Por qué a toda simetría continua le corresponde una cantidad conservada

Uno de los teoremas más importantes en física es el teorema que dice que:

"A toda simetría global diferenciable que tenga un sistema físico le corresponde una cantidad que se conserva"

Este teorema se denomina primer teorema de Noether, en honor a la gran matemática Emmy Noether, quien lo demostró en 1915 en el contexto de la mecánica clásica (tanto relativista como no relativista, pero no cuántica). Por cierto, Noether forma parte del grupo de científicos y profesores punteros en su campo que perdieron su empleo a causa de la intolerancia de los nazis en cuando llegaron al poder, ya que estos inmediatamente aprobaron una ley que impedía a judíos y comunistas trabajar en la universidad y en organismos públicos. Esto ocurrió antes del holocausto y de la segunda guerra mundial. Es importante recordarlo para que no se vuelva a repetir.

Esta relación entre simetrías y leyes de conservación que estableció Noether constituye una de las ideas más potentes que ha tenido el ser humano. Las leyes de conservación son un instrumento muy útil para poder averiguar cómo cambian las magnitudes de un sistema físico con el tiempo. Saber que hay cantidades que no cambian nos permite escribir ecuaciones (igualdades) donde las incógnitas son las magnitudes que sí cambian. Podemos así utilizar las magnitudes que no cambian para averiguar cómo cambian las magnitudes que sí cambian.

Por otro lado, las simetrías de un sistema físico están relacionadas con su aspecto estético. Por ejemplo, una esfera es bella porque, la rotes como la rotes, se queda igual. El teorema de Noether nos relaciona, por tanto, de cierta manera la belleza con la utilidad en física. Pragmatismo y estética van de la mano.

Sin embargo, para el estudiante de física a primera vista no resulta tan evidente que una simetría continua implique una cantidad conservada. Aparentemente son dos cosas que no tienen nada que ver. ¿A qué se debe esta relación?

Por otro lado, hoy sabemos que el mundo no es clásico, sino cuántico, y que la mecánica clásica no es más que una aproximación del comportamiento de los sistemas físicos en cierto límite. Por tanto, la demostración original de Noether no nos sirve para las leyes fundamentales de la naturaleza. ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Noether en mecánica cuántica?

Estas dos preguntas son las que vamos a responder en este post.

Las transformaciones continuas en mecánica cuántica

La mecánica cuántica ha cambiado para siempre nuestra concepción del mundo físico, de la teoría de la información y hasta de los objetos matemáticos. Un ejemplo de esto último es lo que ocurre con los grupos de transformaciones. La forma en la que un grupo $G$ de transformaciones actúa sobre un sistema físico puede ser muy complicada. El sistema físico puede ser altamente no lineal y tener una estructura geométrica altamente no trivial. Sin embargo, el principio de superposición de estados cuánticos nos dice que en mecánica cuántica los estados en los que se puede encontrar todo sistema físico son elementos de un espacio vectorial $\mathcal{H}$, ya que cualquier combinación lineal de varios estados cuánticos representa otro estado cuántico posible para el sistema. Esto significa que a cada elemento $g$ del grupo $G$, al actuar sobre el sistema físico, le corresponde una transformación lineal $\pi(g)$, un operador, que actúa sobre este espacio vectorial de estados cuánticos. Y las transformaciones lineales son mucho más fáciles de estudiar. Además, esas transformaciones tienen que ser unitarias, ya que éstas son las únicas que conservan la probabilidad total, ya que la suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos en mecánica cuántica tiene que ser siempre igual a uno, por muchas transformaciones que apliquemos al sistema físico.

Se dice que el conjunto de todas estas transformaciones lineales sobre el espacio de estados cuánticos forma una representación del grupo $G$ sobre el espacio $\mathcal{H}$. Más concretamente, una representación es una función $\pi$ que asocia, a cada elemento $a$ de un grupo, su correspondiente transformación lineal $\pi(a)$ en un espacio vectorial, de manera que la estructura del grupo se respete, es decir, que da lo mismo componer dos transformaciones y hallar la representación del resultado, que componer las representaciones de cada transformación. Matemáticamente, se escribe

