FÍSICA BACHILLERATO: Órbitas elípticas

En el examen de acceso a la universidad en la Comunidad de Madrid en el año 2025 se planteó a los estudiantes el siguiente problema:

 

Como explica muy bien Enrique García en su página Fiquipedia, el enunciado que se proporcionó a los estudiantes, con el que respondieron a la prueba, contenía datos inconsistentes. En función de si uno utiliza unos datos u otros, obtiene un resultado u otro. Este es el motivo por el que, al publicar el enunciado una vez realizado ya el examen, el comité que elabora la prueba cambió el dato del periodo. El mismo comité que elabora la prueba se había equivocado. ¿Se trtaba de un problema demasiado difícil para estudiantes que todavía no han entrado en la universidad?

En este post explico de dónde vienen las fórmulas que hacen falta para resolver este problema, las de las órbitas elípticas, que son las fórmulas que usa Fiquipedia en las soluciones que publica cada año. Esto nos servirá para discutir si es adecuado o no poner este tipo de problemas en el examen de acceso a la universidad.

 

Relaciones entre los parámetros de la elipse

Normalmente la elipse se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Podemos construir, por tanto, una elipse atando los extremos de una cuerda a cada foco y dibujando con un lápiz la trayectoria que sale si tenemos la cuerda lo más estirada posible:

Por El Totti - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

De aquí se pueden deducir propiedades interesantes, como que, si tuviéamos una mesa de billar elíptica con la bola blanca en uno de los focos y la negra en el otro, sea cual sea la dirección en la que golpeemos a la bola blanca, siempre acabará por chocar contra la bola negra después de rebotar una vez en la pared, como se ilustra muy bien en este gif de Julio Mulero con la Plaza de San Pedro:

La elipse también es la curva que resulta al cortar la superficie de un cono recto o de revolución por un plano oblicuo al eje de simetría, que no contiene al vértice, con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. A este cono se le denomina cono de Apolonio:

 

Magister Mathematicae, CC BY-SA 3.0, Enlace

 

 Ambas definiciones, que son equivalentes, aparecen en esta magnífica escena de la película Ágora, de Alejandro Amenábar:

 

aunque hay que aclarar que no sabemos si Hipatia de Alejadría llegó tan lejos en el siglo IV, ya que no nos han llegado sus escritos. Quién seguro sabemos que se dio cuenta de que la trayectoria de los planetas alrededor del Sol son elípticas con el Sol en uno de los focos fue Johannes Kepler en el siglo XVII, y a esta ley hoy en día la conocemos como la primera ley de Kepler. Dejamos para otro post su demostración. Lo que sí vamos a hacer aquí es estudiar en detalle cómo es el movimiento de los planetas en esta trayectoria elíptica. 

Con el cono de Apolonio se ve claro que una elipse puede entenderse como una circunferencia deformada: está estirada más en una dirección que en otra. Si está centrada en el origen y sus ejes principales coinciden con los ejes coordenados, su ecuación es

\[ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1. \]

Aquí \(a\) es el semieje mayor, es decir, la distancia desde el centro de la elipse hasta el extremo más alejado sobre el eje mayor. El parámetro \(b\) es el semieje menor, la distancia desde el centro hasta el extremo de la elipse sobre el eje menor. 

Si la elipse está más estirada en el eje \(x\), entonces \(a>b\). Si estuviera más estirada en el eje \(y\), los papeles de \(a\) y \(b\) se intercambiarían.

El área de una elipse es, por tanto: \[ A=\pi ab. \] 

El perihelio es el punto de la órbita más cercano al foco donde está el Sol. Su distancia al foco se denota por \(r_p\). El afelio es el punto más alejado del Sol, y su distancia al foco se denota por \(r_a\).Nótese que en una órbita elíptica, \(r_p\) y \(r_a\) no son radios de una circunferencia: son las distancias mínima y máxima desde el foco ocupado por el Sol hasta el planeta. 

Si, además, llamamos \(c\) a la distancia desde el centro de la elipse hasta cada foco, se tiene

\[ r_p=a-c, \qquad r_a=a+c. \]

Sumando ambas expresiones:

\[ r_p+r_a=(a-c)+(a+c)=2a. \]

Por tanto,

\[ r_p+r_a=2a. \]

Esta fórmula permite hallar el semieje mayor a partir de las distancias de perihelio y afelio:

\[ a=\frac{r_p+r_a}{2}. \]

 

Nótese que la distancia del punto a cada uno de los focos tiene que ser $a$, ya que $2a$ es la suma de las distancias a cada foco en perihelio o afelio, y esta suma de distancias tiene que ser la misma en toda la elipse.

