El modelo estándar de las partículas elementales es la teoría que describe, con una precisión extraordinaria sin precedentes en la historia de la ciencia, la materia y las interacciones fundamentales conocidas (excepto la gravedad). Su fundamento matemático y conceptual es la teoría cuántica de campos (QFT, por sus siglas en inglés, AQFT, por "algebraic" en su versión más rigurosa a nivel matemático). A diferencia de la mecánica cuántica, que se formuló inicialmente hace 100 años, donde los objetos básicos eran partículas puntuales, en la teoría cuántica de campos lo fundamental son los campos: entidades que asignan un valor (que clásicamente tiene significado físico) a cada punto del espacio y del tiempo, de forma continua. Pero estos campos en esta teoría son cuánticos: obedecen a los mismo principios de la mecáncia cuántica, así que estos valores de los campos sólo tienen sentido en el límite clásico y sólo para campos bosónicos, ya que los valores de los campos fermiónicos son múmeros que anticonmutan.
En este marco, cada tipo de partícula elemental está asociado a un campo específico. Por ejemplo, existe un campo electrónico, los campos de quarks, los campos de gluones y así sucesivamente. El estado "vacío" no es la ausencia de todo, sino el estado en el que los campos están en su nivel más bajo de energía. Cuando un campo es excitado, aparecen lo que nosotros identificamos como partículas. Así, un electrón no es un objeto independiente y autónomo, sino la manifestación de una excitación cuántica del campo electrónico. Por eso todos los electrones son indistinguibles y no tienen identidad.
Esto significa que las partículas no son entidades fundamentales en sí mismas, sino que surgen como cuantos de energía de un campo. La analogía más usada en divulgación es la de las ondas en el agua: el agua es el campo, mientras que las ondas o "olas" visibles son las excitaciones. En la teoría cuántica de campos, la diferencia es que esas excitaciones están cuantizadas: sólo existen en "paquetes discretos" de energía que Planck llamó "cuantos" y nosotros ahora llamamos "partículas".
Sin embargo, a la física de partículas la seguimos llamando "física de partículas" y no "física de los campos cuánticos". El motivo es que estos campos cuánticos, al obedecer también los postulados de la relatividad especial, tienen interacciones locales. Es decir, en esta teoría, para que algo en una zona del espacio afecte a otro, tiene que haber algún campo que se propague de un sitio a otro, y esta propagación no se hace más rápido que la luz. Al ser las interacciones entre los campos locales, y al ser las partículas de las que están hechos nuestros detectores también excitaciones de campos, las excitaciones de esos campos siempre las detectamos como partículas prácticamente puntuales.
Por tanto, por un lado, en la teoría a nivel fundamental, el esquema conceptual fisicalista más sencillo con el que actualmente incluímos y ordenamos de manera tan precisa y espectacular casi todos los desordenados fragmentos de la experiencia, la teoría cuántica de campos, lo que existen son los campos, no las partículas. Pero, por otro, lo que detectamos son partículas y, desde un punto de vista fenomenista, los campos son una especie de "mito" conveniente, pero lo que realmente existe es lo que detectamos: las partículas. ¿Existen realmente las partículas? Eso es lo que vamos a discutir en este post, que no es para el público en general, sino sólo para personas que estén estudiando o hayan estudiado física.
La decoherencia, o cómo surge la física estadística clásica a partir de la mecánica cuántica
Seguramente habrás escuchado que las partículas cuánticas pueden estar en superposición de estar en dos sitios diferentes al mismo tiempo. Por ejemplo, en el experimento de la doble rendija un electrón estará, en el instante en que atraviesa la doble rendija, en superposición de estar pasando por la rendija de arriba y de estar pasando por la de abajo. Esta superposción es la responsable que de aparezca un patrón de interferencias en la pantalla. También habrás escuchado que las superposiciones no se pueden observar, porque si miramos una partícula que está en superposición, entonces "colapsa la función de onda" a una de esas dos posiciones, y entonces ya no se observa superposición en la pantalla. En realidad, esto es una caricatura de lo que los negacionistas de la mecánica cuántica llaman "interpretación de Copenhague", caricatura que se puede resumir en este meme:
Pero este meme es sólo una broma. En realidad ni la mecánica cuántica de Bohr, Heisenberg y Born predice eso, ni la naturaleza funciona así. Por el hecho de mover los ojos y ponerlos en la dirección de las rendijas no va a ocurrir que, si se estaba produciendo un patrón de interferencia (dibujo de arriba), éste vaya a dejar de producirse (dibujo de abajo). Al mirar algo, no estamos enviado rayos al objeto observado. Luego no podemos modificar su comportamiento. Lo que sí ocurre cuando vemos algo es que hay luz que sale de ese algo y llega a nuestros ojos. Los niños aprenden esto de pequeños, pero hay personas a las que parece que se les ha olvidado. Esto es clave. Hay luz que sale de ese algo. Pero, el hecho de que haya luz que salga de ese algo, es independiente de que pongamos los ojos en esa dirección para mirar o no.
Ahora bien, ¿qué pasa cuando hay luz que sale de ese algo? Pues que esa luz está entrelazada cuánticamente con ese algo. Este es el punto importante que ignoran muchos de los que atacan a la mecánica cuántica, los que no aceptan los descubrimientos que se hicieron en Copenhague hace 96 años.
Cuando calculo la amplitud de probabilidad de que esa partícula llegue a un punto concreto de la pantalla tras atravesar la doble rendija, tengo que sumar para todos los caminos. Simplificando mucho, tengo que sumar las amplitudes correspondientes a estos dos caminos.
Otra forma equivalente de expresar esto matemáticamente es decir que el estado cuántico de esa partícula (que llamaremos A) inmediatamente antes de llegar a la pantalla es la suma (superposición cuántica) del estado asociado a haber pasado por la rendija de arriba $\sigma_z=+1$, más el estado asociado a haber pasado por la rendija de abajo $\sigma_z=-1$.
$ \frac{1}{\sqrt{2}}|\sigma_z=+1 \rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}}|\sigma_z=-1 \rangle_A $
Pero, ¿qué pasa si la partícula, cuando está atravesando la doble rendija, emite luz? Entonces ahora esa luz (que llamaremos B) también está en un estado cuántico superposición de haber sido emitida desde la rendija de arriba más haber sido emitida desde la rendija de abajo.
