La flecha termodinámica del tiempo

Continuamente, en nuestra experiencia cotidiana, percibimos que la evolución temporal hacia el futuro es diferente que la evolución hacia el pasado. Si vemos un vídeo en el que alguien suelta un vaso y, por tanto, éste comienza a caer convirtiendo su energía potencial en cinética y, tras chocar contra el suelo, esa energía cinética se invierte en generar sonido, en romper el vaso en mil pedazos, en lanzarlos a varios metros de distancia y en aumentar ligeramente la temperatura de la habitación, nada nos hará sospechar que el vídeo está trucado. Pero si nos muestran el mismo vídeo marcha atrás, es decir, en el que los trozos de vidrio capturan energía del sonido y la energía térmica de la habitación para juntarse y formar un vaso con velocidad hacia arriba que suba hasta la mano de una persona, automáticamente vamos a saber que no se trata de un proceso real y que el vídeo está invertido. El proceso invertido no va a ocurrir nunca, salvo en la película TENET, que es una película de ciencia ficción.

 

  

Sin embargo, las leyes microscópicas que gobiernan el comportamiento de cada partícula subatómica son invariantes si cambiamos futuro por pasado (en rigor, para que valga para todos los casos, si además cambiamos derecha por izquierda y partícula por antipartícula, lo que se conoce como invariancia CPT). Si nos ponen un vídeo de un proceso de física de partículas, no vamos a poder saber si está invertido o no.

Entonces, por qué el mundo microscópico no tiene flecha del tiempo y el macroscópico sí. Eso es lo que vamos a explicar en este post.

El concepto de entropía

Supongamos que Nico, fan de Melendi, descubre que su artista favorito se está alojando en su ciudad. En cuanto se ha enterado que Melendi se aloja en el hotel California, ha ido derecho hacia allí con el objetivo de meterse en la habitación de Melendi. Nico se acerca a la recepcionista y le pregunta en qué habitación se encuentra alojado el cantante, pero la recepcionista le contesta que no está autorizada en darle esa información. No obstante, en ese momento Nico ve que Melendi se mete dentro del ascensor y que presiona el número de planta 13 antes de que se cierren las puertas. Nico sube corriendo por las escaleras las 13 plantas, pero cuando llega se encuentra que en la planta 13 del hotel hay 8 habitaciones, y no sabe en cual de ellas se ha metido Melendi. Es decir, hay información que Nico tiene sobre Melendi: sabe en qué ciudad está, en qué hotel se aloja y en qué número de planta tiene su habitación, pero no sabe en cual de las 8 habitaciones que hay en esa planta está.

Entonces Nico se encuentra con uno de los camareros del hotel, que viene de servir en una de las habitaciones sonriente porque Melendi le ha regalado una púa de guitarra con el logo de su nueva gira. Nico le pide que, por favor, le diga en cual de las 8 habitaciones está Melendi. El camarero se muestra dispuesto a darle esa información, pero cobrando un precio de 1000 euros por bit.

Si codificamos esa información que necesita Nico en el sistema binario, ésta se mide en bits, que es el número de dígitos (ceros y unos) necesarios para transmitir el mensaje. Si hay 8 habitaciones en esa planta, Nico va a necesitar comprar

\[ \log_2 8 = 3 \]

bits para conocer cuál de ellas es la habitación de Melendi:

\[ 0\rightarrow 000, \qquad 1\rightarrow 001, \] \[ 2\rightarrow 010, \qquad 3\rightarrow 011, \] \[ 4\rightarrow 100, \qquad 5\rightarrow 101, \] \[ 6\rightarrow 110, \qquad 7\rightarrow 111. \]

Pero si hubiera 16 habitaciones harían falta

\[ \log_2 16 = 4 \]

bits para especificar esa información

¿Qué tiene que ver esta historia con la física? En el post anterior hemos visto que la descripción termodinámica (macroscópica) de un sistema es mucho menos detallada que la microscópica. Esto hace que, dado un estado macroscópico concreto (caracterizado por unos valores concretos de

\[ U,\;V,\;N_i, \]

van a haber muchísimos estados microscópicos (caracterizados mediante las posiciones y velocidades de cada partícula del sistema) que correspondan al mismo estado macroscópico.

Esto quiere decir que, si sabemos en qué estado macroscópico se encuentra un sistema termodinámico concreto, todavía hay información que no tenemos y que necesitamos para saber en cuál de los muchos estados microscópicos que son compatibles con ese estado macroscópico se encuentra el sistema, de la misma manera que, aunque Nico sabe en qué ciudad, qué hotel y qué planta está Melendi, le falta saber en cuál de todas las habitaciones de esa planta se encuentra alojado.

La entropía es precisamente el tamaño de esa información que nos falta cuando sabemos cosas pero no lo sabemos todo. Por tanto, si midiendo magnitudes macroscópicas como \[ U,\;V,\;N \]

de un sistema termodinámico mediante aparatos macroscópicos determinamos que el sistema se encuentra en un estado macroscópico concreto, y si hay \( \Omega \) estados microscópicos que son compatibles con ese estado macroscópico, entonces la cantidad de información que nos hace falta para saberlo todo, el tamaño del disco duro que tenemos que darle a dios (si existe) para que nos meta ahí la información que nos falta, es la entropía:

\[ S=\log_2\Omega. \]

Ocurre, sin embargo, que a los físicos nos gusta trabajar con logaritmos neperianos en vez de logaritmos en base 2. Esta es la manera natural de trabajar porque la función $e^x$ es la única exponencial que se mantiene invariante al derivarla, mientras que $2^x$ no es igual a su derivada. Si cambiamos de base, se tiene:

\[ S = \log_2\Omega = \frac{1}{\log_e 2} \log_e\Omega \simeq 1.44\,\log_e\Omega. \]

En rigor, de la misma manera que, como hemos explicado en el post anterior, la temperatura debería medirse en julios, la entropía debería medirse en bits. Ocurre, sin embargo, que por razones históricas la temperatura se mide en kelvin y la entropía se mide en julios partido por kelvin. Por tanto, la entropía \(S\) de un estado de equilibrio macroscópico se define habitualmente como:

\[ \boxed{ S=k\log_e\Omega } \]

donde insistimos en que \( \Omega \) es el número de estados microscópicos compatibles con este estado macroscópico y \[ k = \text{cte. de Boltzmann} = 1.381\times10^{-23}\ {\rm J/K}. \]

Nótese que, en la física microscópica, que es la que describe el mundo de la forma más detallada posible, la entropía no existe. Se trata de una magnitud que tiene que ver más con lo que sabemos de la naturaleza que con la naturaleza misma. No obstante, hay que tener cuidado con esta última afirmación, por dos motivos:

• La entropía es una de las magnitudes que caracteriza en qué estado macroscópico está el sistema. En un sistema hecho de muchos átomos nos está diciendo, por tanto, cómo es la distribución de energía de esos átomos.
• Un sistema termodinámico no tiene o deja de tener mucha entropía en función de lo que sabemos de él, sino porque interacciona con el exterior de tal forma que concluimos que está en un estado macroscópico de mucha o poca entropía. Las magnitudes macroscópicas no son inventos subjetivos. Son magnitudes que caracterizan de qué forma concreta está interaccionando el sistema termodinámico con los aparatos macroscópicos de medida. Un sistema termodinámico no es, por tanto, sólo una disposición concreta de electrones, protones, neutrones, etc. Es un conjunto de partículas que interaccionan de determinada manera con el exterior. Y eso es lo que hace que tenga asociadas, objetivamente, unos valores concretos de magnitudes macroscópicas como la temperatura o la entropía.

 

La segunda ley de la termodinámica

Supongamos que queremos calcular la probabilidad de que un sistema termodinámico, que se encuentra en un estado macroscópico $A$, evolucione hasta otro estado microscópico $B$. Para ello, en rigor, tendremos que usar las leyes físicas fundamentales que gobiernan el comportamiento del sistema a nivel fundamental. Estas leyes son leyes mecanocuánticas, pero el razonamiento que viene a continuación es válido también en el límite en el que es válida la física clásica.

El problema es que sabemos que el sistema está en el macroestado $A$, pero no sabemos en cuales de los microestados compatilbles con A está. es decir, que el sistema físico esté en \(A\) significa que el sistema está en uno de los microestados \(A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{N_a}\), donde \(N_a\) es el número de microestados compatibles con \(A\). Es decir, $A$ significa que el sistema físico se encuentra en uno de los microestados \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\ldots\) o \(A_{N_a}\). Como no sabemos en cuál de los microestados estaba el sistema, tendremos que promediar sobre todos ellos en el cálculo que queremos hacer de la probabilidad de ir de $A$ a $B$. Cuando uno hace un promedio, además de sumar todas las probabilidades, también hay que dividir entre el número de ellas. Es decir, hay que dividir entre $N_a$.

De manera similar, $ B $ significa que el sistema físico está en uno de los microestados \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\ldots\) o \(B_{N_b}\). Pero aquí hay una diferencia fundamental entre el macroestado futuro $B$ y el macroestado pasado $A$. Si el sistema evoluciona hacia $B_1$, eso cuenta como una evolución hacia $B$. Pero si el sistema acaba en $B_2$, eso también cuenta como evolución hacia $B$, y así sucesivamente. Eso significa que, para calcular la probabilidad de llegar a $B$ no hay que promediar, sino simplemente sumar todas las probabilidades, sin dividir entre $N_b$. Es decir:
\[ P(A \to B)=\frac{1}{N_a}\sum_{i=1}^{N_a}\sum_{j=1}^{N_b}P(A_i\to B_j). \] 

Si las leyes fundamentales de la física que gobiernan el comportamiento microscópico del sistema son simétricas bajo inversión temporal (lo que ocurre en todos los sistemas cuánticos que obedecen también los principios de la relatividad especial, ya que CPT es una transformación que incluye una inversión temporal),  entonces podemos calcular también la probabilidad del proceso inverso en el que  $B$ evoluciona hacia $A$. En general habría que considerar estados \(A^*\) y \(B^*\), con las velocidades invertidas. Pero, por simplicidad, supongamos que las velocidades de ambos signos están igualmente representadas en el conjunto \(A\) y también en \(B\), de modo que los conjuntos satisfacen \(A=A^*\), \(B=B^*\). La probabilidad del proceso inverso es, por tanto: \[ P(B \to A)=\frac{1}{N_b}\sum_{i=1}^{N_a}\sum_{j=1}^{N_b}P(B_j\to A_i). \]  
Y aquí está la clave: aunque las leyes microscópicas sean simétricas bajo inversión temporal, es decir, aunque \( P(B_j \to A_i) \) sea igual a \( P(A_i \to B_j) \), el cociente entre \(P(B \to A) \) y \(P(A \to B) \) no es necesariamente uno, porque los factores de normalización dependen de \(N_a\) y \(N_b\): \[ \frac{P(B \to A)}{P(A \to B)}=\frac{N_a}{N_b}. \]
Usando la relación entre número de microestados y entropía: \[ N_a=e^{S_a/k},\qquad N_b=e^{S_b/k}, \]
se obtiene: \[ \frac{P(B \to A)}{P(A \to B)}=e^{(S_a-S_b)/k}. \] 
Si la entropía de \(B\), \(S_b\), es mayor que la entropía de \(A\) en un factor de \(10^{23} \) o mayor, que es lo que ocurre típicamente en los sistemas macroscópicos hechos de un número de partículas del orden de  1 mol, entonces la probabilidad inversa es menor que la directa por un factor de al menos \(\exp(10^{23})\). Es decir, a todos los efectos prácticos podemos decir que el proceso $A \to B$ se puede dar espontáneamente en la naturaleza, pero que el proceso inverso $B \to A$ es imposible si el sistema está aislado. Por ejemplo, aunque va a ocurrir que, si eliminamos la pared que separa a dos gases, éstos se mezclarán, nunca ocurrirá que dos gases mezclados se separen espontáneamente, ya que el número de microestados en los que los dos gases están separados es exponencialmente más pequeño que el número de microestados en los que están mezclados:

Esto que acabamos de contar aquí es la base microscópica del denominado segundo principio de la termodinámica: todo sistema termodinámico aislado evoluciona de tal manera que su entropía no disminuye incluso aunque las leyes microscópicas sean invariantes bajo inversión temporal. Esta ley introduce una flecha temporal en las leyes de la termodinámica: la flecha termodinámica es la dirección en la que aumenta la entropía.

Lo que acabamos de ver es que el origen de la flecha termodinámica del tiempo está simplemente en la manera en que la hacemos razonamientos lógicos, en la dirección en la que hacemos suposiciones sobre el pasado y tratamos de predecir los fenómenos que ocurrirán en el futuro. Existe una asimetría fundamental entre los estados iniciales y los estados finales en la lógica matemática que gobierna todos los cálculos de probabilidades que realizamos, y ahí es donde está el origen de la flecha termodinámica del tiempo, no en las leyes fundamentales de la física ni en cuales fueron las condiciones iniciales del universo. Una entropía grande solo aumenta la probabilidad de un proceso si es el estado final el que tiene una entropía grande, pero, debido al factor \(1/N_a\), una gran entropía del estado inicial no es favorecida de ninguna manera. En termodinámica, pasado y futuro no son intercambiables, pero esta asimetría no tiene absolutamente nada que ver con las leyes fundamentales de la naturaleza, ni tienen nada que ver con cuál era el estado inicial del universo, sino que es una asimetría lógica inherente a toda la ciencia y a todo el pensamiento racional.

La recurrencia de Poincaré 

Pero lo que acabamos ver es que es muy improbable que ocurra un proceso en el que disminuya la entropía en un sistema macroscópico, no que sea imposible. Existe una remota posibilidad de que dé la casualidad de que el sistema se encuentre en un microestado del macroestado $B$ de alta entropía que acabe evolucionando tras en un tiempo, incluso breve, a otro microestado que pertenezca al macroestado $A$, de baja entropía, como se aprecia en el siguiente vídeo:

A este fenómeno, altamente improbable se le denomina recurrencia de Poincaré. Lo normal es que, si tenemos un gas en un lado de una caja y otro gas en el otro lado, al quitar la pared que separa los dos lados se mezclen, ya que hay muchos más microestados en el que los dos gases están mezclados que en los que están separados. Pero si esperamos el tiempo suficiente, en un sistema finito con energía acotada, al final el sistema evolucionará a un estado muy cercano al inicial. En algún momento dará la casualidad de que todos los átomos rojos estén a un lado de la caja y todos los azules al otro lado, violándose así la segunda ley de la termodinámica.

