El mensaje divino que estaba escrito en el cielo

Una de las figuras clave en la revolución científica que tuvo lugar durante el siglo XVII fue la del astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler. Hombre de profundas convicciones religiosas, desde muy joven quedó fascinado por la idea pitagórica de que el universo estaba gobernado por proporciones y armonías. Creía que la santísima trinidad del cristianismo debía reflejarse de algún modo en la estructura del mundo y buscó durante años relaciones numéricas sencillas entre las órbitas planetarias. Kepler entendía que el estudio del cielo era una forma de acercarse a dios. Estaba convencido de que éste había escrito el universo en un lenguaje matemático y de que las regularidades de los movimientos celestes constituían un mensaje divino que el ser humano podía descifrar.

 

By August Köhler [1] - Kepler-Museum in Weil der Stadt, Public Domain, Link 

Pues bien, aquella búsqueda, motivada y guiada inicialmente por consideraciones teológicas y simbólicas, terminó conduciéndolo a uno de los mayores descubrimientos de la historia de la ciencia. ¿Cuál era el mensaje divino que Kepler captó al analizar el cielo? Eso es lo que vamos a explicar en este post.

El momento angular de una partícula

El momento angular de una partícula respecto de un punto se define como:

\[ \vec L=\vec r\times\vec p. \]

Aquí \(\vec r\) es el vector que va desde el punto O respecto al cual calculamos el momento angular hasta la partícula, y \(\vec p\) es la cantidad de movimiento de la partícula.

Como:

\[ \vec p=m\vec v, \]

también podemos escribir:

\[ \vec L=m\,\vec r\times\vec v. \]

 

El punto respecto al que se calcula \(\vec L\) suele tomarse como origen de coordenadas, para que \(\vec r\) sea simplemente el vector posición de la partícula.

Mientras que el momento lineal \(\vec p\) nos dice cómo se mueve una partícula en una dirección, el momento angular \(\vec L\) nos da una idea de cómo gira una partícula respecto a un punto.

Si una partícula se mueve en un plano, el momento angular es perpendicular a ese plano. Si \(\vec L\) apunta hacia arriba, el giro se ve en un sentido; si \(\vec L\) apunta hacia abajo, el giro se ve en el sentido contrario.

 

En un movimiento circular uniforme de radio \(R\), podemos escribir:

\[ \vec r = R\cos(\omega t+\varphi_0)\vec i + R\sin(\omega t+\varphi_0)\vec j. \]

Derivando:

\[ \vec v = -R\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\vec i + R\omega\cos(\omega t+\varphi_0)\vec j. \]

El momento angular es:

\[ \vec L=m\vec r\times\vec v. \]

Calculando el determinante:

\[ \vec L = m \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ R\cos(\omega t+\varphi_0) & R\sin(\omega t+\varphi_0) & 0\\ -R\omega\sin(\omega t+\varphi_0) & R\omega\cos(\omega t+\varphi_0) & 0 \end{vmatrix}. \]

Sólo queda componente \(\vec k\):

\[ \vec L = mR^2\omega \left[ \cos^2(\omega t+\varphi_0)+\sin^2(\omega t+\varphi_0) \right]\vec k. \]

Como:

\[ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, \]

resulta:

\[ \vec L=mR^2\omega\,\vec k. \] 

Por tanto, en el movimiento circular uniforme el momento angular es constante.

Como \(v=\omega R\), el módulo de $\vec{L}$ también puede escribirse como:

\[ |\vec L|=mR^2\omega=mvR. \]

y su dirección es perpendicular al plano de giro. 

 

El momento de una fuerza respecto de un punto

Supongamos que sobre una partícula se aplica una fuerza $F$. El momento de esa fuerza respecto de un punto, también llamado torque, se define como:

\[ \vec M=\vec r\times\vec F. \]

Aquí \(\vec r\) es el vector que va desde el punto respecto al cual calculamos el momento hasta el punto donde se aplica la fuerza.

 

Con respecto a un punto dado, cada fuerza aplicada sobre un objeto tendrá asociado un torque. La suma de todos los torques será el torque total $M_{\text{total}}$, que también se puede calcular como el torque asociado a la fuerza total que se aplica sobre la partícula.