 Por tanto, la relación entre \(a\), \(b\) y \(c\) es

\[ c^2+b^2=a^2. \] Equivalentemente,

\[ c=\sqrt{a^2-b^2}. \]

También se tiene que

\[ a-r_p=c. \]

Combinando las relaciones anteriores puede obtenerse el semieje menor en función del perihelio y el afelio:

\[ b=\sqrt{r_a r_p}. \]

Esta expresión es muy útil en órbitas elípticas, porque conecta directamente la geometría de la elipse con las distancias mínima y máxima al Sol.

 

Conservación del momento angular

 

La fuerza gravitatoria que actúa sobre el planeta apunta siempre hacia el Sol. Como el Sol está en un foco, la fuerza es central respecto de ese foco. Esto implica que el momento de la fuerza gravittoria respecto del foco es nulo:

\[ \vec M=\vec r\times\vec F=\vec 0. \]

Como hemos visto en un post anterior, si la única fuerza que actúa es la gravitatoria, entonces el momento total es nulo, y como

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\rm total}, \]

se deduce que

\[ \vec L=\mathrm{cte}. \]

Es decir, el momento angular del planeta respecto del Sol se conserva. Si \(m\) es la masa del planeta, entonces

\[ \vec L=m\vec r\times\vec v. \]

En módulo:

\[ L=mr v\sin\theta, \]

donde \(\theta\) es el ángulo entre el vector posición \(\vec r\) y el vector velocidad \(\vec v\).

Como \(L\) se conserva entre dos puntos cualesquiera de la órbita, podemos escribir

\[ \vec L_1=\vec L_2. \]

En módulo:

\[ mr_1v_1\sin\theta_1=mr_2v_2\sin\theta_2. \]

Cancelando la masa:

\[ r_1v_1\sin\theta_1=r_2v_2\sin\theta_2. \]

En general, esta relación no permite comparar directamente las velocidades sólo con las distancias, porque los ángulos \(\theta_1\) y \(\theta_2\) pueden ser distintos.

Pero en el perihelio y el afelio ocurre algo especial: la velocidad es perpendicular al radio vector. Por tanto,

\[ \theta_p=\theta_a=\frac{\pi}{2}. \]

Como

\[ \sin\frac{\pi}{2}=1, \]

la conservación del momento angular se simplifica:

\[ mr_pv_p=mr_av_a. \]

Cancelando \(m\):

\[ r_pv_p=r_av_a. \]

Esta fórmula muestra que el planeta se mueve más rápido en el perihelio y más lento en el afelio. Como \( r_p < r_a \) , entonces \( v_p > v_a. \) Físicamente, esto significa que, cuando el planeta está más cerca del Sol, aumenta su velocidad para conservar el momento angular. Cuando está más lejos, su velocidad disminuye.

La velocidad areolar es el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo, y hemos visto en un post anterior que, ésta es proporcional al momento angular. Por eso se conserva:

\[ \frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m} =\mathrm{cte}. \]

Si \(T\) es el periodo orbital, el área total barrida en una vuelta completa es el área de la elipse:

\[ A=\pi ab. \]

Por tanto, la velocidad areolar también puede escribirse como área total dividida entre periodo:

\[ \frac{dA}{dt}=\frac{A}{T}. \]

Combinando ambas expresiones:

\[ \frac{L}{2m}=\frac{A}{T}. \]

Y usando \(A=\pi ab\):

\[ \frac{L}{2m}=\frac{\pi ab}{T}. \]

Esta es la fórmula conecta la conservación del momento angular con la geometría de la órbita elíptica y con el periodo orbital.

Como 

 \[ r_pv_p=r_av_a=\frac{L}{m}. \]

usando la expresión obtenida con la velocidad areolar:

\[ r_pv_p=r_av_a=\frac{2\pi ab}{T}. \]

se llega a

\[ v_a=\frac{2\pi ab}{r_aT}, \qquad v_p=\frac{2\pi ab}{r_pT}. \]

Esto también permite escribir:

\[ \frac{1}{v_a}=\frac{r_aT}{2\pi ab}, \qquad \frac{1}{v_p}=\frac{r_pT}{2\pi ab}. \]

Sumando ambas expresiones:

\[ \frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_p} = \frac{(r_a+r_p)T}{2\pi ab}. \]

Como \(r_a+r_p=2a\), se obtiene

\[ \frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_p} = \frac{2aT}{2\pi ab} = \frac{T}{\pi b}. \]

Esta relación concecta las velocidades en afelio y perihelio con la geometría de la elipse y el periodo orbital. 

