En las formulaciones de Heisenberg y de Schrödinger de la mecánica cuántica, los observables están representados por operadores hermíticos en el espacio de Hilbert de todos los posibles estados cuánticos. Sus autovalores son los posibles resultados al realizar la medición del observable, y sus autovectores son los estados cuánticos en los que ese observable toma un valor bien definido. Si llamamos $\hat{A}$ a uno de estos operadores, el estado cuántico $|\psi\rangle$ en el que se encuentra el sistema será, en general, una superposición de autoestados correspondientes a diferentes autovalores de $\hat{A}$, de tal manera que, en ese estado cuántico, el observable correspondiente a $\hat{A}$ no toma un valor bien definido. Es importante remarcar que lo que ocurre no es que el sistema cuántico sí tiene un valor de $\hat{A}$, pero que está oculto para nosotros. Lo que pasa en este caso es que, en ese estado cuántico, entre las propiedades del sistema no está el tomar un valor de $\hat{A}$ bien determinado.
Cualquier estudiante que esté en el ecuador de sus estudios universitarios de Física sabe que el grado de indeterminación del observable $\hat{A}$ en ese estado cuántico $|\psi\rangle$ se puede cuantificar como el módulo de un vector $|\psi_A\rangle$ $$
\Delta A = | |\psi_A\rangle | \>,
$$ donde $|\psi_A\rangle$ es un vector que se obtiene, a partir de $|\psi\rangle$, realizando la operación $$
|\psi_A\rangle= (\hat{A}-\langle A\rangle \hat{I})|\psi\rangle \>.
$$ Aquí $\hat{I}$ es el operador identidad, y$$
\langle A\rangle = \langle \psi | \hat{A} |\psi \rangle
$$ es el valor esperado de $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$. Es sencillo comprobar que, si realizamos muchas mediciones de $\hat{A}$, estando en todas ellas el sistema previamente en el estado $|\psi\rangle$, entonces $\Delta A$ coincide con la desviación típica de los resultados $$
\Delta A= \sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}
$$
La característica principal que tiene la mecánica cuántica, que la hace completamente diferente a la física anterior, es que los operadores que se utilizan para describir los observables físicos en general no conmutan. Si llamamos $\hat{B}$ a uno de los operadores que no conmuta con $\hat{A}$ $$
[\hat{A},\hat{B}]\neq 0
$$ entonces se puede ver que la desigualdad de Schwarz, aplicada a los estados $| \psi_A\rangle$ y $| \psi_B\rangle$, $$
\langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle \geq | \langle \psi_A | \psi_B \rangle |^2 \geq (\operatorname{Im} \langle \psi_A | \psi_B \rangle )^2 \>,
$$ conduce a la relación de indeterminación $$
\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle|
$$
El significado físico de esta relación es que, si el conmutador es no nulo, es imposible encontrar algún estado cuántico en el que ambos observables estén bien determinados y, cuanto más determinado esté el observable $\hat{A}$ en un estado cuántico, más indeterminado estará $\hat{B}$ en ese estado, ya que el producto de las indeterminaciones no puede ser inferior a $\frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle|$. Por ejemplo, si tomamos $\hat{A}=\hat{x}$ y $\hat{B}=\hat{p}$, como el conmutador entre la coordenada $\hat{x}$ y su momento correspondiente $\hat{p}$ es $$
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \hat{I}
$$ lo que se obtiene es la famosa relación de indeterminación de Heisenberg $$
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$
Sin embargo, hay otra formulación de la mecánica cuántica, equivalente a la de Heisenberg y a la de Schrödinger, en la que los observables no entran como operadores en el espacio de Hilbert de estados cuánticos. Se trata de la formulación de la integral de camino de Feynman. Para una persona que no conozca esta formulación de la mecánica cuántica, puede ser conveniente estudiar qué ocurre en un caso sencillo, como el interferómetro de Mach-Zehnder, donde se produce interferencia entre dos caminos. Para saber si esta interferencia es constructiva o destructiva hay que estudiar la diferencia entre las fases asociadas a cada camino, teniendo cuidado de no equivocarnos en el cálculo de cada una de las fases. Con este ejemplo sencillo se puede ver con claridad que, para que las probabilidades de que el fotón llegue a los distintos detectores sumen uno, lo que hay que sumar de cada camino para calcular la interferencia no es la probabilidad, sino la amplitud de probabilidad.