Intuitivamente, el torque mide la capacidad de una fuerza para producir giro. Por ejemplo, al empujar una puerta, no sólo importa el módulo de la fuerza, sino también dónde se aplica y con qué dirección. Como el módulo del momento de una fuerza es:

\[ M=rF\sin\theta. \]

si la fuerza se aplica lejos del eje de giro y perpendicularmente a la puerta, el torque es grande. Si se aplica cerca del eje o en dirección casi radial, el torque es pequeño. Si el torque apunta hacia fuera del papel, contribuiremos a que el giro se produzca en el sentido antihorario. Si apunta hacia dentro del papel, contribuiremos a que el giro se produzca en el sentido horario. ¿Cómo es la relación exacta entre el torque y el giro? Vamos a verlo:

 

La relación entre momento de la fuerza y momento angular

En concreto, el momento de una fuerza lo que determina es cómo cambia el momento angular. Para verlo, derivemos el momento angular con respecto del tiempo:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec r\times\vec p). \]

Usando la regla del producto:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r}{dt}\times\vec p + \vec r\times\frac{d\vec p}{dt}. \]

Pero la derivada del vector posición es la velocidad y, además, usando la segunda ley de Newton, la derivada del momento es la fuerza total que se aplica sobre la partícula.

\[ \frac{d\vec r}{dt}=\vec v, \qquad \frac{d\vec p}{dt}=\vec F_{\text{total}}, \]

Entonces:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \vec v\times\vec p + \vec r\times\vec F_{\text{total}}. \]

Pero \(\vec p=m\vec v\), de modo que \(\vec v\) y \(\vec p\) son paralelos, y su producto vectorial es cero:

\[ \vec v\times\vec p=\vec 0. \]

Por tanto:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec r\times\vec F_{\text{total}}=\vec M_{\text{total}}. \]

Es decir:

\[ \boxed{\frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\text{total}}}. \]

Esta ecuación es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton. Si existe un torque neto no nulo, el momento angular cambia. Si el torque neto es cero, el momento angular se conserva. El torque es como la fuerza, pero de giro. Y el momento anguar es como la cantidad de movimiento, pero de giro.

 

Ley de conservación del momento angular

Como:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\text{total}}, \]

si el momento total de las fuerzas externas es nulo:

\[ \vec M_{\mathrm{total}}=\vec 0, \]

entonces:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec 0, \]

y por tanto:

\[ \vec L=\mathrm{cte}. \]

Esta es la ley de conservación del momento angular. 

Un ejemplo de conservación del momento anguar es lo que ocurre si nos ponemos a girar sobre una plataforma que puede girar. En este caso, como nosotros estamos adquiriendo un momento angular en un sentido, la plataforma adquiere momento angular en sentido contrario, de tal manera que el momento angular total se conserva, como se muestra en el mejor episodio de Los Simsons de toda su historia:

 The Simpsons Season 20, Episode 11 ("How the Test Was Won")

Esta ley también se observa muy bien en un bailarín o una patinadora que gira. Si no hay torque externo apreciable, el momento angular se conserva. Este momento angular es la suma de los momentos angulares de cada átomo de la patinadora:

\[ \vec L_i=mR_i^2\omega\,\vec k. \]   

Cuando la patinadora recoge los brazos, disminuye $R_i$ para los átomos de los brazos. Como el momento angular total \(L\) de la patinadora debe mantenerse constante, la velocidad angular \(\omega\) aumenta. Por eso gira más rápido al acercar los brazos al cuerpo.

Otro ejemplo lo tenemos en este vídeo: 

 

La conservación del momento angular en el movimiento planetario

Acabamos de ver que, cuando las cosas que giran se acercan al eje de giro, entonces aumentan su velocidad. Pero los planetas, en su revolución alrededor del Sol, llevan a cabo órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus focos (esta fue una de las cosas que descubrió Kepler, por lo que se conoce hoy en día como primera ley de Kepler). Por tanto, a veces están más cerca y a veces están más cerca del Sol, aunque esta diferenca en muchos casos sea pequeña. ¿Se mueven los planetas más rápido en los momentos en los que están más cerca del Sol? La respuesta es afirmativa. Vamos a verlo.

La fuerza con la que el Sol atrae a un planeta apunta siempre hacia el Sol. Por tanto, la fuerza está en la misma dirección que el vector \(\vec r\) que une el Sol con el planeta (aunque en sentido contrario). Entonces:

\[ \vec M=\vec r\times\vec F=\vec 0. \]

Como en buena aproximación esa es la única fuerza que actúa sobre el planeta, el torque total sobre el planeta es nulo:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec 0, \qquad \vec L=\mathrm{cte}. \]

En consecuencia, el momento angular del planeta respecto al Sol se conserva. Pero el momento angular es un vector, y cuando un vector se conserva, se conservan todas sus características. Por tanto:

•  se conserva la dirección y sentido de $\vec L$.
• se conserva el módulo de $\vec L$ 

El movimiento orbital permanece siempre en el mismo plano

Acabamos de ver que, en el movimiento de un planeta en órbita alrededor del Sol, la dirección y el sentido del módulo de $\vec L$ se conservan. Pero la dirección de $\vec L$ siempre es perpendicular al plano en el que se lleva a cabo el movimiento. Por tanto, este plano no cambia. La órbita de cada planeta está contenido en un plano. Hay que reparcar que no tiene por qué ser el mismo plano para cada planeta, aunque en el caso del Sistema Solar, por la manera en que se formó, los planos de los distintos planetas se parecen.

