CURSO DE MECÁNICA CUÁNTICA: 10 - Los estados cuánticos y la notación de Dirac

 

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¿Se quedan las cosas igual si les damos una vuelta completa?

Tome usted un folio rectangular de tamaño A4.

Gírelo 45 grados. ¿Se queda igual? Es evidente que no. Ahora está inclinado.

Ahora gírelo 90º. Sigue sin estar igual. Antes estaba en posición horizontal, pero ahora está vertical.

¿Y si lo giramos 180ª? Entonces sí se queda igual.

Como el folio se queda invariante al realizar una rotación de 180º, entonces decimos que tiene simetría de rotación al girarlo 180º, o cualquier múltiplo de 180º.

Tomemos ahora un triángulo equilátero.

En este caso esta figura, para que se quede igual, hay que rotarla  120º o cualquier múltiplo de 120º.

Pero si elegimos una figura que no tiene ninguna simetría, como por ejemplo:

Entonces la única forma de que se quede igual es rotarla 360º, es decir, dándole una vuelta completa.

Esta última propiedad que hemos descrito, ¿es universal? ¿Se quedan todos los objetos igual al darles una vuelta completa? La mayoría de las personas piensan que sí. Vaya pregunta más estúpida, ¿verdad? Incluso hay quien se atreve a afirmar que el enunciado que dice "Todos los objetos se quedan igual si les damos una vuelta completa" es un juicio analítico, esto es, un enunciado cuya verdad o falsedad no necesita ser comprobada experimentalmente. Es un teorema matemático, una "verdad absoluta" a la que tienen que obedecer todos los objetos del universo.

Pero la realidad es que se trata de un enunciado sintético. El motivo por el que la mayoría de las personas están convencidas de que los objetos se quedan igual al darles una vuelta completa es porque tienen una fuerte evidencia experimental a favor de este enunciado, ya que han manipulado objetos y los han girado desde que tenían pocos meses de vida. Todos los objetos que les damos a los bebés para que jueguen se quedan igual al rotarlos 360º.

Sin embargo, si dejáramos a los bebés jugar directamente con electrones, entonces no sacarían la conclusión de que todos los objetos se quedan igual al darles una vuelta completa. Los electrones no se quedan igual. De hecho, son objetos a los que es necesario darles dos vueltas para que se queden igual. ¿Cómo es eso posible? Eso es lo que voy a tratar de explicar en este post.

 

El problema de la demarcación entre ciencia y pseudociencia

El nombre de pseudociencia se aplica a toda creencia o práctica que es presentada como ciencia, pero que en realidad no lo es. Las pseudociencias constituyen un grupo bastante heterogéneo, ya que en esta definición se incluyen:

• creencias antiguas con cierto arraigo, como la astrología.
• nuevas modas, muchas veces impulsadas por colectivos de timadores que pretenden obtener beneficios económicos valiéndose del prestigio de la ciencia. Aquí entran por ejemplo terapias que no funcionan más allá del efecto placebo como la homeopatía.
• ideologías dogmáticas impuestas por los que ostentan el poder. Aquí entra por ejemplo la economía neoliberal, cuyos mantras utópicos nos son vendidos como si fueran leyes científicas bien establecidas.

A primera vista uno podría pensar que el problema de las pseudociencias es un problema fácil de resolver. Basta con enseñar a la población la diferencia entre lo que es ciencia y lo que no lo es. Y esto podemos hacerlo a dos niveles: con una mejor educación científica en las escuelas, y con una mejor divulgación científica en los medios de comunicación.

Título de un vídeo de un conocido medio que realiza una importante labor para contrastar noticias y desmentir bulos.

Sin embargo, ¿realmente somos capaces de dar unas pautas sencillas que nos permitan demarcar sin ambigüedad qué creencia o práctica es científica? ¿Realmente el sistema educativo está contribuyendo a dar a la población la formación científica necesaria para distinguir ciencia de pseudociencia? ¿Está ayudando también la divulgación científica que se está haciendo a esta empresa? ¿Nos están ayudando los científicos profesionales? ¿Nos ayudan los profesionales de la salud a que no caigamos en los engaños de las pseudoterapias? Desgraciadamente, ninguna de estas preguntas tiene una respuesta afirmativa. En este artículo vamos a analizar sólo la primera pregunta. El lector interesado en las demás preguntas puede consultar este otro artículo. Por tanto, aquí nos vamos a centrar en responder a esta pregunta: ¿Realmente somos capaces de dar unas pautas sencillas que nos permitan demarcar sin ambigüedad qué creencia o práctica es científica?

