FÍSICA BACHILLERATO: Trabajo, energía y su aplicación a la interacción gravitatoria

En física, el trabajo que realiza un cuerpo sobre otro es simplemente energía que le da. Por eso, aunque podemos decir que un objeto tiene tal o cual energía, no podemos decir que tiene trabajo, sino que un trabajo es realizado sobre éste, o que es este el que realiza trabajo sobre otro cuerpo.

Una de las fuerzas que realiza trabajo es la fuerza gravitatoria. Sin embargo, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria no se tiene en cuenta a la hora de resolver los problemas.

Por otro lado, uno de los conceptos que veo peor explicados en el material que se suele dar a los estudiantes de bachillerato es el de energía potencial. Espero que este post sirva para aclarar estos dos puntos.

  

Trabajo realizado por una fuerza

Cuando un cuerpo se desplaza desde una posición inicial hasta una posición final y sobre él actúa una fuerza, decimos que esa fuerza realiza trabajo $W$. El trabajo mide cuánta energía transfiere una fuerza durante un desplazamiento. El trabajo que realiza una fuerza $F$ sobre una partícula, cuando esta se desplaza desde $\vec r_i$ hasta $\vec r_f$, se define mediante una integral de línea.

\[ W=\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}\vec F\cdot d\vec r. \]

Aquí \(d\vec r\) es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria seguida por la partícula. El producto escalar \(\vec F\cdot d\vec r =dW\), que se denomina trabajo infinitesimal, selecciona sólo la componente de la fuerza que va en la dirección del movimiento. Por eso una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo. EL trabajo que realiza una fuerza a lo largo de un desplazamiento es, por tanto, la fuerza de todos los trabajos infinitesimales que se realizan en cada pequeña etapa del trayecto.

La unidad del trabajo en el Sistema Internacional es el julio:

\[ 1\ \mathrm{J}=1\ \mathrm{N\,m}=1\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}. \]

 

Potencia

La potencia mide la rapidez con la que se realiza trabajo. Así, la potencia media se define como:

\[ P_m=\frac{\Delta W}{\Delta t}. \]

Mientras que la potencia se define como:

\[ P=\frac{dW}{dt} = \vec F\cdot\frac{d\vec r}{dt} = \vec F\cdot\vec v. \]

La potencia se mide en vatios (W). Se tiene que 1 W = 1 J/s. Una unidad de potencia muy usada en ingeniería es el caballo de vapor (CV), pero no es una unidad del SI. Se tiene que 1 CV =735 W aproximadamente. Una máquina de muchos vatios o de muchos caballos es aquella que es capaz de realizar mucho trabajo en poco tiempo.

 

Trabajo en un movimineto rectilíneo 

Si el movimiento es rectilíneo, podemos escribir \(d\vec r=dx\,\vec i\), y entonces el trabajo que realiza la fuerza es simplemente la integral definida de la función fuerza con respecto a la posición $x$:

\[ W=\int_{x_i}^{x_f}F_x(x)\,dx. \]

Gráficamente, si representamos \(F_x(x)\) frente a \(x\), el trabajo es el área bajo la curva entre \(x_i\) y \(x_f\). Si el área está por encima del eje, el trabajo es positivo; si está por debajo, es negativo.

Trabajo realizado por una fuerza constante

Si la fuerza es constante durante todo el desplazamiento, sale fuera de la integral y el trabajo realizado por la fuerza es simplemente el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:

\[ W=\vec F\cdot\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}d\vec r = \vec F\cdot(\vec r_f-\vec r_i) = \vec F\cdot\Delta\vec r. \]

Por tanto:

\[ W=|\vec F|\,|\Delta\vec r|\,\cos\theta. \]

• Si la fuerza va en el mismo sentido que el desplazamiento, \(\theta=0\), entonces \( W>0 \). Nótese que en este caso esta fuerza contribuye a que el objeto vaya más rápido.
• Si la fuerza va en sentido contrario, \(\theta=\pi\), entonces \( W < 0 \). Notese que en este caso esta fuerza contribuye a que la partícula decrezca su velocidad.<0 li="">
• Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, \(\theta=\pi/2\), entonces \(W=0\). Nótese que en este caso la fuerza no contribuye ni a que vaya más rápido ni a que vaya más lento sino que lo que hace es cambiar la dirección de movimiento de la partícula.