Pero este estado cuántico es un estado entrelazado. Eso significa que no se puede expresar como un producto (tensorial) de un estado asociado a la partícula, multiplicado por un estado asociado a la luz emitida por ésta.
$ | \psi^{'} \rangle_B \otimes | \psi \rangle_A $
El estado entrelazado es así:
Si nos fijamos bien, ahora nunca vamos a tener un estado para la partícula que sea suma (superposición cuántica) de haber pasado por la rendija de arriba más haber pasado por la rendija de abajo. Para hacer eso necesitaría sacar factor común, pero el factor que hay NO ES COMÚN. No sólo son factores diferentes, sino que, en buena aproximación, son factores excluyentes (vectores en el espacio de Hilbert perpendiculares entre sí), con lo que tampoco me vale el truco de descomponer a uno de ellos en sumandos y buscar algún sumando común. Imaginad un vector en el espacio ordinario que esté en el plano XY. Es perpendicular a otro que apunte en el eje Z. Aunque descomponga el primer vector en suma de componentes, no va a haber ninguna componente que vaya en la dirección del segundo vector. En el espacio de Hilbert de los estados cuánticos pasa igual.
Al no poder sacar factor común, ya no sumo la amplitud de probabilidad de haber pasado por la rendija de arriba con la amplitud de probabilidad de haber pasado por la de abajo. Ya no hay suma de caminos. Por tanto, ¡ya no hay interferencia! La partícula se comporta como si hubiera pasado por una rendija concreta. A todos los efectos, HA PASADO POR UNA RENDIJA CONCRETA Y NO POR LA OTRA. Por haber emitido luz, la partícula ahora se comporta como si fuera clásica.
Por supuesto, sigue siendo cuántica, pero esto sólo lo podríamos demostrar si se volviera a cruzar en su camino la luz emitida y se produjera interferencia entre estos dos sumandos completos:
Pero, como esa luz emitida ya no vuelve, el resultado del experimento va a ser que no se va a producir ningún patrón de interferencia. Y esto es independiente de si muevo los ojos o no para recoger la luz, para mirar. Es decir, el meme con rigor científico sería este:
Pero el meme con rigor científico ya no hace gracia. Podemos, si queremos, seguir riéndonos usando el meme original, sabiendo que es una broma, pero lo mismo nos toca pasar vergüenza ajena cuando veamos a alguien tomárselo en serio para criticar a la "interpretación de Copenhague".
Merece la pena profundizar más en lo que acabo de explicar. La propiedad de la partícula de haber pasado por la rendija de arriba o por la de abajo (llamémosle observable $\sigma_z $), ¿está bien definida o no lo está? La respuesta es "depende". Si la partícula no deja rastro (no emite luz) cuando está pasando, se produce interferencia, cosa que sólo puede explicarse si $\sigma_z $ no toma un valor bien definido. Pero, si deja rastro (y ese rastro se registra), entonces $\sigma_z $ sí toma un valor bien definido (el que queda grabado en el registro).
Entender esto sólo fue posible con el espíritu de Copenhague. Sólo así los fundadores de la mecánica cuántica pudieron darse cuenta de la conveniencia de evitar hablar de propiedades de los sistemas físicos que no pueden ser medidas (como el observable $\sigma_z $ en los casos en los que hay patrón de interferencia), a no ser que alguna observación o razonamiento de consistencia nos obliguen a ello. Y es esto lo que les permitió construir la mecánica cuántica, ya que cualquier otra alternativa daba lugar a contradicciones. En esta teoría los observables en general no toman valores bien definidos más allá del contexto de la medición (a no ser que la predicción sea del 100% de probabilidad) y, además, el hecho de asignar un valor bien definido puede ocurrir para un observador pero no para otro (o al contrario).
Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera: el sistema "partícula más luz" sí tiene asociada una función de onda, sí tiene asociado un estado cuántico, que es un estado que pertenede al espacio de Hilbert que es producto tensorial del espacio de Hilbert de los estados de la partícula y el espacio de Hilbert de los estados de la luz:
$| \Psi \rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}|\sigma_z=+1 \rangle_B \otimes|\sigma_z=+1 \rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}} |\sigma_z=-1 \rangle_B \otimes|\sigma_z=-1 \rangle_A \in \mathcal{H}_B\otimes \mathcal{H}_A $
A este estado cuántico se le asocia el operador densidad:
$| \Psi \rangle \langle \Psi | $
Pero, como este estado cuántico, debido a que partícula y luz están ahora entrelazadas cuánticamente, no se puede escribir como un producto tensorial de un estado cuántico asociado a la partícula por un estado cuántico asociado a la luz. Esto implica que, ahora, ni la partícula ni la luz van a tener asociada una función de onda. Ninguno de estos dos sistemas tiene ahora asociado un estado cuántico. Lo que sí tienen asociado, cada uno, es un operador densidad. Por ejemplo, para la partícula:
$\rho_A=\frac{1}{2} |\sigma_z = +1 \rangle \langle \sigma_z = +1 | + \frac{1}{2} |\sigma_z = -1 \rangle \langle \sigma_z = -1 | $
que, por ser diagonal, nos dice que la partícula ya no se encuentra en ninguna superposición cuántica, sino que está en un estado bien definido de pasar por una de las dos rendijas (y sólo una), sólo que no sabemos por cuál todavía. Los coeficientes 1/2 en esta fórmula nos dicen que hay un 50% de probabilidades de qe esté pasando por la de arriba y un 50% de que esté pasando por la de abajo.
¿Cómo se obtiene el operador densidad de la partícula a partir del operador densidad del sistema "partícula más luz"? Pues haciendo la traza, sumendo para todos los estados posibles (y excluyentes entre sí) de la luz.
$\rho_A= \rm{Tr}_B | \Psi \rangle \langle \Psi | $
Así es como, a partir de la mecánica cuántica (en la que una partícula está en un estado en el que no está bien definido por qué rendija está pasando), surge la mecánica estadística clásica (la partícula sí está pasando por una rendija concreta, pero no sabemos cuál es).