Los procesos que implican una violación macroscópica de la segunda ley de la termodinámica pueden ocurrir, al menos en teoría, pero son extraordinariamente improbables (y no se observan en la práctica). El tema está en que, para conseguir una violación así del segundo principio, o bien tenemos que esperar un tiempo mucho más grande que la edad del universo, o bien tenemos que poner la condiciones iniciales altamente ajustadas para hacer que la entropía en el futuro disminuya. Pero cuesta mucho conseguir estas condiciones iniciales. Hace falta un ajuste tan fino de las condiciones iniciales que no vamos a poder hacerlo en la práctica en un sistema de 1 mol de partículas. De hecho, incluso en el vídeo anterior en el que el número de partículas es pequeño, he hecho trampas. He puesto como condiciones iniciales las condiciones finales de un proceso de aumento de la entropía en el que los gases se mezclan, he invertido las velocidades y he conseguido así generar la película hacia atrás. Pero bajo condiciones genéricas, es imposible conseguir un proceso de disminución de la entropía en un sistema aislado. Con condiciones iniciales ligeramente diferentes a esas, la disminución de la entropía que hemos observado en el vídeo no ocurrirá en absoluto.

Partiendo de condiciones iniciales especiales que conducirán a una violación de la segunda ley de la termodinámica, ¿cómo de grande debe ser una perturbación para producir condiciones iniciales en las que la segunda ley ya no sea violada? Pues bastante pequeña y, además, cuanto más atrás en el pasado actúe la perturbación, más pequeña será. Esto se debe a que solo una fracción diminuta de los posibles estados microscópicos corresponde a condiciones iniciales que conducirán a una violación macroscópica de la segunda ley. Con nada que sea no trivial la dinámica del enorme número de partículas que componen el sistema termodinámico, ésta mezclará las condiciones iniciales especiales que conducen a la violación de la segunda ley con las mucho más numerosas condiciones iniciales genéricas que no lo hacen. De hecho, existe un cierto tiempo de mezcla (scrambling time), que es el tiempo suficiente para mezclar el espacio de estados microscópicos de manera tan exhaustiva que cabría esperar que una perturbación genérica de una sola partícula, o de unas pocas partículas impidiera la violación de la segunda ley.

La tercera ley de la termodinámica y el desorden 

 

Supongamos un sólido cristalino a temperatura \( 0\,K \). Evidentemente, a \(0K\) el factor de Boltzmann quedaría concentrado en el estado de menor energía, con lo que a esta temperatura sólo hay un microstado posible compatible con ese macroestado: el microestado en el que todos los átomos estén en su estado más bajo de vibración (estado fundamental).

 

Como  \[ \Omega=1 \] lo sabemos ya todo sobre el sistema, no nos hace falta información adicional, la entropía es nula \[ S = k\log_e 1 = 0. \] 

Eso es lo que nos dice la tercera ley de la termodinámica.

Para simplificar, supongamos que al sólido está formado por 4 partículas, cada una de las cuales puede tomar un valor de la energía

\[ E_n=nE_1, \qquad n\in\mathbb N, \]

Si \( U=6E_1, \) todas las partículas ocupan el nivel mínimo de energía, \( \Omega=1, \) y

\[ S = k\ln\Omega = 0. \]

 

El sistema está perfectamente ordenado y a temperatura \(0K\), ya que es imposible encontrar una partícula con una energía que no sea la mínima.

Pero al aumentar la energía interna aparecen múltiples configuraciones microscópicas compatibles con el mismo valor de la energía macroscópica. Cada una de esas configuraciones representa una distribución distinta de la energía entre las cuatro partículas. Por ejemplo, para el estado termodinámico con \[ U=6E_1. \] 

aparecen diez configuraciones microscópicas compatibles con el mismo estado macroscópico: \[ \Omega=10. \] 

Por tanto: \[ S = k\ln(10) \simeq 2.3\,k. \]
Además, la temperatura ya no es \(0K\), ya que existe probabilidad de encontrar partículas con energía superior a la mínima. Intuitivamente, el sistema ahora nos parece más desordenado que cuando todos los átomos estaban en el nivel de menor energía. Esto es algo bastante general: los estados macroscópicos con entropía muy grande nos parecen normalmente más desordenados. Sin embargo, no debe entenderse la entropía como el grado de desorden de un sistema. Hay sistemas en los que algunos estados macroscópicos, al ser más ordenados, permiten que haya más estados microscópicos compatibles, como explica muy bien Crespo en este vídeo:

La entropía no es el grado de desorden de un sistema, sino el tamaño de la información que nos falta para saberlo todo una vez conocemos el estado macroscópico.

 

El demonio de Maxwell

 

Supongamos que, en el ejemplo anterior en el que hay dos gases que se mezclan, contratamos a un portero de fútbol microscópico y le encomendamos la tarea de colocarse en mitad de la caja y de impedir el paso a los átomos rojos sólo si se mueven hacia la derecha, y a los átomos azules sólo si se mueven hacia la izquierda. Tras un rato trabajando, este portero de fútbol conseguirá que todos los átomos rojos acaben en el lado izquierdo de la caja y todos los azules en el lado derecho, consiguiendo así que disminuya la entropía del gas. A un portero así se le denonomina demonio de Maxwelll. Este demonio de Maxwell también podría conseguir acabar con la uniformidad de temperatura de la caja si no deja pasar a los átomos rápidos hacia la derecha, ni a los lentos hacia la izquierda. ¿Podemos conseguir así que se viole la segunda ley de la termodinámica?

 

 

La respuesta es no. El demonio necesita información para poder discriminar a unos átomos frente a otros. Necesita saber qué átomo es rojo, o qué átomo va rápido. Pero cuando un sistema almacena información, lo hace seleccionando un microestado concreto de sí mismo, frente a otros microestados que macroscópicamente parecen iguales. Por ejemplo, en el ejemplo anterior del sólido, si no hemos almacenado información en el sólido todos los átomos estarán en el nivel fundamental (entropía cero), pero si codificamos información en él, entonces pondremos el sólido en un estado microscópico concreto con átomos excitados que se corresponde con un estado macroscópico de mayor entropía. Para poder guardar esa información sobre cada partícula el Melendi que vive en la cabeza del demonio de Maxwell se tiene que mudar a una planta que tenga muchas más habitaciones.

Por tanto, aunque el demonio consigue que dismimuya la entropía de la caja, esto lo hace a costa de aumentar más su propia entropía, de manera que la entropía del sistema aislado formado por le gas más el demonio de Maxwell no disminuirá. La segunda ley de la termodinámica sale victoriosa. Ni siquiera el demonio de Maxwell puede con ella.

El rendimiento de las máquinas térmicas 

Se puede demostrar que, en el mejor de los casos, cuando un sistema realiza un proceso cuasiestático, el calor que se absorbe o se desprende en un proceso se puede calcular como el área encerrada bajo la curva en un diagrama \(T-S\): 

 

\[ Q = \int T\,dS \]

Esto se debe a que, si el sistema gana calor, hay energía que se está yendo a modos ocultos. Los niveles de energía de las partículas se van a alejar del nivel fundamental, con lo que va a haber más estados microscópicos compatibles que antes de absorber esa energía, es decir, el sistema va a tener más entropía, como ocurre en el ejemplo anterior del sólido (si existiera, además de un nivel fundamental, un nivel de energía máxima, entonces al aumentar mucho la energía interna el sistema volvería a ordenarse en el nivel de arriba, es decir, la entropía disminuiría, pero en ese caso la relación entre calor, entropía y temperatura se seguiría cumpliendo, pero la temperatura sería negativa, más caliente que infinito).

En el post anterior hemos visto que una máquina térmica que, trabajando de forma cíclica, realice más trabajo que calor absorba (móvil perpetuo de primera especie) no puede existir porque violaría la primera ley de la termodinámica. Lo que sí permite la primera ley es una máquina que convierta todo el calor que recibe de un sólo foco en trabajo de forma cíclica. A una máquina así se la denomina móvil perpetuo de segunda especie. Pues bien, por la segunda ley de la termodinámica, los móviles perpetuos de segunda especie tampoco pueden existir. Vamos a verlo. Tenemos:

• Un foco caliente a temperatura $T$.
• Una máquina térmica.
• Un sistema sobre el que se realiza un trabajo.

 

Durante un ciclo, el foco caliente disminuiría su entropía:

\[ -Q = T_c\,\Delta S_1 \] \[ \Delta S_1 = -\frac{Q}{T_c} \]

En cambio, como la máquina térmica realiza un proceso cíclico:

\[ \Delta S_2 = 0 \]

y, como el sistema 3 sólo recibe trabajo, no calor,

\[ \Delta S_3 = 0 \]
se tendría: \[ \Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3 = -\frac{Q}{T_c} \] lo cual es imposible, porque el sistema formado por los subsistemas \(1+2+3\) es un sistema aislado y, por tanto, su entropía no puede disminuir.

 

“Lisa, en esta casa respetamos las leyes de la ¡termodinámica!”

En cambio, sí que es posible construir una máquina térmica que tome calor de un foco caliente, deje parte de ese calor a un foco frío, y utilice esa diferencia para realizar un trabajo:

• Foco caliente a temperatura \(T_c\).
• Foco frío a temperatura \(T_f\).
• Máquina térmica.
• Sistema sobre el que se realiza un trabajo.

 

El balance de entropía es:

\[ -Q_c = T_c\,\Delta S_1 \] \[ \Delta S_1 = -\frac{Q_c}{T_c} \] \[ Q_f = T_f\,\Delta S_2 \] \[ \Delta S_2 = \frac{Q_f}{T_f} \] \[ \Delta S_3 = 0 \] \[ \Delta S_4 = 0 \]

Por tanto:

\[ \Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4 = \frac{Q_f}{T_f}-\frac{Q_c}{T_c} \geq 0 \]

De aquí se obtiene:

\[ \frac{Q_f}{T_f} \geq \frac{Q_c}{T_c} \] \[ \frac{Q_f}{Q_c} \geq \frac{T_f}{T_c} \]

Se define el rendimiento \(\eta\) de una máquina térmica como la fracción de energía que coge del foco caliente que es utilizada en realizar trabajo:

\[ \eta = \frac{W}{Q_c} \]

El primer principio de la termodinámica nos dice que \(\eta\) no puede ser mayor que uno, porque entonces la máquina térmica realizaría más trabajo que calor recibe. No obstante, el segundo principio todavía nos da una limitación más fuerte:

\[ \eta = \frac{W}{Q_c} = \frac{Q_c-Q_f}{Q_c} = 1-\frac{Q_f}{Q_c} \leq 1-\frac{T_f}{T_c} \]

Por tanto:

\[ \boxed{\eta \leq 1-\frac{T_f}{T_c}} \]

La máquina térmica más eficiente que hay es aquella para la que:

\[ \eta = 1-\frac{T_f}{T_c} \]

y se denomina máquina de Carnot.

Es fácil ver que la máquina de Carnot realiza un ciclo formado por dos curvas isotermas y dos adiabáticas.

 

En efecto:

• \(A \to B\): expansión isoterma a \(T=T_c\). La máquina térmica toma calor \(Q_c\) del foco caliente y lo usa para expandirse realizando un trabajo.
• \(B \to C\): expansión adiabática. La máquina térmica se expande sin absorber ni ceder calor, pero como la expansión es adiabática, baja la temperatura hasta \(T_f\).
• \(C \to D\): compresión isoterma a \(T=T_f\). La máquina térmica cede calor \(Q_f\) al foco frío y se comprime.
• \(D \to A\): compresión adiabática. La máquina térmica se comprime sin ganar ni ceder calor, con lo que aumenta su temperatura.

El trabajo neto realizado durante un ciclo es:

\[ W = Q_c-Q_f \]

y el área encerrada en el diagrama \(T-S\) es:

\[ \text{área} = (S_B-S_A)(T_c-T_f) \]

Como:

\[ Q_c = \int_{A\to B} T\,dS \]

y durante \(A\to B\) la temperatura es constante:

\[ Q_c = T_c\int_{A\to B} dS = T_c(S_B-S_A) \]

Entonces:

\[ W = Q_c-Q_f = \text{área} = (S_B-S_A)(T_c-T_f) \] \[ W = \frac{Q_c}{T_c}(T_c-T_f) \] \[ W = Q_c\left(1-\frac{T_f}{T_c}\right) \]

Por tanto:

\[ \eta = \frac{W}{Q_c} = 1-\frac{T_f}{T_c} = \eta_{\text{máximo}} \]

c.q.d.

Cualquier otra máquina térmica que pueda funcionar cíclicamente sin violar las leyes de la termodinámica tiene que tener un rendimiento inferior al ciclo de Carnot. Nótese que en cada ciclo de Carnot el incremento de entropía del universo es:

\[ \Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4 \]

Como:

\[ \Delta S_3=0 \] \[ \Delta S_4=0 \]

y, para Carnot:

\[ \frac{Q_f}{Q_c} = \frac{T_f}{T_c} \]

se tiene:

\[ \Delta S_{\text{universo}} = \frac{Q_f}{T_f} - \frac{Q_c}{T_c} = 0 \]

Por eso es un proceso reversible. La máquina de Carnot puede funcionar en los dos sentidos: convirtiendo calor en trabajo o convirtiendo trabajo en calor.

La diferencia entre predicciones y postdicciones

En este texto hemos visto que el origen de la 2º ley de la termodinámica está en cómo lógicamente hayamos la probabilidad de que una transformación termodinámica ocurra sabiendo en qué estado macroscópico inicial se encuentra el sistema.  Hemos visto que, cuando se estudian sistemas macroscópicos y hay energía que va a o viene de modos ocultos, aparecen fenómenos asimétricos en el tiempo, fenómenos en los que aumenta la entropía: el rozamiento frena el movimiento relativo entre los objetos que friccionan, los intercambios de calor tienden a uniformizar la temperatura, etc; y que esta asimetría tiene su origen en la flecha lógica del tiempo, que se identifica con el procedimiento de asumir condiciones iniciales en el pasado o el presente y usar las leyes físicas para predecir el futuro.

