Las relaciones de indeterminación energía-tiempo, el efecto Zenón cuántico y la indistinguibilidad de los estados cercanos

"Si todo, cuando ocupa un mismo espacio, está en reposo, y si lo que está en movimiento está ocupando ese mismo espacio en algún momento, entonces la flecha volante permanece inmóvil". Aristóteles, Física VI:9, 239b5 

 

Por Martin Grandjean - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, Enlace

 

Según la famosa paradoja de la flecha de Zenón de Elea, tal y como la cuenta Aristóteles, en cualquier instante de tiempo que no tenga duración, un objeto, el que sea, no puede moverse de donde está ni a donde no está, porque no transcurre el tiempo suficiente para que se mueva allí. Dicho de otro modo, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si en cada instante todo permanece inmóvil, y el tiempo está formado únicamente por instantes, entonces el movimiento resulta imposible.

Hoy en día no resulta difícil, para cualquier persona con una formación matemática básica de nivel bachillerato, refutar esta paradoja, entendida al pie de la letra, sin demasiado esfuerzo. Sólo es necesario utilizar el cálculo infinitesimal inventado por Newton y Leibniz en el siglo XVII. No se puede juzgar, observando solo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, la posición $x$ de una flecha en un instante concreto $t$ está relacionada con la posición de la flecha en un instante infinitesimalmente cercano $t+\Delta t$ mediante la relación:

\[
v(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
\]

donde a la funcion $v(t)$ la llamamos velocidad de la flecha. Definiento, además, la aceleración de la flecha como

 \[
a(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}
\]

 podemos escribir:

$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)(\Delta t)^2+...$

donde los puntos suspensivos nos indican cantidades que, a medida que nos acercamos al límite $\Delta t \to 0$, se van haciendo más pequeñas que los sumandos anteriores. Todas estas expresiones no expresan más que el hecho geométrico de que toda curva diferenciable, por ejemplo, la que se obtiene al representar $x$ como función de $t$, se puede aproximar en un punto dado de la gráfica (es decir, en un instante de tiempo $t$):

• primero por una recta horizontal,
• si queremos que la aproximación sea mejor, por una recta tangente a la curva (cuya pendiente es la velocidad del objeto en ese instante)
• si queremos hilar más fino, por una parábola
• o por un polinomio de grado n mayor, haciendo el desarrollo de Taylor hasta orden n.

 

Lo que hizo Zenón de Elea fue quedarse con la aproximación a orden cero, en la que la posición no cambia con el tiempo y por eso argumentaba que no es posible el movimiento. Pero esta es solo la aproximación más burda. "Si las paradojas se expresan en la terminología matemática precisa de las variables continuas (...) las contradicciones aparentes se resuelven" [Boyer1959]. Basta darse cuenta de que hay un término más en el desarrollo de Taylor (el de orden 1, que es proporcional a la velocidad) para apreciar que la flecha se está moviendo.

Sin embargo, este análisis que hemos llevado aquí sólo vale en el contexto de la mecánica clásica, donde las partículas, en su movimiento, tienen asociado en todo instante de tiempo una posición y, a la vez, una velocidad. Y resulta que el mundo en el que vivimos no es clásico, sino cuántico, y aquí el principio de indeterminación se cumple rigurosamente. En general, en mecánica cuántica, las magnitudes físicas no son propiedades exclusivas del sistema cuántico que estamos estudiando (una flecha o una partícula), sino también del conjunto de aparatos de medida que usamos para determinarla, y por eso lo más general es que el sistema cuántico este en un estado en el que esa magnitud que queremos medir no toma ningún valor bien definido. No es que tome un valor que es desconocido, es que no toma ningún valor determinado. Así, en un isntante concreto una partícula cuántica va a estar en general en un estado superposición de varias posiciones, de tal forma que sólo podemos hacer que la magnitud física "posición x de la partícula" tome un valor bien definido si disponemos los aparatos de medida para que esta magnitud exista. Si, además, queremos que tome también un valor bien definido en un instante posterior $t+ \Delta t $, entonces también hay que que disponer los aparatos de medida de la manera adecuada en ese instante posterior. 

Una de las ideas que vamos a explicar en este post es que, en mecánica cuántica, en cierto sentido, Zenón tenía razón: si hacemos tender a cero al intervalo de tiempo $\Delta t$ que transcurre entre mediciones sucesivas de una magnitud física, entonces esta magnitud no cambia con el tiempo. Es decir, en la condiciones en las que puedo asegurar de maneta continua que esa magnitud física toma un valor bien definido, entonces ese valor no se mueve, ¡es siempre el mismo! A esta característica de la mecánica cuántica, que, como todas las demás, ha sido verificada experimentalmente, se la conoce con el nombre de efecto Zenón cuántico [von Neumann1955, SudarshanMisra1977, Venugopalan2012, Steele2015, Itano2009]  

Para poder explicar el efecto Zenón cuántico va a ser necesario tener claro en qué consiste en mecáncia cuántica la relación de indeterminación energía-tiempo. Esta relación a menudo se escribe vagamente como:

\[ \Delta E\,\Delta t\gtrsim \hbar. \]

 lo que choca con la precisión de la relación de indeterminación posición-momento

\[ \Delta x\,\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}. \] 

De hecho, según la fuente que se consulte, el coeficiente que multiplica a $\hbar$ en la relación de indeterminación energía-momento va cambiando, lo cual no sólo resultaría desagradable a Zenón, sino también a todas las personas que estudian física. En este post también vamos a aclarar este asunto.