$$ \pi(b) \cdot \pi(a)=\pi(ba)$$
Es evidente que mapear todos los elementos de un grupo a la transformación identidad en un espacio vectorial es trivialmente una representación, que se denomina representación trivial o escalar. Lo interesante para los matemáticos es estudiar las representaciones no triviales de los distintos grupos que reproduzcan la estructura de los mismos de forma fiel. A la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{H}$ sobre el que actúan los operadores $\pi(g)$ se la denomina dimensión de la representación $\pi$. También es interesante desde el punto de vista matemático estudiar cuáles son las representaciones irreducibles de cada grupo $G$. Éstas son aquellas que no tienen subrepresentaciones, es decir, donde no hay ningún subespacio vectorial propio $\mathcal{H}^\prime \subset \mathcal{H}$ tal que $\pi$ actuando sobre $\mathcal{H}^\prime$ sea una representación. Esto es así porque, dadas dos representaciones $\pi_1$ y $\pi_2$ actuando sobre dos espacios vectoriales $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$, siempre es posible construir la representación suma directa $\pi_1 \oplus \pi_2$ que actúa sobre el espacio vectorial suma directa $ \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$ generado por el conjunto de vectores que surge al unir el conjunto de los vectores de una base de $ \mathcal{H}_1 $ con el de una base de $\mathcal{H}_2$. En notación matricial:

En física, sin embargo, lo interesante es saber en cada caso concreto bajo qué representaciones transforman los estados cuánticos de cada sistema físico. Como todas estas representaciones tienen que ser unitarias, los operadores $\pi(g)$ tienen que ser todos unitarios, es decir, su adjunto debe ser igual a su inverso. A este tipo de representaciones del grupo $G$ se las denomina representaciones unitarias. Como las transformaciones unitarias en un espacio vectorial conservan el producto escalar, vectores que eran ortogonales lo siguen siendo después de esa transformación. Esto hace que toda representación reducible se pueda escribir como suma directa de representaciones irreducibles, aunque puede ser difícil encontrar la base en la que ésta se exprese en forma de bloques en la diagonal, como en la matriz anterior.

Álgebra de Lie del grupo U(1)

Como todo elemento de U(1) se puede escribir de la forma $e^{i\theta}$, con $\theta$ un parámetro real, se dice que la unidad imaginaria $i$ es la generadora del grupo U(1). Esta terminología se debe a que todo elemento del grupo infinitesimalmente cercano al elemento neutro (transformación identidad), se puede escribir como

$$ e^{i\theta} \sim 1+i\theta $$

ya que $\theta$ es pequeño, con lo que se puede llegar a él sumando cantidades proporcionales a la unidad imaginaria. Análogamente, como a este elemento le corresponde el operador $e^{-iL_z\theta}$ en la presentación $\pi$, en la que el grupo actúa sobre el espacio vectorial de estados de la partícula cuántica, se dice que el operador antihermítico $X=-iL_z$ es el generador de la acción del grupo de rotaciones U(1) sobre el espacio de estados. Como a los físicos nos gusta trabajar mejor con observables mecanocuánticos, que son operadores hermíticos, a quien llamamos generador de las rotaciones, abusando del lenguaje, es a $L_z$. es decir, el momento angular $L_z$ es el generador de la acción del grupo de rotaciones U(1) sobre el espacio de estados.

Los matemáticos normalmente utilizan un lenguaje diferente. U(1) es un grupo de Lie, un conjunto que, además de tener estructura de grupo, tiene estructura de variedad diferencial, en este caso de dimensión real 1. El espacio tangente a esta variedad en el punto donde se encuentra el elemento neutro tiene dimensión real 1, y está generado por la unidad imaginaria $i$. Es decir, todo vector de ese espacio tangente es de la forma $i\theta$. A ese espacio tangente se le denomina álgebra de Lie del grupo U(1). La unidad imaginaria $i$ es, por tanto, el generador del álgebra de Lie del grupo U(1), que se denota como u(1) y es simplemente la recta real (mejor dicho, la recta imaginaria).