Otro ejemplo de asimetría en el tiempo es la decoherencia cuántica: al entrelazarse un sistema cuántico con su entorno, con grados de libertad inaccesibles, entonces el sistema cuántico se comporta como si tuviera valores bien definidos de determinado conjunto completo de observables, aunque desconocidos. Está, por tanto, en un estado macroscópico que es compatible con varios estados microscópicos. Al no tener acceso a los grados de libertad del entorno, la decoherencia es, por tanto, un fenómeno irreversible análogo a los procesos termodinámicos de aumento de entropía. El hecho de que las mediciones en cuánticas sean irreversibles también tiene su origen, por tanto, en la flecha lógica del tiempo, y por eso ésta se introduce en mecánica cuántica en su misma raíz: la irreversibilidad de las mediciones es una parte clave del contenido físico de la mecánica cuántica. Esta irreversibilidad no contradice otras leyes físicas dinámicas que son invariantes bajo inversión temporal; al contrario, coexiste pacíficamente con ellas. Las leyes dinámicas son simétricas bajo inversión temporal (al menos invariantes CPT), pero el significado físico de los conceptos de la mecánica cuántica no lo es.

Pero otro asunto diferente es estudiar cómo deben ser las reglas de las postdicciones, las reglas para predecir el pasado, es decir, cómo usar la información sobre el presente junto con las leyes físicas para reconstruir las condiciones en las que se encontraba un sistema en el pasado. Y en este caso de ir en dirección temporal opuesta el razonamiento lógico no funciona igual. Para sistemas microscópicos, en los que podemos tener conocimiento completo de todos los grados de libertad no hay fenómenos irreversibles como fricción o decoherencia y sí hay simetría temporal completa (o al menos simetría CPT). Pero para objetos macroscópicos donde entran en juego modos ocultos o inaccesibles usar la misma regla lógica hacia el pasado que la que se usa hacia el futuro daría lugar a conclusiones incorrectas, como creer que los estados de mayor entropía están favorecidos al principio del universo.

Si conociéramos todos los grados de libertad, incluidos los del entorno, y además tuviéramos una precisión extraordinaria sobre todas las partículas de un sistema termodinámico, podríamos evolucionar el estado del sistema hacia atrás y encontrar en qué estado estaba el sistema en el pasado. Sin embargo, la precisión requerida sería exponencial, porque las no uniformidades en los sistemas termodinámicos decrecen, debido a la segunda ley, exponencialmente con el tiempo. En otras palabras, las no uniformidades aumentan exponencialmente si retrocedemos en el tiempo, con lo que una pequeña variación en el presente darí lugar a una enorme diferencia en el pasado, ya que, a medida que avanza el tiempo hay más información que se va a modos ocultos que al revés.

Ya hemos visto en otro post que, en este caso, las reglas de razonamiento lógico que se deben usar son las inferencias bayesianas. En el marco bayesiano las probabilidades de los supuestos o condiciones iniciales se tratan de manera bastante diferente a las probabilidades de las predicciones. El marco lógico para tratar con probabilidades no es invariante bajo el intercambio del pasado y el futuro, ni bajo el intercambio de causas y efectos, o de supuestos y predicciones. Si se hiciera ingenuamente el cálculo simétrico bajo inversión temporal, se predeciría erróneamente que los microestados de configuraciones macroscópicas de alta entropía estarían abrumadoramente favorecidos. Pero eso no es lo que ocurre.

La segunda ley de la termodinámica funcionará no solo en el futuro, sino que también ha funcionado en el pasado: no hay nada especial en el presente. Por eso, del modo de razonar bayesiano se desprende que, en las postdicciones, los estados de baja entropía encontrados al evolucionar hacia atrás deben recibir una “discriminación positiva” fuerte: hay que asignar un factor adicional \(\exp(-S)\) a un microestado candidato en el pasado. Las predicciones del futuro y del pasado siguen las mismas reglas lógicas. Cuando se aprecia la asimetría entre causas y predicciones, no hay incoherencia en la flecha termodinámica del tiempo ni nada antinatural en condiciones iniciales de baja entropía.

Esto tiene consecuencias importantes para la cosmología: no hay ninguna razón racional para que un universo joven tenga una entropía alta. No se trabaja en cosmología temprana como si estuviéramos evolucionando el estado presente hacia atrás en el tiempo. Siempre se empieza pensando en el pasado para intentar averiguar si el estado presente del universo pudo haber evolucionado a partir de ese pasado. Así, en cosmología estudiamos cómo evoluciona la entropía del universo con el tiempo, pero por eso no debemos pensar que la segunda ley de la termodinámica se cumple porque el universo empezó en un estado de baja entropía y que, si no fuera así, no se cumpliría. La segunda ley de la termodinámica es una ley local que se aplica a cualquier proceso macroscópico, incluso si dura muy poco tiempo y ocurre en una región pequeña, aunque macroscópica, del espacio. La lenta evolución cosmológica no tiene prácticamente ninguna influencia detectable en tales procesos locales. La segunda ley de la termodinámica implica trivialmente que el estado inicial del universo en el pasado tuvo que tener una entropía menor que su valor actual. Pero es incorrecto invertir esta implicación. La hipótesis de una baja entropía al comienzo no es una suposición suficiente para reemplazar por completo a la segunda ley de la termodinámica en todos los experimentos locales. La evolución cosmológica no puede influir en la validez de ninguna ley física local, como la segunda ley de la termodinámica. En física, las leyes a distancias microscópicas son fundamentales y las leyes efectivas de larga distancia son consecuencia de ellas. La segunda ley de la termodinámica es una ley que se aplica también a sistemas muy pequeños en escalas humanas y, por tanto, no puede ser consecuencia de algunas propiedades del universo a escala cosmológica. Es muchísimo más básica y fundamental que todo eso.

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

 

 

FÍSICA BACHILLERATO: Introducción a la termodinámica y a la física estadística

El currículo oficial de Física y Química de Bachillerato en España incluye una introducción a la termodinámica con conceptos que luego se aplican a la termoquímica de 2º de Bachillerato. Habitualmente los libros de texto abordan este tema de manera superficial, y el estudio riguroso de la termodinámica y de su origen microscópico, la física estadística, se dejan para la universidad.

Con este post, y con los que le siguen, voy a intentar demostrar que es posible dar a los estudiantes de Bachillerato y al público en general una introducción tanto a la termodinámica como a la física estadística sin simplificar los conceptos. Si quieres conocer los conceptos fundamentales de física estadística pero no has iniciado estudios universitarios de física, este es tu texto.

Las relaciones de indeterminación energía-tiempo, el efecto Zenón cuántico y la indistinguibilidad de los estados cercanos

"Si todo, cuando ocupa un mismo espacio, está en reposo, y si lo que está en movimiento está ocupando ese mismo espacio en algún momento, entonces la flecha volante permanece inmóvil". Aristóteles, Física VI:9, 239b5 

 

Por Martin Grandjean - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, Enlace

 

Según la famosa paradoja de la flecha de Zenón de Elea, tal y como la cuenta Aristóteles, en cualquier instante de tiempo que no tenga duración, un objeto, el que sea, no puede moverse de donde está ni a donde no está, porque no transcurre el tiempo suficiente para que se mueva allí. Dicho de otro modo, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si en cada instante todo permanece inmóvil, y el tiempo está formado únicamente por instantes, entonces el movimiento resulta imposible.

Hoy en día no resulta difícil, para cualquier persona con una formación matemática básica de nivel bachillerato, refutar esta paradoja, entendida al pie de la letra, sin demasiado esfuerzo. Sólo es necesario utilizar el cálculo infinitesimal inventado por Newton y Leibniz en el siglo XVII. No se puede juzgar, observando solo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, la posición $x$ de una flecha en un instante concreto $t$ está relacionada con la posición de la flecha en un instante infinitesimalmente cercano $t+\Delta t$ mediante la relación:

\[
v(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
\]

donde a la funcion $v(t)$ la llamamos velocidad de la flecha. Definiento, además, la aceleración de la flecha como

 \[
a(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}
\]

 podemos escribir:

$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)(\Delta t)^2+...$

donde los puntos suspensivos nos indican cantidades que, a medida que nos acercamos al límite $\Delta t \to 0$, se van haciendo más pequeñas que los sumandos anteriores. Todas estas expresiones no expresan más que el hecho geométrico de que toda curva diferenciable, por ejemplo, la que se obtiene al representar $x$ como función de $t$, se puede aproximar en un punto dado de la gráfica (es decir, en un instante de tiempo $t$):

• primero por una recta horizontal,
• si queremos que la aproximación sea mejor, por una recta tangente a la curva (cuya pendiente es la velocidad del objeto en ese instante)
• si queremos hilar más fino, por una parábola
• o por un polinomio de grado n mayor, haciendo el desarrollo de Taylor hasta orden n.

 

Lo que hizo Zenón de Elea fue quedarse con la aproximación a orden cero, en la que la posición no cambia con el tiempo y por eso argumentaba que no es posible el movimiento. Pero esta es solo la aproximación más burda. "Si las paradojas se expresan en la terminología matemática precisa de las variables continuas (...) las contradicciones aparentes se resuelven" [Boyer1959]. Basta darse cuenta de que hay un término más en el desarrollo de Taylor (el de orden 1, que es proporcional a la velocidad) para apreciar que la flecha se está moviendo.

Sin embargo, este análisis que hemos llevado aquí sólo vale en el contexto de la mecánica clásica, donde las partículas, en su movimiento, tienen asociado en todo instante de tiempo una posición y, a la vez, una velocidad. Y resulta que el mundo en el que vivimos no es clásico, sino cuántico, y aquí el principio de indeterminación se cumple rigurosamente. En general, en mecánica cuántica, las magnitudes físicas no son propiedades exclusivas del sistema cuántico que estamos estudiando (una flecha o una partícula), sino también del conjunto de aparatos de medida que usamos para determinarla, y por eso lo más general es que el sistema cuántico este en un estado en el que esa magnitud que queremos medir no toma ningún valor bien definido. No es que tome un valor que es desconocido, es que no toma ningún valor determinado. Así, en un isntante concreto una partícula cuántica va a estar en general en un estado superposición de varias posiciones, de tal forma que sólo podemos hacer que la magnitud física "posición x de la partícula" tome un valor bien definido si disponemos los aparatos de medida para que esta magnitud exista. Si, además, queremos que tome también un valor bien definido en un instante posterior $t+ \Delta t $, entonces también hay que que disponer los aparatos de medida de la manera adecuada en ese instante posterior. 

Una de las ideas que vamos a explicar en este post es que, en mecánica cuántica, en cierto sentido, Zenón tenía razón: si hacemos tender a cero al intervalo de tiempo $\Delta t$ que transcurre entre mediciones sucesivas de una magnitud física, entonces esta magnitud no cambia con el tiempo. Es decir, en la condiciones en las que puedo asegurar de manera continua que esa magnitud física toma un valor bien definido, entonces ese valor no se mueve, ¡es siempre el mismo! A esta característica de la mecánica cuántica, que, como todas las demás, ha sido verificada experimentalmente, se la conoce con el nombre de efecto Zenón cuántico [von Neumann1955, SudarshanMisra1977, Venugopalan2012, Steele2015, Itano2009]  

Para poder explicar el efecto Zenón cuántico va a ser necesario tener claro en qué consiste en mecáncia cuántica la relación de indeterminación energía-tiempo. Esta relación a menudo se escribe vagamente como:

\[ \Delta E\,\Delta t\gtrsim \hbar. \]

lo que choca con la precisión de la relación de indeterminación posición-momento

\[ \Delta x\,\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}. \]

De hecho, según la fuente que se consulte, el coeficiente que multiplica a $\hbar$ en la relación de indeterminación energía-momento va cambiando, lo cual no sólo resultaría desagradable a Zenón, sino también a todas las personas que estudian física. En este post también vamos a aclarar este asunto.

¿Existen las partículas que detectan nuestros detectores?

 Detector CMS, del colisionador LHC, en el CERN, en enero de 2006, antes de bajarlo al túnel.

El modelo estándar de las partículas elementales es la teoría que describe, con una precisión extraordinaria sin precedentes en la historia de la ciencia, la materia y las interacciones fundamentales conocidas (excepto la gravedad). Su fundamento matemático y conceptual es la teoría cuántica de campos (QFT, por sus siglas en inglés, AQFT, por "algebraic" en su versión más rigurosa a nivel matemático). A diferencia de la mecánica cuántica, que se formuló inicialmente hace 100 años, donde los objetos básicos eran partículas puntuales, en la teoría cuántica de campos lo fundamental son los campos: entidades que asignan un valor (que clásicamente tiene significado físico) a cada punto del espacio y del tiempo, de forma continua. Pero estos campos en esta teoría son cuánticos: obedecen a los mismo principios de la mecáncia cuántica, así que estos valores de los campos sólo tienen sentido en el límite clásico y sólo para campos bosónicos, ya que los valores de los campos fermiónicos son múmeros que anticonmutan.

En este marco, cada tipo de partícula elemental está asociado a un campo específico. Por ejemplo, existe un campo electrónico, los campos de quarks, los campos de gluones y así sucesivamente. El estado "vacío" no es la ausencia de todo, sino el estado en el que los campos están en su nivel más bajo de energía. Cuando un campo es excitado, aparecen lo que nosotros identificamos como partículas. Así, un electrón no es un objeto independiente y autónomo, sino la manifestación de una excitación cuántica del campo electrónico. Por eso todos los electrones son indistinguibles y no tienen identidad.

Esto significa que las partículas no son entidades fundamentales en sí mismas, sino que surgen como cuantos de energía de un campo. La analogía más usada en divulgación es la de las ondas en el agua: el agua es el campo, mientras que las ondas o "olas" visibles son las excitaciones. En la teoría cuántica de campos, la diferencia es que esas excitaciones están cuantizadas: sólo existen en "paquetes discretos" de energía que Planck llamó "cuantos" y nosotros ahora llamamos "partículas".

Sin embargo, a la física de partículas la seguimos llamando "física de partículas" y no "física de los campos cuánticos". El motivo es que estos campos cuánticos, al obedecer también los postulados de la relatividad especial, tienen interacciones locales. Es decir, en esta teoría, para que algo en una zona del espacio afecte a otro, tiene que haber algún campo que se propague de un sitio a otro, y esta propagación no se hace más rápido que la luz. Al ser las interacciones entre los campos locales, y al ser las partículas de las que están hechos nuestros detectores también excitaciones de campos, las excitaciones de esos campos siempre las detectamos como partículas prácticamente puntuales.

Por tanto, por un lado, en la teoría a nivel fundamental, el esquema conceptual fisicalista más sencillo con el que actualmente incluímos y ordenamos de manera tan precisa y espectacular casi todos los desordenados fragmentos de la experiencia, la teoría cuántica de campos, lo que existen son los campos, no las partículas. Pero, por otro, lo que detectamos son partículas y, desde un punto de vista fenomenista, los campos son una especie de "mito" conveniente, pero lo que realmente existe es lo que detectamos: las partículas. ¿Existen realmente las partículas? Eso es lo que vamos a discutir en este post, que no es para el público en general, sino sólo para personas que estén estudiando o hayan estudiado física.

