FÍSICA BACHILLERATO: Dinámica del sólido rígido

Este post es una introducción a la dinámica del sólido rígido, lo más simplificada posible, para estudiantes de Bachillerato.

 

El momento de una fuerza respecto de un punto

Supongamos que sobre una partícula se aplica una fuerza $F$. El momento de esa fuerza respecto de un punto, también llamado torque, se define como:

\[ \vec M=\vec r\times\vec F. \]

Aquí \(\vec r\) es el vector que va desde el punto respecto al cual calculamos el momento hasta el punto donde se aplica la fuerza.

 

Con respecto a un punto dado, cada fuerza aplicada sobre un objeto tendrá asociado un torque. La suma de todos los torques será el torque total $M_{\text{total}}$, que también se puede calcular como el torque asociado a la fuerza total que se aplica sobre la partícula.

Intuitivamente, el torque mide la capacidad de una fuerza para producir giro. Por ejemplo, al empujar una puerta, no sólo importa el módulo de la fuerza, sino también dónde se aplica y con qué dirección. Como el módulo del momento de una fuerza es:

\[ M=rF\sin\theta. \]

si la fuerza se aplica lejos del eje de giro y perpendicularmente a la puerta, el torque es grande. Si se aplica cerca del eje o en dirección casi radial, el torque es pequeño. Si el torque apunta hacia fuera del papel, contribuiremos a que el giro se produzca en el sentido antihorario. Si apunta hacia dentro del papel, contribuiremos a que el giro se produzca en el sentido horario. ¿Cómo es la relación exacta entre el torque y el giro? Vamos a verlo:

 

La relación entre momento de la fuerza y momento angular

En concreto, el momento de una fuerza lo que determina es cómo cambia el momento angular. Para verlo, derivemos el momento angular con respecto del tiempo. Como el momento angular se define como: \[ \vec L=\vec r\times\vec p. \]entonces 

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec r\times\vec p). \]

Usando la regla del producto:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r}{dt}\times\vec p + \vec r\times\frac{d\vec p}{dt}. \]

Pero la derivada del vector posición es la velocidad y, además, usando la segunda ley de Newton, la derivada del momento es la fuerza total que se aplica sobre la partícula.

\[ \frac{d\vec r}{dt}=\vec v, \qquad \frac{d\vec p}{dt}=\vec F_{\text{total}}, \]

Entonces:

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \vec v\times\vec p + \vec r\times\vec F_{\text{total}}. \]

Pero \(\vec p=m\vec v\), de modo que \(\vec v\) y \(\vec p\) son paralelos, y su producto vectorial es cero:

\[ \vec v\times\vec p=\vec 0. \]

Por tanto:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec r\times\vec F_{\text{total}}=\vec M_{\text{total}}. \]

Es decir:

\[ \boxed{\frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\text{total}}}. \]

Esta ecuación es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton. Si existe un torque neto no nulo, el momento angular cambia. Si el torque neto es cero, el momento angular se conserva. El torque es como la fuerza, pero de giro. Y el momento anguar es como la cantidad de movimiento, pero de giro.

 

Ejemplo: la palanca

Supongamos una barra apoyada en un punto. En un extremo aplicamos una fuerza pequeña \(F\), y en el otro extremo hay un peso grande:

\[ P=Mg. \]

 

Si la distancia desde el punto de apoyo hasta la fuerza aplicada es \(r_1\), y la distancia desde el punto de apoyo hasta el peso es \(r_2\), para que haya equilibrio de rotación debe cumplirse:

\[ \vec M_{\mathrm{total}}=\vec M_1+\vec M_2=\vec 0. \]

En módulo, si las fuerzas son perpendiculares a la barra:

\[ M_1=r_1F, \qquad M_2=r_2P. \]

Para el equilibrio:

\[ r_1F-r_2P=0. \]

Por tanto:

\[ r_1F=r_2P. \]

Y la fuerza necesaria es:

\[ F=\frac{r_2}{r_1}P. \]

Si \(r_1\gg r_2\), entonces \(F\) puede ser muy pequeña aunque \(P\) sea grande. Esa es la ventaja mecánica de la palanca: con una fuerza pequeña podemos levantar pesos grandes.

 

Centro de masas o centro de gravedad de un cuerpo

El centro de masas es la media ponderada de la posición de todas las masas de un cuerpo. Si el cuerpo está formado por partículas de masas \(m_i\) situadas en posiciones \(\vec r_i\), el centro de masas es:

\[ \vec r_{\mathrm{CM}} = \frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i}. \]

Si las masas están distribuidas uniformemente, el centro de masas coincide con la posición media geométrica del cuerpo.