La representación unitaria $\pi$ no es más que una función entre el grupo de Lie U(1) y el grupo de Lie de las transformaciones unitarias que actúan sobre el espacio de estados del sistema cuántico. Como tal, tiene que tener una derivada $\pi^\prime$, que no es más que una función lineal que va desde el álgebra de Lie del grupo U(1) hasta el espacio tangente en la identidad del grupo de Lie de transformaciones unitarias del espacio de estados

$$ \pi^\prime (i\theta)=\theta \frac{d}{d\theta^\prime} \pi(e^{i\theta^\prime}) \arrowvert_{\theta^\prime=0}=\theta \frac{d}{d\theta^\prime} e^{-iL_z\theta^\prime}\arrowvert_{\theta^\prime=0}=-iL_z\theta $$

Las álgebras de Lie y sus representaciones

Esto es algo que no ocurre sólo con el grupo U(1), sino con cualquier otro grupo de Lie, solo que en general el álgebra de Lie del grupo va a ser un espacio vectorial de dimensión real superior a 1, generado por operadores $X$ que no conmutan entre ellos en el caso general de grupo no abeliano. En concreto, el álgebra de Lie del grupo $G$ se define como el espacio de matrices $X$ tales que $$

e^{tX}\in G

$$ para cualquier número real $t$. Es importante señalar que, ni todos los elementos de $G$ tienen por qué poder expresarse de esa manera, ni tiene por qué ocurrir que cada $t$ dé un elemento de $G$ distinto. Lo que sí ocurre es que cada vector del álgebra de Lie $X$ nos define un camino en $G$ que pasa por el elemento neutro (cuando $t=0$) con vector velocidad

$$ \frac{d}{dt} \left( e^{tX} \right) \arrowvert_{t=0}=X $$

Lo que hemos visto que ocurre con las representaciones del grupo U(1) también se cumple para representaciones de otros grupos G, aunque no sean unitarias. En este caso lo que tenemos es que $\pi \left(  e^{tX} \right) $ es un camino en el espacio de transformaciones lineales del espacio vectorial sobre la que actúa la representación, que también pasa por la transformación identidad cuando $t=0$, y que tiene como vector velocidad en ese punto

$$ \pi^\prime(X)= \frac{d}{dt} \pi \left( e^{tX} \right) \arrowvert_{t=0} $$

Se dice entonces que $\pi^\prime$ es la representación del álgebra de Lie del grupo G. Nótese que $\pi^\prime$ queda unívocamente determinada por la representación del grupo de Lie $\pi$. Además, se puede demostrar fácilmente que

$$ e^{t\pi^\prime(X)}=\pi \left( e^{tX} \right) $$

El hecho de que el álgebra de Lie sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales nos permite definir una representación especial del grupo de Lie, denominada representación adjunta, en la que el elemento $g$ actúa sobre el operador $X$ del álgebra de Lie mediante la siguiente operación

$$ (Ad(g))(X)=gXg^{-1} $$

En el caso del grupo U(1), por ser abeliano, la representación adjunta es trivial. Esto quiere decir que el operador momento angular $L_z$ no cambia cuando realizamos una rotación en torno al eje $Z$. Sin embargo, si el grupo $G$ es no abeliano, entonces en general los generadores $X$ del grupo sí van a cambiar cuando se hace una transformación que pertenezca a $G$. Si esa transformación ha sido generada por el operador $Y$, entonces la versión infinitesimal de ese cambio, que es también un elemento del álgebra de Lie, es

$$ \frac{d}{dt} (e^{tY}Xe^{-tY}) \arrowvert_{t=0}=[Y,X] $$

igual al conmutador de $Y$ con $X$. Por tanto, este conmutador nos mide cómo cambia infinitesimalmente $X$ ante una transformación generada por $Y$. Por ello, la representración del álgebra de Lie del grupo $G$ que corresponde a la representación adjunta $Ad$ del grupo es $$

ad(Y)(X)=[Y,X]

$$ Y este es el motivo por el que los matemáticos llaman a este conmutador corchete de Lie. Sólo cuando los dos operadores conmutan, la transformación que genera uno de ellos deja invariante al otro y. además, sabemos que los observables asociados a ambos operadores pueden tomar valores bien definidos simultáneamente. Pero el carácter no abeliano del grupo $G$ se traduce en que estos conmutadores no son nulos en general. La estructura del grupo $G$ da lugar a una estructura de corchetes de Lie en su espacio tangente, que es el álgebra de Lie del grupo $G$. Y este es el motivo por el que a este espacio tangente se le denomina álgebra de Lie: además de tener estructura de espacio vectorial, tiene un corchete de Lie asociado.

Las fórmulas correspondientes para la representación $\pi$ de $G$, que es la que actúa sobre el espacio de estados cuánticos, son

$$ \pi^\prime(gXg^{-1})=\pi(g)\pi^\prime (X) (\pi (g))^{-1}$$
$$\pi^\prime ([Y,X])=[ \pi^\prime (Y) , \pi^\prime (X) ] $$

Por tanto, la representación $\pi^\prime$ hereda la misma estructura de conmutadores que el álgebra de Lie que representa.