 

Tercera ley de Kepler en una órbita elíptica

La energía mecánica de un planeta de masa \(m\) orbitando alrededor de una masa central \(M\) es

\[ E_m=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}. \]

Como la fuerza gravitatoria es conservativa, la energía mecánica se conserva. Por tanto, la energía en el afelio y en el perihelio debe ser la misma:

\[ E_a=E_p. \]

En el afelio:

\[ E_a=\frac12mv_a^2-\frac{GMm}{r_a}. \]

En el perihelio:

\[ E_p=\frac12mv_p^2-\frac{GMm}{r_p}. \]

Igualando:

\[ \frac12mv_a^2-\frac{GMm}{r_a} = \frac12mv_p^2-\frac{GMm}{r_p}. \]

Pasamos todo a un lado:

\[ 0 = GMm\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_p}\right) + \frac12m(v_p^2-v_a^2). \]

Dividiendo entre \(m\):

\[ 0 = GM\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_p}\right) + \frac12(v_p^2-v_a^2). \]

Ahora usamos las expresiones de las velocidades en función del momento angular por unidad de masa:

\[ v_a=\frac{L}{mr_a}, \qquad v_p=\frac{L}{mr_p}. \]

Como

\[ \frac{L}{m}=\frac{2\pi ab}{T}, \]

queda:

\[ v_a=\frac{2\pi ab}{r_aT}, \qquad v_p=\frac{2\pi ab}{r_pT}. \]

Sustituyendo en la igualdad de energías:

\[ 0 = GM\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_p}\right) + \frac12\left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 \left(\frac{1}{r_p^2}-\frac{1}{r_a^2}\right). \]

Simplificamos las diferencias:

\[ \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_p} = \frac{r_p-r_a}{r_ar_p}. \]

Y

\[ \frac{1}{r_p^2}-\frac{1}{r_a^2} = \frac{r_a^2-r_p^2}{r_a^2r_p^2} = \frac{(r_a-r_p)(r_a+r_p)}{r_a^2r_p^2}. \]

Por tanto:

\[ 0 = GM\frac{r_p-r_a}{r_ar_p} + \frac12\left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 \frac{(r_a-r_p)(r_a+r_p)}{r_a^2r_p^2}. \]

Como \(r_p-r_a=-(r_a-r_p)\), podemos factorizar \(r_a-r_p\):

\[ 0 = -(r_a-r_p)\frac{GM}{r_ar_p} + \frac12\left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 (r_a-r_p)\frac{r_a+r_p}{r_a^2r_p^2}. \]

Si la órbita no es circular, \(r_a\neq r_p\), podemos dividir por \(r_a-r_p\). Si la órbita fuera circular, la tercera ley se obtiene como caso límite. Queda:

\[ \frac{GM}{r_ar_p} = \frac12\left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 \frac{r_a+r_p}{r_a^2r_p^2}. \]

Multiplicamos por \(r_ar_p\):

\[ GM = \frac12\left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 \frac{r_a+r_p}{r_ar_p}. \]

Ahora usamos:

\[ r_a+r_p=2a, \qquad r_ar_p=b^2. \]

Sustituyendo:

\[ GM = \frac12\left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 \frac{2a}{b^2}. \]

Simplificamos:

\[ GM = \left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 \frac{a}{b^2}. \]

Como

\[ \left(\frac{2\pi ab}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2a^2b^2}{T^2}, \]

entonces:

\[ GM = \frac{4\pi^2a^2b^2}{T^2}\frac{a}{b^2}. \]

Cancelando \(b^2\):

\[ GM = \frac{4\pi^2a^3}{T^2}. \]

Reordenando:

\[ \frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}. \]

Ésta es la tercera ley de Kepler para órbitas elípticas. El periodo orbital \(T\) y el semieje mayor \(a\) no son independientes: para todos los cuerpos que orbitan alrededor de la misma masa central \(M\), el cociente \(a^3/T^2\) es constante. En el caso de planetas orbitando alrededor del Sol, \(M\) es la masa solar. En el caso de satélites alrededor de la Tierra, \(M\) es la masa terrestre. Por eso la constante depende del cuerpo central, no del planeta o satélite que orbita. La forma circular de la tercera ley, \[ \frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}, \] es un caso particular de esta expresión más general, donde el semieje mayor \(a\) coincide con el radio \(R\).