Pero hay una objeción que se puede hacer al razonamiento anterior en el que he explicado por qué la partícula, al emitir luz, se comporta como si fuera clásica, pasando por sólo una de las dos rendijas. Tenemos una manera en la que podemos saber, en este experimento, que la partícula que emitió luz es cuántica y que, en realidad, no está bien definido por qué rendija pasó. Ésta consiste en considerar la posibilidad de cruzar los dos posibles caminos de la luz emitida por la partícula usando un espejo semirreflector, para hacer interferir los dos caminos, como se muestra en el siguiente dibujo:
Esta es la forma que tenemos de poder medir, usando la luz emitida por la partícula, la fase relativa entre los dos términos de la superposición inicial. Para que haya interferencia constructiva en el detector +, el estado del fotón debe ser
pero, entonces, hay interferencia destructiva en el detector -. Por otro lado, para que haya interferencias constructiva en el detector - y destructiva en el detector +, el estado debe ser:
Si trabajamos en esta base de estados, el estado del sistema entrelazado
se puede escribir:
con lo que ahora sí hemos podido sumar los dos términos para A que daban lugar al patrón de interferencias. Pero, al contrario que en el caso de la interferencia que se produciría si la partícula no ha emitido luz, ahora hay 2 posibles sucesos, cada uno de ellos con 50% de probabilidad:
- o bien se detecta luz (B) en el detector +, y en la pantalla (A) la partícula choca siguiendo el patrón de interferencias normal (+).
- o bien se detecta luz (B) en el detector -, y en la pantalla se observa el patrón de interferencias inverso (-), con los máximos y los mínimos invertidos.
Por tanto, si comparamos los resultados que obtiene un investigador (Bob) al medir propiedades de esa luz con los que obtiene otra investigadora (Alice) al trabajar con la partícula que llega a la pantalla (véase este vídeo de Quantum Fracture), se puede observar una correlación perfecta: siempre que Bob mide +, Alice encuentra en la pantalla un patrón de interferencia, pero cuando Bob mide -, Alice encuentra en la pantalla el patrón de interferencia opuesto (con máximos y mínimos intercambiados).
Es decir, si Alice decide separar los impactos en su pantalla en dos conjuntos, los que correlacionen con el resultado + de Bob, y los que correlacionan con el resultado - de Bob, entonces cada uno de estos dos conjuntos es un patrón de interferencias, PERO SU UNIÓN NO LO ES. Como es un patrón de interferencias, ahora Alice ya no puede decir que la partícula tiene bien definida por qué rendija pasó, es decir, ya no está bien definido el observable $\sigma_z$. Es decir, ha sido el hecho de que Alice ya no tiene acceso a la luz emitida por la partícula junto con la ignorancia de Alice acerca de qué resultados suyos correlacionan con los de Bob los que hacen que el observable $\sigma_z$ tome un valor bien definido (para Alice). Pero se puede seguir probando operacionalmente que en realidad $\sigma_z$ no ha tomado un valor bien definido si Bob le dice a Alice cuáles son sus resultados.
Además, Bob decide si medir el observable $\sigma_z$ (por qué rendija pasó la partícula) o el observable $\sigma_x$ (si la fase relativa es + o es -) mucho después de que el fotón haya interaccionado con la partícula, es decir, mucho después de que la partícula haya pasado por la doble rendija. Una cosa que se ignora bastante en la divulgación de la mecánica cuántica, porque no casa bien con el mito de un Copenhague débil que se quiere difundir, es que este experimento mental lo conocían Bohr y Heisenberg perfectamente, ya que, de hecho, se parece mucho al denominado "telescopio de Heisenberg", que es un sistema formado por un electrón y un fotón entrelazados. Ellos remarcaban en este experimento que Bob decide libremente si medir el observable $\sigma_z$ de la partícula de Alice (midiendo de dónde fue emitida la luz) o el observable $\sigma_x$ de esa partícula (haciendo interferencia con los dos caminos y midiendo si se obtiene + o -. La conclusión de este experimento es que es el contexto de la medición lo que hace que un observable tome o no un valor bien definido. Si Bob mira de qué rendija viene la luz que le llega, entonces Bob asigna un valor bien definido al observable $\sigma_z$ (por qué rendija pasó la partícula). Pero, si Bob usa el espejo semirreflector y los detectores + y -, entonces Bob ya no asigna un valor bien definido al observable $\sigma_z$, pero sí asigna un valor bien definido a $\sigma_x$, al tipo de patrón de interferencia que forma la partícula al impactar contra la pantalla de Alice.
No obstante, en este experimento mental he simplificado demasiado las cosas para que se entiendan mejor, y ya es hora de hacerlo más realista. Hasta ahora sólo he usado dos bits cuánticos, dos qubits entrelazados, el de la partícula y el de la luz emitida por ésta. Pero, en realidad, cuando la partícula emite luz o interacciona con lo que sea mientras está pasando por la doble rendija, este qubit se entrelaza con más de un qubit. Se entrelaza con muchísimos qubits más, a los que vamos a llamar "ambiente" (E, de "Eva", el ambiente se llama Eva) y sobre los que Bob no tiene acceso experimental. La idea es la misma que cuando hay energía que se va a modos ocultos y decimos entonces que "se ha disipado en forma de calor". Por ejemplo, podemos pensar que la partícula ha emitido o ha interaccionado con muchos fotones y que a muchos de ellos Bob no tiene acceso experimental, pero a alguno sí. Los demás se van por ahí al resto del universo y ya no vuelven.
En ese caso, ya no es es posible escribir el estado:
de la forma:
porque para eso hizo falta sumar términos que ahora están multiplicados por factores de Eva que no son comunes. A este proceso de entrelazamiento con qubits ocultos o inaccesibles se denomina decoherencia. Este proceso implica que ahora Bob, aunque quisiera medir el observable $\sigma_x$ (si vale + o -), vería que sus resultados no están correlacionados con lo que Alice ve en la pantalla, con lo que ya no puede interpretar lo que está haciendo como una "medida" de alguna propiedad de la partícula de Alice. Pero, si Bob decide medir el observable $\sigma_z$, viendo de qué rendija viene la luz que le llega, entonces sí hay correlación con lo que vería Alice si pone la pantalla pegada a la doble rendija, y esto sí se puede entender como una medida, en concreto como una medida de por qué rendija ha pasado la partícula. Es decir, la decoherencia ha hecho que Bob pueda medir el observable $\sigma_z$, pero no $\sigma_x$. Este es el proceso físico responsable de que podamos decir que $\sigma_z$ toma un valor bien definido, pero que $\sigma_x$ no. Ahora, incluso aunque Bob decida no mirar de qué rendija viene la luz, sí podemos decir que la luz viene de una rendija concreta y, por tanto, sí podemos decir que la partícula pasó por una rendija concreta. Ahora sí podemos decir que, a todos los efectos, la partícula es clásica y asignarle el operador densidad de la mecánica estadística clásica
$\rho_A=\frac{1}{2} |\sigma_z = +1 \rangle \langle \sigma_z = +1 | + \frac{1}{2} |\sigma_z = -1 \rangle \langle \sigma_z = -1 | $
El estado thermofield doble asociado a un operador densidad
En la sección anterior hemos visto que, cuando un sistema cuántico está completamente entrelazado con grados de libertad que se pierden, entonces a todos los efectos ese sistema cuántico se comporta como un sistema clásico sobre el que desconocemos algunas cosas con certeza pero sabemos cuáles son las probabilidades, y que esas probabilidades vienen dadas por un operador densidad diagonal, un operador densidad de mecánica estadística clásica.