El teorema de Noether en mecánica cuántica

El estado cuántico del sistema cambia con el tiempo, de tal forma que las amplitudes de probabilidad de los distintos sucesos mecanocuánticos irán cambiando, pero las probabilidades tienen que seguir sumando uno. Además, la evolución temporal de dos estados mecanocuánticos excluyentes (perpendiculares entre sí) tiene que dar lugar a otros dos estados qur también sean excluyentes y esta evolución tiene que ser lineal, por el segundo principio de superposición de los estados cuánticos. Los estados mecanocuánticos irán, por tanto, cambiando según cierta transformación unitaria cuya representación en el espacio de estados llamamos $\hat{U}(t)$. Podemos entender esta transformación unitaria como una representación del grupo de los números reales (la recta temporal) actuando sobre el espacio vectorial de los estados cuánticos del sistema.

Si llamamos $\psi(t_o)$ a la función de onda del sistema cuántico en un instante $t_o$ dado, el resultado de aplicar el operador evolución $\hat{U}(t)$ a la función de onda es:

$$ \psi(t+t_o)=\hat{U}(t) \psi(t_o) $$

Por otro lado, el desarrollo de Taylor de la función $\psi(t+t_o)$ en torno a $t=0$ es

$$ \psi(t+t_o)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\frac{d^{(n)}\psi}{dt}(t_o)t^n=e^{t\frac{d}{dt_o}}\psi(t_o) $$

coincide con el de la función exponencial si aceptamos que pueda haber un operador derivada en el exponente. La conclusión es que el operador evolución en mecánica cuántica se puede escribir como una exponencial de un operador hermítico

$$ \hat{U}(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t} $$

donde a $\hat{H}=i\hbar\frac{d}{dt_o}$ se le denomina operador hamiltoniano del sistema. Por tanto, el operador hamiltoniano (multiplicado por $-i$) es un vector perteneciente al álgebra de Lie correspondiente a una representación del grupo de traslaciones temporales sobre el espacio vectorial de estados cuánticos del sistema, es decir, el generador de esas traslaciones temporales en esa representación. Nótese que en el caso de la evolución temporal hay un convenio de signos diferente al que hemos usado para las rotaciones y se usa para el resto de transformaciones. Con este último convenio, el generador de las traslaciones temporales no es $H$, sino $-H$. Por tanto, el vector generador del álgebra de Lie es $X=+iH$, mientras que para las rotaciones $X=-iL_z$. El motivo de que se haga así para el hamiltoniano está en la signatura del espacio-tiempo en relatividad, donde el signo para la componente del cuadrivector correspondiente a la energía es el contrario que para las componentes correspondientes a la cantidad de movimiento. Esto hace que el operador unitario que convierte a la función de onda $\psi(t_0)$ en $\psi(t_0-t)$ sea

$$ e^{+itH}$$

Sin embargo, el operador evolución temporal que transforma a la función de onda $\psi(t_0)$ en $\psi(t_0+t)$ tiene que ser entonces $$
\hat{U}(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}
$$

En mecánica cuántica, los generadores de transformaciones unitarias son operadores hermíticos que representan físicamente a los observables. En este caso, el observable que representa el hamiltoniano es la energía. Los autovalores de este operador son, por tanto, los posibles valores de la energía del sistema. Si el hamiltoniano de un sistema es independiente del tiempo, entonces los autovectores del hamiltoniano, al serlo también del operador evolución, sólo cambian ante una evolución temporal con un factor de fase $$ e^{-\frac{i}{\hbar}Et}=\cos(Et/\hbar)-i\sin(Et/\hbar),$$

siendo $E$ el autovalor correspondiente. La dependencia temporal de estos estados, que se denominan estacionarios, es la de un oscilador armónico clásico con frecuencia angular $\omega=E/\hbar$. Al seguir siendo autovectores del hamiltoniano con el mismo autovalor, la energía del sistema sigue siendo la misma. Es una cantidad que se conserva.