 

El engaño ontológico y la importancia de su descubrimiento para la ciencia moderna

 

Hemos escuchado mil veces que la cuna del pensamiento filosófico y científico occidental está en la antigua Grecia, donde se forjó la emancipación del pensamiento respecto a sus antiguas ataduras mítico-religiosas y psicológicas. Hay un aspecto concreto de esta emancipación en la que nos vamos a detener en este post, y que ya se empezó a apreciar en el arte incluso antes de los primeros filósofos. Los pensadores en la antigua Grecia, en un determinado momento, al liberarse de sistemas de significación estrictamente realistas, donde palabra, cosa y experiencia se confundían, comenzaron a utilizar los conceptos de manera hipotética, sin temor a mentir o a caer en contradicción con una supuesta realidad inmediata. Fue entonces cuando las artes pudieron explorar mundos posibles desde una imaginación autónoma [Feyerabend, Forsdyke]. Al abrirse una zona ambigua entre invención y realidad, donde la ficción se volvió una forma válida y necesaria de conocimiento, se empezó a crear el clima intelectual adecuado para el surgimiento de la filosofía y la ciencia teórica más especulativa.  

Es en este contexto de transformación que se inscribe una de las intuiciones más radicales de la filosofía griega: la posibilidad de que haya palabras que no refieran a nada real. Parménides fue el primero en dar forma a esta idea: una cosa es decir lo falso, entendiendo por ello una mentira epistemológica, y otra muy distinta es decir algo que no es en absoluto, nombrar lo que no es, caer en un engaño ontológico. Esta distinción, tan sutil como revolucionaria, supone que hay palabras que no remiten a nada real, que son meras etiquetas flotantes sin correlato ontológico.

Parece algo evidente hoy en día, pero Parménides dio un paso enorme: la palabra dejó de ser la cosa, y pasó a ser solo su nombre, lo que implica una disociación fundamental entre el lenguaje y el ser. Parménides sembró la duda (¿y si la palabra fuera sólo un signo, incapaz de captar el verdadero ser de la cosa?), naciendo así una tensión escéptica que atraviesa toda la filosofía posterior. Si las palabras no garantizan verdad, ¿está la filosofía, hecha de palabras, diciéndonos algo verdadero? ¿Podría en algún momento hacerlo?

Esta separación entre palabra y cosa, inaugurada por Parménides, es, por tanto, una de las condiciones de posibilidad de la ciencia, ya que este cuestionamiento continuo de la filosofía es la que la hace florecer, y la ciencia no es más que el conjunto de las partes de la filosofía que ya han florecido. Si la palabra ya no es la cosa misma, entonces puede haber múltiples nombres para una misma cosa, incluso nombres con significados claramente diferentes (como, por ejemplo, los nombres "lucero del alba" y "lucero del crepústulo", que ambos hacen referencia al planeta Venus). También puede ocurrir que una cosa pueda recibir predicados contradictorios. De esta contradicción emerge, como necesidad lógica, el concepto de sujeto, entendido no como individuo psicológico, sino como aquello que permanece idéntico bajo la multiplicidad de los nombres. Y, cuando aquí decimos "nombre", nos podemos referir también a "modelo matemático sobre el mundo". Como veremos al final de este post, las dualidades que se han descubierto en física teórica en el último siglo nos llevan a tener que aceptar que varios modelos matemáticos claramente distintos pueden hacer referencia a una misma realidad. Está bastante extendido el mito de que el mundo sigue un único modelo matemático y que de éste hay distintas "interpretaciones físicas". Pero lo que nos indica la física teórica es que es al revés.

En la línea del decubrimiento parmenideo del engaño ontológico, la ciencia nos ha permitido cuestionar y desmontar muchas de las ideas preconcebidas que teníamos sobre el mundo. Y el culmen lo hemos tenido durante los últimos 125 años, en los que la física moderna ha llevado esta intuición a su límite, desmontando sistemáticamente algunas de las nociones más básicas de nuestra experiencia intuitiva del mundo, como el tiempo absoluto, las trayectorias de las partículas e incuso el mismo concepto de partícula. En este sentido, las grandes teorías físicas contemporáneas no sólo han transformado nuestro conocimiento del universo: han revelado, una tras otra, las ilusiones ontológicas que durante siglos dimos por evidentes. Así como Parménides mostró que los nombres pueden ser sólo nombres, la física moderna ha mostrado que muchos de nuestros conceptos sobre el mundo que nos parecen más fundamentales carecen de realidad.

Nos surge así, más que nunca, la duda de si los entes de los que ahora creemos que está hecho el universo existen en realidad o son simplemente mitos, más útiles y elaborados con más madurez que los antiguos, pero mitos al fin y al cabo. En este post, además de revisar por encima las implicaciones del descubrimiento de Parménides en la historia de la filosofía y explicar el concepto del compromiso ontológico de las teorías, hacemos un repaso de hasta dónde ha llegado el que seamos conscientes del engaño ontológico en la física moderna, desde la relatividad hasta la teoría de cuerdas.

 

¿Es la naturaleza discreta?

El jueves 24 de julio a las 20:30 estuve con Enrique Fernandez Borja en directo en el canal de Youtube Cuentos Cuánticos explicando por qué hay cuantos en mecánica cuántica y discutiendo si el espaciotiempo es discreto.

De los ÁTOMOS al ESPACIOTIEMPO:  ¿Es la Naturaleza Discreta?

Se puede ver la grabación completa en diferido en este enlace:

https://www.youtube.com/live/lpKH2nNe-n8?feature=shared 

Más sobre los tema que he tratado en el directo:

El engaño ontológico y su importancia para la ciencia moderna

Si vivimos en una simulación informática, ¿dónde están los bits fundamentales?

Por qué la interferencia cuántica promete revolucionar la computacion

La factorización eficiente de números en sus factores primos constituye, desde hace ya muchas décadas, un desafío crucial en matemáticas y criptografía. El interés en este proceso, que se puede reducir a encontrar el período de una función periódica, viene de que los sistemas de encriptación más utilizados en el mundo digital descansan en la suposición (ampliamente aceptada pero no demostrada rigurosamente) de que es prácticamente imposible factorizar el producto de dos números primos grandes y desconocidos en un tiempo razonable. Esta dificultad es lo que hace que los códigos modernos sean seguros y prácticamente irreversibles. Calcular el producto de dos primos grandes es sencillo, pero determinar cuáles son esos números a partir del resultado es una tarea que, utilizando algoritmos clásicos y los ordenadores actuales, tomaría miles o millones de años.

Sin embargo, el nacimiento de la computación cuántica ha cambiado este panorama. Los ordenadores cuánticos no solo prometen resolver ciertos problemas de manera exponencialmente más rápida que las computadoras clásicas, sino que también tienen el potencial de romper los sistemas de encriptación actuales, como nos mostró por primera vez el algoritmo de Shor, presentado por Peter W. Shor en 1994. Este algoritmo aprovecha el fenómeno de las interferencias que se da en mecánica cuántica para factorizar números semiprimos de manera mucho más eficiente que cualquier algoritmo clásico.

El impacto de esta amenaza no es menor. Sistemas como RSA, que se basan en la dificultad de la factorización para garantizar la seguridad de datos financieros, comunicaciones y otros aspectos de la vida digital, podrían volverse vulnerables ante el poder de una computadora cuántica equipada con el algoritmo de Shor con la suficiente robustez y número de qubits.

Pero, ¿cómo es esto posible? En este post vamos a explicar de maneta pedagógica cómo funciona el algoritmo de Shor, lo vamos a hacer partiendo de la famosa radiografía del ADN de Rosalind Franklin.

¿Por qué la vida está basada en 4 bases y 20 aminoácidos?

 

Nuestro alfabeto tiene 27 letras. Pero el alfabeto con el que está escrita la información genética de todos los seres vivos tiene sólo 4 letras. A su vez, el alfabeto con el que está traducida esa información en las proteínas tiene 20 letras. La razón por la cual toda la vida en la Tierra está basada en cuatro bases nitrogenadas (adenina, timina, citosina y guanina en el ADN) y veinte aminoácidos en las proteínas no parece arbitraria, sino que podría ser la consecuencia de una combinación de factores evolutivos, químicos y físicos. ¿Cuáles son esos factores? ¿Es esa necesariamente la única forma en que la vida podría haber surgido? ¿Qué aspectos históricos de la geología terráquea y contingentes influyeron en esta "decisión" biológica?

Está claro que cuatro bases permiten un sistema de codificación eficiente. Con un alfabeto de 4 bases y combinaciones de tres (tripletes o codones), se pueden codificar 64 posibles combinaciones. Esto es más que suficiente para los 20 aminoácidos esenciales, con redundancia (codones sinónimos) que aumenta la robustez frente a mutaciones. Y los 20 aminoácidos ofrecen una variedad química suficiente para formar proteínas con una amplia gama de funciones, desde catalizar reacciones (enzimas) hasta formar estructuras (colágeno). Ampliar este número no necesariamente habría incrementado la funcionalidad, mientras que usar menos aminoácidos habría limitado la diversidad de estructuras y funciones posibles. Además, las cuatro bases nitrogenadas utilizadas en el ADN son químicamente estables y tienen una alta afinidad por éste, lo que permite una replicación precisa y duradera, y probablemente había una alta disponibilidad de ellas en las regiones de la Tierra donde surgió la vida.

Sin embargo, todos estos argumentos no nos aseguran que puedan existir formas de vida con otro número de bases y de aminoácidos. No hay nada que garantice que la vida en otros planetas use exactamente 4 bases y 20 aminoácidos. 

¿Tienen los números 4 y 20 alguna ventaja evolutiva? Como decía Monod, parece que los seres vivos están diseñados con un propósito teleológico (reproducirse) pero, en realidad, esto es sólo una ilusión fruto de su capacidad de replicar su material genético con errores ocasionales sometidos al juego de la selección natural. El principio de objetividad de la naturaleza nos indica que los sistemas naturales no tienen un propósito teleológico, no existen las causas finales aristotélicas. Por eso Monod habla de teleonomía, en vez de teleología.

 

El número de letras debería ser, desde el punto de vista evolutivo, una ventaja para replicar el material genético. Cuantas más letras tenga un alfabeto, más cortos serán los mensajes. Para imprimir el Quijote hacen falta 2 millones de caracteres. Pero en binario, son bastantes más.

Pero, por otro lado, cuantas más letras tenga un alfabeto, más se tarda en encontrar la letra que queremos copiar si la buscamos en una sopa de letras, que es justo lo que se hace en la replicación del ADN, así que los alfabetos de muchas letras no interesan. 

 

¿Hubo en la Tierra varios competidores y el sistema de 4 y 20 resultó ser el más eficiente y estable en ese entorno, lo que hizo que se convirtiera en el único que sobrevivió a la selección evolutiva? ¿Reflejan los números 4 y 20 las condiciones específicas del entorno químico y físico de la Tierra primitiva, combinadas con las primeras decisiones evolutivas que resultaron ser lo suficientemente exitosas para ser preservadas?

¿Por qué 4 bases, y no 2, o 3, o 5? En el año 2000 surgió una idea muy loca para explicar esto ¡basada en la computación cuántica!

 

Lo que los agujeros negros nos están enseñando acerca de las leyes de la física: el acoplo IR/UV

Galileo Galilei osserva la lampada nel Duomo di Pisa, affresco di Luigi Sabatelli, Tribuna di Galileo, Firenze.Fechahacia 1841Fuente: http://brunelleschi.imss.fi.it/itinerari/galleria/TribunaGalileo_344.html

Un domingo de 1583 Galileo, cuando era un estudiante de apenas 18 años, no se podía concentrar en sus oraciones en la catedral de Pisa porque había algo curioso que le llamaba la atención y no podía parar de pensar en ello. Había una suave corriente de aire en el interior de la iglesia y una gran lámpara suspendida del techo se movía en forma de vaivén. Según la física de Aristóteles, dominante hasta la época, la lámpara lo que estaba haciendo era un movimiento forzado intentando alcanzar su posición natural, que es estar lo más baja posible. Por mucho que un aristotélico quisiera hacer experimentos de precisión con un péndulo, u objeto similar a esa lámpara, nunca habría llegado a ninguna conclusión interesante porque habría intentado medir la magnitud relevante en ese paradigma: el tiempo que el péndulo tarda en llegar a pararse, en llegar a su posición natural, magnitud que depende de si hay más rozamiento o menos y que poco tiene que decirnos acerca de las leyes de la física.

Sin embargo, Galileo, observando el mismo objeto, supo ver otra cosa: un movimiento periódico, que se repite una y otra vez. Y al hacer esto Galileo apreció algo sumamente sorprendente: el periodo de ese péndulo era independiente de la amplitud si ésta no era demasiado grande. ¡Cualquiera diría que para recorrer un arco más grande tendría que tardar más! Pero no. Este tiempo depende sólo de la longitud del péndulo y de la intensidad del campo gravitatorio, pero no de la amplitud, descubrimiento que nos abrió las puertas a conocer los principios más profundos que gobiernan el funcionamiento del universo.

En esta vida es importante incorporar continuamente las enseñanzas de los 3 grandes maestros que tenemos: el señor libro, el señor calle y el señor viaje, pero, sobre todo, hay que saber hacer lo que hizo Galileo: aprender a mirar lo que siempre hemos visto con ojos diferentes cada vez. A veces no hace falta buscar más mundos, sino aprender a mirar a éste con ojos nuevos.

En este post voy a tratar de explicar por qué los agujeros negros nos están haciendo mirar al universo con ojos completamente diferentes. Se trata de un post que, aunque de introducción al tema, es técnico y está escrito sólo para físicos o estudiantes de física. Si, por el contrario, lo que buscas es una introducción divulgativa a los agujeros negros, te va a interesar más este otro texto. A nivel más técnico en este blog hay ya dos articulos sobre los agujeros negros:

• ¿Cuál es el significado físico del tamaño gravitacional de un objeto?
  
• Si hacemos mucho zoom, ¿sigue existiendo la geometría?
  

Lo que vamos empezar a ver ahora en este post es qué consecuencias tiene todo lo que hemos aprendido sobre los agujeros negros acerca de las leyes de la física. Los agujeros negros nos están diciendo sobre el universo muchísimas más cosas de las que parece a simple vista, así que, entre este post y su continuación, me dispongo a dar una lista no completa de las grandes lecciones que los agujeros negros nos están haciendo aprender.

