desde} \> a \> {\rm hasta} \> b} \>
\Phi_i \>.
$$ Todos los caminos tienen que contribuir con una amplitud de probabilidad $\Phi_i$ del mismo módulo, pero con argumentos (fases) distintos, para que pueda haber interferencias. Como, además, estos $\Phi_i$ tienen que ser funcionales del camino $x(t)$, podemos escribir $$
\qquad \Phi(a, b) = \sum _{{\rm todos \>  los \>caminos \> desde} \> a \> {\rm hasta} \> b} \> e^{i S [x (t)] / \hbar} \>, \qquad
$$ donde $S[x(t)]$ es la fase asociada al camino $x(t)$, multiplicada por $\hbar$ para que tenga unidades de acción. Al tratarse de un continuo de caminos, este sumatorio tiene que ser, en realidad una especia de integral, $$
\Phi(a, b) = \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}\>,
$$ y este es el motivo por el que se le denomina integral de camino de Feynman.

Una de las ventajas que tiene la formulación de la integral de camino de Feynman es que en ella se ve con claridad por qué los números complejos son necesarios en mecánica cuántica. Es el hecho de que la fase asociada a cada camino sea el argumento de un número complejo lo que hace que pueda haber interferencias, ya que, al crecer ésta, la dirección a la que apunta ese número complejo va girando sin que por ello éste cambie de módulo.

Aquellos caminos cuyas amplitudes asociadas sean números complejos de argumento similar dan lugar a interferencia constructiva, de la misma manera que las fuerzas que se aplican sobre un objeto en una misma dirección colaboran para acelerar ese objeto en esa dirección.

En cambio, aquellos caminos cuyas amplitudes tengan argumentos que difieran en $\pi$ radianes darán contribuciones a la amplitud de probabilidad opuestas y se cancelarán, dando interferencia destructiva, de la misma manera que fuerzas del mismo módulo que se aplican en sentidos opuestos sobre un cuerpo no contribuyen a acelerarlo.

Otra de las ventajas de esta formulación es que con ella el límite clásico ($ \hbar \to 0 $) se puede hacer de forma inmediata, ya que, cuando las acciones de todos los caminos son mucho mayores que $\hbar$ ($ S \gg \hbar $), lo que tenemos son giros muy rápidos de los números complejos, incluso aunque correspondan a trayectorias muy parecidas. Se puede decir que cada camino da lugar a un número complejo del mismo módulo, pero de dirección aleatoria.

Al sumar todos estos números complejos que apuntan en todas direcciones se obtiene cero (interferencia destructiva al sumar todos esos caminos), salvo para aquellos caminos cuya fase sea estacionaria  $$
\delta S = 0 \>,
$$ ya que entonces los caminos cercanos a ellos tiene una fase muy parecida, con lo que no hay cancelación. Es decir, en este límite los únicos caminos que contribuyen son los que está muy cerca del camino que hace extrema a S. Vemos, por tanto, que en el límite clásico $S$ se comporta como la acción, y por eso la podemos identificar como la acción de la teoría clásica que surge como el límite $ \hbar \to 0 $ de la teoría cuántica con la que estamos trabajando. En este límite sí podemos decir que la partícula ha seguido una trayectoria más o menos bien definida: la que hace a la acción extremal.

Pero volviendo a las condiciones en las que las acciones no son mucho más grandes que $\hbar$, es decir, a las condiciones en las que los efectos cuánticos sí son importantes, nos surge la siguiente pregunta. Dado que la formulación de Feynman de la mecánica cuántica es equivalente a las de Heisenberg y Schrödinger, las relaciones de indeterminación tienen que estar escondidas en algún sitio. Una característica sorprendente de las integrales de camino es que con ellas se trabaja con números reales y complejos, en vez de con operadores que no conmutan. ¿Dónde están escondidas, por tanto, las relaciones de indeterminación en esta formulación? Eso es lo que vamos a analizar en este artículo.