Teorema de las fuerzas vivas

Acabamos de ver que, cuando una fuerza realiza un trabajo positivo sobre un cuerpo, contribuye a que aumente su velocidad, cuando realiza un trabajo negatio, contribuye a que disminuya su velocidad y cuando el trabajo es nulo, no contribuye ni a que aumente ni a que disminuya su velocidad. Pero no podemos interpretar el trabajo como la velocidad que se le da a un cuerpo, porque las unidades del trabajo son julios, no m/s. El trabajo realizado sobre una partícula es igual a lo que aumenta, no la velocidad, sino otra magnitud relacionada con la velocidad pero que se mide en julios, que llamamos por conveniencia energía cinética.

Para aclarar este punto, escribamos la expresión del trabajo total $W_T$ que se realiza sobre una partícula. Este trabajo total se puede calcular como la suma de todos los trabajos realizados por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Pero el trabajo total también se puede expresar de manera equivalente como el trabajo que realiza la fuerza total, donde llamamos fuerza total $F_T$ a la suma (vectorial) de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Por tanto:

\[ W_T=\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}\vec F_T\cdot d\vec r. \]

Por la segunda ley de Newton:

\[ \vec F_T=m\vec a=m\frac{d\vec v}{dt}. \]

Como \(d\vec r=\vec v\,dt\), se obtiene:

\[ W_T=\int m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v\,dt = m\int \vec v\cdot d\vec v. \]

La integral de \(\vec v\cdot d\vec v\) da la variación de \(v^2/2\):

\[ W_T = \frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2. \]

Por tanto, si definimos una nueva magnitud, denominda energía cinética, como

\[ E_c=\frac12mv^2, \]

queda:

\[ W_T=E_{c,f}-E_{c,i}=\Delta E_c. \]

El teorema de las fuerzas vivas afirma que el trabajo total realizado sobre una partícula es igual al incremento de su energía cinética.

\[ W_T=\Delta E_c. \]

• Si el trabajo total es positivo, la energía cinética aumenta, con lo que aumenta el módulo de la velocidad.
• Si el trabajo total es negativo, la energía cinética disminuye, con lo que disminuye el módulo de la velocidad.
• Si el trabajo total es cero, la energía cinética y el módulo de la velocidad permanecen constantes. 

Nótese que en la expresion "teorema de las fuerzas vivas" hay 3 mentiras. No es un teorema, ya que, si hubiera salido otra cosa al calcular $W_T$, habríamos definido la energía cinética de otra manera para segir forzando que $W_T=\Delta E_c$ (de hecho en relatividad sale otra cosas y por eso en relatividad la energía cinética se define con otra fórmula). Tampoco habla de fuerzas. De lo que nos habla es de la relación entre trabajo y energía. El trabajo es la energía que le damos a la partícula. Y tampoco es una ley específica de los seres vivos, sino que vale para todos los objetos del universo, sean vivos o inertes. 

Energía potencial gravitatoria cerca de la superficie terrestre

Cerca de la superficie terrestre, el campo gravitatorio puede aproximarse por un campo uniforme (que es igual en todos los puntos):

\[ \vec g=-g\,\vec j. \]

La fuerza gravitatoria sobre una masa \(m\) es

\[ \vec F_{\mathrm{grav}}=m\vec g=-mg\,\vec j. \]

Si una partícula desciende una altura \(h\), el trabajo que realiza la fuerza de la gravedad es positivo porque va a favor de ese desplazamiento:

\[ W_{\mathrm{grav}}=mgh. \]

Por eso, si no hay ningún otro trabajo, el trabajo gravitatorio es exactamente igual a la energía cinética que aumenta en el cuerpo que cae. Pero si, en cambio, el cuerpo sube, el trabajo de la gravedad es negativo.