Pero hay otro caso en el que la mecánica estadística clásica es muy útil: los sistemas termodinámicos en equilibrio térmico. Si tenemos un sistema en equilibrio térmico, entonces el operador densidad asociado al colectivo canónico del sistema viene dado por una serie de probabilidades que son proporcionales a los factores de Boltzmann. Si este sistema tiene temperatura $T$, entonces el operador densidad térmico del sistema correspondiente a su colectivo canónico es:
$ \rho=\frac{1}{Z}\sum_i e^{-\beta E_i}|i\rangle \langle i|, $
donde $\beta=1/(kT)$, $ |i\rangle $ son los autoestados de energía con energías $ E_i $ y $ Z $ es la función de partición, cuyo valor es que el garantiza que las probabilidades sumen 1.
Nos surge la duda entonces: ¿podemos entender este estado termodinámico como un estado cuántico (en superposición, pero puro, sin mezcla estadística) de un sistema mucho más amplio que, por la decoherencia, parece que sus subsistemas están en mezcla estádistica? La respuesta es que sí. Hay muchas maneras de hacerlo y la más simple es la del termocampo doble (termofield double). Vamos a explicarlo:
Llamemos al espacio de Hilbert de nuestro sistema cuántico $ \mathcal{H} $, y llamemos $ \rho:\mathcal{H}\to \mathcal{H} $ a su operador densidad densidad. La matriz asociada a este operador en cualquier base es, por tanto, una matriz positiva (o no negativa) con traza unidad. Lo que estamos buscando es una purificación de $ \rho $: un estado puro de un sistema cuántico más amplio $ \Psi\in\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}' $ que contenga toda la información que contiene $\rho$. Aquí $ \mathcal{H}' $ es el espacio de Hilbert de otro sistema (el de los grados de libertad que se suponen se han perdido). Para que esto sea así, $\Psi$ tiene que ser tal que $ \rho $ es la matriz densidad inducida que se obtiene al hacer la traza para todos los estados de $ \mathcal{H}' $ en el operador densidad estado puro $ |\Psi\rangle\langle\Psi| $ de $ \mathcal{H}\otimes \mathcal{H}' $:
$ \rho=\rm{Tr}_{\mathcal{H}'}|\Psi\rangle\langle\Psi|. $
Hay infinitas formas de hacer esto, pero es fácil ver que todo operador densidad $\rho$ tiene una purificación canónica, una que se obtiene de manera sencilla y directa haciendo lo siquiente.
Sabemos que si $ \mathcal{K} $ es un espacio vectorial y $ \mathcal{V}:\mathcal{K}\to\mathcal{K} $ es una transformación lineal, entonces con respecto a una base siempre podemos expandir:
$ \mathcal{V}=\sum_{i,j}v_{ij}|i\rangle \langle j|. $
Dado esto, podemos asociar a $ \mathcal{V} $ un vector $ \Psi_\mathcal{V} $ en un espacio de Hilbert duplicado $ \mathcal{K}\otimes \mathcal{K}' $:
$ \Psi_\mathcal{V}=\sum_{i,j}v_{ij}|i\rangle\otimes |j\rangle'. $
Aquí $ \mathcal{K}' $ es el espacio de Hilbert conjugado complejo de $ \mathcal{K} $, lo que significa que a cada bra $ \langle j| $ de $ \mathcal{K} $ hay asociado canónicamente un ket $ |j\rangle'\in \mathcal{K}' $. Haciendo la traza pra todos los estados de $ \mathcal{K}' $ de este operador densidad de estado puro $ |\Psi_V\rangle\langle\Psi_\mathcal{V}| $, obtenemos:
$ \mathcal{V} \mathcal{V}^\dagger=\rm{Tr}_{\mathcal{K}'}|\Psi_\mathcal{V}\rangle \langle\Psi_\mathcal{V}|. $
En particular, si $ \rm{Tr}\,\mathcal{V} \mathcal{V}^\dagger=1 $, de modo que $ \mathcal{V} \mathcal{V}^\dagger $ es un operador densidad, entonces $ \Psi_\mathcal{V} $ es una purificación de este operador densidad.
Si $ \rho $ es cualquier operador densidad, entonces es el cuadrado de $ \rho^{1/2} $. Aplicando anterior, lo que tenemos es que $ \Psi_{\rho^{1/2}}\in \mathcal{H}\otimes \mathcal{H}' $ es una purificación de $ \rho $, llamada purificación canónica de $\rho$.
Podemos, por tanto, aplicar esta idea a todo sistema termodinámico. SI este sistema tiene temperatura $T$, ya hemos dicho que el operador densidad térmico del sistema correspondiente a su colectivo canónico es:
$ \rho=\frac{1}{Z}\sum_i e^{-\beta E_i}|i\rangle \langle i|, $
donde $\beta=1/(kT)$, $ |i\rangle $ son los autoestados de energía con energías $ E_i $ y $ Z $ es la función de partición, cuyo valor es que el garantiza que las probabilidades sumen 1. La purificación canónica de este operador densidad térmico es entonces el estado en $ \mathcal{H}\otimes \mathcal{H}' $ asociado a $ \rho^{1/2} $:
$ \Psi_\rm{TFD}=\frac{1}{\sqrt Z}\sum_i e^{-\beta E_i/2}|i\rangle\otimes |i\rangle'. $
A este estado se le denomina el doble de campo térmico (thermofield double). Esta técnica nos permite siempre interpretar la entropía termodinámica (macroscópica) de un sistema como una entropía de von Neumann (microscópica), que surge del entrelazamiento del sistema con un sistema copia de sí mismo.