 

 

El sentido de giro no cambia 

Además, el sentido de $\vec L$ nos dice el sentido de giro. Por tanto, tampoco va a ocurrir que un planeta empiece a girar en sentido contrario l que llevaba. De nuevo, el sentido de giro no tiene por qué ser el mismo para cada planeta, pero en el Sistema Solar, por cómo se formó, todos los planetas giran en el mismo sentido.

La ley de las áreas de Kepler

Se define la velocidad areolar de un planeta como el área que barre por unidad de tiempo el vector que une al Sol con el planeta. Es decir:

\[ \frac{dA}{dt}, \]

donde \(A\) es el área barrida por el radio vector del planeta en su movimiento.

Para calcular su valor consideramos el área barrida $\Delta A$ en un tiempo muy pequeño \(\Delta t\).

El radio vector cambia de \(\vec r\) a \(\vec r+\Delta\vec r\), y el área barrida se aproxima por el área de un triángulo que es la mitad del área encerrada por el paralelogramo generado por $\vec r$ y $\Delta \vec r$

\[ \Delta A = \frac12|\vec r\times \Delta\vec r|. \]

Dividiendo entre \(\Delta t\) y tomando el límite:

\[ \frac{dA}{dt} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac12 \left| \vec r\times \frac{\Delta\vec r}{\Delta t} \right| = \frac12|\vec r\times \vec v|. \]

Como \(\vec p=m\vec v\),

\[ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2m}|\vec r\times \vec p| = \frac{|\vec L|}{2m}. \]

Como hemos visto que el módulo del momento angular del planeta es constante y que la masa del planeta también es constante, se obitiene que

\[ \frac{dA}{dt}=\frac{|\vec L|}{2m}=\mathrm{cte}. \]

Por tanto, cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales en su movimiento alrededor del Sol. Este fue otro de los resultados que encontró Kepler y que, por ello, se le conoce, además de como ley de las áreas, también como segunda ley de Kepler. Por supuesto, la velocidad areolar no tiene que ser la misma para todos los planetas, pero, si despreciamos la interacción de los planetas entre sí o con otros astros, cada planeta no cambia nunca la velocidad areolar que tiene. Por supuesto, esta ley también se cumple para los satélites que orbitan en torno a los planetas, ya que la ley de las áreas es una consecuencia directa de la conservación del momento angular.

En el vídeo se ve muy bien que, como el área barrida por unidad de tiempo es constante, el planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del Sol y más despacio cuando está más lejos, al igual que le ocurre a los brazos de la patinadora del anterior vídeo. Para poder barrer la misma área en el mes de enero que en julio el planeta Tierra tiene que viajar más rápido durante el mes de enero, ya que en ese mes está más cerca del Sol.

 

Cuando los meses del año quedan los sábados por la noche para jugar al Risk, piden pizzas elípticas y las cortan de tal forma que todos coman la misma porción de pizza más o menos (menos Febrero, al que descaradamente le dan menos).

 

La tercera ley de Kepler

Para una órbita circular de radio \(r\), la velocidad, al ser tangente a la trayectoria, es perpendicular al radio vector. Por tanto, el módulo del momento angular es $L=mrv $. Como $L$ es constante, est quiere decir que $v$ también es contante. El movimiento es por tanto un MCU.

En este MCU la fuerza gravitatoria es la que actúa como fuerza centrípeta:

\[ F_{\mathrm{grav}}=F_C         \]

Es decir:

\[ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}. \]

Simplificando la masa del planeta \(m\):

\[ G\frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}. \]

Multiplicando por \(r\):

\[ v^2=\frac{GM}{r}. \]

Por tanto:

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

Como el movimiento es circular:

\[ v=\omega r. \]

Sustituyendo:

\[ \omega^2r^2=\frac{GM}{r}. \]

Por tanto:

\[ \omega^2r^3=GM. \]

Como:

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}, \]

entonces:

\[ \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r^3=GM. \]

Despejando:

\[r^3=\frac{GM}{4\pi^2}T^2. \]

O equivalentemente:

\[ \frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}. \]

Esta es la tercera ley de Kepler para órbitas circulares alrededor de una masa central \(M\). Nos dice que los cubos de las distancias al Sol son proporcionales a los cuadrados de los periodos de revolución. Esta constante de proporcionalidad será, sin embargo, distinta para cada sistema solar. Y, por supuesto, esta ley también se cumple para todos los satélites que orbitan el mismo planeta.