Si el movimiento se realiza desde una altura \(y_i\) hasta una altura \(y_f\), entonces:

\[ W_{\mathrm{grav}} = \int_{y_i}^{y_f}(-mg)\,dy = -mg(y_f-y_i) = mg(y_i-y_f). \] 

Este trabajo que realiza la fuerza gravitatoria sólo depende de las alturas inicial y final del objeto, pero no del camino seguido para ir desde esa altura inicial a la altura final. Da igual si ha sido por ua rampa, de forma vertical o haciendo un loop de una montaña rusa. A los trabajos que sólo dependen de los puntos iniial y final, pero no del camino seguido entre medias, se les llama trabajos conservativos. Por tanto, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es conservativo. Por ejemplo, en el caso de un plano inclinado sin rozamiento, aunque la trayectoria sea distinta, el trabajo del peso sólo depende de la altura inicial y final, y no dle ángulo de inclinación, y se obtiene la misma expresión:

\[ W_{\mathrm{grav}}=mg(h_i-h_f). \]

Todo trabajo conservativo, al depender sólo de los puntos inicial y final, se pude expresar como un incremento de una magnitud que llamamos

\[ W_{\mathrm{con}}=-\Delta E_p. \]  

En el caso de la gravedad, definimos la energía potencial gravitatoria cerca de la superficie terrestre como

\[ E_p=mgh. \]

donde $h$ es la altura a la que está el objeto, para que así

\[ W_{\mathrm{grav}}=-\Delta E_p. \]

Es decir, el trabajo realizado por la gravedad es igual a menos la variación de la energía potencial. EL signo menos introducido en la fórmula hace que, si el cuerpo cae, \(E_p\) disminuye (y el trabajo gravitatorio es positivo). Si el cuerpo sube, \(E_p\) aumenta (y el trabajo gravitatorio es negativo). Esto hace que un cuerpo tenga más energía potencial cuanto más alto esté. Es decir, la energía potencial gravitatoria es una energía que tiene un cuerpo por el hecho de estar en altura.

Conservación de la energía mecánica

Supongamos una partícula sometida a una fuerza conservativa, por ejemplo una partícula que se mueve en un campo gravitatorio. El trabajo total coincide con el trabajo de la fuerza conservativa:

\[ W_T=W_{\mathrm{cons}}. \]

Pero, por otro lado, por el teorema de las fuerzas vivas:

\[ W_T=\Delta E_c. \] 

Con lo que:

\[  W_{\mathrm{cons}}= \Delta E_c. \] 

El trabajo que realizan las fuerzas conservativas es un trabajo y, por eso, en el teorema de las fuerzas vivas lo escribimos en el lado derecho de la ecuación. Pero como, para una fuerza conservativa este trabajo se puede poner como un incremento

\[ W_{\mathrm{cons}}=-\Delta E_p. \]

Entonces:

\[ -\Delta E_p=\Delta E_c. \]

Y se suele seguir el convenio de escribir el término correspondiente al incremento de la energía potencial en el lado izquierdo, el de las energías, en vez de en el derecho, que es el lado de los trabajos. Por tanto: 

\[ 0= \Delta E_c+\Delta E_p. \]

Llegamos así a la conclusión de que, si todas las fuerzas que actúan son conservativas, los incrementos de las energías (entendiendo el incremento de la energía potencial como una energía en vez de como un trabajo) suman cero. es decir, si llamamos energía mecánica a la cantidad:

\[ E_m=E_c+E_p, \]

como

\[ \Delta(E_c+E_p)=0. \]

se obtiene:

\[ E_m=\mathrm{cte}. \]

La energía mecánica se conserva siempre que todas las fuerzas que realizan trabajo sean conservativas. En una montaña rusa ideal sin rozamiento, por ejemplo, cuando aumenta la altura aumenta \(E_p\) y disminuye \(E_c\), con lo que el carrito va más lento; pero cuando desciende, disminuye \(E_p\) y aumenta \(E_c\), yendo así el carrito cada vez más rápido.

La ley de conservación de la energía sobre todo es útil cuando todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un cuerpo son conservativas y, además, necesitamos calcular la relación entre la altura caída y la velocidad adquirida.