Se puede demostrar que, en un campo gravitatorio uniforme, el efecto del peso sobre un cuerpo puede representarse como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masas:

\[ \vec P=M\vec g. \] 

Por eso, para estudiar el equilibrio de un cuerpo apoyado, es esencial saber dónde está su centro de masas. Si la vertical que pasa por el centro de masas cae dentro de la base de apoyo, el cuerpo puede estar en equilibrio porque el torque del peso con respecto al punto de apoyo es cero. Pero si cae fuera, el cuerpo tiende a volcar debido al torque ejercido por el peso.

 

 

Rotación de un sólido rígido en torno a un eje principal

Se denomina sólido rígido a un cuerpo en el que, al moverse, las distancias entre todas las partículas que lo forman no cambian.

El movimiento general de un sólido rígido puede entenderse como la composición de dos movimientos:

• un movimiento de traslación de su centro de masas;
• un movimiento de rotación alrededor del centro de masas.

El movimiento del centro de masas es idéntico al movimiento que tendría una partícula cuya masa fuese la masa total del sólido rígido, sometida a la fuerza externa total. También pueden existir rotaciones alrededor de un eje fijo en un sistema inercial. Por ejemplo, una puerta que gira alrededor de sus bisagras o una rueda que gira alrededor de su eje.

Cada átomo del sólido rígido que gira tiene su propio momento angular:

\[ \vec L_i=m_i\vec r_i\times\vec v_i. \]

Si la partícula describe una circunferencia alrededor del eje, \(\vec r_i\) es perpendicular a \(\vec v_i\), y el módulo es:

\[ |\vec L_i|=m_i|\vec r_i|\,|\vec v_i|. \]

 Como en todo movimiento circular:

\[ |\vec v_i|=|\vec r_i|\,\omega, \]

resulta:

\[ |\vec L_i|=m_i r_i^2\omega. \]

Sumando sobre todas las partículas, para algunos ejes especiales, denominados ejes principales, el momento angular total del sólido rígido puede escribirse como:

\[ L=I\omega. \]

donde:

\[ I=\sum_i m_i r_i^2. \]

A la cantidad \(I\) se llama momento de inercia del sólido respecto de ese eje. El momento de inercia en rotación desempeña un papel parecido al de la masa en traslación. La masa mide la resistencia a cambiar la velocidad del cuerpo. Análogamente, el momento de inercia mide la resistencia a cambiar la velocidad angular de rotación de un cuerpo.

A veces se considera que \(\vec\omega\) es un vector que va en la dirección del eje de giro. En ese caso, para un eje principal:

\[ \vec L=I\vec\omega. \]

Por otro lado, el momento de la fuerza total sobre el sólido rígido es:

\[ \vec M_{\mathrm{total}} = \frac{d\vec L}{dt}. \]

Juntando ambas expresiones, si el sólido rota en torno a un eje principal e \(I\) es constante, se obtiene:

\[ \vec M_{\mathrm{total}} = \frac{d(I\vec\omega)}{dt} = I\frac{d\vec\omega}{dt}. \]

Como la derivada de la velocidad angular es la aceleración angular:

\[ \vec\alpha=\frac{d\vec\omega}{dt}, \]

y queda:

\[ \boxed{\vec M_{\mathrm{total}}=I\vec\alpha}. \]

Esta expresión es como  la segunda ley de Newton pero para la rotación de un sólido rígido en torno a un eje principal. Es análoga a:

\[ \vec F_{\mathrm{total}}=m\vec a. \]

pero sustituyendo las magnitudes de traslación por las correspondientes magnitudes de rotación. La correspondencias entre magnitudes lineales y magnitudes angulares queda así establecidad de la siguiente manera:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Traslación} & \text{Rotación}\\ \hline x & \varphi\\ v_x & \omega\\ a_x & \alpha\\ m & I\\ p_x & L\\ F_x & M\ \text{o}\ \tau \end{array} \]

Las unidades correspondientes son:

• posición angular: \(\varphi\), medida en radianes;
• velocidad angular: \(\omega\), medida en \(\mathrm{rad/s}\);
• aceleración angular: \(\alpha\), medida en \(\mathrm{rad/s^2}\);
• momento de inercia: \(I\), medido en \(\mathrm{kg\,m^2}\);
• momento angular: \(L\), medido en \(\mathrm{kg\,m^2/s}\);
• momento de una fuerza o torque: \(M\) o \(\tau\), medido en \(\mathrm{N\,m}\), equivalente a \(\mathrm{kg\,m^2/s^2}\).

Así como en traslación se tiene:

\[ p=mv, \qquad F=ma, \]

en rotación se tiene:

\[ L=I\omega, \qquad M=I\alpha. \]

 

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.