Problema 1
Enunciado
Un móvil se encuentra en el punto de abscisa x=2 m y se mueve en el sentido positivo del eje OX con velocidad constante de 5 m/s. Determina: a) la ecuación del movimiento b) el espacio que habrá recorrido al cabo de 20 s de iniciado el movimiento c) la posición en el instante t = 30 s d) instante en el que alcanza una posición de 350 m.
Solución explicada
Elegimos el origen del tiempo al comenzar la observación y mantenemos el eje OX del enunciado. La posición inicial es \(x_0=2\,\mathrm{m}\) y la velocidad es \(v=+5\,\mathrm{m/s}\).
a) Ecuación del movimiento. Sustituimos en la ecuación del MRU:
\[\boxed{x(t)=2+5t}\qquad (x\text{ en m},\ t\text{ en s}).\]En la gráfica posición–tiempo es una recta de pendiente \(5\,\mathrm{m/s}\), que corta el eje vertical en \(2\,\mathrm{m}\).
b) Espacio recorrido en 20 s. Como no cambia de sentido, la distancia recorrida es el valor absoluto del desplazamiento:
\[d=|v|\,t=5\cdot20=\boxed{100\,\mathrm{m}}.\]La posición final sería \(102\,\mathrm{m}\): posición y distancia recorrida no son lo mismo.
c) Posición en 30 s.
\[x(30)=2+5\cdot30=\boxed{152\,\mathrm{m}}.\]d) Instante en que alcanza 350 m. Igualamos la posición a 350 m y despejamos el tiempo:
\[350=2+5t\quad\Rightarrow\quad t=\frac{350-2}{5}=\boxed{69{,}6\,\mathrm{s}}.\]Problema 2
Enunciado
Un tren se encuentra a 20 km de una estación y se aleja de ella por una vía recta a una velocidad constante de 80 km/h. Determina la distancia que lo separará de la estación al cabo de 2 horas y el tiempo que tardará en llegar a una distancia de 260 km de la estación.
Solución explicada
Situamos el origen de posiciones en la estación y el sentido positivo hacia donde se aleja el tren. Tomamos \(t=0\) cuando está a 20 km. Con posiciones en km y tiempos en h:
\[x(t)=20+80t.\]La recta posición–tiempo tiene pendiente \(80\,\mathrm{km/h}\) y ordenada en el origen \(20\,\mathrm{km}\).
Distancia a la estación después de 2 h.
\[x(2)=20+80\cdot2=\boxed{180\,\mathrm{km}}.\]Tiempo hasta estar a 260 km. Debe recorrer 240 km adicionales, porque ya estaba a 20 km:
\[260=20+80t\quad\Rightarrow\quad t=\frac{260-20}{80}=\boxed{3\,\mathrm{h}}.\]Problema 3
Enunciado
Un coche pasa por un semáforo con una velocidad de 50 Km/h. Una motocicleta pasa 5 s después por el mismo lugar y a 60 km/h. Si circulan por una calle recta, calcular: a) la distancia en metros entre el semáforo y el punto en el cual la motocicleta alcanza al coche b) el tiempo que tarda la motocicleta en alcanzar al coche c) la distancia que separa a ambos móviles 20 segundos después de haberse producido el alcance.
Solución explicada
Tomamos el semáforo como \(x=0\), el sentido de circulación como positivo y \(t=0\) cuando pasa el coche. Convertimos las velocidades:
\[v_c=\frac{50}{3{,}6}=\frac{125}{9}\,\mathrm{m/s},\qquad v_m=\frac{60}{3{,}6}=\frac{50}{3}\,\mathrm{m/s}.\]El coche se mueve desde \(t=0\). La moto pasa por el semáforo en \(t=5\,\mathrm{s}\), así que su tiempo de viaje desde ese lugar es \(t-5\):
\[x_c(t)=\frac{125}{9}t,\qquad x_m(t)=\frac{50}{3}(t-5)\quad(t\geq5\,\mathrm{s}).\]Son dos rectas. La de la moto tiene mayor pendiente; su intersección representa el alcance. Al escribir \(x_m=(50/3)t-250/3\), la ordenada \(-250/3\,\mathrm{m}\) es la extrapolación de esa recta a \(t=0\); no necesitamos suponer cómo se movía la moto antes de pasar por el semáforo.