Por ejemplo, en un tiro parabólico: 

\[ E_i=E_f \] \[ E_{p_i}+E_{c_i} = E_{p_f}+E_{c_f} \] \[ mgh+\frac12 mv_i^2 = 0+\frac12 mv_f^2 \]

Luego:

\[ \boxed{ 2gh = v_f^2-v_i^2 } \] 

La ley de conservación de la energía es muy útil cuando necesitamos saber la relación que hay entre la posición de un objeto y la velocidad. 

No conservacion de la energía mecánica

Si además de fuerzas conservativas actúan fuerzas no conservativas, como el rozamiento, entonces:

\[ W_T=W_{\mathrm{cons}}+W_{\mathrm{no\,cons}}. \]

Como \(W_T=\Delta E_c\) y \(W_{\mathrm{cons}}=-\Delta E_p\), queda:

\[ -\Delta E_p+W_{\mathrm{no\,cons}}= \Delta E_c=. \]

De nuevo, aunque menos el incremento de energía potencial es un trabajo (el trabajo conservatico), se sigue por convenio porner ese término en el lado derecho del teorema de las fuerzass vivas, es decirm en el lado de los incrementos de energía, en vez de en el lado de los trabajos:

\[ W_{\mathrm{no\,cons}}= \Delta(E_c+E_p). \]

O sea:

\[ W_{\mathrm{no\,cons}}=\Delta E_m. \]

Cuando hay rozamiento y no hay nada externo empujando al cuerpo, normalmente \(W_{\mathrm{no\,cons}} < 0 \), con lo que el cuerpo va perdiendo energía mecánica. No obstante, esta energía mecánica que se pierde no desaparece, sino que pasa en forma de calor a ser energía que tienen los átomos microscópicamente, energía que no vemos, pero que está ahí, oculta.

Vídeo resumen 

Todo los expuesto hasta ahora en este post se explica también en este vídeo: 

   

 

La diferencia entre energía, trabajo y calor

Tanto la energía \(E\), como el trabajo \(W\), como el calor \(Q\), se miden en julios:

\[ 1\,{\rm J} = 1\,{\rm kg}\, \frac{{\rm m}^2}{{\rm s}^2}. \]

La diferencia está en que la energía es una magnitud que puede almacenarse en un cuerpo. El trabajo y el calor, en cambio, no son cosas que un cuerpo “tenga”, sino formas de transferir energía entre cuerpos.

Es decir, cuando el cuerpo \(A\) empuja a \(B\) con una fuerza \( \vec F \) que va a favor del desplazamiento \( \Delta\vec r \) de \(B\), entonces \(A\) le da energía a \(B\), y lo que decimos es que \(A\) realiza un trabajo positivo sobre \(B\).

Si \( \vec F \) va en contra de \( \Delta\vec r, \), entonces \(A\) quita energía a \(B\), y decimos entonces que \(A\) realiza un trabajo negativo sobre \(B\).

La diferencia entre trabajo y calor está en que el trabajo es energía transferida mediante fuerzas macroscópicas que producen desplazamientos, mientras que el calor es energía transferida que va a o viene de modos microscópicos ocultos.

 

Por ejemplo, si empujamos un objeto con una fuerza constante \(\vec F\) durante un desplazamiento \(\Delta\vec r\), la energía transferida por trabajo es

\[ W=\vec F\cdot\Delta\vec r. \]

Si empujamos con \(F=5\,\mathrm{N}\) durante \(10\,\mathrm{m}\) en la misma dirección del movimiento:

\[ W=5\cdot10=50\ \mathrm{J}. \]

Si no hay rozamiento y el objeto parte del reposo, esos \(50\,\mathrm{J}\) se transforman en energía cinética:

\[ \Delta E_c=50\ \mathrm{J}. \]

Si la masa del objeto es \(4\,\mathrm{kg}\), entonces:

\[ E_c=\frac12mv^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5\ \mathrm{m/s}. \]

Si hay rozamiento, parte de la energía transferida por trabajo se transforma en energía interna. Por ejemplo, si el rozamiento realiza un trabajo de \(-4\,\mathrm{J}\), entonces la variación de energía mecánica será \(46\,\mathrm{J}\), y los \(4\,\mathrm{J}\) restantes se habrán disipado como calor. 