Veremos en un post posterior que, para órbitas elípticas, esta ley también se cumple, pero el radio \(r\) se sustituye por el semieje mayor \(a\) de la elipse:

\[ \frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}. \]

¿Qué habría ocurrido si la fuerza gravitatoria no fuera igual a

$$F_g= G\frac{Mm}{r^2} $$

sino que decayera con la distancia con una potencia de $r$ diferente a -$2$? Está claro que, entonces, no habríamos obtenido un $3$ en la potencia de $r$ en la tercera ley de Kepler. Esto fue lo que llevó a Newton a darse cuenta de que en la ley de gravitación universal la potencia de $r$ tenía que ser $-2$. Si la potencia de \(r\) en la ley de gravitación hubiera sido cualquier otro número \(-n\), la tercera ley de Kepler habría adoptado la forma \(T^2 \propto r^{n+1}\), y no la relación \(T^2 \propto r^3\) que muestran las observaciones.

Hoy en día sabemos, como hemos visto en un post anterior, que la potencia inversa de $r$ en la ley de gravitación universal es exactamente un $2$ porque el mundo tiene 3 dimensiones. Esto es lo que hace que el área de la esfera $S$ sea proporcional a $r^2$.

 

Si el mundo tuviera $n$ dimensions espaciales, entonces en la ley de gravitación universal aparecería un $n-1$ en vez de un 2.

Si estás interesado en saber por qué el universo tiene 3 dimensiones, puedes escuchar este podcast: 

 

Conclusiones

El astrónomo alemán Johannes Kepler pasó a la historia sobre todo por haber encontrado, a partir fundamentalmente de los datos experimentales obtenidos por su antecesor, Tycho Brahe, las leyes del movimiento planetario. Obsesionado con encontrar patrones en las proporciones de estos movimientos, Kepler descubrió que cada planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, con el Sol en uno de sus focos, que el área barrida por unidad de tiempo se mantiene constante y que los cuadrados de los periodos $T$ son proporcionales a los cubos de las distancias $r$ al Sol. Pero Kepler nunca llegó a comprender por qué aquellas leyes eran verdaderas. Su interpretación seguía siendo esencialmente teológica: para él constituían la manifestación de la geometría divina inscrita en la naturaleza.

Sin embargo, pocas décadas después Isaac Newton descubrió los principios físicos que las sustentaban. A partir de las leyes de Kepler, Newton demostró que la fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y los planetas debía disminuir con el cuadrado de la distancia, es decir, ser inversamente proporcional a \(r^2\). Si la potencia de \(r\) en la ley de gravitación hubiera sido cualquier otro número \(-n\), la tercera ley de Kepler habría adoptado la forma \(T^2 \propto r^{n+1}\), y no la relación \(T^2 \propto r^3\) que muestran las observaciones.

Con las leyes de Newton tambén podemos reinterpretar la segunda ley de Kepler desde una perspectiva aún más profunda. Hemos visto que el área barrida por un planeta en la unidad de tiempo puede expresarse como el módulo del momento angular del planeta respecto del Sol dividido entre dos veces la masa del planeta:

\[ \frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}. \]

En consecuencia, la llamada ley de las áreas no es otra cosa que una manifestación de la conservación del momento angular el planeta. Esta conservación se debe a que la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre el planeta es una fuerza central, siempre dirigida hacia el propio Sol, y por ello no ejerce momento (torque) respecto de él. Esta conservación del momento angular ocurre en toda situación física en la que hay simetría de rotación y en este caso se debe a que el campo gravitatorio que ejerce el Sol sobre él es esféricamente simétrico. La relación entre simetrías y leyes de conservación en física no fue aclarada hasta principios del siglo XX por la gran matemática Emmy Noether.

Esos fueron los mensajes divinos profundos que el cielo le estaba transmitiendo a Kepler, aunque Kepler no tenía todavía las herramientas para descifrarlos en profundidad: la relación entre simetrías y leyes de conservación y el hecho de que el universo (al menos a las escalas a las que podermos hacer experimentos gravitatorios hasta ahora) tiene exactamente 3 dimensiones.

Lo que hemos hecho en este post es seguir el camino inverso al que hizo Newton. A partir de las leyes de la mecánica newtoniana hemos demostrado la segunda ley de Kepler, y también la tercera para órbitas circulares. Dejamos para otro post la demostráción general de la tercera ley, y para otro la demostración de la primera.

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.