FÍSICA BACHILLERATO: El campo gravitatorio

En este post explico los conceptos básicos acerca del campo gravitatorio para estudiantes de Bachillerato.

 

 

Ley de la gravitación universal de Newton

La interacción gravitatoria es un tipo de interacción que se da en la naturaleza entre todas las partículas, sin excepción. Según la ley de gravitación universal de Newton, todas las partículas con masa ejercen fuerzas atractivas entre ellas. Estas fuerzas son directamente proporcionales al producto de sus masas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que las separa.

Para dos partículas \(A\) y \(B\), si llamamos:

• \(M\): masa de la partícula \(A\);
• \(m\): masa de la partícula \(B\);
• \(d_{AB}\): distancia entre \(A\) y \(B\);
• \(G\): constante de gravitación universal.

de acuerdo con la ley de gravitación universal de Newton, la fuerza que ejerce \(A\) sobre \(B\) tiene módulo \[ F_{AB}=G\frac{Mm}{d_{AB}^{2}}. \] donde \[ G=6{,}67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}. \]es la constante de gravitación universal de Newton. La dirección de esta fuerza es la recta que une las dos masas y su sentido es atractivo: si hablamos de la fuerza que ejerce \(A\) sobre \(B\), el vector fuerza apunta desde \(B\) hacia \(A\). La gravedad siempre es atractiva.

Si \(\vec r_A\) y \(\vec r_B\) son los vectores de posición de \(A\) y \(B\), respectivamente, entonces el vector que va desde \(B\) hacia \(A\) es

\[ \vec r_A-\vec r_B. \]

Y el vector unitario que marca la dirección y el sentido de la fuerza sobre \(B\) e, por tanto

\[ \vec u=-\,\frac{\vec r_B-\vec r_A}{|\vec r_B-\vec r_A|} = \frac{\vec r_A-\vec r_B}{|\vec r_B-\vec r_A|}. \]

Juntando módulo y vector unitario, la fuerza que ejerce \(A\) sobre \(B\) queda

\[ \vec F_{AB} = F_{AB}\vec u = -\,G\frac{Mm}{|\vec r_B-\vec r_A|^2} \frac{\vec r_B-\vec r_A}{|\vec r_B-\vec r_A|}. \]

Es decir,

\[ \vec F_{AB} = -\,G Mm\frac{\vec r_B-\vec r_A}{|\vec r_B-\vec r_A|^3}. \]

La fuerza que ejerce \(B\) sobre \(A\) es, por la tercera ley de Newton, igual pero de sentido contrario:

\[ \vec F_{BA}=-\vec F_{AB}. \]

Por tanto, \(\vec F_{BA}\) tiene el mismo módulo que \(\vec F_{AB}\), pero apunta en sentido contrario. 

 

Caso en el que \(M\gg m\)

En bachillerato y en muchos problemas físicos se trabaja normalmente con situaciones en las que una masa es mucho mayor que la otra. Por ejemplo, un planeta comparado con un satélite, la Tierra comparada con un objeto pequeño o el Sol comparado con un planeta. Supongamos entonces que el cuerpo \(A\) tiene masa \(M\), el cuerpo \(B\) tiene masa \(m\), y que

\[ M\gg m. \]

La segunda ley de Newton aplicada a \(A\) dice

\[ \vec F_{BA}=M\vec a_A, \qquad \vec a_A=\frac{\vec F_{BA}}{M}. \]

La segunda ley de Newton aplicada a \(B\) dice

\[ \vec F_{AB}=m\vec a_B, \qquad \vec a_B=\frac{\vec F_{AB}}{m}. \]

Como las fuerzas tienen el mismo módulo,

\[ F_{AB}=F_{BA}, \]

pero las masas son muy distintas, resulta que

\[ a_B\gg a_A. \]

Es decir, la aceleración de \(A\) es despreciable frente a la aceleración de \(B\), como se observa en esta simulación de un planeta, \(B\), orbitando en torno a su estrella, \(A\):

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Por eso en muchas ocasiones se puede suponer que el cuerpo de mayor masa no tiene aceleración:

\[ \vec a_A\simeq 0. \]

Integrando en el tiempo,

\[ \vec v_A\simeq \mathrm{cte}. \]

Por tanto, el cuerpo \(A\) realiza aproximadamente un movimiento rectilíneo uniforme, y el sistema de referencia ligado a \(A\) puede considerarse inercial. Aplicando el principio de relatividad, en ese sistema de referencia se cumplen las leyes de la física. Por eso podemos elegir el origen de coordenadas en el cuerpo de mayor masa sin ningún problema. En ese sistema, el cuerpo pequeño \(B\), de masa \(m\), se mueve en torno a \(A\), de masa \(M\gg m\). Esta simplificación es la que permite estudiar, por ejemplo, el movimiento de planetas alrededor del Sol o de satélites alrededor de la Tierra. 