Consideremos ahora el grupo de Lie $G$ generado tanto por las rotaciones en torno al eje $Z$ como por la evolución temporal del sistema cuántico. La acción de este grupo sobre el espacio de estados del sistema viene dada por una representación en el que a cada ángulo $\theta$ de rotación y cada tiempo $t$ transcurrido le corresponde un operador unitario

$$ U(\theta, t)=e^{-i\theta L_z-itH} $$

Vemos, por tanto, que en este caso el álgebra de Lie del grupo es un espacio vectorial real de dimensión 2, y está generado, al menos en su representación $\pi^{prime}$ sobre el espacio de estados, por los operadores antihermíticos $-iL_z$ y $-iH$. Para un sistema cuántico general las rotaciones en torno al eje $Z$ no conmutan con las traslaciones temporales, con lo que el grupo $G$ no es abeliano. Esto se traduce en su álgebra de Lie en que en que el generador de las rotaciones y el de la traslación temporal no conmuta, con lo que sus correspondientes representaciones sobre el espacio de estados del sistema, $L_z$ y $H$, no conmutan. Esto significa físicamente que para la mayoría de los sistemas cuánticos que uno pueda imaginar estos dos observables no pueden estar bien definidos simultáneamente. Si este es el caso, al realizar una rotación, en vez de considerar que lo que cambia es el estado cuántico, podemos considerar que el hamiltoniano del sistema cambia de acuerdo con la representación adjunta

$$
H^\prime= e^{-i \theta L_z} H e^{+i \theta L_z}
$$ con lo que, si esta rotación es infinitesimal $$
H^\prime = H -id\theta [L_z, H]
$$ Por otro lado, al evolucionar con el tiemplo, en vez de considerar que es el estado del sistema el que cambia, podemos considerar que es el operador momento angular el que cambia de la forma $$
L_z(t)= e^{itH} L_z e^{-itH}
$$ A $L_z(t)$ se le denomina operador momento angular en la imagen de Heisenberg. Trascurrido un tiempo infinitesimal, este operador cambia de la forma $$
\frac{dL_z}{dt} (t)=-i [L_z,H]
$$

Por tanto, el conmutador $[L_z,H]$ nos mide simultáneamente dos cosas: cómo cambia la energía al realizar una rotación sobre el sistema, y cómo cambia el momento angular cuando el sistema evoluciona con el tiempo. ¿Qué ocurre en aquellos sistemas físicos en los que el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones en torno al eje $Z$? En ese caso, como $H$ y $L_z$ conmutan, también ocurre que el operador momento angular en la imagen de Heisenberg no cambia con el tiempo. Es decir, los sistemas cuánticos con hamiltoniano simétrico bajo rotaciones son los mismos que aquellos en los que el momento angular se conserva. Obtenemos así la versión mecanocuántica del teorema de Nöether.

Es evidente que esto que hemos hecho con las rotaciones también se cumple para el resto de transformaciones diferenciables. Si el sistema cuántico posee la simetría de ser invariante ante todos los elementos de un grupo de Lie $G$, entonces los operadores unitarios que representan la acción de $G$ sobre los estados cuánticos conmutan con el operador evolución temporal. Esto hace que los generadores de esas representaciones unitarias, que son operadores hermíticos, también conmuten con el operador evolución y con el hamiltoniano. Las magnitudes físicas que representan estos operadores hermíticos serán, por tanto, también cantidades conservadas. Además, por el lema de Schur, el hamiltoniano, al conmutar con los operadores que implementan las representaciones unitarias de ese grupo de simetrías, tiene que ser proporcional al operador identidad dentro de cada representación. Esto significa físicamente que todos los estados de una misma representación de ese grupo de simetrías son degenerados, tienen todos la misma energía. Por tanto, cuando un sistema cuántico tiene una simetría, el espacio vectorial de todos los estados que tienen una misma energía va a ser siempre una representación de ese grupo de simetría. Además, esa representación, por ser unitaria, va a ser siempre una suma directa de representaciones irreducibles del grupo $G$. Justo esta idea ha permitido encontrar una sorprendente conexión entre la teoría de representaciones de grupos y las funciones modulares, conexión para la que, por cierto, ha sido necesaria la teoría de cuerdas, que no sólo es hoy en día una herramienta fundamental para todo físico teórico que quiere estar al día en su disciplina, sino también para cualquier matemático.

El teorema de Noether en mecánica clásica

En mecánica clásica, cada estado del sistema viene caracterizado por un punto de coordenadas $(q,p)$ del espacio de fases. El espacio de fases puede ser muy complicado, incluso singular, y estudiar cómo actúan sobre este espacio las transformaciones que se le hagan al sistema físico es mucho más complicado que en mecánica cuántica, donde el espacio de estados es lineal.