FÍSICA BACHILLERATO: Guía de prácticas de laboratorio

En esta entrada los estudiantes de bachillerato y de primeros años de universidad pueden encontrar la información básica que necesitan para iniciarse en el trabajo experimental en el laboratorio. Yo no soy partidario de dar a los estudiantes un guion de prácticas detallado para cada práctica que indique paso a paso todo lo que hay que hacer. En su lugar, prefiero obligar a los estudiantes a diseñar ellos el experimento.

Diseño del experimento

En ciencia los experimentos se diseñan con un objetivo: poner a prueba una o varias hipótesis que tratan de responder a lo que nos estamos preguntando. Estas hipótesis pueden ser afirmaciones aisladas o enunciados que forman parte de una teoría previa al experimento, pero en ambos casos se han elaborado de acuerdo con los conocimientos que se tienen hasta el momento sobre el tema. Por ello, antes de diseñar el experimento tenemos que dejar claro en nuestro cuaderno de laboratorio cuál es la/s pregunta/s que tratamos de responder y con qué hipótesis trabajamos para responderla/s.

A continuación diseñamos el experimento para poner a prueba esas hipótesis. Para ello, dibujamos en nuestro cuaderno de laboratorio un esquema del montaje experimental, indicamos qué magnitudes vamos a medir y cómo vamos a hacerlo. De esta forma preparamos nuestro cuaderno de laboratorio (físico en papel o electrónico) con una serie de tablas con las casillas vacías donde vamos a ir escribiendo los datos experimentales según los vayamos obteniendo. Junto que esas tablas tiene que venir bien claro en nuestro cuaderno cómo vamos a analizar esos datos y qué vamos a calcular a partir de ellos. También indicamos qué esperamos obtener en este análisis si la hipótesis que estamos sometiendo a examen fuera correcta.

Nótese que a la hora de hacer todo esto necesitamos trabajar con hipótesis auxiliares (por ejemplo, “el rozamiento es despreciable”, “este tiempo es muy pequeño con respecto al otro y lo despreciamos”, etc) muchas de las cuales puede que no vayamos a comprobar ni siquiera a posteriori. Es muy importante que apuntemos también estas hipótesis adicionales en nuestro cuaderno ya que los resultados de nuestro experimento no van a ser generales, van a depender de que estas hipótesis adicionales sean correctas. Es decir, al final sólo podremos afirmar que “siempre que el rozamiento sea despreciable se cumplirá esta conclusión: …”, etc.

Es importante no olvidarse de que es falso que en ciencia el experimento sea anterior a la teoría e independiente de ésta. Hay algunas cuestiones básicas de filosofía de la ciencia que conviene tener claras antes de entrar en el laboratorio:

• La observación y la experimentación en ciencia

Ejecución del experimento

Una vez montado el experimento, antes de medir, tenemos que comprobar que hemos escrito en nuestro cuaderno todas las hipótesis y que hemos indicado cuáles vamos a comprobar y cuáles no. A continuación nos familiarizamos con el funcionamiento del dispositivo y de todos los aparatos y sólo después de esto comenzamos a medir rellenando la tabla que hemos preparado (¡NADA DE RETENER LOS DATOS EN LA MEMORIA EN VEZ DE APUNTARLOS!). En este punto hay que tener especial cuidado en:

• apuntar la sensibilidad de todos los aparatos de medida utilizados
• estudiar cómo de preciso es el método utilizado. Esto lo hacemos midiendo las veces que consideremos conveniente (más veces cuanto más dispersos se obtengan los datos), tomando como el valor de la medida la media de todas las medidas y como su incertidumbre experimental el mayor entre la sensibilidad y el error de precisión. Todo esto también se apunta en el cuaderno de laboratorio. El error de precisión (error aleatorio) se puede estimar burdamente en Bachillerato calculando el resultado de restar el mayor menos el menor y dividir entre dos. En la universidad vas a necesitar calcular la desviación típica con la corrección de Bessel.

Para hacer esto es muy importante que tengas claro cuál es la diferencia entre sensibilidad, precisión y exactitud: 

• La diferencia entre sensibilidad y precisión
• La diferencia entre precisión y exactitud

Análisis de los resultados

Tras realizar el experimento analizamos los resultados siguiendo los pasos que habíamos previsto en nuestro cuaderno de laboratorio. En este análisis es muy importante que estimes bien cuáles son las incertidumbres experimentales y cómo se propagan. La información que necesitas para hacer esto la tienes en estos vídeos:

• Propagación de errores. 
• Ejemplo de medida múltiple y su aplicación a la propagación de errores.