a) Lugar del alcance. Igualamos las posiciones, usando el mismo reloj:
\[\frac{125}{9}t=\frac{50}{3}(t-5)\Rightarrow125t=150t-750\Rightarrow t=30\,\mathrm{s}.\] \[x=\frac{125}{9}\cdot30=\frac{1250}{3}\,\mathrm{m}\approx\boxed{416{,}7\,\mathrm{m}}.\]b) Tiempo que tarda la moto. Los 30 s se cuentan desde el paso del coche; desde el paso de la moto transcurren:
\[\Delta t_m=30-5=\boxed{25\,\mathrm{s}}.\]c) Separación 20 s después del alcance. Parten de la misma posición en el alcance. La moto gana distancia a razón de la diferencia de velocidades:
\[d=(v_m-v_c)\cdot20=\left(\frac{50}{3}-\frac{125}{9}\right)20=\frac{500}{9}\,\mathrm{m}\approx\boxed{55{,}6\,\mathrm{m}}.\]La moto queda por delante. Esto también se obtiene restando \(x_m(50)-x_c(50)\).
Problema 4
Enunciado
Desde dos pueblos A y B separados una distancia de 20 km, salen al encuentro dos automóviles con velocidades respectivas de 72 km/h y 108 km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse, su posición en dicho instante, medida desde A, y la distancia que los separa al cabo de 5 minutos de iniciado el movimiento.
Solución explicada
Fijamos el origen en A, el eje positivo de A hacia B y \(t=0\) cuando salen simultáneamente. En km y h:
\[x_A(t)=72t,\qquad x_B(t)=20-108t.\]El segundo automóvil tiene velocidad negativa porque se mueve hacia A. Las pendientes son \(+72\) y \(-108\,\mathrm{km/h}\); las ordenadas en el origen son 0 y 20 km. El encuentro corresponde al cruce de las rectas.
Tiempo de encuentro.
\[72t=20-108t\Rightarrow180t=20\Rightarrow t=\frac19\,\mathrm{h}=\boxed{400\,\mathrm{s}}.\]Son 6 min y 40 s.
Posición medida desde A.
\[x=72\cdot\frac19=\boxed{8\,\mathrm{km}}.\]Separación después de 5 min. Como \(5\,\mathrm{min}=1/12\,\mathrm{h}\):
\[x_A=72\cdot\frac1{12}=6\,\mathrm{km},\qquad x_B=20-108\cdot\frac1{12}=11\,\mathrm{km}.\] \[d=|x_B-x_A|=|11-6|=\boxed{5\,\mathrm{km}}.\]Problema 5
Enunciado
La velocidad constante del sonido es de 340 m/s. ¿A qué distancia estará una tormenta si se oye el trueno 15 s después de haberse producido?.
Solución explicada
Tomamos el origen en el lugar donde se produce el trueno, el sentido positivo hacia el observador y \(t=0\) al producirse. Suponemos que los 15 s son el tiempo de propagación del sonido; si se cuentan desde que se ve el relámpago, despreciamos el tiempo de propagación de la luz.
\[x(t)=340t.\]La posición del frente sonoro a los 15 s coincide con la distancia del observador a la tormenta:
\[d=x(15)=340\cdot15=5100\,\mathrm{m}=\boxed{5{,}1\,\mathrm{km}}.\]Problema 6
Enunciado
Un móvil se desplaza según la ecuación x = 5 + 10·t (S.I.) a) calcula la posición del objeto cuando han transcurrido 15 s. b) el tiempo transcurrido hasta que el móvil se encuentra a 300 m del origen c) el tiempo necesario para que el móvil se desplace 1 km d) velocidad que lleva el móvil en m/s y en km/h.