Por eso, la forma más sencilla de demostrar el teorema de Noether en mecánics clásica es tratar se emular lo que se hace en mecánica cuántica, lineanizando el problema de alguna manera. La técnica que hay que aplicar aquí es una técnica estándar en la matemática moderna: si trabajamos, en vez de con un espacio, con las funciones en ese espacio, entonces las transformaciones sobre ese espacio se hacen mucho más tratables.

En física clásica, cualquier función $f(q,p)$ representa un observable concreto. Si el hamiltoniano del sistema fuera igual al observable $f(q,p)$, entonces el estado del sistema evolucionaría con el tiempo según las ecuaciones de Hamilton

$$\dot{q}=\frac{\partial f}{\partial p}$$

$$\dot{p}=-\frac{\partial f}{\partial q}$$

que pueden escribirse en términos del corchete de Poisson de la forma

$$\dot{g}=\{  g,f \}$$

donde

$$\{ g,f \}= \frac{\partial g}{\partial q} \frac{\partial f}{\partial p} -  \frac{\partial g}{\partial p} \frac{\partial f}{\partial q} $$

Cuando el observable $f(q,p)$ no es el hamiltoniano del sistema, podemos interpretar estas ecuaciones como las ecuaciones que nos dicen cómo cambia el estado clásico del sistema físico cuando realizamos sobre éste una transformación generada por el observable $f(q,p)$. Por ejemplo, el observable $p$ genera la transformación

$$\frac{dq}{da}=\{  q,p  \}=1 \Rightarrow   q(a) = q(0) + a$$

que no es más que una traslación en la coordenada $q$. Físicamente, por tanto, el corchete de Poisson $ \{ g,f  \} $ nos dice cómo cambia en mecánica clásica el observable $g$ cuando realizamos sobre el sistema físico la transformación que genera el observable $f$. Matemáticamente se dice que el observable $f$ actúa como la aplicación momento (moment map) de un campo vectorial en el espacio de fases. Esto no es más que una forma pedante de decir que a cada función $f(q,p)$ le corresponde un campo vectorial $X_f$ que asocia a cada función $g(q,p)$ otra función

$$ X_f(g)=\{ g,f \} $$

Este campo vectorial es el que nos da el vector velocidad (cuidado, "velocidad" en el espacio de fases) asociado a las trayectorias en el espacio de fases que nos dan cómo evoluciona el sistema físico al aplicar la transformación que genera $f$. Esta transformación es lo que los físicos conocemos como "transformación canónica", ya que preserva los corchetes de Poisson.

Como el corchete de Poisson es antisimétrico, bilineal y, además, satisface la identidad de Jacobi, matemáticamente se dice que el corchete de Poisson es el corchete de Lie que asigna al espacio de funciones en el espacio de fases la estructura de álgebra de Lie. De hecho este álgebra de Lie, que tiene dimensión infinita, fue históricamente el primer álgebra de Lie que se estudió, aunque claramente es más complicado que las álgebras de Lie con las que hemos trabajado antes en mecánica cuántica, ya que en mecánica cuántica tenemos la linealidad del espacio de Hilbert, pero aquí no.

La aplicación que asocia a cada $f$ el campo vectorial $-X_f$ es un homomorfismo entre el álgebra de Lie de las funciones en el espacio de fases y el álgebra de Lie de los campos vectoriales en el espacio de fases. Pero nótese que este homomorfismo no es inyectivo, ya que al añadir una constante a $f$ el correspondiente $X_f$ no cambia. Tampoco es suprayectivo, porque no todos los campos vectoriales en el espacio de fases se pueden escribir de la forma $$ X_f(g)=\{ g,f \} $$.

El requerimiento físico de que el corchete de Poisson sea igual a una derivada nos obliga a que este corchete de Lie tenga una propiedad extra: debe obedecer la regla de derivada del producto de Leibniz. Esto hace que, al menos para las funciones polinomiales en el espacio de fases, el corchete de Poisson esté determinado únicamente por sus valores sobre las funciones lineales, ya que el cálculo de todos los demás se reducen a los de las funciones lineales aplicando la regla de Leibniz. Estos valores de los corchetes de Poisson de las funciones lineales nos definen una forma simpléctica en el espacio de fases dual (el espacio generado por las coordenadas $q$ y $p$)

$$ \Omega (g,f) = \{ g,f \} $$

Nótese que $\Omega (g,f) $ es una aplicación bilineal antisimétrica y no degenerada que dota al espacio de fases dual de la estructura de espacio simpléctico. Y este es el motivo por el que los matemáticos a las transformaciones canónicas las llaman simplectomorfismos. Al preservar los corchetes de Poisson preservan también la forma simpléctica que se define a partir de éstos.