En rigor, el otro sistema no es exactamente copia, porque $ \mathcal{H}' $ es el conjugado complejo de $ \mathcal{H} $, pero en el caso de un sistema con simetría de inversión tempora (que, recordemos, en mecánica cuántica tiene que ser antilineal y con cuadrado 1), la distinción entre $ \mathcal{H} $ y $ \mathcal{H}' $ no es importante y, por eso, habitualmente se considera que lo que estamos haciendo es "doblar" al sistema. Lo mismo pasa en teoría cuántica de campos, donde, aunque no tiene por qué haber una simetría de inversión temporal, para que la teoría cuánica de campos sea relativista sí tiene que haber invariancia CPT.
El estado thermofield doble en teoría cuántica de campos
En teoría cuántica de campos, los grados de libertad de los campos son osciladores bosónicos o fermiónicos acoplados o no (la diferencia entre oscilador fermiónio y bosónico la explico en este otro artículo). Por ejemplo, un campo de Klein Gordon está formado por osciladores bosónicos, uno por cada modo de cantidad de movimento $\vec{p}$. Fijándonos en uno de estos modos, vamos a llamar a sus operadores de creación y aniquilación $ a^\dagger $, $ a $, que satisfacen $ [a,a^\dagger]=1 $. El Hamiltoniano de este modo es $ H=\omega a^\dagger a $. Si el campo se encuentra en un estado termodinámico de equilibrio a temperatura T, la matriz densidad térmica asociada a uno de los modos será:
$ \rho=\frac{1}{Z}\sum_{n=0}^\infty e^{-n\beta \omega }|n\rangle\langle n|, $
donde $ |n\rangle $ es el n-esimo estado excitado, que en teoría cuántica de campos se interpreta como el estado en el que hay n partículas en ese modo (n partículas con esa cantidad de movimiento $\vec{p}$ concreta). El estado thermofield double asociado a ese operador densidad térmico es, por tanto:
$ \Psi_\rm{TFD}=\frac{1}{\sqrt Z}\sum_{n=0}^\infty e^{-n\beta\omega/2}|n\rangle\otimes |n\rangle'. $
Donde $ |n\rangle' $ es el n-esimo estado excitado de un segundo oscilador armónico idéntico con operadores de creación y aniquilación $ a' $, $ a'^\dagger $. Se observa, por tanto, que hay un entrelazamiento en el número de partículas que hay en el sistema y en su copia. Es decir, el conjunto está en un estado en el que el número de partículas no está bien definido, porque es superposición cuantica de estados con distinto número de partículas, pero en cada uno de los términos de la superposición, el número de partículas que hay en el sistema, y en su copia, es el mismo. Por eso, al hacer la traza sobre la copia, lo que se obtiene es un operador densidad, térmico, que corresponde a un sistema en el que el número de partículas está bien definido, pero es desconocido, es decir, un operador densidad de mecáncia estadística clásica.
Usando ahora $ a^\dagger|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle $, etc., encontramos que aplicar el operador creación $ a^\dagger $ sobre el estado thermofield double es lo mismo que aplicar el operador aniquilación del otro subsistema $a'$ y multiplicar por la exponencial. Se tiene, por tanto, que el estado thermofield double del oscilador bosónico satisface las ecuaciones:
$ \left(a^\dagger-e^{\beta \omega/2}a'\right)\Psi_\rm{TFD} = \left(a-e^{-\beta\omega/2}a'{}^\dagger\right)\Psi_\rm{TFD} =0 . $
Además, estas condiciones determinan de manera única a $ \Psi_\rm{TFD} $ salvo un múltiplo escalar.
El análogo fermiónico de estas fórmulas contiene un signo adicional, porque los operadores de creación y aniquilación fermiónicos $ c, c^\dagger $, satisfacen una relación de anticonmutación $ \{c,c^\dagger\}=1 $, en vez de una de conmutación y actúan en un espacio de Hilbert bidimensional con base que consiste en un estado $ |0\rangle $ (el estado en el que hay cero partículas, que cumple $ c|0\rangle=0 $) y otro estado $ |1\rangle=c^\dagger|0\rangle $ (el estado en el que hay una partícula. Las relacioensd e anticomuntación hacen que no haya estados con más de una partícula en ese modo, y por eso los fermiones cumplen el principio de exclusión de Pauli. El Hamiltoniano el oscilador fermiónico es $ H=\omega c^\dagger c $ y el operador densidad térmico es
$ \rho=\frac{1}{Z}\left(|0\rangle\langle0|+e^{-\beta \omega}|1\rangle\langle 1|\right). $
Para construir el thermofield double, introducimos un segundo oscilador fermiónico idéntico con operadores de creación y aniquilación $ c'^{\dagger}, c' $ que anticonmutan con $ c', c'^\dagger $. Estos operadores pueden representarse en un espacio de Hilbert de cuatro dimensiones con un estado $ |0,0\rangle $ aniquilado tanto por $ c $ como por $ c' $, y estados adicionales $ |1,0\rangle=c^\dagger|0,0\rangle $, $ |0,1\rangle=c'^\dagger|0,0\rangle $, $ |1,1\rangle =c^\dagger c'^\dagger|0,0\rangle $. El estado thermofield double es entonces
$ \Psi_\rm{TFD} =\frac{1}{Z^{1/2}}\left( |0,0\rangle+e^{-\beta\omega/2}|1,1\rangle\right), $
y satisface
$ \left( c-e^{-\beta\omega/2} c'^\dagger\right)\Psi_\rm{TFD} = \left(c^\dagger+ e^{\beta\omega/2}c' \right) \Psi_\rm{TFD} = 0 $
Las observadoras de Rindler
¿Tienen algún significado físico los estados thermofield double que hemos obtenido en la sección anterior en teoría cuántica de campos? Para verlo, vamos a pensar en lo siguiente. En teoría cuántica de campos las partículas, que son excitaciones de los campos, no puede decirse que sean puntuales. Esto es así porque hay entrelazamiento en los estados de los campos entre los grados de libertad que están en distintos puntos del espacio. Estas correlaciones hacen que la amplitud de probabilidad de que una partícula, creada en un punto, esté simultáneamente en otro punto del espacio cercano sea no nula. Esto no viola causalidad, porque en teoría cuántica de campos las contribuciones de las antipartículas hacen que los conmutadores de operadores fuera del cono de luz se anulen. Pero muestran que hay entrelazamiento entre grados de libertad situados en distintos puntos del espacio. De hecho, este entrelazamiento ocurre en el mismo estado de vacío del campo, el estado en el que no hay partículas. No obstante, se trata de grados de libertad cercanos, que estén en continua interacción, Ninguno "se pierde", con lo que no hay decoherencia, no podemos hacer la traza sobre algunos de ellos para obtener un operador densidad de mezcla estadística para los demás.