Solución explicada
Comparamos \(x=5+10t\) con \(x=x_0+vt\). En el SI, \(x_0=5\,\mathrm{m}\) y \(v=+10\,\mathrm{m/s}\). En la gráfica, 5 m es la ordenada en el origen y 10 m/s es la pendiente.
a) Posición a los 15 s.
\[x(15)=5+10\cdot15=\boxed{155\,\mathrm{m}}.\]b) Tiempo hasta estar a 300 m del origen. Para tiempos posteriores al inicio, la posición es positiva; por tanto imponemos \(x=300\,\mathrm{m}\):
\[300=5+10t\Rightarrow t=\frac{300-5}{10}=\boxed{29{,}5\,\mathrm{s}}.\]c) Tiempo para desplazarse 1 km. Se pide un desplazamiento, no alcanzar la posición 1000 m. Por eso:
\[\Delta x=x(t)-x(0)=(5+10t)-5=10t.\] \[1000=10t\Rightarrow\boxed{t=100\,\mathrm{s}}.\]Al final estará en \(x=1005\,\mathrm{m}\).
d) Velocidad en las dos unidades.
\[\boxed{v=10\,\mathrm{m/s}=10\cdot3{,}6=36\,\mathrm{km/h}}.\]Problema 7
Enunciado
Un coche tarda 20 min en recorrer 30 Km y después tarda 10 min en recorrer 6 km. Calcula: a) la velocidad media en cada tramo b) la velocidad media en todo el recorrido.
Solución explicada
Suponemos que el coche sigue en el mismo sentido por una trayectoria recta. Así, el desplazamiento coincide con la distancia recorrida y podemos calcular \(\bar v=\Delta x/\Delta t\). Los datos permiten hallar velocidades medias; no aseguran que la velocidad instantánea sea constante en cada tramo.
a) Velocidad media de cada tramo.
\[\Delta t_1=20\cdot60=1200\,\mathrm{s},\qquad\Delta t_2=10\cdot60=600\,\mathrm{s}.\] \[\bar v_1=\frac{30000}{1200}=\boxed{25\,\mathrm{m/s}=90\,\mathrm{km/h}}.\] \[\bar v_2=\frac{6000}{600}=\boxed{10\,\mathrm{m/s}=36\,\mathrm{km/h}}.\]b) Velocidad media de todo el recorrido. Dividimos el desplazamiento total entre el tiempo total; no hacemos la media aritmética de las dos velocidades, porque los tiempos son distintos.
\[\bar v=\frac{30000+6000}{1200+600}=\boxed{20\,\mathrm{m/s}=72\,\mathrm{km/h}}.\]En una gráfica posición–tiempo, cada velocidad media es la pendiente de la secante que une los extremos del intervalo. Solo si cada tramo fuera un MRU, esas secantes serían también las rectas del movimiento.
Problema 8
Enunciado
Dos autobuses salen al mismo tiempo desde dos ciudades que distan 200 km con velocidades de 70 km/h y 90 km/h. a) ¿cuánto tiempo tardan en cruzarse? b) ¿qué espacio ha recorrido cada uno en ese intervalo?
Solución explicada
Interpretamos que los autobuses viajan uno hacia el otro por la misma carretera recta. Elegimos el origen en la ciudad del autobús de 70 km/h y el sentido positivo hacia la otra ciudad. Con \(t\) en h y \(x\) en km:
\[x_1(t)=70t,\qquad x_2(t)=200-90t.\]Las rectas tienen pendientes de signos opuestos. Para cruzarse, sus posiciones deben coincidir.
a) Tiempo de cruce.
\[70t=200-90t\Rightarrow160t=200\Rightarrow t=\boxed{1{,}25\,\mathrm{h}=1\,\mathrm{h}\ 15\,\mathrm{min}}.\]b) Distancia recorrida por cada uno.
\[d_1=70\cdot1{,}25=\boxed{87{,}5\,\mathrm{km}},\qquad d_2=90\cdot1{,}25=\boxed{112{,}5\,\mathrm{km}}.\]Comprobación: \(87{,}5+112{,}5=200\,\mathrm{km}\). La posición del encuentro, medida desde la primera ciudad, es 87,5 km. El valor 122,5 km que aparece en las soluciones del original es una errata.
Problema 9
Enunciado
Un coche y una moto parten del mismo punto con movimiento rectilíneo y uniforme. El coche tiene una velocidad de 80 km/h y la moto, que parte 10 min más tarde, 100 km/h. ¿cuánto tiempo tarda la moto en adelantar al coche?. ¿A qué distancia del origen se produce el encuentro?.