 

 

Intensidad de campo gravitatorio

El concepto de campo gravitatorio se introduce inicialmente como una herramienta matemática útil para calcular la fuerza gravitatoria que se ejerce entre partículas. En vez de pensar en una fuerza directa a distancia, decimos que una partícula \(A\) crea un campo gravitatorio a su alrededor, y que otra partícula colocada en ese campo experimenta una fuerza.

Si una masa \(M\) está situada en el origen de coordenadas, el módulo de la intensidad del campo gravitatorio a una distancia \(r\) es

\[ g=\frac{GM}{r^2}. \]

Sus unidades son

\[ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}, \]

las mismas que las de una aceleración.

La dirección y sentido del campo gravitatorio vienen dados por el vector unitario dirigido hacia la masa que crea el campo:

\[ \vec u=-\,\frac{\vec r}{r}. \]

Por tanto, el campo gravitatorio creado por una masa puntual \(M\) situada en el origen es

\[ \vec g(\vec r) = -\,\frac{GM}{r^2}\frac{\vec r}{r} = -\,GM\frac{\vec r}{r^3}. \]

Si una partícula \(B\) de masa \(m\) se encuentra en la posición \(\vec r\), el campo gravitatorio ejerce sobre ella una fuerza

\[ \vec F_{AB}=m\vec g. \]

A esta fuerza la llamamos peso:

\[ \vec P=m\vec g. \]

El campo gravitatorio es un vector y,  además, es diferencie en cada punto del espacio, con lo que puede representarse mediante un campo vectorial

\[ \vec g(x,y,z). \]

En física newtoniana, el campo gravitatorio se usa como una herramienta matemática. Pero, tras la teoría de la relatividad de Einstein sabemos que nada puede moverse ni propagarse más rápido que la luz en el vacío. Por tanto, el campo gravitatorio, igual que los demás campos, debe entenderse como algo físico real que no se propaga instantáneamente, sino a velocidad finita. En la física newtoniana, sin embargo, se trabaja como si la acción gravitatoria se transmitiera instantáneamente, porque es una aproximación muy útil cuando las velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

Campo gravitatorio creado por una distribución de masas

El campo gravitatorio cumple el principio de superposición. Esto significa que el campo creado por varias masas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de ellas. Si tenemos varias masas, el campo total en un punto \(\vec r\) es

\[ \vec g(\vec r) = \vec g_1(\vec r)+\vec g_2(\vec r)+\vec g_3(\vec r)+\cdots = \sum_{\alpha=1}^{N}\vec g_\alpha(\vec r). \]

Esto ocurre porque las ecuaciones diferenciales que determinan el comportamiento del campo gravitatorio newtoniano son lineales. Por ejemplo, si dos masas \(M_1\) y \(M_2\) crean campo gravitatorio en un punto \(P\), el campo total es la suma vectorial de los dos campos:

\[ \vec g=\vec g_1+\vec g_2. \] 

No hay que sumar módulos sin más, salvo que los vectores tengan la misma dirección. En general, hay que sumar componentes vectoriales. 

 

Líneas de campo

Las líneas de campo son curvas tangentes al vector \(\vec g\) en cada punto. En gravitación newtoniana:

• nacen en el infinito;
• mueren en las masas;
• su densidad visual indica la intensidad del campo;
• su sentido marca hacia dónde apunta el campo gravitatorio.

Para una masa puntual, las líneas de campo son radiales y apuntan hacia la masa. Para dos masas, las líneas se curvan y terminan en una u otra masa. Para un cuerpo esférico, en el exterior el campo es igual al de una masa puntual situada en su centro. Pero si hacemos mucho zoom cerca de la superficie de un planeta, que es como vivimos aquí en la Tierra, las líneas de campo son aproximadamente rectas, paralelas y perpendiculares a la superficie. 

 

Flujo de campo 

Dada una superfice orientable, el flujo de campo a través de una superficie se define como la integral de superfice de ese campo a lo largo de esa superficie. Intuitivamente, nos dice si hay muchas líneas de campo que atraviesan la superficie. Las líneas de campo que atraviesan la superficie en el sentido "correcto" contribuyen positivamente a la integral, mientras que las que atraiesan en sentido contrario contribuyen negativamente.

Por supuesto, para que esto tenga sentido la superficie tiene que ser orientables, tener dos caras, para así poder asignar un signo positivo a las líneas que atraiesan en un sentido y negativo en sentido contrario. 

 

Ley de Gauss para el campo gravitatorio

Todo lo anterior puede resumirse de forma elegante mediante la ley de Gauss (mal llamada teorema de Gauss, que es otra cosa, aunque relacionado). Esta ley nos dice que el flujo del campo gravitatorio a través de cualquier superficie cerrada \(S\) es

\[ \oint_S \vec g\cdot d\vec S = -4\pi G\,M_{\mathrm{dentro}}. \]

Aquí \(M_{\mathrm{dentro}}\) es la suma de todas las masas encerradas por la superficie \(S\). El signo negativo aparece porque las líneas de campo entran en las masas: el vector superficie \(d\vec S\) se toma hacia fuera, mientras que \(\vec g\) apunta hacia dentro.