Pero hay un truco que podemos hacer. ¿Qué pasa si hay observadores que se alejan entre ellos aceleradamente? En relatividad no podemos hacer que un objeto acelere uniformemente, porque entonces superaría la velocida de la luz, pero sí podemos hacer que acelere siempre mientras le aplicamos una fuerza constante, para que su velocidad se acerque cada vez más a la de la luz, aunque nunca llegue a ella. Si hacemos esto, nos encontramos con que la observadora que acelera va a tener una región del espaciotiempo desconectada causalmente de ella. Ahí va a haber grados de libertad de los campos cuánticos que se pierden para ella, con lo que sí tiene sentido hacer la traza para esos grados de libertad. ¿Cuál es el operador densidad del campo cuántico para esta observadora? Vamos a verlo.
Para verlo, vamos a considerar en el espacio de Minkowski un sistema de observadoras, cada una de ellas caracterizadas por una coordenada $\alpha^{-1}$, que se mueven sometidas a una fuerza constante $F_x=m\alpha$ y que, cuando $t=0$, cada una de ellas está con velocidad nula en el punto $x=\alpha^{-1}$. La aceleración que tiene cada una, mientras que la velocidad sea pequeña, es, por tanto $\alpha$, pero, a medida que aumenta su velocidad, esta aceleración disminuirá, de tal manera que es fácil demostrar que sus trayectorias en el espacio tiempo serán las hipérbolas
$\alpha^{-2}=x^2-t^2$
La observadora límite $\alpha^{-1}\to \infty$ es una observadora asintótica que está infinitamente lejos del origen y que no acelera nada. En cambio, la observadora $\alpha^{-1}\to 0$ llega por la derecha hacia el origen prácticamente a la velocidad de la luz, frena con acelración infinita y acelera con aceleración infinita en sentido contrario para alcanzar de nuevo la velocidad de la luz, como se observa en este dibujo:
$t=\alpha^{-1} \rm{sinh}(\alpha \tau)$
$x=\alpha^{-1} \rm{cosh}(\alpha \tau)$
También se puede ver fácilmente que la coordenada espacial $\alpha^{-1}$ nos da la distancia entre las observadoras en el sistema de referencia de ellas.
También es conveniente llamar $a$ aquella de las observadoras de Rindler a la que le hemos dado los detectores de partículas (a la que acelera con $\alpha=a$) y trabajar con las coordenadas $\xi$ y $\eta$, que son tales que:
$\alpha^{-1}=a^{-1}e^{a\xi}$
$\tau=\eta e^{a\xi}$
En términos de estas coordenadas, la metrica del espacio de Minkowski es:
$ds^2=e^{2a\xi} (-d\eta^2 + d\xi^2)$
Lo que nos indica que los rayos de luz $t-x=\bar{u}$, con $\bar{u}$ una constante en toda la trayectoria del rayo, se propagan siguiendo la ecuación $\eta-\xi=u$, aunque aquí $u$ es una constante diferente. Esta métrica también nos indica que hay un factor de dilatación temporal que relaciona los tiempos propios de las distintas observadoras de Rindler ue viene dado por e^{a\xi}. Este factor de dilatación (o de corrimiento hacia el rojo, como quiera verse) es respecto de la observadora que tiene los detectores, ya que para ella $\xi=0$. Así, las señales que le ella recibe de las observadoras con $\xi \to -\infty$ (las que aceleran mucho) están infintamente corridas hacia el rojo, pero también ocurre que la observadora asintótica en el infinito que no acelera ($\xi \to \infty$) recibirá las señales de la que tiene los detectores también infinitamente corridas hacia el rojo.
Y esto último es crucial, porque nos indica que hay una relación exponencial entre la frecuencia de las señales que detecta la que tiene los detectores y la que detecta la no acelera y hay una relación exponencial entre las constantes $u$ y $\bar{u}$, que viene dada por
$\bar{u}=-e^{-au}$
El efecto Unruh visto desde la observadora que acelera
La relación anterior hace que, cuando estudiamos las soluciones clásicas a la ecuación de evolución del campo en el espacio de Minkowski, los modos correspondientes a una frecuencia positiva con respecto al tiempo inercial $t$, que al cuantizar son los modos que dan lugar a los operadores de aniquilación, no son modos que corresponden a una frecuencia positiva con respecto al tiempo propio de las observadoras de Rindler (con respecto al tiempo $\eta$ para la observadora que tiene el detector). Esto significa que los operadores aniquilación de partículas para los observadores inerciales no van a coincidir con los operadores aniquilación para la observadora que tiene el detector. Y lo mismo podemos decir con los operadores creación. Esto significa que, aunque los observadores inerciales perciban que el campo cuántico está en su estado fundamental, el vacío, el estado en el que hay cero partículas, la observadora que tiene los detectores percibirá que el campo cuántico está en un estado que no es aniquilado por sus operadores aniquilación, es decir, ¡percibirá que el campo no está en el estado correspondiente a cero partículas!
En particular, si hacemos las cuentas en este caso concreto, para conseguir un modo con frecuencia positiva con respecto al tiempo inercial $t$, este modo $\Phi$ tiene que ser una combinacion de modos
$F=\frac{\left( f+e^{-\pi\omega/a}\bar{f}'\right)}{\sqrt{1-e^{-2\pi\omega /a}}}$
donde $f$ es un modo localizado en la región I del espaciotiempo de Minkowski (la zona donde están las observadoras de Rindler) de frecuencia positiva con respecto al tiempo $\eta$, mientras que $\bar{f}'$ es un modo localizado en la región II, región desconectada causalmente de I, de frecuencia positiva con respecto a $\eta$. Pero, para que esta región II sea isomorfa a la región I, hay que hacer una transformación PT (no sólo una reflexión temporal, sino también de paridad izquierda-derecha). Por ello, el tiempo propio asociado a la observadora de Rindler de la región II con aceleración $-a$ no es $\eta$, sino $\eta'=-\eta$. Es decir, $\bar{f}'$ es un modo en la región II de frecuencia negativa.