Solución explicada
Suponemos que circulan en el mismo sentido. Elegimos el punto de partida como origen y \(t=0\) cuando sale el coche. El retraso de la moto es \(10\,\mathrm{min}=1/6\,\mathrm{h}\). En km y h:
\[x_c(t)=80t,\qquad x_m(t)=100\left(t-\frac16\right)\quad\left(t\geq\frac16\,\mathrm{h}\right).\]La recta de la moto tiene mayor pendiente. Su intersección con la del coche da el instante del alcance:
\[80t=100\left(t-\frac16\right)\Rightarrow20t=\frac{100}{6}\Rightarrow t=\frac56\,\mathrm{h}=50\,\mathrm{min}.\]Tiempo que tarda la moto en alcanzar al coche. Los 50 min se cuentan desde la salida del coche. Desde que sale la moto:
\[\Delta t_m=50-10=\boxed{40\,\mathrm{min}}.\]Distancia al origen.
\[x=80\cdot\frac56=\frac{200}{3}\,\mathrm{km}\approx\boxed{66{,}7\,\mathrm{km}}.\]Comprobamos con la moto: \(100\cdot(40/60)=200/3\,\mathrm{km}\). El resultado de 50 min del original corresponde al reloj del coche, no al tiempo de viaje de la moto.
Problema 10
Enunciado
La gráfica adjunta representa el movimiento que un móvil realiza sobre una trayectoria recta. Observa y responde a las siguientes preguntas: a) ¿qué tipo de movimiento lleva el móvil en cada tramo? b) ¿cuál es la velocidad media de cada tramo? c) ¿cuál es la velocidad media de todo el recorrido? d) ¿qué desplazamiento ha sufrido el móvil? e) en qué punto se invierte el sentido del movimiento
Solución explicada
Los cambios de tramo están en \((0,2)\), \((2,8)\), \((6,8)\) y \((10,0)\), con tiempos en s y posiciones en m.
a) Tipo de movimiento en cada tramo. De 0 a 2 s hay MRU en sentido positivo; de 2 a 6 s el móvil está en reposo; de 6 a 10 s hay MRU en sentido negativo. En los puntos de cambio la velocidad cambia, de modo que el movimiento completo no es un único MRU.
b) Velocidad media de cada tramo. Cada tramo es una recta y su pendiente es la velocidad:
\[v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}.\] \[v_1=\frac{8-2}{2-0}=\boxed{+3\,\mathrm{m/s}},\quad v_2=\frac{8-8}{6-2}=\boxed{0\,\mathrm{m/s}},\quad v_3=\frac{0-8}{10-6}=\boxed{-2\,\mathrm{m/s}}.\]Para obtener las ecuaciones, usamos \(x=x_i+v(t-t_i)\) en cada intervalo:
\[x(t)=\begin{cases}2+3t,&0\leq t\leq2,\\8,&2\leq t\leq6,\\8-2(t-6)=20-2t,&6\leq t\leq10.\end{cases}\]En la última recta, 20 m es la ordenada de su prolongación en \(t=0\); la posición al comenzar ese tramo, en \(t=6\,\mathrm{s}\), es 8 m. La fórmula global solo se aplica en el intervalo indicado.
c) Velocidad media de todo el recorrido. Es la pendiente de la secante entre el punto inicial y el final:
\[\bar v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}=\frac{0-2}{10-0}=\boxed{-0{,}2\,\mathrm{m/s}}.\]d) Desplazamiento.
\[\Delta x=0-2=\boxed{-2\,\mathrm{m}}.\]La distancia total recorrida es \(|8-2|+0+|0-8|=14\,\mathrm{m}\); la rapidez media es \(14/10=1{,}4\,\mathrm{m/s}\). Son magnitudes distintas del desplazamiento y de la velocidad media.
e) Inversión del sentido. Ocurre en la posición \(\boxed{x=8\,\mathrm{m}}\). Llega allí en \(t=2\,\mathrm{s}\), permanece parado hasta \(t=6\,\mathrm{s}\) y en ese instante comienza a regresar: la pendiente pasa, tras el reposo, de positiva a negativa.
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