Dado que los dos caminos en el interferómetro contribuyen al patrón de interferencias, tenemos que admitir que el fotón que es detectado por el detector en el que hay interferencia constructiva no ha seguido ninguno de los dos camino de forma bien definida: entre las propiedades del fotón no está el haber seguido una trayectoria bien determinada. Podemos colocar los detectores de otra manera, para comprobar si el fotón se refleja o no en el primer espejo semireflector, pero entonces el observable que antes sí tomaba un valor bien definido (el que decía que el fotón acabará con probabilidad 1 en el detector donde se producía interferencia constructiva), ahora ya no toma ningún valor bien definido. Tenemos así un ejemplo sencillo de dos observables incompatibles, como $\hat{A}$ y $\hat{B}$ en el ejemplo anterior.
De todo esto se deduce que, para poder calcular la amplitud de probabilidad de que el fotón llegue, desde la fuente $a$ hasta un detector $b$ que haya en el interferómetro de Mach-Zehnder, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino. $$
\Phi(a,b)=\Phi_1+\Phi_2
$$
Pero, ¿qué ocurre si vamos modificando el experimento poco a poco para que cada vez sean más los caminos accesibles al fotón? En ese caso tenemos $$
\Phi(a, b) = \sum _{{\rm todos \> los \>caminos \> desde} \> a \> {\rm hasta} \> b} \>
\Phi_i \>.
$$ Todos los caminos tienen que contribuir con una amplitud de probabilidad $\Phi_i$ del mismo módulo, pero con argumentos (fases) distintos, para que pueda haber interferencias. Como, además, estos $\Phi_i$ tienen que ser funcionales del camino $x(t)$, podemos escribir $$
\qquad \Phi(a, b) = \sum _{{\rm todos \> los \>caminos \> desde} \> a \> {\rm hasta} \> b} \> e^{i S [x (t)] / \hbar} \>, \qquad
$$ donde $S[x(t)]$ es la fase asociada al camino $x(t)$, multiplicada por $\hbar$ para que tenga unidades de acción. Al tratarse de un continuo de caminos, este sumatorio tiene que ser, en realidad una especia de integral, $$
\Phi(a, b) = \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}\>,
$$ y este es el motivo por el que se le denomina integral de camino de Feynman.
Una de las ventajas que tiene la formulación de la integral de camino de Feynman es que en ella se ve con claridad por qué los números complejos son necesarios en mecánica cuántica. Es el hecho de que la fase asociada a cada camino sea el argumento de un número complejo lo que hace que pueda haber interferencias, ya que, al crecer ésta, la dirección a la que apunta ese número complejo va girando sin que por ello éste cambie de módulo.
Aquellos caminos cuyas amplitudes asociadas sean números complejos de argumento similar dan lugar a interferencia constructiva, de la misma manera que las fuerzas que se aplican sobre un objeto en una misma dirección colaboran para acelerar ese objeto en esa dirección.
Otra de las ventajas de esta formulación es que con ella el límite clásico ($ \hbar \to 0 $) se puede hacer de forma inmediata, ya que, cuando las acciones de todos los caminos son mucho mayores que $\hbar$ ($ S \gg \hbar $), lo que tenemos son giros muy rápidos de los números complejos, incluso aunque correspondan a trayectorias muy parecidas. Se puede decir que cada camino da lugar a un número complejo del mismo módulo, pero de dirección aleatoria.
\delta S = 0 \>,
$$ ya que entonces los caminos cercanos a ellos tiene una fase muy parecida, con lo que no hay cancelación. Es decir, en este límite los únicos caminos que contribuyen son los que está muy cerca del camino que hace extrema a S. Vemos, por tanto, que en el límite clásico $S$ se comporta como la acción, y por eso la podemos identificar como la acción de la teoría clásica que surge como el límite $ \hbar \to 0 $ de la teoría cuántica con la que estamos trabajando. En este límite sí podemos decir que la partícula ha seguido una trayectoria más o menos bien definida: la que hace a la acción extremal.
Pero volviendo a las condiciones en las que las acciones no son mucho más grandes que $\hbar$, es decir, a las condiciones en las que los efectos cuánticos sí son importantes, nos surge la siguiente pregunta. Dado que la formulación de Feynman de la mecánica cuántica es equivalente a las de Heisenberg y Schrödinger, las relaciones de indeterminación tienen que estar escondidas en algún sitio. Una característica sorprendente de las integrales de camino es que con ellas se trabaja con números reales y complejos, en vez de con operadores que no conmutan. ¿Dónde están escondidas, por tanto, las relaciones de indeterminación en esta formulación? Eso es lo que vamos a analizar en este artículo.