$b=\frac{\left( a+e^{-\beta\omega/2}a'^\dagger\right)}{\sqrt{1-e^{-\beta\omega}}}$
$b=\frac{\left( a'+e^{-\beta\omega/2}a^\dagger\right)}{\sqrt{1-e^{-\beta\omega}}}$
donde $\beta=2\pi/a$, lo cual implica que el vacío del campo con respecto a los observadores inerciales (el estado del campo en el que los observadores inerciales no detectar partículas), al ser aniquilado por $b$, ¡coincide con el estado termocampo doble asociado a un baño térmico de partículas para la oservadora de Rindler que tiene los detectores! Es decir, lo que los detectores de la observadora que tiene aceleración $a$ van a detectar es que el campo está en un estado termodinámico en equilibrio térmico a temperatura
$T=1/(k\beta)=\frac{ a}{2 \pi k c}$
A este fenómeno se le conoce como el efecto Unruh. El campo cuántico está en un estado puro que es supersposición de cuantica de estados con distintos número de partículas. En cada uno de estos estados de la superposición hay el mismo número de partículas en la región I y en la región II para las observadoras de Rindler de estas regiones. Pero como ambas regiones están desconectadas causalmente, a todos los efectos, para la observadora con aceleración $a$ el campo está en un estado con un número de partículas concreto, pero que no se puede saber mientras no midamos. Está, por tanto en un estado termodinámico que representamos mediante el operador densidad del colectivo canónico. Está en un baño térmico de partículas a una temperatura que es proporcional a su aceleración $a$, y eso es lo que detectan sus detectores. El resto de observadoras de Rindler, si tienen detectores, también van a detectar un baño térmico de particulas, pero a una temperatura distinta, corrida hacia el rojo (si $\alpha <a$) o hacia el azul (si $\alpha > a$) con respecto a la capitana, en función del factor de redshift $e^{-a\xi} $. Por tanto, la temperatura que observa cada una es
$T=\frac{ a}{2 \pi k c}e^{-a\xi}=\frac{ \alpha}{2 \pi k c}$
El efecto Unruh visto desde un observador inercial
Entonces, las partículas que detecta la observadora acelerada, ¿existen o no existen?. Después de todo, la observadora acelerada también detecta una fuerza, la fuerza inercial, que la mantiene pegada al sillón de su nave espacial, y sabemos que en realidad esa fuerza inercial no existe. No es una fuerza que ejerza nadie ni ningún cuerpo. Es simplemente una fuerza que nos inventamos para explicar que los objetos libres vistos desde su nave parecen acelerar hacia atrás, para forzar que el comportamiento de los objetos en ese sistema no inercial obedezca a las mimas leyes que las que hay en los sistemas de referencia inerciales. Lo mismo pasa con la fuerza centrífuga o la de coriolis en los sistemas de referencia que toman curvas. Tampoco existen en realidad.
Para saber si las partículas que detecta la observadora acelerada existen o no, vamos a estudiar qué es lo que observan los observadores inerciales cada vez que la observadora de Rindler detecta una de esas partículas. Esto lo estudiaron Unruh y Wald en 1984. Para ello, supusieron que el detector de la observadora es un sistema muy sencillo, de dos niveles: un oscilador fermiónico de frecuencia $\omega$. Antes de detectar nada, el detector está en el estado $|0\rangle$, pero después de interaccionar con el campo en el estado de n partículas $|n\rangle$ con frecuencia $\omega$, el sistema campo más detector evoluciona de la siguiente forma
$ | n\rangle \otimes | 0 \rangle \to | n\rangle \otimes | 0 \rangle -i C \sqrt{n} | n-1\rangle \otimes | 1 \rangle $
(que, por cierto, es un sistema supersimétrico, ya que al interaccionar el campo con el detector se baja un nivel bosónico y se excita uno fermiónico), donde $C$ es una constante que expresa cómo se solapa el modo del campo en concreto con el detector. Por tanto, la probabilidad de que el detector detecte una partícula de frecuencia (energía) $\omega$ es $n |C|^2 $, proporcional al número de partículas que hay.
Un aspecto importante es que, al detectar el detector una partícula, se está haciendo una medición parcial del número de partículas que tiene el campo, ya que, si bien antes de la detección la probabilidad de que el campo tuviera $n$ partículas en ese modo era proporcional al factor de Boltzamnn $e^{-\beta n \omega}$, tras la detección de la partícula, la probabilidad de que el campo esté en el estado $|n-1 \rangle $ es proporcional a $n e^{-\beta n \omega}$, con $n>0$, con la que la probabilidad de que esté en el estado $ |n\rangle $, con $n$ cualquier número natural, incluído el cero, es proporcional a $(n+1) e^{-\beta (n+1) \omega}$. Aunque el detector de la observadora de Rindler haya absorbido la energía de la partícula detectada, el hecho de que el detector tenga más probabilidad de detectar una partícula si hay muchas hace que, tras la detección, ¡la probabilidad de que el campo tenga un número grande de partículas haya aumentado!
"Esto está guapísimo", como diría Enrique Fernández Borja, porque eso significa que, al detectar la observadora de Rindler la partícula, el campo cuántico ¡aumenta el valor esperado de su energía!
¿Qué es lo que vería un observador inercial cuando la observadora de Rindler detecta la partícula? Invirtiendo las fórmulas del apartado anterior, para él, cuando el detector acelerado aplica el operador aniquilación sobre el campo, lo que ella está haciendo es aplicar un operador que es combinación lineal del operador aniquilación y del operador creación:
$a=\frac{\left( b+e^{-\beta\omega/2}b'^\dagger\right)}{\sqrt{1-e^{-\beta\omega}}} $
Como para el observador inercial el campo cuántico está en el estado vacío, el término proporcional a $b$ aplicado sobre el campo da cero. Por tanto, lo que la observadora de Rindler está haciendo, al detectar la partícula, es desde el punto de vista del observador inercial, aplicar al campo el operador creación:
$a=\frac{e^{-\beta\omega/2}b'^\dagger}{\sqrt{1-e^{-\beta\omega}}} $
es decir, ¡la observadora acelerada lo que está haciendo es emitir una partícula de frecuencia $\omega$, haciendo que aumente la energía del campo!