 

También tengo que advertir al lector de que, no sólo ocurre que yo no soy experto en este tema, sino, además, que casi todos los que se hacen llamar "expertos en agujeros negros", tampoco lo son. Hay muchas cuestiones básicas sobre los agujeros negros que no tenemos claras, con lo que el contenido de este post va a tener que estar siempre sujeto a revisiones y correcciones. Podéis dejar vuestros comentarios y sugerencias de mejora en la caja que hay al final. Lo agradeceré.

 

 

Nueva cuenta en BlueSky

Ya tengo cuenta en BlueSky. La puedes seguir clicando en este enlace:

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FÍSICA BACHILLERATO. Problemas sobre conservación de L en órbitas elípticas.

Estos son los primeros problemas que podéis tratar de resolver. La solución la tenéis en Fiquipedia. Todos estos problemas se pueden resolver sin necesidad de usar la ley de conservación de la energía mecánica.

 

FÍSICA BACHILLERATO: Problemas sobre la ley de gravitación universal y campos gravitatorios estáticos

Estos son los primeros problemas que podéis tratar de resolver. La solución la tenéis en Fiquipedia.

 

Si hacemos mucho zoom, ¿sigue existiendo la geometría?

 

 

By Jarrokam - Own work, CC BY-SA 4.0, Link

 

El descubrimiento de las geometrías no euclídeas y la formulación de la teoría de la relatividad general nos enseñó, hace ya más de un siglo, que la geometría del mundo físico no corresponde en general a la geometría euclídea que, de manera ingenua, esperábamos y que experimentamos en nuestra vida cotidiana. El nacimiento de la física moderna, con el advenimiento de la relatividad y la física cuántica, nos hizo ver que la naturaleza no tiene la obligación de ajustarse a nuestras percepciones intuitivas y limitadas. La imagen mental que teníamos del universo, construida sobre la base de nuestras experiencias diarias, no reflejaba fielmente la estructura de la realidad.

Por ejemplo, para Kant, el espacio y el tiempo eran las condiciones a priori fundamentales del conocimiento científico, inherentes a la estructura del sujeto, con lo que no provenían de los datos de los sentidos. Eran previos a la experiencia. Como condiciones a priori son universales y necesarios, y son los que hacen posible la experiencia (por ello son denominados también condiciones transcendentales). Para el filósofo de Konigsberg espacio y tiempo son el modo como percibimos todas las impresiones, no poseen contenido empírico y su validez es independiente de la experiencia. Pero en la relatividad general, el espacio y el tiempo se combinan en un solo ente, el espaciotiempo, que se curva y se deforma en presencia de energía. Esta curvatura es descrita por una geometría diferenciable y no euclidiana, conocida como geometría riemanniana (con signatura lorentziana). Las trayectorias de los objetos en movimiento no sometidas a ninguna interacción más que la gravitatoria, incluyendo la luz, no son más que geodésicas en este espaciotiempo, curvado por la distribución de energía concreta que haya. Esto supuso un desafío a la concepción kantiana del espacio y el tiempo. El hecho de que en relatividad general la materia condicione la estructura del espacio-tiempo acaba con la idea de que espacio y tiempo son anteriores a la experiencia. Esto impactço a los pensadores posteriores. Por ejemplo, en la base de la filosofía que caracteriza al Círculo de Viena y a su entorno de influencia, donde habría que añadir a Hans Riechenbach, se encuentran incluidas de forma esencial las enseñanzas epistemológicas y metodológicas que proporciona el estudio del surgimiento de la relatividad, estudio que obliga a un reajuste de la concepción kantiana del espacio y del tiempo. Así, Reichenbach escribía [SánchezRon1985] en 1932:

“La teoría de la relatividad me impresionó inmensamente y me llevó a un conflicto con la filosofía de Kant. La crítica de Einstein al problema del espacio-tiempo me hizo darme cuenta de que el concepto de a priori de Kant no se puede mantener.”

El propio Einstein habló sobre este tema en una conferencia sobre las consecuencias filosóficas de la relatividad en la Academia de Ciencias de Barcelona, durante el viaje que realizó a España en 1923. Para Einstein la relatividad no es contraria a la línea de pensamiento de Kant de considerar que todo conocimiento tiene una base a priori, pero impone algunas restricciones. Con la relatividad especial la simultaneidad pierde su caracterización a priori y con la relatividad general el espacio geométrico a priori también pierde su status. No puede haber geometría aparte de la física [Glick1986].

No obstante, visto a posteriori, el cambio conceptual que supuso la relatividad general sobre nuestra concepción del espaciotiempo no es tan radical como parecía. Después de todo, una variedad diferenciable localmente parece un espacio plano, con lo que el espaciotiempo en relatividad general es isomorfo al espacio de Minkowski en el entorno de cada suceso.

Pero la relatividad general no es una teoría cuántica y, si hacemos mucho zoom y nos vamos al mundo ultramicroscópico, es de esperar que los efectos cuánticos sean predominantes. La pregunta que surge entonces es si la geometría diferenciable de la relatividad general sigue siendo aplicable a escalas de longitud muy pequeña.Y eso es lo que vamos a discutor en este artículo.

 

¿Cuál es el significado físico del tamaño gravitacional de un objeto?

 

By Cmglee - Own work, CC BY-SA 4.0, Link

 

La relatividad general es una teoría de la interacción gravitatoria y, a la vez, relativista. Los fenómenos en los que los efectos relativistas de la interacción gravitatoria se manifiestan vienen en esta teoría caracterizados, por tanto, por las constantes fundamentales $c$ y $G^N_4$, que son respectivamente la velocidad de la luz en el vacío y la constante de gravitación de Newton. En un mundo como el nuestro, con $d+1=4$ dimensiones espaciotemporales, la constante de gravitación de Newton $G^N_4$ tiene dimensiones de longitud al cubo partido por masa y partido también por tiempo al cuadrado. Esto hace que, a todo objeto de masa $M$ en relatividad general se le pueda asociar un tamaño virtual, que vamos a llamar tamaño gravitacional del objeto $R_G$, de valor:

$R_G=G^N_4M/c^2$

(en lo que sigue trabajaremos con unidades en las que $c=1$, con lo que longitud y tiempo tienen las mismas dimensiones y escribiremos $R_G=G^N_4M$). Este tamaño gravitacional del objeto no es en general el tamaño del objeto, sino un tamaño característico de este objeto que es proporcional a su masa. Por ejemplo, el Sol tiene un tamaño que viene dado por un radio de $7 \cdot 10^5$km, pero su tamaño gravitacional es de 1,5 km. Y la Tierra tiene un radio de unos 6400 km, pero su radio gravitacional es de unos 4,5 mm. Es decir, desde que entendemos, gracias a Einstein, aunque no sólo a él, cómo son los aspectos relativistas de la interacción gravitatoria, a cada objeto le podemos asignar, además de su tamaño real, otro tamaño "virtual" $R_G$, que es proporcional a su masa. Como es distinto al tamaño físico del objeto, ¿qué significado físico tiene este tamaño gravitacional? Eso es lo que vamos a explicar en este post.

Antes de la construcción de la relatividad general, en relatividad especial la estructura causal del espacio-tiempo, que es el espacio cuadridimensional de Minkowski, venía descrita por un cono de luz asociado a cada suceso $p$. Sólo los sucesos en la superficie y en el interior de la parte superior del cono de luz pueden ser influenciados por $p$, y sólo los sucesos de la superficie y el interior de la parte inferior del cono pueden afectar causalmente a $p$. En relatividad general, en cambio, la estructura causal del espacio-tiempo viene determinada por la métrica $G_{\mu\nu}$ y, aunque localmente es topológicamente la misma que en relatividad especial, puede haber globalmente muchas diferencias. Una de ellas podría ser que un suceso sea parte del futuro causal de otro suceso y, a la vez, parte de su pasado. Para evitar problemas vamos a restringirnos sólo a espacio-tiempos en los que pueda hacerse una designación continua de qué mitad del cono es el futuro y qué mitad es el pasado.

No obstante, hay otras diferencias de tipo global con Minkowski que sí que son físicamente aceptables, como la que exista una región del espacio-tiempo, denominada agujero negro, de forma que ninguna partícula o rayo de luz pueda escapar hacia el exterior de ésta. Es claro que esta definición tiene que ser matizada de alguna forma, ya que, de lo contrario, el futuro causal de cualquier suceso del espacio tiempo sería un agujero negro. Para ello hay que especificar cuál es la región del espacio-tiempo de posible escape. Vamos a restringir nuestra atención a espacio-tiempos que sean asintóticamente planos, es decir, que se hagan minkowskianos "lejos'' de alguna "región central" y esto "en todo instante de tiempo''. Para la presente discusión no necesitamos más detalles. Una definición rigurosa de espacio tiempo asintóticamente plano viene dada en [Wald1984]. Los espacios asintóticamente planos representan en relatividad general sistemas aislados. Podemos así dar la definición de que un agujero negro es una región del espacio-tiempo situada en esa "región central'' desde la que no es posible escapar hacia la región asintótica. Su frontera, que es una superficie nula, se denomina horizonte de sucesos.

Empecemos repasando algunas soluciones concretas de tipo agujero negro que aparecen en teorías que contienen la gravitación, para luego tratar el tema de forma más general. Este es un post técnico, para estudiantes universitarios de física. Si lo que buscas es un post de divulgación sobre agujeros negros, apropiado para quien tenga conocimeintos de física de nivel de Bachillerato, es mejor que leas este otro artículo.

La solución de Schwarzschild

En relatividad general, la acción para el campo gravitatorio en ausencia de materia, denominada de Einstein-Hilbert es

$ S_{EH}\left[ G\right] =\frac 1{16\pi G_4^N}\int dx^4\sqrt{G}R\left[ G\right] $

Las ecuaciones de movimiento clásicas que se derivan de esta acción son

$ R_{\mu \nu }=0 $

La única solución esféricamente simétrica (teorema de Birkhoff) de estas ecuaciones es la solución de Schwarzschild:

$ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2d\Omega _2^2 $

donde $f=1-\frac{R_S}{r}.$, siendo $R_S$ una constante con unidades de longitud que caracteriza a la solución y que se llama radio de Schwarzschild. Esta solución tiene las siguientes propiedades:

• Es una solución asintóticamente plana. Eso significa que esta solución describe un objeto o conjunto de objetos situado en el espacio de Minkowski.
• Es también una solución constante, ya que existe un sistema de coordenadas, las de las fórmulas anteriores, en el que los coeficientes de la métrica son independientes de una coordenada, $t$ en este caso, que hace de tiempo universal. Otra forma de verlo es que el vector que genera las traslaciones de $t$ es un vector de Killing. Como, en rigor, un campo gravitatorio producido por varios objetos que sólo interaccionan gravitatoriamente nunca puede ser constante, porque su atracción gravitatoria mutua daría lugar a un movimiento, podemos decir que se trata del campo gravitatorio producido por un sólo objeto.
• Además, es una solución estática, porque es constante y las componentes $G_{0\alpha}$ de la métrica son nulas (donde aquí $\alpha$ es un índice espacial). Ese objeto no tiene rotación.
• Si consideramos sólo el caso $R_S>0$, en $r=R_S$ algunos coeficientes de la métrica divergen. Pero esto no quiere decir que en $r=R_S$ haya una singularidad real. El análisis de los invariantes de curvatura revela que se trata sólo de una singularidad de coordenadas, es decir, que aparece sólo como consecuencia de que las coordenadas que se están usando no cubren esa región del espacio-tiempo. El uso de otros sistemas de coordenadas, como por ejemplo las de Kruskal-Szekeres, pone de manifiesto que $r=R_S$ es un horizonte de sucesos [waldrg1984]. La región interior $r<R_S$ es un agujero negro.
• Aunque $R=0$ y $R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }=0$ en todos los puntos, hay otros invariantes de curvatura, como por ejemplo $R^{\mu \nu \rho \sigma}R_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{48\left( \frac{R_S}{2G_4^N}\right)^2\cos ^2\theta }{r^6}+...$ que divergen en $r=0$. Esto pone de manifiesto que en $r=0$ hay una singularidad real, que sigue estando sea cual sea el sistema de coordenadas que se use. 

By Dr Greg, CC BY-SA 3.0, Link

Estas figuras  anteriores muestran la máxima extensión analítica de la solución de Schwarzschild, denominada extensión de Kruskal. Los dos diagramas son de tal forma que los conos de luz están inclinados $45^{\circ}$ en todos los puntos. Se observan cuatro regiones:

• La región I, región asintóticamente plana y exterior al agujero negro.
• La región II, el interior del agujero negro. Todo observador en su interior acabará en el futuro en la singularidad.
• La región III, asintóticamente plana.
• La región IV, un agujero blanco. Todo observador en su interior tiene una singularidad en su pasado y acabar\á, en el futuro, o en la región I o en la IV.

Esta solución de Schwarzschild, al igual que el resto de soluciones de tipo agujero negro, representa un objeto muy extraño. No podemos decir, como en el caso de una estrella, un planeta o una estrella de neutrones, que se trata de materia (energía) localizada en cierto volumen del espacio, de tal forma que la masa (energía) de ese objeto se obtiene integrando la densidad de energía a lo largo de todo el volumen del objeto. En el caso de un agujero negro el área del horizonte de sucesos sí está bien definida, y viene dada por $A=4\pi R_S^2$, pero no podemos definir el volumen de su interior, porque en el interior del agujero negro la coordenada $t$ deja de ser temporal para pasar a ser espacial, mientras que la coordenada $r$ se convierte en una coordenada temporal. Así que no podemos decir que ahí la solución sea constante. Además, la densidad de energía, que viene dada por la componente $T_{00}$ del tensor energía impulso, es nula en todas partes en el caso de un agujero negro, porque se trata de una solución de las ecuaciones de Einstein en el vacío.