Esta ley permite calcular \(\vec g\) de forma sencilla cuando la simetría del problema es suficiente. 

 

a) Masa puntual \(M\)

Elegimos como superficie \(S\) una esfera de radio \(r\) centrada en la masa. En toda la esfera, el módulo del campo es constante y el campo apunta hacia el centro, mientras que \(d\vec S\) apunta hacia fuera. Por eso:

\[ \oint_S \vec g\cdot d\vec S = \oint_S (-g\,dS) = -g\oint_S dS = -g\,4\pi r^2. \]

 

Por la ley de Gauss:

\[ -g\,4\pi r^2=-4\pi GM. \]

Por tanto,

\[ g=\frac{GM}{r^2}. \]

Esta expresión coincide con la obtenida a partir de la ley de gravitación universal.

 

b) Cuerpo esférico de masa total \(M\) y radio \(R\)

Tomamos como superficie \(S\) una esfera concéntrica al cuerpo de radio \(r>R\). Por simetría esférica, el módulo de \(\vec g\) es constante sobre esa superficie y el campo es radial. Entonces el cálculo es idéntico al de una masa puntual:

\[ \oint_S \vec g\cdot d\vec S = -g\,4\pi r^2. \] 

Como toda la masa \(M\) queda dentro de la superficie gaussiana,

\[ -g\,4\pi r^2=-4\pi GM. \]

Luego

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \qquad r>R. \]

En conclusión, un cuerpo con simetría esférica crea en su exterior el mismo campo gravitatorio que una masa puntual situada en su centro.

Para el interior de un cuerpo esférico habría que tener en cuenta sólo la masa encerrada dentro de una esfera de radio \(r

\[ M(r)=M\frac{r^3}{R^3}, \]

y el campo interior sería

\[ g(r)=\frac{GM(r)}{r^2} = \frac{GM}{R^3}r. \]

Es decir, dentro de una esfera homogénea el campo crece linealmente con la distancia al centro. 

 

Movimiento de partículas en un campo gravitatorio

Con la ley de gravitación universal o con la ley de Gauss podemos explicar tanto la caída de una manzana como el movimiento de la Luna y los planetas. Este fue el gran paso que dio Newton para toda la humanidad: describir con las mismas leyes los fenómenos astronómicos y los terrestres:

 

a) Proyectiles en la superficie terrestre 

Cerca de la superficie terrestre podemos aproximar el campo gravitatorio por un campo uniforme:

\[ \vec a=\vec g=-g\,\hat{\jmath}. \]

Así,

\[ a_x=0, \qquad a_y=-g. \]

Integrando:

\[ v_x=v_{x0}, \qquad v_y=v_{y0}-gt. \]

Integrando de nuevo:

\[ x=x_0+v_{x0}t, \qquad y=y_0+v_{y0}t-\frac12gt^2. \]

La trayectoria es una parábola. Esta es la descripción del movimiento parabólico de proyectiles cuando se desprecia el rozamiento con el aire y se supone constante el campo gravitatorio.

Órbitas circulares

Para una órbita circular de radio \(R\), como la que describe de manera aproximada la Tierra alrededor del Sol, la fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre la Tierra es perpendicular a la velocidad de la Tierra. Esto significa que actúa como fuerza centrípeta, es decir, no cambia la velocidad de la Tierra en módulo, pero sí en direción. Por eso el movimiento de la Tierra es un movimiento circular uniforme en buena aproximación.

 \[ F_{\mathrm{grav}}=F_c. \]

Por tanto,

\[ \frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}. \]

Simplificando la masa \(m\):

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{R}}. \]

Esta fórmula indica que los planetas más alejados del Sol se mueven más despacio que los más cercanos.

Como en un movimiento circular uniforme

\[ v=\omega R, \]

se obtiene

\[ \omega^2R=\frac{GM}{R^2}. \]

Entonces

\[ \omega^2R^3=GM. \]

Como

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}, \]

resulta

\[ \frac{4\pi^2}{T^2}R^3=GM. \]

Finalmente,

\[ R^3=\frac{GM}{4\pi^2}T^2. \]

A esta fórmula se la llama tercera ley de Kepler para orbitas circulares:

\[ \frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}=\mathrm{cte}. \]

Veremos en las próximas unidades que, en realidad, el movimiento más general de los planetas o de los satélites que están en órbita alrededor de otro astro es elçiptico, y que la misma idea se generaliza a órbitas elípticas sustituyendo \(R\) por el semieje mayor \(a\):

\[ \frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}. \]

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.