FÍSICA BACHILLERATO: El momento angular

Uno de los conceptos físicos que más cuesta entender a los estudiantes de Bachillerato es el de momento angular. En este post intento solucionar este problema. Resumiendo mucho, el momento angular de un cuerpo es como la cantidad de movimiento, pero de giro. Veámoslo:

 

El producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores \(\vec a\) y \(\vec b\) se escribe como \(\vec a\times\vec b\). Su resultado no es un número, sino otro vector:

• cuyo módulo es el área del paralelogramo formado por los dos vectores. 

 

Por tanto: \[ |\vec a\times\vec b|=|\vec a|\,|\vec b|\,\sin\theta, \]donde \(\theta\) es el ángulo que forman \(\vec a\) y \(\vec b\). Esto significa que el producto vectorial mide, en cierto sentido, cuánto de perpendicular es un vector respecto del otro ya que, si son paralelos, el producto vectorial saldría cero.

• la dirección vector \(\vec a\times\vec b\) es perpendicular al plano formado por \(\vec a\) y \(\vec b\). Esta dirección nos sirve, por tanto, para definir el plano en el que están los dos vectores.
• su sentido se determina con la regla de la mano derecha: si los dedos giran desde \(\vec a\) hacia \(\vec b\), el pulgar indica el sentido de \(\vec a\times\vec b\). También puede recordarse con la regla del sacacorchos: el producto vectorial apunta en el sentido en que avanza un tornillo al girar desde el primer vector hacia el segundo

El producto vectorial no es conmutativo. Al cambiar el orden de los vectores, cambia el signo (y, por tanto, el sentido):

\[ \vec b\times\vec a=-\vec a\times\vec b. \]

Por eso se dice que el producto vectorial es anticonmutativo.

En una base cartesiana ortonormal \((\vec i,\vec j,\vec k)\), se cumple:

\[ \vec i\times\vec j=\vec k, \qquad \vec j\times\vec k=\vec i, \qquad \vec k\times\vec i=\vec j. \]

Si invertimos el orden, aparece un signo negativo:

\[ \vec j\times\vec i=-\vec k, \qquad \vec k\times\vec j=-\vec i, \qquad \vec i\times\vec k=-\vec j. \]

Además, el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero, porque el ángulo entre ambos es cero y \(\sin0=0\):

\[ \vec i\times\vec i=\vec 0, \qquad \vec j\times\vec j=\vec 0, \qquad \vec k\times\vec k=\vec 0. \]

Si conocemos las componentes de los vectores en esta base ortonormal,

\[ \vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k, \qquad \vec b=b_x\vec i+b_y\vec j+b_z\vec k, \]

podemos calcular el producto vectorial usando un determinante:

\[ \vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}. \]

Al desarrollar:

\[ \vec a\times\vec b = (a_yb_z-a_zb_y)\vec i -(a_xb_z-a_zb_x)\vec j +(a_xb_y-a_yb_x)\vec k. \]

O, de forma equivalente:

\[ \vec a\times\vec b = (a_yb_z-a_zb_y)\vec i +(a_zb_x-a_xb_z)\vec j +(a_xb_y-a_yb_x)\vec k. \]

En efecto, si multiplicamos ambos vectores expresados en esa base ortonormal:

\[ \vec a\times\vec b = (a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k) \times (b_x\vec i+b_y\vec j+b_z\vec k), \]

aparecen nueve productos:

\[ a_xb_x\,\vec i\times\vec i + a_xb_y\,\vec i\times\vec j + a_xb_z\,\vec i\times\vec k + a_yb_x\,\vec j\times\vec i + a_yb_y\,\vec j\times\vec j + a_yb_z\,\vec j\times\vec k + a_zb_x\,\vec k\times\vec i + a_zb_y\,\vec k\times\vec j + a_zb_z\,\vec k\times\vec k. \]

Los productos de un vector unitario consigo mismo son cero. Sustituyendo los productos no nulos:

\[ \vec a\times\vec b = a_xb_y\vec k -a_xb_z\vec j -a_yb_x\vec k +a_yb_z\vec i +a_zb_x\vec j -a_zb_y\vec i. \]

Agrupando por componentes:

\[ \vec a\times\vec b = (a_yb_z-a_zb_y)\vec i +(a_zb_x-a_xb_z)\vec j +(a_xb_y-a_yb_x)\vec k. \]

El producto vectorial también puede escribirse mediante índices:

\[ \vec a\times\vec b = \sum_{i,j,k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}a_i b_j\,\vec e_k. \]

El símbolo \(\varepsilon_{ijk}\) se llama símbolo de Levi-Civita. Toma el valor \(+1\) si \((i,j,k)\) es una permutación par de \((1,2,3)\), el valor \(-1\) si es una permutación impar, y el valor \(0\) si algún índice se repite.