Por tanto, observadores acelerados unos respecto de otros no sólo no van a estar de acuerdo en el número de partículas de las que está "hecho" el campo, sino que tampoco van a esar de acuerdo en si un un proceso concreto se está emitiendo o absorbiendo una partícula. Esto es un claro obstáculo para interpretar ontológicamente a los campos cuánticos como "hechos" de partículas.
Otras dificultades para intepretar los campos cuánticos como hechos de partículas
En realidad la interpretación convenccional que se hace de los estados puros de los campos como estados con un número bien definido de partículas o como superposiciones de éstos, descansa sobre la representación de Bargmann Fock de los campos libres, los que no interaccionan. Es ahí donde, al ser cada modo un oscilador armónico, puedo usar para cada uno las funciones de onda de Bargmann-Fock. Básicamente, lo que se hace es tomar el espacio vectorial de soluciones clásicas del campo, mutilarlo para que sólo tenga soluciones con frecuencia $\omega$ positiva proporcionales a $e^{i\omega t}$ y promocionarlo y completarlo, introduciendo un producto escalar, a espacio de Hilbert. Este espacio de Hilbert se interpreta como el espacio de estados en donde sólo hay una partícula y, a partir de ahí, se hace la construcción de Fock para definir el espacio de Hilbert completo del campo cuántico.
Pero un teorema debido a Rudolf Haag nos dice que esta representación no se puede utilizar para campos cuánticos que interactúan. A día de hoy, no sabemos como extender una interpretación de los campos cuánticos como hechos de partículas, como entidades contables individualmente, a sistemas con interacción. No hay ninguna manera conocida de "contar partículas" en sistemas con interacción. Por eso en física de partículas sólo usamos el concepto de partícula física cuando estudiamos interacciones en los instantes asintóticamente "anteriores" y "posteriores" a la interacción, pero no durante.
Más aún, en teoría cuántica de campos en espacios curvos, en un espaciotiempo general, los campos cuánticos están en estados para los que no es posible dar una interpretación en términos de superposiciones ni mezclas estadísticas de estar hechos de partículas, ya que no es posible hacer una distintinción entre operadores aniquilación y operadores creación, al no haber en general vectores de Killing que nos den una coordenada temporal privilegiada que nos permita clasificar a los modos del campo como "de frecuencia positiva" o "de frecuencia negtiva", así que sólo se usa allí el concepto físico de partículas para estados donde el campo gravitatorio sea constante asintóticamente antes y después de algún proceso, por ejemplo, el proceso de colapso de un objeto para formar un agujero negro.
Conclusión
En la teorá cuántica de campos los objetos fundamentales son los campos. Sin embargo, detectamos las excitaciones de éstos en forma de partículas. Esto nos lleva pensar que quizás los campos sin un mito, y que lo que realmente existe son las partículas. Sin embargo, hemos visto que observadores acelerados unos respecto de otros no se van a poner de acuerdo en cuántas partículas hay, ni siquiera si en un proceso concreto lo que se está haciendo es absorberse o emitirse una partícula, y en los escenarios físicamente más interesantes (campos que interaccionan, espaciotiempos no constantes) no exise una maneta de dar una interpretación de los estados de estos campos en términos de partículas.
La inevitable conclusión es que no podemos decir, de manera general y con propiedad, que "la luz está hecha de fotones". La luz lo que es es un campo cuántico, un ente no directamente relacionado con la observación. En mi opinión, esto no nos lleva a ninguna contradicción filosófica ni ningún callejón sin salida. Después de todo, como dice Quine, los objetos físicos no son más que supuestos que sirven para simplificar el tratamiento de la experiencia, de la misma manera que en matemáticas la introducción de los números irracionales nos permite ir más rápido de una ley de los números racionales a otra ley de los racionales. Los objetos físicos, como los campos cuánticos, no son más reducibles a la experiencia de lo que son los números irracionales a los racionales, pero su incorporación en las teorías nos permite ir más fácilmente de un suceso de la experiencia a otro. Es decir, los objetos físicos, como los campos cuánticos con los que explicamos tan bién la física de partículas, no se definen a partir de la experiencia, sino que son supuestos epistemológicos comparables a los dioses de Homero, y no difieren de éstos en naturaleza, sino en grado: el mito de los objetos físicos es epistemológicamente superior porque ha probado ser mucho más eficaz que el resto de mitos como procedimiento para elaborar una estructura que nos permite manejar mejor el flujo de la experiencia sensible, y por eso hemos de creer en los objetos físicos y no en los dioses. Siendo el modelo estándar la teoría más amplia y precisa de toda la historia de la ciencia, ¿nos vamos a negar a creer en un buen trozo importante de los elementos inobservables o no directamente relacionados con la experiencia que posee? Está claro que no podemos. Lo mismo cabe decir de las entidades abstractas que se manejan en matemáticas, son también supuestos convenientes para organizar mejor la experiencia sensible y, habiendo tanta evidencia empírica en que no hay inconsistencias, no tenemos más remedio que creérnoslas. La ciencia es una prolongación del sentido común que consiste en hinchar la ontología con los objetos físicos y matemáticos adecuados para así simplificar la teoría.
Referencias bibliográficas
- Hernández Cuencia S. (2014) "The Standard Model of... Particle Physics? An imperative reflection on the troublesome particle ontology".
- Quine W. V. O. (1948), "What is there", en Desde un punto de vista lógico, Orbis.
- Quine W. V. O. (1951), "Two Dogmas of Empiricism," Philosophical Review, Vol 60, en Desde un punto de vista lógico, Orbis.
- Unruh, Wald (1984), "What happens when an accelerating observer detects a Rindler particle", Physical Review D, 29, 6.
- Wald R. M. (1994), Quantum Field Theory in curved spacetimes. Chicago University Press.
- Witten E. (2024), "Introduction to Black Hole Thermodynamics", arXiv:2412.16795 [hep-th].
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