La mejor forma de analizar unos resultados experimentales es mediante gráficas. Típicamente lo que hacemos será, si lo que queremos es comprobar una ley de la forma y=mx+n, representar los puntos (x,y) en una gráfica para:

• Comprobar hasta qué grado se aproximan a una recta. Esto lo hacemos realizando el ajuste de mínimos cuadrados y viendo cuantos nueves tiene el coeficiente de correlación obtenido.
• Hallar m y n (cada una con su error) para la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales y comprobar si corresponden con los valores esperados.

Puedes aprender a hacer esto con este vídeo:

• Método experimental. Ajuste por el método gráfico.

Elaboración de la memoria de prácticas

Al final el alumno tendrá que elaborar un breve informe de todo el trabajo realizado y entrégaselo al profesor. El informe debe incluir todos y cada uno de los apartados siguientes:

1. Portada. Con tu nombre y apellidos, grupo, nombre del profesor, nombre de la práctica realizada y nombre de los compañeros con los que realizaste la práctica.
2. Breve introducción teórica. Se debe redactar una breve descripción del objetivo/objetivos de la práctica ¿Qué pretendíamos averiguar? ¿Qué hipótesis vamos a comprobar que tratan de dar respuesta a esa pregunta? ¿Qué propiedades hemos medido para conseguirlo? ¿Cómo se definen esa propiedades?
3. Breve descripción del método utilizado, del montaje experimental y de las HIPÓTESIS UTILIZADAS. No olvides indicar qué magnitudes se han medido directamente y cómo se ha procedido para calcular las magnitudes derivadas buscadas; así como una exposición del método de medida. Indica también si el método utilizado para medir es preciso o no y cuál es la sensibilidad de los aparatos utilizados.
4. Datos experimentales. Se presentarán los resultados experimentales, en forma de tablas. Comenta también las incidencias ocurridas en la realización de la práctica.
5. Presentación y discusión de los resultados. Conclusiones. LOS RESULTADOS HAN DE PRESENTARSE CON CLARIDAD, ¡con sus unidades, errores absolutos y errores relativos! Ha de indicarse cómo se han obtenido los resultados y presentarlos mediante gráficas. Éstos han de ir acompañados de su correspondiente discusión. No olvides contrastar las hipótesis que inicialmente hiciste (las que se puedan ¿son correctas? ¿no lo son?). Si existiese alguna discrepancia con lo esperado de antemano intenta explicar las posibles causas. Expón, si es posible, las sugerencias que tienes para mejorar y/o continuar con ese trabajo experimental.
6. Conclusiones.
7. Bibliografía utilizada. Indispensable.

Funciones de onda que dependen a la vez de las coordenadas y de los momentos. Parte 2: Estados estrujados generalizados y funciones de distribución cuánticas

En el artículo anterior hemos visto que es posible definir una representación, denominada holomorfa, en la que las funciones de onda dependen, a la vez, de las coordenadas $q$ y de los momentos $p$. Aunque el sistema cuántico con el que estamos trabajando sea muchísimo más complicado que el oscilador armónico, dado un número real positivo $\omega$, podemos definir los correspondientes operadores aniquilación y creación como

$ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} + i \hat{p}) $

$ \hat{a}^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} - i \hat{p}) $

de forma que $\omega$ se interpreta como la frecuencia asociada a un oscilador armónico de masa $m=1$. Denotamos los correspondientes estados estacionarios de este oscilador como $|n\rangle$. Si trasladamos el estado fundamental de este oscilador armónico por el espacio de fases hasta que esté centrado en el punto $(q,p)$, podemos obtener el estado coherente $|\alpha\rangle$, donde $\alpha$ es un número complejo cuyas partes reales e imaginaria son, salvo factores multiplicativos, respectivamente $q$ y $p$.

$ \alpha=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q+\frac{i}{\omega} p \right) $

Para conseguir la función de onda correspondiente al estado $|\psi \rangle$ en esta representación sólo hay que multiplicar escalarmente este estado por el estado coherente.

$ |\alpha\rangle_{\rm bad} = e^{\frac{1}{2}|\alpha|^2} | \alpha\rangle $

Este estado no está normalizado a la unidad. Esto es importante, porque si tomamos el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa,

$ | _{\rm bad} \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $

lo que se obtiene es el módulo al cuadrado de un producto escalar de estados cuánticos donde uno de ellos no está normalizado a la unidad. Es por ello que no podemos interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa como una probabilidad cuántica.