 

El momento angular de una partícula

El momento angular de una partícula respecto de un punto se define como:

\[ \vec L=\vec r\times\vec p. \]

Aquí \(\vec r\) es el vector que va desde el punto O respecto al cual calculamos el momento angular hasta la partícula, y \(\vec p\) es la cantidad de movimiento de la partícula.

Como:

\[ \vec p=m\vec v, \]

también podemos escribir:

\[ \vec L=m\,\vec r\times\vec v. \]

El punto respecto al que se calcula \(\vec L\) suele tomarse como origen de coordenadas, para que \(\vec r\) sea simplemente el vector posición de la partícula.

Mientras que el momento lineal \(\vec p\) nos dice cómo se mueve una partícula en una dirección, el momento angular \(\vec L\) nos da una idea de cómo gira una partícula respecto a un punto.

Si una partícula se mueve en un plano, el momento angular es perpendicular a ese plano. Si \(\vec L\) apunta hacia arriba, el giro se ve en un sentido; si \(\vec L\) apunta hacia abajo, el giro se ve en el sentido contrario.

En un movimiento circular uniforme de radio \(R\), podemos escribir:

\[ \vec r = R\cos(\omega t+\varphi_0)\vec i + R\sin(\omega t+\varphi_0)\vec j. \]

Derivando:

\[ \vec v = -R\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\vec i + R\omega\cos(\omega t+\varphi_0)\vec j. \]

El momento angular es:

\[ \vec L=m\vec r\times\vec v. \]

Calculando el determinante:

\[ \vec L = m \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ R\cos(\omega t+\varphi_0) & R\sin(\omega t+\varphi_0) & 0\\ -R\omega\sin(\omega t+\varphi_0) & R\omega\cos(\omega t+\varphi_0) & 0 \end{vmatrix}. \]

Sólo queda componente \(\vec k\):

\[ \vec L = mR^2\omega \left[ \cos^2(\omega t+\varphi_0)+\sin^2(\omega t+\varphi_0) \right]\vec k. \]

Como:

\[ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, \]

resulta:

\[ \vec L=mR^2\omega\,\vec k. \]

Por tanto, en el movimiento circular uniforme el momento angular es constante.

Como \(v=\omega R\), el módulo de $\vec{L}$ también puede escribirse como:

\[ |\vec L|=mR^2\omega=mvR. \]

y su dirección es perpendicular al plano de giro. 

 

El momento de una fuerza respecto de un punto

Supongamos que sobre una partícula se aplica una fuerza $F$. El momento de esa fuerza respecto de un punto, también llamado torque, se define como:

\[ \vec M=\vec r\times\vec F. \]

Aquí \(\vec r\) es el vector que va desde el punto respecto al cual calculamos el momento hasta el punto donde se aplica la fuerza. Con respecto a un punto dado, cada fuerza aplicada sobre un objeto tendrá asociado un torque. La suma de todos los torques será el torque total $M_{\text{total}}$, que también se puede calcular como el torque asociado a la fuerza total que se aplica sobre la partícula.

Intuitivamente, el torque mide la capacidad de una fuerza para producir giro. Por ejemplo, al empujar una puerta, no sólo importa el módulo de la fuerza, sino también dónde se aplica y con qué dirección. Como el módulo del momento de una fuerza es:

\[ M=rF\sin\theta. \]

si la fuerza se aplica lejos del eje de giro y perpendicularmente a la puerta, el torque es grande. Si se aplica cerca del eje o en dirección casi radial, el torque es pequeño. Si el torque apunta hacia fuera del papel, contribuiremos a que el giro se produzca en el sentido antihorario. Si apunta hacia dentro del papel, contribuiremos a que el giro se produzca en el sentido horario. ¿Cómo es la relación exacta entre el torque y el giro? Vamos a verlo:

La relación entre momento de la fuerza y momento angular

En concreto, el momento de una fuerza lo que determina es cómo cambia el momento angular. Para verlo, derivemos el momento angular con respecto del tiempo:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec r\times\vec p). \]

Usando la regla del producto:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r}{dt}\times\vec p + \vec r\times\frac{d\vec p}{dt}. \]

Pero la derivada del vector posición es la velocidad y, además, usando la segunda ley de Newton, la derivada del momento es la fuerza total que se aplica sobre la partícula.

\[ \frac{d\vec r}{dt}=\vec v, \qquad \frac{d\vec p}{dt}=\vec F_{\text{total}}, \]

Entonces:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \vec v\times\vec p + \vec r\times\vec F. \]

Pero \(\vec p=m\vec v\), de modo que \(\vec v\) y \(\vec p\) son paralelos, y su producto vectorial es cero:

\[ \vec v\times\vec p=\vec 0. \]

Por tanto:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec r\times\vec F_{\text{total}}=\vec M_{\text{total}}. \]

Es decir:

\[ \boxed{\frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\text{total}}}. \]

Esta ecuación es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton. Si existe un torque neto no nulo, el momento angular cambia. Si el torque neto es cero, el momento angular se conserva. El torque es como la fuerza, pero de giro. Y el momento anguar es como la cantidad de movimiento, pero de giro.