En la relatividad general no existe un método preciso general para calcular la masa exacta de un objeto integrando alguna cantidad en el interior de éste. La masa del agujero negro o de cualquier otro cuerpo celeste solo se puede calcular con precisión desde el exterior, por ejemplo, comparando cómo es la métrica lejos del objeto con el límite newtoniano $-G_{00}=1+2\phi/c^2$, siendo $\phi $ el potencial gravitatorio. Así es como se define la masa de Arnowitt-Deser-Misner (ADM) del objeto, que en el caso del agujero negro de Schwarzschild es $M=\frac {R_S}{2G_4^N}$. Podemos decir que la masa ADM es el numerador de la fracción que determina la desviación de la componente $G_{00}$ con respecto a la de Minkowski lejos del objeto, es decir, viendo cómo es el campo gravitatorio del objeto lejos de éste. Sin embargo, eso no significa que el interior del agujero negro, región II, sea la causa del campo gravitatorio que hay en su exterior, región I, aunque ambas regiones están continuamente conectadas. En el caso de un agujero negro, esta interpretación de la causa y el efecto está estrictamente prohibida porque el espacio-tiempo externo no pertenece al cono de luz futuro del interior. Nada de lo que ocurra o que haya en el interior del agujero negro puede influir en la región exterior. Al contrario, la singularidad del agujero negro es una consecuencia del fuerte campo gravitacional que ha existido alrededor del objeto, y podemos considerar que ese objeto es pura geometría. Recordemos que en la física de Newton el campo gravitatorio se podía interpretar como una consecuencia secundaria causada por los objetos, que son primarios, e incluso se podía considerar que era simplemente un concepto matemático auxiliar sin existencia física. Pero en relatividad, al existir una velocidad máxima de propagación de las interacciones, los campos gravitatorios son tan reales como los objetos con masa y están constituidos por la métrica del espaciotiempo.

Pero, además, este campo gravitatorio tiene consecuencias sorprendentes para los objetos que se mueven a través de él. Para verlo, consideremos dos observadores situados en la región I: Alice, que está en caída libre hacia el agujero negro, y Bob, que se mantiene alejado del agujero negro y a una distancia fija con respecto a los observadores asintóticos. Supongamos además que Alice está enviando señales de forma periódica a Bob. Entontes, la métrica de Schwarzschild nos dice que estas señales serán recibidas por Bob separadas cada vez con un intervalo temporal mayor, ya que el coeficiente $G_{00}$ de la métrica se va haciendo cada vez más pequeño a medida que nos acercamos al horizonte de sucesos. Si Bob pudiera detectar todas estas señales (formadas por fotones de frecuencia cada vez más pequeña), la caída de Alice le parecería estar congelándose, hasta que llega un momento (para el que Bob tiene que esperar un tiempo infinito pero Alice un tiempo finito) en el que Bob no recibe nada. El horizonte de sucesos precisamente está formado por las trayectorias de los primeros rayos de luz enviados por Alice (por todas las Alice que caen al agujero negro desde todos los ángulos) y que nunca llegan a Bob (prolongadas también hacia el pasado). Lo sorprendente aquí es que esas trayectorias de esos rayos de luz que definen el horizonte, aunque para Alice son trayectorias espaciotemporales que se mueven a la velocidad de la luz, para Bob forman una superficie esférica estática de área $A=4\pi R_S^2$ que, al llegar Alice a ella, se queda ahí congelada.

Pero, por el principio de equivalencia, para Alicia no ocurre nada espacial cuando atraviesa este horizonte. Acaba de pasar una frontera irreversible, pero ella simplemente sigue notando que está en caída libre (ingravidez) y, si su tamaño es pequeño comparado con el tamaño asociado a la curvatura en el horizonte, que es del orden $R_S=2GM/c^2$, grande para los agujero negros astrofísicos, ni siquiera va a notar que las fuerzas de marea se hayan incrementado mucho. De hecho, aunque a Bob le parece que Alice tarda infinito tiempo en llegar desde un punto de coordenada $r$ exterior al agujero negro hasta el horizonte de sucesos, el intervalo de tiempo propio para Alice es finito. Por ejemplo, si Alice partió en línea recta hacia el agujero negro desde muy lejos con energía cinética prácticamente nula, el tiempo propio que tarda Alice en ir desde $r$ hasta el horizonte $R_S$ es de $\frac{2}{3\sqrt{2GM}}(r^{3/2}-R_S^{3/2})$.

No es hasta que Alicia se acerca a la singularidad que empieza a notar unas enormes fuerzas de marea, haciéndose infinitas en la singularidad, a la que llega también en un tiempo finito $\frac{2}{3\sqrt{2GM}}R_S^{3/2}$. Esta singularidad es como el final del tiempo en esta descripción. Pero como la relatividad general deja de ser válida allí, no sabemos qué ocurre en ese punto. De hecho, es muy difícil asignar significado físico al entorno de la singularidad, ya que, no sólo Alice, sino cualquier aparato de medición ahí sería automáticamente destruido sin posibilidad alguna de enviar la información fuera del agujero negro. Desde dentro el agujero negro ya no se ve como algo estático. Todo colapsa en la singularidad.

Sin embargo, es importante remarcar que lo que hace que un agujero negro sea un agujero negro no es la singularidad, sino la existencia del horizonte. Esa es la la definición que hemos dado porque es el horizonte el que hace que los agujeros negros objetos tan sean especiales. Si $R_S>0$, es decir, $M>0$, la singularidad está cubierta por el horizonte, en el sentido de que nada que ocurra en la singularidad puede afectar a un observador lejano en la región asintóticamente plana debido a que $r=0$ está dentro del agujero negro. Pero si hiciéramos $R_S<0$, entonces no ocurre esto porque no hay horizonte. En ese caso no habría agujero negro y se dice entonces que $r=0$ sería una singularidad desnuda. Nótese que esta condición implicaría que $M<0$, pero no debemos llamar a esta solución "agujero negro de masa negativa". No existen los agujeros negros de masa negativa. En primer lugar, porque no hay ninguna simetría en la solución de Schwarzschild entre $M>0$ y $M<0$, ya que el caso $M<0$ es una solución de naturaleza completamente distinta, sin horizontes, con una singularidad desnuda, y, en segundo lugar, porque la solución con $M<0$ no puede ocurrir en una teoría consistente de la gravedad porque causaría que el vacío fuera inestable, ya que se podrían producir regiones de energía negativa y positiva en pares a partir del vacío, sin violar ninguna ley de conservación.

La solución de Reissner-Nordström

Consideremos ahora el campo gravitatorio acoplado a un campo gauge $A_\mu $. La acción de este sistema, denominada de Einstein-Maxwell, es:

$ S_{EM}\left[ G,A\right] =\frac 1{16\pi G_4^N}\int dx^4\sqrt{G}R\left[ G\right] +\int d^4x\sqrt{G}\left[ -\frac 14F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right] $

donde $F=dA$. Las ecuaciones de movimiento clásicas que se derivan de esta acción son

$ R_{\mu \nu }=8\pi G_4^NT_{\mu \nu }$

$ \nabla _\mu F^{\mu \nu }=0 $

donde $T_{\mu \nu }=F_{\mu \rho }F_\nu ^{\quad \rho }-\frac 14G_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }F^{\rho \sigma }$ es el tensor energía impulso asociado al campo gauge y $\nabla $ es la derivada covariante. La única solución esféricamente simétrica de estas ecuaciones que contiene como caso

particular a la solución de Schwarzschild es la solución de Reissner-Nordström [ortin]:

$ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2d\Omega _2^2 $

$ F_{tr}=\frac{4G_4^NQ}{r^2} $

donde $f=\frac{\left( r-r_{+}\right) \left( r-r_{-}\right) }{r^2}$, $r_{\pm}=G_4^NM\pm r_o$ y $r_o=G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2}.$ Esta solución tiene las siguientes propiedades:

• Es una solución estática y asintóticamente plana.
• Su masa ADM es $M$.
• Está cargada eléctricamente con carga $Q$ respecto del campo gauge, en el sentido de que $Q=\frac 1{16\pi G_4^N}\int_{S_\infty ^2}*F$, donde $S_\infty ^2$ es la 2-esfera centrada en $r=0$ de radio $R\rightarrow \infty $. Es decir, $Q$ se puede interpretar como la carga total del espacio-tiempo. Nótese que hemos definido así la carga eléctrica para que tenga unidades de masa (hablaremos de esto más adelante en otro post cuando definamos las unidades de Planck).
• Presenta una singularidad en $r=0$.
• Si $M>2\left| Q\right| $ hay un horizonte en $r=r_{+}$, pero también hay un horizonte interno en $r=r_{-}$, es decir, la singularidad en los agujeros negros cargados (y también los que tienen rotación) se encuentra cubierta por dos horizontes. Un aspecto extraño de estas soluciones es que hay infinitas maneras de extender la geometría del espacio-tiempo más allá del horizonte interno: las ecuaciones de Einstein dejan de producir extensiones únicas. En esta figura viene representado el diagrama conforme de una extensión analítica de la solución en el caso $M>2\left| Q\right|$. El diagrama es periódico. Al contrario de lo que ocurre en Schwarzschild, un observador en el interior del agujero negro puede evitar la singularidad y salir a otra región del espacio-tiempo asintóticamente plana.

• Si $-2\left| Q\right| <M<2\left| Q\right| $ las constantes $r_{+}$ y $r_{-}$ son complejas y no hay horizontes. La singularidad está desnuda.
• Si $M<-2\left| Q\right| $ las constantes $r_{+}$ y $r_{-}$ son reales y negativas y no hay horizonte. La singularidad está desnuda.
• El caso especial $M=2\left| Q\right| $ se denomina solución de agujero negro extremal o extremo. En ella, hay un sólo horizonte en $r=r_{+}=r_{-}=$ $G_4^NM$ cubriendo la singularidad. La relación que hay entre la carga y la masa de un agujero negro extremo de Reissner-Nordström permite que existan en la teoría soluciones estáticas que describan varios agujeros negros de este tipo en equilibrio [Ortin2015]. Como veremos más adelante en otro post, estas soluciones de agujero negro extremal son muy interesantes para la física teórica. Sin embargo, no tienen interés para la astrofísica. Es difícil que los objetos astrofísicos tengan carga neta y, si este agujero negro la tiene, entonces la fuerza eléctrica con la que repelería a una carga $q$ lejana del mismo signo (o atraería a la de signo contrario) sería proporcional a $qQ$, mientras que la fuerza gravitatoria de atracción sobre esa carga, de masa $m$, sería proporcional a $mM$. Dado que, para el electrón se tiene $q/m$ ~ $10^{21}$, y para el protón $q/m$ ~ $10^{18}$, si $Q/M$ ~ $10^{-18}$ la fuerza eléctrica con a que el agujero negro repele cargas del mismo signo sería mayor que la fuerza gravitatoria con la que las atrae, lo que hace prácticamente imposible que un agujero negro astrofísico pueda tener $Q/M  >  10^{-18}$, quedando lejísimos de ser extremal.  

Hay que señalar que la estructura causal del agujero negro extremal de Reissner-Nordström es completamente distinta de la del caso $ M>2\left| Q\right| $, da igual lo cerca que se esté del caso extremal. Esto sugiere que las propiedades físicas de estas soluciones pueden tener discontinuidades en $M=2\left| Q\right| $, con lo que el estudio del agujero negro extremo no puede hacerse tomando el caso no extremo y luego haciendo el límite $M\rightarrow 2\left| Q\right| .$

 

Si consideramos a las partículas que hoy en día consideramos elementales, como los leptones y los quarks, como si fueran bolitas de tamaño muy pequeño (inferior a $10^{-21}$ m, ya que hasta esa distancia no hemos detectado que tengan estructura interna), entonces se trataría de bolita muy densas, pero el hecho de que tengan carga eléctrica impiden que se las pueda tratar como agujeros negros, ya que estaría en el régimen en el que la carga supera a la masa, con lo que habría que tratarlas como singularidades desnudas. Pero ni siquiera podemos hacer esto, porque, debido a la mecánica cuántica, las partículas con poca masa están deslozalizadas cuánticamente en un tamaño muy superior, asunto que explicamos en otro post.

Generalizaciones de la solución de Reissner-Nordstrom

En primer lugar, hay que señalar que la teoría que estamos considerando aquí, la de Einstein-Maxwell, permite soluciones de tipo agujero negro, no sólo con cargas eléctricas, sino también magnéticas, dando lugar a lo que se llaman agujeros negros diónicos de Reissner-Nordström. Una forma de obtenerlos es partir de la solución de Reissner-Nordstrom y hacer uso de una dualidad, denominada dualidad S, que tiene la teoría [Ortin2015].

Pero si, además, añadimos a la acción de Einstein-Maxwell la acción de un campo escalar $\phi$ con potencial plano (como ocurre genéricamente en teoría de cuerdas si no están los moduli estabilizados) y dejamos que el acoplo gauge $g(\phi)$ dependa de este campo escalar,

$ S_{EM\phi}\left[ G,A\right] =\frac 1{16\pi G_4^N}\int dx^4\sqrt{G}R\left[ G\right] +\int d^4x\sqrt{G}\left[ -\frac 14F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+2\vert d\phi\vert^2\right] $

entonces se pueden obtener más soluciones de tipo agujero negro que generalizan a los agujeros de Reissner-Nordstrom diónicos. En efecto, el hecho de que el campo escalar tenga un potencial plano hace que cada valor asintótico posible $\phi_\infty$ que puede tomar este campo escalar asintóticamente en el infinito determine un vacío distinto de la teoría efectiva. Al conjunto de todos estos vacíos se le denomina espacio de moduli de la teoría. Típicamente es una variedad parametrizada por todos los campos escalares con potencial plano donde hay definida una métrica que se obtiene del término cinético de la acción de estos campos escalares. En el caso sencillo que estamos considerando, con sólo un campo escalar, la métrica es un tensor 1x1 cuya única componente asignamos el valor 1. Al ser el valor de este potencial plano cero, entonces podemos estudiar cuáles son las soluciones de tipo agujero negro de esta teoría que asintóticamente tienen en el infinito al espacio de Minkowski con un valor del campo escalar concreto $\phi_\infty$, y así es como pueden obtenerse soluciones de tipo agujero negro que son generalizaciones de los agujeros negros diónicos que han sido estudiados extensivamente en la literatura.

Un ejemplo más complicado puede verse en los agujeros negros de mi tesis doctoral, que son soluciones de la teoría efectiva que surge de compactificar la teoría de cuerdas tipo IIB con una variedad de tipo Calabi-Yau, en donde los campos escalares, que parametrizan la estructura compleja del Calabi-Yau, cambian a medida que nos acercamos al agujero negro. Si se analizan estas soluciones, se puede ver que en el caso no extremal el valor de los moduli $\phi_h$ en el horizonte va a depender de los valores $\phi_\infty$ fijados en el infinito. Pero en el caso extremal lo que se encuentra siempre es que los valores $\phi_h$ de los moduli en el horizonte están completamente determinados por las cargas $Q$ y $P$ (eléctricas y magnéticas) del agujero negro y son independientes de los valores asintóticos $\phi_\infty$. El punto correspondiente del espacio de moduli $\phi_h=\phi(P,Q)$ se denomina punto del atractor.