También hemos visto que la versión normalizada de este estado coherente no es más que el estado fundamental para un oscilador armónico (que es un estado que satura la relación de indeterminación de Heisenberg) trasladado por el espacio de fases mediante el operador desplazamiento de Weyl.

$ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$

Por ello, si normalizamos adecuadamente a la unidad los estados coherentes utilizados como base en la representación holomorfa, aunque ésta deja de ser holomorfa, el módulo al cuadrado de la función de onda así obtenida

$ | \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $

sí que es una probabilidad cuántica asociada a cada punto del espacio de fases. A esta distribución de probabilidad se la denomina distribución de Husimi. ¿Cuál es su significado físico y qué propiedades tiene? Una de las cosas que vamos a hacer en este artículo es ver en mayor detalle cómo podemos utilizar los estados coherentes para definir funciones de distribución de probabilidad en el espacio de fases.

Las bases de estados coherentes nos permiten explorar en qué punto del espacio de fases se encuentra una partícula cuántica, con la mejor resolución posible dentro de lo que nos permite el principio de indeterminación. La pregunta que surge ahora es, ¿es la representación de estados coherentes la más general posible que se puede conseguir con la técnica de realizar transformaciones en el espacio de fases sobre el estado fundamental del oscilador armónico? Además de traslaciones en el espacio de fases, podemos someter también al estado fundamental del oscilador armónico a otras transformaciones, como rotaciones y estrujamientos. Para asegurarnos de que estamos trabajando con la base de estados $|q,p\rangle$ más general posibles, en este artículo vamos a estudiar cómo afectan a estos estados las distintas transformaciones que podemos hacer en el espacio de fases de la partícula. Esto nos va a permitir generalizar los resultados de la primera parte de este artículo.

Funciones de onda que dependen a la vez de las coordenadas y de los momentos. Parte 1: La representación holomorfa

El principio de indeterminación nos dice que, cada partícula, en su movimiento, no sigue una trayectoria bien definida. Un error común consiste en pensar que lo que nos dice este principio es que las trayectorias de las partículas están ocultas para nosotros. Sin embargo, el principio de indeterminación va mucho más allá. Lo que dice no es sólo que no podemos saber con total precisión cuál es la trayectoria que ha seguido una partícula, sino que la trayectoria, como ente físico, no existe. Usted, querido lector, puede afirmar que su cuerpo ha seguido, desde que se levantó esta mañana de la cama hasta el lugar donde ha tomado el desayuno, una trayectoria bien definida con una precisión de más/menos un micrómetro, pero cada uno de los electrones, protones y neutrones que forman parte de su cuerpo no ha seguido ninguna trayectoria concreta. Y, si no han seguido ninguna trayectoria bien definida, tampoco tienen en cada instante de tiempo unos valores de las coordenadas que dan la posición $q$ y las que dan el momento $p$ bien definidos simultáneamente (ya que, si estuvieran bien definidos en cada instante de tiempo, entonces la trayectoria también estaría bien definida).

Aunque todos los sistemas físicos obedecen al principio de indeterminación, sí es posible seguirle el rastro, seguirle la trayectoria con cierta incertidumbre experimental, a la mayoría de los sistemas macroscópicos. Por ejemplo, es posible ver cómo una aguja de un aparato de medida va pasando de la posición 5 a la posición 6. De esto se aprovecha la mecánica cuántica: los aparatos de medida con los que estudiamos los sistemas físicos son siempre, en buena aproximación, clásicos. Estudiando cómo evoluciona ese sistema clásico mientras interacciona con el sistema cuántico podemos obtener información sobre el sistema cuántico. Este truco nos permite hacer física a pesar del principio de indeterminación.

Pero el precio que tenemos que pagar es trabajar con magnitudes físicas que no son características sólo del sistema cuántico, sino que son propiedades del conjunto formado por el sistema cuántico y los aparatos de medida [Landau1962]. Las características dinámicas de los objetos cuánticos sólo están, por tanto, asociadas a los resultados de la medición cuántica, y por eso se les llama "observables". Por ejemplo, si dispongo los aparatos para medir con muchísima precisión la posición de una partícula, el observable posición $q$ tomará un valor bien definido, y podemos llamar $|q\rangle$ al estado cuántico en el que se encuentra la partícula. Pero entonces el observable momento $p$ no tomará una valor bien definido. ¡Ojo! No es que tome un valor bien definido desconocido para nosotros, sino que no toma ningún valor en concreto. Al ser una característica asociada, no sólo al sistema cuántico, sino también a una disposición concreta de los aparatos de medida que hemos decidido no implementar, es una característica de algo que no existe en ese momento y, por tanto, su valor no existe en ese momento. Si, después, ponemos los aparatos de medida de tal forma que midan la velocidad, entonces el observable momento $p$ sí tomará un valor bien definido y llamamos al estado cuántico correspondiente $|p\rangle$, pero entonces el observable posición $q$ estará indeterminado. Por simplicidad nos limitaremos al caso unidimensional en el que hay sólo una coordenada espacial $q$ y su momento asociado $p$, pero todo lo que vamos a ver se puede generalizar para cualquier número de dimensiones.