Una vez hemos puesto apunto toda la maquinaria de las álgebras de Lie, vemos, por tanto, que en mecánica clásica ocurre lo mismo que en mecánica cuántica, ya que el campo vectorial

$$ X_H(g)=\{ g,H \} $$

es el que nos da el vector velocidad asociado a las trayectorias en el espacio de fases que nos dan cómo evoluciona el sistema físico al aplicar la transformación que genera el hamiltoniano $H$, es decir, nos dice cómo evoluciona con el tiempo la magnitud física $g$. Pero, a la vez, esta misma cantidad también coincide, por la antisimetría del corchete de Poisson, con cómo cambia el hamiltoniano $H$ a medida que cambiamos el sistema de acuerdo a la transformación generada por $g$.

$$ -X_g(H)=\{ g,H \} $$

Si el corchete de Poisson entre $H$ y $g$ es nulo, ocurre al mismo tiempo que la transformación que genera $g$ deja al hamiltoniano invariante y que $g$ no cambia con el tiempo. Este es el contenido del teorema original que demostró Noether, aunque ella no lo hizo así, y que ahora lo entendemos como un caso partícular del teorema correspondiente en mecánica cuántica aplicado en el límite en el que se puede hacer la aproximación de que el sistema es clásico. Recordemos que, en este límite, la relación entre los corchetes de Poisson y los conmutadores es:

$$ \widehat{\{f,g\}}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{f},\hat{g}] $$

Conclusión

Mientras que en mecánica cuántica los posibles estados del sistema, que nos dan un conocimiento máximo sobre éste, aunque no completo en el sentido clásico debido al principio de indeterninación, forman un espacio de Hilbert, que es un espacio vectorial lineal. Esta linealidad hace que las transformaciones sobre el sistema sean mucho más fáciles de tratar que en mecánica cuántica, donde los estados de máximo conocimiento, que son también estados de conocimiento completo, son puntos en un espacio de fases que puede ser muy complicado e incluso singular. Es un espacio con muchas menos restricciones que el espacio de Hilbert de los estados cuánticos. Los grupos de transformaciones son, por este motivo, mucho más fáciles de tratar en mecánica cuántica que en mecánica clásica.

El artículo original de Noether donde demuestra la relación entre las simetrías diferenciables de un sistema y las leyes de conservación en mecánica clásica es difícil de leer. Pero en mecánica cuántica es trivial ver esta relación entre leyes de conservación y simetrías. Esta relación viene de que la fórmula $[H,g]=0$, al ser el conmutador antisimétrico, se puede entender de dos maneras. Por un lado, se puede tratar como la ecuación que nos da la derivada temporal en la imagen de Heisenberg del operador $g$. Al ser cero, eso significa que $g$ es una cantidad conservada. Por otro lado, esa fórmula se puede entender como el cambio infinitesimal del hamiltoniano bajo las transformaciones generadas por $g$. Cuando es cero, podemos decir que $g$ genera una simetría. Por eso, siempre que haya una simetría, su generador $g$ se conserva en el tiempo, y siempre que un observable se conserva en el tiempo, entonces ese observable genera una simetría.

En el límite clásico esta demostración se sigue cumpliendo, pero cambiando los conmutadores por corchetes de Poisson, que son estructuras más complicadas. La mecánica cuántica hace que la demostración del teorema de Noether se más directa y sencilla. La linealidad del espacio de Hilbert de los estados cuánticos lo hace todo mucho más elegante. La mayor belleza de la mecánica cuántica frente a la mecánica clásica se pone también de manifiesto en lo que al teorema de Noether se refiere.

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

Referencias bibliográficas

• Stillwell J. (2008), Naive Lie theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
• Tapp K. (2016), Matrix groups for undergraduates, second ed., American Mathematical Society.
• Woit P. (2017): Quantum Theory, Groups and Representations. An Introduction. Springer International Publishing.