La mecánica cuántica ha cambiado para siempre
nuestra concepción del mundo físico, de
la teoría de la información y
hasta de los objetos matemáticos. Un ejemplo de esto último es lo que ocurre con los grupos de transformaciones. La forma en la que un grupo $G$ de transformaciones actúa sobre un sistema físico puede ser muy complicada. El sistema físico puede ser altamente no lineal y tener una estructura geométrica altamente no trivial. Sin embargo, el
principio de superposición de estados cuánticos nos dice que en mecánica cuántica los estados en los que se puede encontrar todo sistema físico son elementos de un espacio vectorial $\mathcal{H}$, ya que cualquier combinación lineal de varios estados cuánticos representa otro estado cuántico posible para el sistema. Esto significa que
a cada elemento $g$
del grupo $G$,
al actuar sobre el sistema físico, le corresponde una transformación lineal $\pi(g)$, un operador, que actúa sobre este espacio vectorial de estados cuánticos. Y las transformaciones lineales son mucho más fáciles de estudiar. Además, esas transformaciones
tienen que ser unitarias, ya que éstas son las únicas que conservan la probabilidad total, ya que la suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos en mecánica cuántica tiene que ser siempre igual a uno, por muchas transformaciones que apliquemos al sistema físico.
Se dice que el conjunto de todas estas transformaciones lineales sobre el espacio de estados cuánticos forma una representación del grupo $G$ sobre el espacio $\mathcal{H}$. Más concretamente, una
representación es una función $\pi$ que asocia, a cada elemento $a$ de un grupo, su correspondiente transformación lineal $\pi(a)$ en un espacio vectorial, de manera que la estructura del grupo se respete, es decir, que da lo mismo componer dos transformaciones y hallar la representación del resultado, que componer las representaciones de cada transformación. Matemáticamente, se escribe $$
\pi(b) \cdot \pi(a)=\pi(ba)
$$ Es evidente que mapear todos los elementos de un grupo a la transformación identidad en un espacio vectorial es trivialmente una representación, que se denomina
representación trivial o escalar. Lo interesante para los matemáticos es estudiar las representaciones no triviales de los distintos grupos que reproduzcan la estructura de los mismos de forma fiel. A la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{H}$ sobre el que actúan los operadores $\pi(g)$ se la denomina
dimensión de la representación $\pi$. También es interesante desde el punto de vista matemático estudiar cuáles son las
representaciones irreducibles de cada grupo $G$. Éstas son aquellas que no tienen subrepresentaciones, es decir, donde no hay ningún subespacio vectorial propio $\mathcal{H}^\prime \subset \mathcal{H}$ tal que $\pi$ actuando sobre $\mathcal{H}^\prime$ sea una representación. Esto es así porque, dadas dos representaciones $\pi_1$ y $\pi_2$ actuando sobre dos espacios vectoriales $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$, siempre es posible construir la representación suma directa $\pi_1 \oplus \pi_2$ que actúa sobre el espacio vectorial suma directa $ \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$ generado por el conjunto de vectores que surge al unir el conjunto de los vectores de una base de $ \mathcal{H}_1 $ con el de una base de $\mathcal{H}_2$. En notación matricial:
En física, sin embargo,
lo interesante es saber en cada caso concreto bajo qué representaciones transforman los estados cuánticos de cada sistema físico. Como todas estas representaciones tienen que ser unitarias, los operadores $\pi(g)$ tienen que ser todos unitarios, es decir, su adjunto debe ser igual a su inverso. A este tipo de representaciones del grupo $G$ se las denomina
representaciones unitarias. Como las transformaciones unitarias en un espacio vectorial conservan el producto escalar, vectores que eran ortogonales lo siguen siendo después de esa transformación. Esto hace que toda representación reducible se pueda escribir como suma directa de representaciones irreducibles, aunque puede ser difícil encontrar la base en la que ésta se exprese en forma de bloques en la diagonal, como en la matriz anterior.
En este post vamos a estudiar en detalle cómo actúan las rotaciones sobre los sistemas cuánticos y vamos a analizar qué lecciones nuevas nos ha enseñado la mecánica cuántica sobre estas transformaciones. El motivo por el que me he animado a escribir este post es porque, por algún motivo, los profesores que dan clase de mecánica cuántica en la universidad y los autores de la mayoría de los manuales sobre mecánica cuántica consideran que este tema es demasiado sencillo para incluirlo en sus lecciones y confían en que los estudiantes lo aprendan por revelación divina sin que nadie se lo explique.