En general, el estado mecanocuántico $|\psi \rangle$ en que se encuentra una partícula va a ser un estado superposición de estados $|q\rangle$ con posición bien definida diferente:

$ | \psi \rangle = \int dq \psi (q) | q \rangle $

Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ la posición de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\psi(q)$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir la posición de la partícula, obtengamos el valor $q$. A la función $\psi$ que asigna a cada posición $q$ la amplitud de probabilidad $\psi (q)$ se la denomina función de onda en la representación de coordenadas de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\psi (q)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminada está la posición de la partícula.

Análogamente, este mismo estado $|\psi \rangle$ también se puede escribir como superposición de estados $|p\rangle$ con momento bien definido diferente:

$ | \psi \rangle = \int dp \tilde{\psi (p)} | p \rangle $

Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ el momento de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\tilde{\psi(p)}$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir el momento de la partícula, obtengamos el valor $p$. A la función $\tilde{\psi}$ que asigna a cada momento $p$ la amplitud de probabilidad $\tilde{\psi} (p)$ se la denomina función de onda en la representación de momentos de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\tilde{\psi} (p)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminado está el momento de la partícula.

La función $\tilde{\psi} (p)$ contiene exactamente la misma información que la función de onda en la representación de coordenadas $\psi (q)$ y todo estudiante de física sabe que se puede pasar de una a la otra mediante una transformación unitaria que se denomina transformada de Fourier.

Por tanto, parece que tenemos básicamente dos opciones. O bien representamos el estado cuántico $|\psi\rangle$ mediante la función de onda $\psi(q)$, con la que se visualiza perfectamente la indeterminación de la posición de la partícula, o bien trabajamos con $\tilde{\psi}(p)$ para visualizar la indeterminación en el momento. Sin embargo, en realidad existen infinitas formas de especificar el estado cuántico que son distintas a $\psi(q)$ y $\tilde{\psi}(p)$. ¿Es posible construir una función de onda $\psi^\prime (q,p)$ que represente al estado cuántico $|\psi\rangle$ y que sea dependiente tanto de las coordenadas como de los momentos? Eso es lo que vamos analizar en este artículo.

¿Qué es cuantizar?

A principios del siglo XX la física sufrió dos revoluciones que la cambiaron para siempre. La mayor de ellas, la revolución cuántica, nos hizo ver que objetos matemáticos que dábamos por hecho que poseían existencia física, como, por ejemplo, la trayectoria de las partículas, en realidad de forma precisa no existen en la naturaleza. El principio de indeterminación nos dice que las partículas elementales no son ni ondas ni corpúsculos clásicos, sino unos objetos cuánticos que, en su movimiento, no siguen una trayectoria bien definida. En la teoría que describe el comportamiento de estos objetos, la mecánica cuántica, las variables dinámicas como la posición $x$ o la cantidad de movimiento $p$ no son números reales, sino operadores $\hat{x}$, $\hat{p}$ en un espacio vectorial cuyos elementos son los estados de la partícula cuántica. El principio de indeterminación da lugar a que estos operadores no conmutan, sino que obedecen a la relación de conmutación $ [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$. Todo en la naturaleza es cuántico y, por tanto, obedece a los principios de la mecánica cuántica.

Se denomina cuantización a los procedimientos que nos permiten obtener una descripción cuántica de un sistema físico a partir de su descripción clásica. Gracias a los métodos de cuantización, podemos pasar de la mecánica clásica de un sistema físico a la mecánica cuántica del mismo. Por ejemplo, si tomamos el oscilador armónico clásico, cuyo hamiltoniano$$
H=\frac{{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2{x}^2
$$ es una constante de movimiento que puede tomar cualquier valor mayor o igual que cero, y promocionamos las funciones $x$ y $p$ del espacio de fases a operadores en un espacio de Hilbert con la relación de conmutación antes descrita, obtenemos el oscilador armónico cuántico. En éste, por culpa del principio de indeterminación, el estado de menor energía no es el de $E=0$, sino el de $E=\hbar \omega /2$, mientras que los demás niveles toman, por ser un sistema ligado, valores discretos, en este caso separados por $\hbar \omega$. Análogamente, si cogemos la descripción clásica del átomo de hidrógeno, la del modelo de Rutherford, en la que un electrón orbita en torno a un protón, y promocionamos la posición y la cantidad de movimiento del electrón a operadores, obtenemos el modelo mecanocántico del átomo de hidrógeno, en el que, también por culpa del principio de indeterminación, el electrón en el estado de menor energía está deslocalizado en torno al protón en una región de un tamaño del orden de magnitud de $$ a_0=\frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2}$$