 

Ejemplo: la palanca

Supongamos una barra apoyada en un punto. En un extremo aplicamos una fuerza pequeña \(F\), y en el otro extremo hay un peso grande:

\[ P=Mg. \]

 

Si la distancia desde el punto de apoyo hasta la fuerza aplicada es \(r_1\), y la distancia desde el punto de apoyo hasta el peso es \(r_2\), para que haya equilibrio de rotación debe cumplirse:

\[ \vec M_{\mathrm{total}}=\vec M_1+\vec M_2=\vec 0. \]

En módulo, si las fuerzas son perpendiculares a la barra:

\[ M_1=r_1F, \qquad M_2=r_2P. \]

Para el equilibrio:

\[ r_1F-r_2P=0. \]

Por tanto:

\[ r_1F=r_2P. \]

Y la fuerza necesaria es:

\[ F=\frac{r_2}{r_1}P. \]

Si \(r_1\gg r_2\), entonces \(F\) puede ser muy pequeña aunque \(P\) sea grande. Esa es la ventaja mecánica de la palanca: con una fuerza pequeña podemos levantar pesos grandes.

 

Centro de masas o centro de gravedad de un cuerpo

El centro de masas es la media ponderada de la posición de todas las masas de un cuerpo. Si el cuerpo está formado por partículas de masas \(m_i\) situadas en posiciones \(\vec r_i\), el centro de masas es:

\[ \vec r_{\mathrm{CM}} = \frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i}. \]

Si las masas están distribuidas uniformemente, el centro de masas coincide con la posición media geométrica del cuerpo.

Se puede demostrar que, en un campo gravitatorio uniforme, el efecto del peso sobre un cuerpo puede representarse como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masas:

\[ \vec P=M\vec g. \]

Por eso, para estudiar el equilibrio de un cuerpo apoyado, es esencial saber dónde está su centro de masas. Si la vertical que pasa por el centro de masas cae dentro de la base de apoyo, el cuerpo puede estar en equilibrio porque el torque del peso con respecto al punto de apoyo es cero. Pero si cae fuera, el cuerpo tiende a volcar debido al torque ejercido por el peso.

Ley de conservación del momento angular

Como:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\text{total}}, \]

si el momento total de las fuerzas externas es nulo:

\[ \vec M_{\mathrm{total}}=\vec 0, \]

entonces:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec 0, \]

y por tanto:

\[ \vec L=\mathrm{cte}. \]

Esta es la ley de conservación del momento angular. 

Esta ley se observa muy bien en un bailarín o una patinadora que gira. Si no hay torque externo apreciable, el momento angular se conserva. Este momento angular es la suma de los momentos angulares de cada átomo de la patinadora:

\[ \vec L_i=mR_i^2\omega\,\vec k. \]   

Cuando la patinadora recoge los brazos, disminuye $R_i$ para los átomos de los brazos. Como el momento angular total \(L\) de la patinadora debe mantenerse constante, la velocidad angular \(\omega\) aumenta. Por eso gira más rápido al acercar los brazos al cuerpo.

Otro ejemplo lo tenemos en este vídeo: 

 

Este efecto también es muy importante cuando estudiamos el movimiento de un planeta alrededor del Sol. La fuerza con la que el Sol atrae a un planeta apunta siempre hacia el Sol. Por tanto, la fuerza está en la misma dirección que el vector \(\vec r\) que une el Sol con el planeta. Entonces:

\[ \vec M=\vec r\times\vec F=\vec 0. \]

Como en buena aproximación esa es la única fuerza que actúa sobre el planeta, el torque total sobre el planeta es nulo:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec 0, \qquad \vec L=\mathrm{cte}. \]

En consecuencia, el momento angular del planeta respecto al Sol se conserva. Esto implica que el movimiento orbital permanece en un mismo plano y que el vector \(\vec L\) es perpendicular a ese plano. Otra consecuencia de esto es la segunda ley de Kepler (véase el post "Segunda ley de Kepler"): al igual que ocurre con la patinadora, en los instantes en los que el planeta está más cerca del Sol más rápido gira en torno a éste. 

Y otro ejemplo de conservación del momento anguar es lo que ocurre si nos ponemos a girar sobre una plataforma que puede girar. En este caso, como nosotros estamos adquiriendo un momento angular en un sentido, la plataforma adquiere momento angular en sentido contrario, de tal manera que el momento angular total se conserva, como se muestra en el mejor episodio de Los Simsons de toda su historia:

 The Simpsons Season 20, Episode 11 ("How the Test Was Won")

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.