En todas las esquinas de la teoría de cuerdas donde tenemos control la dependencia del acoplo gauge con los campos escalares es de tipo exponencial. Así, en este ejemplo sencillo de un solo campo escalar tomaremos $g=e^{-a\phi}$, donde $a$ es una constante positiva. Como el acoplo gauge $g(\phi)\rightarrow 0$ cuando $\phi\rightarrow \infty$, la región asistótica en el espacio de moduli es una región de acoplo gauge débil, en la que la simetría local que genera la interacción gauge se convierte en una simetría global. Puede demostrarse que en este caso sencillo [Garfinkle:1990qj,Draper:2019utz] la métrica de la solución no extremal para un agujero negro con carga $Q$ y masa $M$ es:

$ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2R^2d\Omega_2^2 $

donde

$ f=\left(1-\frac{r_+}{r}\right)\left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{1-a^2}{1+a^2}},\quad R= \left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{a^2}{1+a^2}},$

y $r_-,r_+$ son las posiciones del horizonte interno y externo respectivamente, que vienen dadas como función de $Q,M$. El campo escalar y el campo gauge varían con la distancia al horizonte de sucesos de la siguiente manera

$ phi=\phi_\infty-\frac{1}{a}\log R,\quad F_{tr}=\frac{4G_4^Ne^{+a(\phi-\phi_\infty)}Q}{r^2}$

El caso extremal corresponde con $r_h\equiv r_-=r_+$, lo que ocurre cuando $r_h=(1+a^2)G_4^NM=\sqrt{1+a^2}G_4^NQe^{+a\phi_\infty}$ e implica que $f=R^{2/a^2}$. Como $R(r\rightarrow r_h)\rightarrow 0$, $\phi$ diverge en el horizonte (volviéndose así independiente de $\phi_infty$), el acoplo gauge tiende a cero en el horizonte y el área del horizonte $A=r_h^2 R(r_h)^2$ también se hace arbitrariamente pequeña. Por eso a este tipo de soluciones se les denomina agujeros negros pequeños [Sen199,Sen1994]. Es importante señalar que la existencia teórica de estos agujeros negros pequeños es independiente de cual sea la función $g(\phi)$ siempre que ésta cumpla condición de tender a cero cuando $\phi$ tiende a infinito [Hamada2021]. Como veremos en un post posterior, los agujeros negros pequeños, aunque ausentes en astrofísica, juegan un papel muy importante en el estudio de las consecuencias que tiene la gravedad cuántica sobre la física de baja energía.

La solución de Kerr-Newman

La solución de Kerr-Newman es una familia de soluciones estacionarias de la acción de Einstein-Maxwell (sin campo escalar o con campo escalar constante) con tres parámetros $M$, $Q$ y $a$:

$ ds^2=-\left[1-\frac{2MrG_4^N-4q^2\left(G_4^N\right)^2}{\Sigma}\right]dt^2+2G_4^Na\frac{\left[2MrG_4^N-4q^2\left(G_4^N\right)^2\right]sen^2\theta}{\Sigma}dtd\phi-$

$-\frac{\Sigma}{\Delta}dr^2+\Sigma d\theta^2-\frac{\Gamma}{\Sigma}d\phi^2 $

$A_{\mu}=\frac{4G_4^NQr}{\Sigma}\left[\delta_{\mu t}-\delta_{\mu\phi}aG_4^Nsen^2\theta\right] $

donde

$\Sigma=r^2+a^2cos^2\theta \left(G_4^N\right)^2 $

$\Delta=r^2-2MrG_4^N+4Q^2\left(G_4^N\right)^2+a^2\left(G_4^N\right)^2 $

$\Gamma=\Sigma\left[r^2+a^2\left(G_4^N\right)^2\right]+\left[2MrG_4^N-4Q^2\left(G_4^N\right)^2\right]a^2\left(G_4^N\right)^2sen^2\theta $

Esta solución tiene las siguientes propiedades:

• Su masa ADM es $M$
• Su momento angular de rotación ADM es $J=aMG_4^N $
• Está cargada eléctricamente con carga $Q$ respecto del campo gauge. La rotación hace que la solución también tenga momento dipolar magnético.
• Presenta una singularidad en los puntos donde $r^2+a^2\left(G_4^N\right)cos^2\theta=0$, denominada singularidad de anillo.
• Si $M^2\geq 4Q^2+a^2$ la solución describe un agujero negro con horizonte en $r=r_{+}=G_4^NM+G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2-a^2}$ y un horizonte interior en $r=r_{-}=G_4^NM-G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2-a^2}$.
• Si $M^2< 4Q^2+a^2$, no hay agujero negro y la singularidad está desnuda.

El colapso gravitatorio y el significado físico del tamaño gravitacional

Consideremos la extensión de Kruskal de la solución de Schwarzschild. Se trata de una solución de las ecuaciones de Einstein en el vacío, con lo que representa una posible estructura del espacio-tiempo en

relatividad general. Pero no hay ningún motivo para pensar que haya alguna región del universo que corresponda a esta solución extendida, ya que harían falta dos regiones asintóticamente planas junto con una singularidad en la región IV que las conectara en el pasado.

No obstante, sí que puede generarse parte de esta solución partiendo de una configuración físicamente razonable. Supongamos un cuerpo esférico de masa $M$ y de radio $R>2G_4^NM$. El campo gravitatorio en esta configuración viene dado por la solución de Schwarzschild en el exterior $r>R$ y por la denominada solución interior de Schwarzschild en $r<R$ [Wald1984], una solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein con materia y sin horizonte. Debido a que se tiene la solución de Schwarzschild sólo en $r>R>R_S=2G_4^NM$, esta configuración no es un agujero negro. Pero Oppenheimer y Snyder en 1939 demostraron que es posible que, en ciertas condiciones, el cuerpo sufra una disminución de su radio de forma que se llegue a que $R$ se haga menor que $2G_4^NM$ y que este proceso puede ocurrir para cualquier densidad, siempre que la masa del objeto que colapsa sea lo suficientemente grande. Consideremos entonces un partícula de la superficie del cuerpo cuando $R$ está ya muy cerca de $2G_4^NM$. Sobre ella actúan diversas fuerzas debido a la interacción con otras partículas del cuerpo y también lo que podemos llamar la fuerza gravitatoria (en el molusco de referencia hecho por relojes imaginarios situados cada uno en una posición $r$ constante) . Como el campo gravitatorio en la posición de la partícula, que viene dado por la solución de Schwarzschild, es muy intenso en ese molusco de referencia al estar la partícula muy cerca de $r=2G_4^NM$, todas las fuerzas sobre la partícula son despreciables frente a la gravitatoria [Landau]. Por tanto, la trayectoria de la partícula, que representa el movimiento de la superficie del cuerpo macroscópico, será aproximadamente una geodésica de la solución de Schwarzschild. Como hemos comentado anteriormente, el estudio de esta geodésica revela que, en un tiempo propio finito de la partícula, ésta llegará a la posición $r=0$ sin haber notado nada especial al pasar por $r=2G_4^NM$. Por tanto, en un tiempo propio finito para un observador que se encuentre en la superficie del cuerpo, el cuerpo colapsará. Como Schwarzschild es la única solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en el vacío, el colapso gravitatorio de este cuerpo esférico necesariamente producirá un agujero negro de Schwarzschild. Podemos decir, por tanto, que la existencia de agujeros negros es una condición necesaria que viene de la combinación del principio de equivalencia de la relatividad general con el principio de velocidad máxima de propagación de las interacciones.

 

Es necesario aclarar que, para que una distribución de materia pueda colapsar a un agujero negro, no es necesario que ésta tenga una alta densidad si es una distribución lo suficientemente grande. En efecto, la densidad es la masa entre el volumen y, como la masa de un agujero negro es proporcional a su radio, mientras que el volumen es proporcional al radio al cubo, lo que se obtiene es que la densidad de un objeto apunto de colapsar a un agujero negro decae como el inverso del radio al cuadrado. Es decir, cuanto mayor sea este objeto apunto de colapsar, menor es su densidad.

A su vez, cuando menor sea el objeto apunto de colapsar, mayor será su densidad, y esto dificulta que se puedan formar agujeros negros pequeños. Esto es así porque, para que un cuerpo colapse, es necesario que la interacción gravitatoria (atractiva) venza a las demás interacciones repulsivas que pueda haber, pero el hecho de que la interacción gravitatoria sea la más débil de todas las interacciones implica que típicamente son necesarias grandes masas para que la gravedad gane la partida. Un cuerpo del tamaño de un kilómetro o algo mayor que esté apunto de colapsar a un agujero negro tendrá una masa $M=r/(2G_4^N)$ del oden de magnitud de la de las estrellas y, por tanto, una densidad $d=M/V$ muy alta, similar a la del núcleo de un átomo o algo menor. Bajo ciertas condiciones a veces ocurre que una estrella se comprime hasta esas densidades, con lo que son abundantes los agujeros negros en el universo que vienen del colapso de una estrella y también agujeros negros supermasivos en el centro de las galaxias. Sin embargo, para que se puedan formar agujeros negros más pequeños que un kilómetro, el objeto apunto de colapsar debería tener una densidad mucho mayor que la nuclear y, para que puedan formarse objetos así se requiern fuerzas de compresión superiores a la interacción nuclear fuerte. Con el modelo estándar de la física de partículas eso no se puede, pero sí que es posible que existan agujeros negros primordiales pequeños, formados en el universo temprano, mediante interacciones que no conocemos y que se manifiestan a las energías típicas que habia en el universo primitivo.

Lo que sí ocurre es que la existencia de agujeros negros nos garantiza que no podemos concentrar una masa dada en un volumen tan pequeño como queramos ya que, una vez nos acerquemos, disminuyendo el tamaño, a su radio de Schwarzschild, ésta colapsará a un agujero negro de ese tamaño. Ese es el significado físico que tiene el tamaño gravitacional de un objeto. La existencia de agujeros negros en relatividad general nos dice que todos los objetos en esta teoría tienen asociado, además de su tamaño, un tamaño gravitacional $R_S=2G^N_4M$, de tal forma que si su tamaño fuera comprimido hasta ese tamaño gravitacional, el objeto colapsaría a un agujero negro, objeto que no podemos decir que tenga asociado un volumen, pero sí un área $A=4\pi R_S^2$ asociada a su horizonte de sucesos.

La geometría del espacio-tiempo correspondiente a este proceso de colapso viene representada en la siguiente figura:

En ella no aparecen ni la región III ni la IV de la extensión de Kruskal, lo que nos sugiere que estas regiones no son físicamente realistas, como explican, en estos dos vídeos, David Pereñíguez y Gastón Giribet:

 

En el vídeo de Gastón se explica también que, aunque para un observador asintótico el astro tarda infinito tiempo en colapsar (y la materia que cae sobre éste también tarda infinito tiempo en atravesar el horizonte), y aunque para el que colapsa y/o cae ese tiempo es finito, el objeto que cae no puede recibir información de todo lo que ocurre en el futuro a los observadores que se quedan en la región asintótica ya que, cuando muere en la singularidad hay un último rayo de luz que le llega de la región asintótica y ya no recibirá más información de esta región.

En el caso del colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico cargado eléctricamente con $M>2\left| Q\right| $, que produce un agujero negro de Reissner-Nordström, al igual que ocurre en el caso anterior, hay regiones de la extensión de la solución de Reissner-Nordström que no se generan. No obstante, según cómo sea el cuerpo, el colapso terminará en una singularidad o el cuerpo dejará de
contraerse y empezará a expandirse en otra región asintótica del espacio-tiempo.

Vemos, por tanto, que el colapso esférico descrito anteriormente no es la única situación en la se predice la formación de una singularidad. De hecho, los teoremas de singularidad (bien resumidos en [Wald1984]) prueban que estas predicciones no son consecuencia de haber considerado situaciones con un alto grado de simetría, sino que son aspectos genéricos del colapso gravitatorio. Es decir, la relatividad general predice su propia ruptura. Aunque los teoremas de singularidad no prueban que las singularidades vayan necesariamente asociadas a curvaturas grandes, se espera, en general, que la descripción clásica de la gravitación que proporciona la relatividad general deje de ser válida cerca de las singularidades porque los efectos cuánticos jueguen un papel dominante.

Las Conjeturas de la Censura Cósmica

Si bien el estudio del colapso de un cuerpo esféricamente simétrico se simplifica bastante debido a teoremas como el de Birkhoff, el estudio del colapso no esférico es muy complicado. Una cuestión importante es saber si, en un colapso, en general no esférico, es posible que aparezcan singularidades desnudas. La evidencia más fuerte que se tiene de que esto no es posible viene del estudio de la evolución de perturbaciones lineales del colapso esférico, que siempre dan lugar a agujeros negros, en vez de singularidades desnudas. De aquí viene la conjetura, denominada de censura cósmica (en su formulación débil), de que, si se tiene un sistema aislado en una situación físicamente razonable, la naturaleza se las apaña para que, si se produce en la evolución de este sistema colapso gravitatorio, se llegue a una situación en la que todas las singularidades que se hayan formado no puedan ser vistas por un observador distante.

Una condición que se requiere para que la situación inicial sea físicamente razonable es que se cumpla la condición de energía dominante: que la velocidad de los flujos de energía asociados a la materia sea menor o igual que la de la luz. Si $t^\mu $ es un campo vectorial tipo tiempo dirigido hacia el futuro, esta condición puede expresarse matemáticamente diciendo que $-T_\nu ^\mu t^\nu $ es un campo
vectorial tipo tiempo dirigido hacia el futuro o es tipo nulo. Por ello, si $n^\mu $ es un campo vectorial que no es de tipo espacio, entonces:

$ T_\nu ^\mu t^\nu n_\mu \geq 0 $

Esta condición implica la denominada condición de energía débil, que establece que la densidad de energía de materia que mide cualquier observador, sea cual sea su movimiento, es no negativa.

Un argumento a favor de la formulación débil de la conjetura del censor cósmico es el teorema de positividad de la energía, que establece que la masa ADM de todo espacio-tiempo que sea solución de la ecuación de Einstein con un tensor energía-impulso que satisface la condición de energía dominante es no negativa y sólo se anula para el espacio-tiempo plano (bien explicado en [Ortin2015]. Pero la masa del espacio-tiempo contiene tanto la energía asociada al campo gravitatorio como la asociada a la materia y a todos los demás campos. En el colapso gravitatorio de un cuerpo, la energía gravitatoria de ligadura, que es siempre negativa, crece en valor absoluto. Si el proceso continua, llegaría un momento en el que la
energía gravitatoria se hiciera mayor en valor absoluto que la energía asociada a la materia y el resto de campos, con lo que se violaría el teorema de positividad de la energía. Por ello, lo que se espera es que,
antes de que se llegue a esta situación, aparezca un horizonte de sucesos.