Al método de cuantización que acabamos de describir se le denomina cuantización canónica. Éste consiste en promocionar a operadores las funciones del espacio de fases del sistema clásico, imponiendo las relaciones de conmutación adecuadas. Sin embargo, éste no es el único método de cuantización que existe. Hay otros métodos, como son la cuantización geométrica, la integral de camino de Feynman, la basada en las funciones de distribución cuánticas, etc.

En los dos ejemplos que acabamos de mencionar, o en el caso más general de una partícula no relativista sometida a un potencial $V(x)$, al promocionar $x$ y $p$ a operadores no tenemos ningún problema de ambigüedad en la mayoría de las aplicaciones por el hecho de que en la teoría cuántica $\hat{x}$ y $\hat{p}$ no conmutan. Sin embargo, en el momento en el que estamos interesados en observables que clásicamente sean funciones tanto de $x$ como de $p$, o en sistemas con hamiltonianos que poseen términos que combinan $x$ con $p$ (como por ejemplo en el caso de una partícula cargada) entonces hay distintas formas de asignar, a cada observable $f(x,p)$ en mecánica clásica, su correspodiente observable $f(\hat{x},\hat{p})$ en mecánica cuántica. Hay distintas asignaciones posibles porque estos observables dependen de con qué criterio se ordenan los productos de $x$ con $p$. A cada una de estas formas se le denomina esquema de cuantización, y cada uno de ellos da lugar a predicciones distintas, con lo que es importante saber cuál es el adecuado en cada caso. Es importante señalar que este problema de saber qué orden es el adecuado en el hamiltoniano y en los observables mecanocuánticos aparece de forma genérica incluso aunque impongamos que estos operadores deben ser hermíticos. La condición de hermiticidad no es suficiente para fijar sin ambigüedad qué observable mecánocuántico $f(\hat{x},\hat{p})$ es el que se corresponde con el observable clásico $f(x,p)$. Son en última instancia los experimentos los que tienen que decidir cuál es el esquema de cuantización adecuado para un sistema físico.

Bien, supongamos que tenemos resuelto para un sistema físico concreto el problema del esquema (orden) de cuantización. Para muchos estudiantes, la cuantización es un procedimiento que, aunque pueda ser en la mayoría de casos mucho más largo y tedioso que en el oscilador armónico o el átomo de hidrógeno, es directo, una vez que se ha elegido el esquema de cuantización adecuado. Piensan que los distintos métodos de cuantización son recetas infalible mediante las cuales, a partir de una teoría clásica concreta, se obtiene su correspondiente teoría cuántica.

En este artículo vamos a ver por qué esta visión ingenua que tienen en general los estudiantes después de su primer curso de mecánica cuántica en la universidad es incorrecta, y que la razón es mucho más profunda que la ambigüedad de orden que acabamos de mencionar. Esto lo vamos a hacer utilizando como ejemplo los intentos de cuantización de la partícula relativista. De la misma manera que en nuestro primer curso de cuántica en la universidad teníamos una partícula clásica no relativista sometida al potencial del oscilador armónico, o al del átomo de hidrógeno, y la hemos hecho cuántica, ahora vamos a intentar hacer lo mismo con la partícula relativista. A ver qué ocure.

La vuelta a clase "voluntaria" vulnera el derecho a la educación de niñas, niños y adolescentes

En la película El Cabezota, Pedro Pinzalez es un hombre viudo que vive con su hijo Pedrín, de unos siete años de edad, cazando, pescando y cultivando la huerta familiar. Esto le lleva a considerar que enseñar a vivir a su hijo es mejor que cualquier otro tipo de educación, y por ello se niega a llevar a Pedrín a la escuela cuando en 1857 entra en vigor la Ley Moyano, que establecía la obligatoriedad de la primera enseñanza. Que un padre se oponga a que su hijo reciba cualquier tipo de educación es una actitud que nos parece de una necedad que roza lo absurdo, incluso aunque se trate de una historia ambientada en el siglo XIX, pero la realidad en España es que más de un siglo después de que se promulgara la Ley Moyano se seguía sin escolarizar al 100% de los niños y niñas, tanto por oposición de algunas familias como por el hecho de que las administraciones no garantizasen plazas para todos en los colegios.