Energía mecánica en una órbita elíptica

Partimos nuevamente de:

\[ E = \frac12 mv^2 - \frac{GMm}{r}. \]

Evaluamos esta expresión en el afelio:

\[ E = \frac12 mv_a^2 - \frac{GMm}{r_a}. \]

Dividiendo por:

\[ m, \]

obtenemos:

\[ \frac{E}{m} = \frac{v_a^2}{2} - \frac{GM}{r_a}. \]

Usando:

\[ v_a = \frac{2\pi ab}{Tr_a}, \]

queda:

\[ \frac{E}{m} = \frac1{2r_a^2} \left( \frac{2\pi ab}{T} \right)^2 - \frac{GM}{r_a}. \]

Ahora usamos la tercera ley de Kepler:

\[ GM = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2a^3. \]

Sustituyendo:

\[ \frac{E}{m} = \frac{GM}{2r_a} \left( \frac{b^2}{ar_a} - 2 \right). \]

El manuscrito usa:

\[ b^2=r_ar_p \]

y:

\[ a=\frac{r_a+r_p}{2}. \]

Entonces:

\[ \frac{r_p}{a} = 2-\frac{r_a}{a}. \]

Tras simplificar:

\[ \boxed{ \frac{E}{m} = -\frac{GM}{2a} } \]

Multiplicando por:

\[ m, \]

obtenemos la energía mecánica total:

\[ \boxed{ E = -\frac{GMm}{2a} } \]

Nótese que, la energía no depende de la excentricidad d ela elipse, depende sólo del semieje mayor: todas las órbitas con el mismo \(a\) tienen la misma energía total. En cambio el signo negativo no sorprende:  indica que la órbita es ligada gravitatoriamente. Hace falta aportar energía para sacar completamente el cuerpo del campo gravitatorio. 

 

Conclusión

• Las órbitas de los planetas ligados a un astro, si sólo actúa la fuerza gravitatoria, es una elipse, con el Sol en uno de los focos (primera ley de Kepler).
• La ecuación cartesiana de la elipse es: \[ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1. \]
• El área de la elipse es: \[ A=\pi ab. \]
• Las distancias en perihelio y afelio cumplen: \[ r_p+r_a=2a. \]
• La geometría elíptica satisface: \[ c^2+b^2=a^2. \]
• También: \[ b=\sqrt{r_ar_p}. \]
• El momento angular se conserva: \[ \vec L=\text{cte}. \]
• En perihelio y afelio: \[ r_pv_p=r_av_a. \]
• La velocidad areolar es constante (segunda ley de Kepler): \[ \frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}. \]
• La tercera ley de Kepler es: \[ a^3=\frac{GM}{4\pi^2}T^2. \]
• La energía mecánica orbital vale: \[ E=-\frac{GMm}{2a}. \] 

La demostración de las dos últimas fórmulas es larga y tediosa para hacerla durante el examen de acceso a la universidad. Por eso, en mi opinión, no deberían ponerse problemas de órbitas elípticas en el examen de acceso a la universidad (a no ser que sean problemas de aplicación directa de la conservación del momento angular y la energía mecánica sin que haya que operar demasiado) ya que, o bien los estudiantes se tienen que aprender de memoria estas fórmulas, o bien hay que darlas en el enunciado. Pero, en ambos casos, no estamos comprobando si el estudiante tiene o no las competencias que pretendemos evaluar. En todo caso, las órbitas elípticas no son tan sencillas como parece a primera vista y, por tanto, hay que tener especial cuidado a la hora de plantear problemas sobre ellas.

Por eso es importante que la prueba la elabore un comité que sea responsable y cuidadoso comprobando todo y, en mi opinión, eso va a ser más fácil de conseguir si entre los 8 miembros hay tanto hombres como mujeres. Que los 8 sean hombres resulta llamativo, teniendo en cuenta la gran cantidad de profesoras de Física y Química que hay. Y si el motivo es que a las mujeres a las que se le ha ofrecido estar en el comité que elabora la prueba no han querido participar porque les resulta difícil compatibilizar esa gran carga de trabajo extra con lus responsabilidades de cuidados de niños y ancianos de su familia, me sigue pareciendo grave. Elaborar los exámenes de acceso es una de las tareas más importantes que tiene que hacer la universidad y la consejería de Educación. Ese trabajo no puede suponer una carga extra. Los que lo hacen deberían de tener tiempo suficiente para hacerlo, no debería suponer ningún sacrificio, ya que esa dinámica ya sabemos a qué nos lleva: los más irresponsables, los que no comprueban las cosas porque se creen muy listos, tienen ventaja para ascender en las empresas y en la universidad, y eso hace que tanto las mujeres como los hombres que no somos así nunca estamos en las reuniones en las que se toman las decisiones importantes.

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.