Hay otra versión de la conjetura del censor cósmico, que fue la que formuló Penrose [Penrose] inicialmente, que se denomina conjetura de censura cósmica fuerte, ya que, en vez de aplicarse a observadores distantes en un espacio-tiempo asintóticamente plano, se aplica a cualquier observador en cualquier espacio tiempo. Esta versión afirma que, aparte de una posible singularidad inicial como la del big bang, ninguna singularidad es visible por ningún observador (el espacio tiempo debe ser globalmente hiperbólico).

Es importante señalar que la versión fuerte de la conjetura del censor cósmico no implica la débil. Podemos poner como contraejemplo cualquier situación en la que, en un espacio-tiempo asintóticamente plano, se forme una singularidad que se propaga por una geodésica nula hacia el exterior. Esto violaría la formulación débil, pero no la fuerte. Tampoco la débil implica la fuerte. Son conjeturas independientes.

En el colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico de masa $M>0$, que da lugar a la formación de un agujero negro de Schwarzschild, no se viola ninguna de las dos versiones dadas de la conjetura del censor cósmico: ya hemos dicho que un observador en el exterior del agujero negro
no puede ver la singularidad, y uno que cruce el horizonte tampoco, ya que ésta, al ser de tipo espacio, está siempre en su futuro. En cambio, en el agujero negro de Reissner-Nordström, que se forma en el colapso gravitatorio de un cuerpo esférico cargado de masa $M>2\left| Q\right| $, aunque se respeta la versión débil de la conjetura, se viola la fuerte: el hecho de que las singularidades sean de tipo tiempo permite en principio que un observador que haya entrado en el agujero negro las evite, emergiendo en una nueva región el espacio-tiempo asintóticamente plana, de forma que, a lo largo de este viaje, este observador ha podido ver las singularidades. Por eso la versión original de la conjetura de censor cósmico, que era la fuerte, tuvo que ser suavizada para dar lugar a la versión débil. No obstante, si, como resultado de la perturbación que supone el observador, el horizonte interior $r=r_{-}$ se convirtiera en una singularidad de tipo espacio, entonces se salvaría la conjetura fuerte. Es decir, la conjetura de censura cósmica fuerte implica que los horizontes interiores, que, como hemos indicado anteriormente, exponen situaciones en las que las ecuaciones de Einstein no tienen una solución única (en su lugar, tienen muchas), también se evitan, porque son inestables. Siempre que se añadan a estas soluciones alguna perturbación que involucre materia que cumpla con condiciones energéticas razonables, la perturbación crecería exponencialmente y, una vez que llegue a ese horizonte, el espacio-tiempo se volvería singular. Es decir, en las situaciones físicamente realistas el horizonte interior debe ser sustituido por una singularidad

Nótese que ambas conjeturas, la fuerte y la débil, implican que el espacio-tiempo no puede extenderse suavemente mediante las ecuaciones de Einstein en algunas situaciones, y esto lo hacen para que ningún observador pueda obtener datos de las singularidades sin acabar en ellas, para que no pueda obtener ninguna información de aquellas situaciones en las que la relatividad general falla. Sin embargo, no hay ningún motivo para pensar que la relatividad general tenga que protegerse a sí misma frente a lo que miden los observadores de esa manera. Después de todo, sólo se trata de una teoría efectiva, aproximada, a baja energía. Cuando el espacio-tiempo se vuelve singular o se acerca a las condiciones de los horizontes interiores, nuevos términos y nuevos grados de libertad pueden perfectamente entrar en juego y cambiar completamente lo que ocurre para que sea consistente sin que sean necesarias las conjeturas de censura cósmica fuerte ni débil.

En el caso de la débil, hablaremos de ella más adelante en otro post, pero en el caso de la fuerte ya tenemos claro que no es cierta. Se ha demostrado [DefermosLuk] que si realmente perturbas un poco las condiciones iniciales todavía es posible extrapolar el espaciotiempo (es decir, todavía existe localmente una solución de las ecuaciones de Einstein) un entorno finito más allá del horizonte interior del agujero negro. Al contrario de lo que dice la conjetura de la censura cósmica fuerte, el espaciotiempo puede continuar en uno que tiene que incluir una singularidad de tipo luz, en vez de de tipo espacio, así que un observador que cayera al agujero negro en principio sí podría medir información que viene de la singularidad antes de morir y la relatividad general no es capaz de proporcionar predicciones únicas para esas mediciones. Pero una teoría más completa puede producir mediciones únicas. Es sí, si la conjetura de censura cósmica débil es cierta, esas singularidades no pueden transmitir su información al observador asintótico que observa el agujero negro desde fuera de éste. 

La ley de máxima tensión

El hecho de que los objetos en relatividad general tengan asociado un tamaño gravitacional tal que, si el objeto se pudiera comprimir hasta ese tamaño, colapsaría para formar un agujero negro tiene también otra consecuenca sorprendente. Para verlo, consideremos dos objetos de masas \(M_1\) y \(M_2\) separados por una distancia \(D\). La fuerza gravitacional entre ellos es, aproximadamente,

$ F = \frac{G M_1 M_2}{D^2} = \left(\frac{GM_1}{c^2D}\right) \left(\frac{GM_2}{c^2D}\right) \frac{c^4}{G}. $

Sin embargo, \(M_1 M_2\) no puede exceder \(\frac{1}{4} (M_1 + M_2)^2\) y, por lo tanto,

$ F \leq \left(\frac{G(M_1 + M_2)}{c^2 D}\right)^2 \frac{c^4}{4G}. $

Para asegurarnos de que se trata de dos objetos separados, y no de un agujero negro, se tiene que cumplir que $G( M_1 + M_2) < c^2 D$. Por tanto, la tensión o fuerza entre dos cuerpos no puede exceder el valor

$F_g = \frac{c^4}{4G} \approx 3.025 \times 10^{43} $ Newtons.

Cada vez que intentamos superar este límite de fuerza, aparecen horizontes de sucesos que nos lo impiden.

 

Análogamente, hay una máxima potencia que se puede ejercer, de valor:

$P_g = \frac{c^5}{4G} \approx 9.1 \times 10^{51} $ W.

Y un valor máximo para la tasa de cambio de masa de un objeto:

$\frac{dM}{dt} = \frac{c^3}{4G} \approx 1.0009 \times 10^{35}  $ kg/s.

 

 

Los Teoremas de Unicidad

El estudio de la evolución con el tiempo de perturbaciones en los agujeros negros de Schwarzschild, Reissner-Nordström (y sus generalizaciones) y Kerr-Newman muestra que, en todos los casos, las perturbaciones decaen de forma que los momentos multipolares más altos del campo gravitatorio y el campo gauge, y todos los de cualquier campo escalar que pudiera haber, son radiados hacia el exterior, con lo que la situación final estacionaria es uno de los agujeros negros descritos anteriormente. De hecho, este resultado no es una propiedad particular de pequeñas perturbaciones. Se tienen los denominados teoremas de unicidad, que pueden resumirse en que no hay agujeros negros estacionarios con momentos de campos escalares (ausencia de ''pelo'' escalar) y, además, el único agujero negro estacionario con

• $M$ distinta de cero, $Q=0,$ $J=0$ y el resto de campos triviales es el de Schwarzschild.
• $M$ distinta de cero, $Q=0,$ $J$ distinto de cero, y el resto de campos triviales es el de Kerr, que es la solución de Kerr-Newman en la que $Q=0$.
• $M$ distinta de cero, $Q$ distinta de cero, $J=0$ y el resto de campos triviales es el de Reissner-Nordström.
• $M,$ $Q$, y $J$ distintos de cero y el resto de campos triviales, es el de Kerr-Newman.

Nótese, sin embargo, que estos teoremas no implican que no puedan existir soluciones estacionarias con momentos prohibidos, como, por ejemplo, momento dipolar eléctrico o pelo escalar, sino que estas soluciones, de existir, no tienen horizonte de sucesos que cubra la singularidad. Por ello, de existir, no se espera que representen situaciones físicamente aceptables al violar la conjetura del censor cósmico en su versión débil. Asímismo, estos teoremas tampoco prohíben situaciones no estacionarias de tipo agujero negro con pelo escalar. No obstante, se espera que el proceso de colapso gravitatorio de cualquier cuerpo alcance al final una situación estacionaria. Esto da lugar a la denominada conjetura de ausencia de pelo: sea cual sea el cuerpo que colapsa, el agujero negro al que da lugar tiene unas características que sólo dependen de su masa, sus cargas (conservadas localmente) y su momento angular.

Las leyes Clásicas de los Agujeros Negros

Acabamos de ver que el estado de un agujero negro estacionario en relatividad general viene descrito por sólo un conjunto reducido de parámetros como son $M$, $Q$ y $J$. Esto es análogo a lo que ocurre en termodinámica, donde el estado macroscópico de un sistema viene dado, si éste está en equilibrio, por un conjunto reducido de parámetros externos, por ejemplo, la energía interna $E$ y el volumen $V$. Esta analogía es manifiesta si tenemos en cuenta las siguientes leyes sobre agujeros negros, deducidas en el contexto clásico de la relatividad general [Wald1984]:

• (Ley cero) Para todo agujero negro estacionario puede verse que existe un campo vectorial de Killing $\chi^{\mu}$ que es normal al horizonte. Al ser el horizonte nulo, entonces $\chi_{\mu}\chi^{\mu}=0$ en el horizonte. De aquí puede deducirse que la cantidad $\kappa^2=-\frac{1}{2}\left(\nabla^{\mu}\chi^{\nu}\right)\left(\nabla_{\mu}\chi_{\nu}\right)$ denominada gravedad de superficie es constante en todo el horizonte.
• (Primera ley) El campo vectorial de Killing $\chi^{\mu}$ no coincide en general con el Killing temporal $\xi^{\mu}$, de forma que se define la velocidad angular del horizonte $\Omega_H$ como $\chi^{\mu}=\xi^{\mu}+\Omega_H\psi^{\mu} $, donde $\psi^{\mu}$ es el Killing axial, normalizado para que sus órbitas cerradas tengan periodo $2\pi$. $\xi^{\mu}$ se normaliza, al igual que $\chi^{\mu}$, para que $\xi^{\mu}\xi_{\mu}=-1$ en el infinito. Si sobre este agujero negro estacionario realizamos una pequeña perturbación con simetría axial, entonces puede demostrarse que la masa cambia en: $\delta M=\frac{\kappa}{8\pi G_4^N}\delta A + \Omega_H\delta J+ \phi_H\delta q$, donde $A$ es el área del horizonte y $\phi_H$ es el potencial electrostático $A^0$ en el horizonte, que se obtiene al pasar a un sistema de referencia que rota con el horizonte.
• (Segunda ley) El teorema del área de los agujeros negros establece que, dada una solución de tipo agujero negro que verifique que $R_{\mu\nu}k^{\mu}k^{\nu}\geq0 $ (lo que se cumple para toda solución de las ecuaciones de Einstein con materia en la que la materia verifique la condición de energía dominante) el área del horizonte nunca decrece. Así, si se tiene inicialmente un agujero negro en situación estacionaria y se realiza una cierta perturbación, la nueva situación estacionaria a la que el sistema evoluciona tiene un área del horizonte igual o mayor al de la situación inicial. La relatividad general nos dice que, aunque la entrada de materia en un agujero negro es un proceso irreversible, la masa de un agujero negro puede decrecer. Un agujero negro en rotación puede perder masa si su momento angular de rotación decrece, pero el área de su horizonte de sucesos nunca decrece en relatividad general.
  
• (Tercera ley) Es imposible llegar, mediante una sucesión finita de procesos físicos, a la situación en la que $\kappa=0$.

Nótese, además, que las cantidades $\kappa$, $\phi_H$ y $\Omega_H$ sólo están definidas en el caso de agujeros negros estacionarios, de la misma forma que la temperatura $T$ o la presión $P$ sólo están definidos en sistemas termodinámicos en equilibrio. En cambio, $A$ puede definirse en cualquier agujero negro estacionario o no, de la misma forma que la entropía se puede definir también para sistemas termodinámicos que no están en equilibrio. De todo esto, tenemos la correspondencia:

$A\sim S $

$\kappa\sim T $

entre las magnitudes que caracterizan el estado de un agujero negro y las que caracterizan el estado de macroscópico de un sistema termodinámico.

 

Nótese que, si un agujero negro no tuviera entropía, como parece que nos dice su ausencia de pelo, entonces el proceso en el que éste se forma, o el proceso en el que éste traga materia, violaría la segunda ley de la termodinámica. Por ello, sí parece razonable asignarle a los agujeros negros una entropía. Esta entropía debe ser una medida del número distinto de formas en las que se ha podido formar un agujero negro de masa $M$, momento angular $J$ y carga $Q$. Y el teorema del área de los agujeros negros es lo que llevó a Bekenstein a proponer que esa entropía debe ser proporcional al área del horizonte de sucesos.

No obstante, la propuesta de Bekenstein adolecía de un problema. Supongamos que un agujero negro de Schwarzchild de masa $M$ traga un poco de radiación térmica a temperatura $T_r$. Si la radiación térmica tragada tiene energía $E\ll Mc^2$, entonces su área $A=4\pi (GM/2)^2=\piG^2M^2$ aumenta en un un valor $\delta A=2\pi G^2 M E$. Sin embargo, la entropía que tenía la radiación térmica absorbida era $S=4E/3T$. Si la temperatura de la radiación absorbida es pequeña, entonces es seguro que el agujero negro al final va a acabar teniendo menos entropía de la que tenían el agujero negro inicial más la radiación, con lo que este proceso violaría la segunda ley de la termodinámica, incluso aun habiendo asignado una entropía al agujero negro.

 

Además, clásicamente, $\kappa\sim T $ es sólo de una analogía formal. $\kappa$ no puede ser proporcional a la temperatura física del agujero negro, ya que clásicamente es imposible que un agujero negro esté en equilibrio térmico (o termoquímico) con un sistema de partículas o radiación como consecuencia de que nada puede escapar del agujero negro, mientras que sí que pueden entrar partículas en su interior. Pero el mundo no es clásico, sino cuántico, así que...

 

La continuación de este artículo está en:

• Si hacemos mucho zoom, ¿sigue existiendo la geometría?
   

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

 

 

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