Hoy el Estado Español es, desde 1978, un estado democrático en el que la educación se considera un derecho fundamental. Este derecho, como tal, viene recogido en la Constitución. El artículo 27 establece que todos tienen derecho a la educación y, además, define de un modo preciso el concepto de educación que habrá de ser aplicado cuando señala que "la educación tendrá pòr objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana en el respeto a los principios democráticos de convivencia y a los derecho y libertades fundamentales". Para garantizar ese derecho a la educación de nuestros niños, niñas y adolescentes, la Ley Orgánica de Educación (LOE) y su modificación posterior, la nefasta LOMCE, establecen como obligatorias las etapas de educación primaria (desde los 6 hasta los 12 años) y la secundaria obligatoria (hasta los 16 años).

Es importante señalar que no fue nada fácil conseguir esta obligatoriedad para todos hasta los 16 años. El primer paso importante lo dio la Ley General de Educación de 1970, que posibilitó en la década de los setenta del pasado siglo la escolaridad de la totalidad de la población por primera vez en la historia de España, y que no se discriminara a los niños y niñas a los 10 años, como ocurría con la Ley Moyano. Y no fue hasta 1990 cuando, con una nueva ley, la LOGSE, nuestros gobernantes tomaron la valiente decisión de garantizar que todos los menores de 16 años estén escolarizados independientemente de su condición socioeconómica o del interés que tengan sus progenitores en su educación.

Nunca me he visto en la necesidad de tener que explicar esto a nadie, ni mucho menos de escribir sobre este asunto, hasta que la respuesta que nuestros gobernantes están dando en materia educativa a la pandemia del COVID-19 me ha dejado de piedra. Voy a centrarme en la Comunidad de Madrid, pero en el resto de comunidades autónomas está ocurriendo algo parecido.

Hay matemáticas que no serán obligatorias en el Bachillerato de Ciencias, pero no son las que tú piensas

Seguramente habrás leído que con la nueva ley educativa, la LOMLOE, la asignatura de Matemáticas va a dejar de ser obligatoria en el Bachillerato de Ciencias y en el de Sociales. Es un motivo para estar muy enfadado. Tener conocimiento sólido de matemáticas a nivel de bachillerato es fundamental para casi cualquier actividad en la sociedad actual, ya sea a nivel laboral o a nivel de ejercer nuestros derechos como ciudadanos en un país democrático. No debería repetirse en nuestro país la vergonzosa escena que tuvo lugar en cierto debate electoral, en la época en la que la mayoría de los españoles pensaba que sólo era viable votar a dos únicos partidos, en la que el líder del Partido Socialista Obrero Español mostraba una gráfica acerca de la evolución del precio de la vivienda y, probablemente a causa de su ignorancia él, y de claras malas intenciones por parte de sus asesores, confundía la función que nos da el precio medio de la vivienda en España en cada instante de tiempo con su derivada (en concreto, con la derivada de su logaritmo neperiano). El líder del Partido Popular podía haber destrozado a su contrincante allí mismo, poniendo en evidencia el grave error básico en matemáticas de su adversario, si no hubiese sido porque los "sobres" que le habían dado no eran precisamente "sobresalientes en las asignaturas de matemáticas". Pocos se dieron cuenta de que realmente el precio de la vivienda no estaba disminuyendo, sino que lo que disminuía era la velocidad con la que aumentaba el precio de la vivienda. Dos líderes políticos completamente anuméricos estaban disputándose la presidencia del gobierno gracias al anumerismo generalizado de los ciudadanos que estaban llamados al voto.

Durante la primera semana de marzo de 2020, mientras crecía exponencialmente el número de infectados con SARS-CoV-2, ningún líder político de ningún partido tenía entre sus asesores a nadie pendiente de la epidemia que dominara las matemáticas a nivel de bachillerato, y eso resultó en un retraso de una semana por parte de todas las administraciones en reforzar el sistema sanitario y tomar medidas. Aunque, quizás, el ejemplo más claro de por qué es peligroso un anumerismo generalizado entre la población es que la extrema derecha se vale de este anumerismo para propagar su mensaje de odio.

Como iba diciendo, que la asignatura de Matemáticas deje de ser obligatoria en Ciencias y en Sociales es un motivo para estar muy enfadado. Y yo estaría muy enfadado si realmente fuera así. Sin embargo, lo que ocurre es que la asignatura de Matemáticas sí va a ser obligatoria en el Bachillerato de Ciencias y en el de Sociales. Hay periodistas que están mintiendo. Entonces, ¿a qué viene el revuelo que están montando los matemáticos en las redes sociales? ¡Si hasta las tres reales sociedades (Matemáticas, Física y Química) han emitido un comunicado conjunto de queja! Voy a tratar de explicar lo que está pasando.

FÍSICA BACHILLERATO: Trabajo y energía para 1º de Bachillerato

Una vez los estudiantes de Bachillerato están familiarizados con el concepto de producto escalar

pueden estudiar el concepto físico de trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo como el producto escalar de esa fuerza por el vector desplazamiento, cuando la fuerza es constante. En este vídeo se explica también qué pasa si la fuerza no es constante, y se aclara la relación entre trabajo, energía cinética, energía potencial, energía mecánica y calor:

FÍSICA BACHILLERATO: Planos inclinados y masas enlazadas

En este vídeo explico a los estudiantes de 1º de Bachillerato cómo utilizar las leyes de Newton para resolver problemas de planos horizontales e inclinados. Explico que la normal es la fuerza que ejerce el plano sobre el objeto para evitar ser penetrado y, como tal, su módulo es lo justo para evitar que el plano sea penetrado. También explico que la fuerza de rozamiento no se opone el movimiento, sino al movimiento relativo entre los dos objetos que friccionan. Por último, también explico que cuando la superficie no es plana (plano inclinado con inclinación variable, es decir, que no es plano) la normal no es igual a la componente del peso perpendicular al plano.

En este otro vídeo explico cómo los objetos físicos pueden ejercerse fuerzas entre ellos a través de la tensión de una cuerda, y explico cómo funciona la polea:

FÍSICA BACHILLERATO: Movimientos en el plano

En este vídeo explico a los estudiantes de 1º de Bachillerato cómo descomponer el movimiento de un objeto que se mueve por un plano en dos movimientos: uno en el eje x y otro en el eje y.

En este otro vídeo explico que esta descomposición muchas veces es más útil tomando como referencia, en vez de los ejes cartesianos x e y, la dirección de la velocidad:

• La componente de la fuerza total que se aplica sobre el cuerpo en la dirección de la velocidad se denomina fuerza tangencial, y provoca que el módulo de la velocidad cambie.
• La componente de la fuerza total en la dirección perpendicular a la velocidad se denomina fuerza centrípeta o fuerza normal, y provoca que vaya cambiando la dirección de la velocidad.

FÍSICA BACHILLERATO: Las leyes de Newton y la conservación del momento lineal

En este vídeo explico, a nivel de 1º de bachillerato, por qué las leyes de Newton en el fondo son consecuencia de la ley de conservación del momento lineal, también llamado cantidad de movimiento. Considero que, al contrario de lo que se hace tradicionalmente, es mejor enfocar en este curso las leyes de Newton como una consecuencia de las transferencias de cantidad de movimiento entre cuerpos.

FÍSICA BACHILLERATO Y ESO: Movimientos rectilíneos

Enseñar a los estudiantes de 4º de ESO los contenidos de cinemática, básicamente movimientos rectilíneos, entraña la dificultad de que los estudiantes de estas edades todavía no saben representar gráficamente correctamente funciones de una variable real, ni conocen todavía el concepto de derivada.

En este post recopilo materiales de elaboración propia para que los estudiantes comprendan los conceptos de velocidad y aceleración desde un triple punto de vista: físico, algebraico y geométrico.

FÍSICA BACHILLERATO Y ESO: El principio de relatividad

El principio de relatividad forma parte del currículo oficial de las asignaturas de Física y Química de 4º de ESO y de 1º de Bachillerato, porque es fundamental para entender la ley de inercia. Probablemente sea el principio más importante y más fundamental de toda la física. En éste está basada tanto la física de Newton como la de Einstein. Aquí tenéis acceso a unos recursos para trabajar este contenido con los estudiantes. Hay que trabajarlo por el orden que viene aquí, y es conveniente debatir en clase los contenidos de los vídeos tras verlos o, si es online, hacer preguntas a los estudiantes tras ver cada vídeo para comprobar qué han entendido.

• Visionado del vídeo:

• Visionado de otro vídeo al que puede accederse mediante este enlace.

• Visionado de un tercer vídeo:

• Lectura y resumen de este artículo: La física de Newton también está basada en el principio de relatividad