Colisiones elásticas e inelásticas

La ley de conservación de la cantidad de movimiento dice que, si la resultante de fuerzas externas sobre un sistema es nula, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva.

\[ \vec p_{\mathrm{total},i}=\vec p_{\mathrm{total},f}. \]

En una colisión rápida o en una explosión rápida siempre se conserva la cantidad de movimiento total incluso anunque el sistema no esté aislado, ya que, al ser rápida, no da tiempo a las fuerzas externas a cambiar la cantidad de movimiendo total del sistema. Sin embargo, la energía mecánica nunca se conserva en una explosión (porque hay una fuente de energía que provoca la explosión), y  no siempre se conserva en una colisión:

• En una colisión elástica se conservan tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética.
• En una colisión inelástica se conserva la cantidad de movimiento, pero no la energía cinética.

Ejemplo de colisión elástica

Consideremos dos bolas de billar de igual masa. Una bola \(B\) se mueve inicialmente con velocidad \(10\,\mathrm{m/s}\) y la otra bola \(N\) está en reposo. Tras una colisión elástica, ambas salen con velocidades finales \(\vec v_{Bf}\) y \(\vec v_{Nf}\). Aplicando tanto la conservación de la cantidad de movimiento como de la energía mecánica:

Nótese que la segunda solución sería lo que ocurriría si alguna de las bolas estuviera hecha de materia oscura. Como las bolas son ambas de materia ordinaria, nos quedamos con la primera solución; la bola blanca se queda parada porque transmite toda su energía y cantidad de movimiento a la negra en este choque elástico.

Ejemplo de colisión inelástica

Ahora consideremos dos bolas de billar que tras chocar quedan unidas. Una de masa \(2\,\mathrm{kg}\) se mueve a \(10\,\mathrm{m/s}\), y otra de masa \(2\,\mathrm{kg}\) está en reposo. En este caso, sólo podemos aplicar la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento:

La conservación de la cantidad de movimiento da:

\[ 2\cdot 10+2\cdot0=(2+2)v_f. \]

Luego:

\[ v_f=5\ \mathrm{m/s}. \]

La energía cinética inicial es:

\[ E_{c,i}=\frac12\cdot2\cdot10^2=100\ \mathrm{J}. \]

La energía cinética final es:

\[ E_{c,f}=\frac12\cdot4\cdot5^2=50\ \mathrm{J}. \]

Por tanto, se han disipado:

\[ 100-50=50\ \mathrm{J}. \]

Esa energía no ha desaparecido: se ha transformado en calor, sonido, deformación o energía interna de los cuerpos. 

 

Campos conservativos

Los campos ejercen fuerzas sobre las partículas y, por tanto, realizan trabajo sobre ellas. Así, por ejemplo, el trabajo que realiza el campo gravitatorio es:

\[ W_{\rm grav} = \int_{\vec r_i}^{\vec r_f} \vec F_{\rm grav}\cdot d\vec r \]

Se dice que un campo es conservativo si el trabajo que realiza sobre cualquier partícula que va desde \( \vec r_i \) hasta \( \vec r_f \) es independiente del camino seguido por la partícula. 

Si el campo es conservativo, el trabajo que realiza es independiente de que el camino seguido por la partícula sea \(C_1\), \(C_2\) o \(C_3\). Esto implica que podemos definir un campo escalar (asociado al campo vectorial conservativo) denominado energía potencial, tal que

\[ W_{\rm campo} = -\Delta E_p. \]

Esta es la fórmula que debemos usar siempre que nos pidan calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio. Saldrá positiva siempre que el cuerpo pierda energía potencial, ya que, al caer el cuerpo, el desplazamiento va a favor de la fuerza gravitatoria.

La energía potencial es, por tanto, un escalar que toma un valor distinto en cada punto y que nos permite calcular fácilmente el trabajo realizado por el campo de fuerzas viendo simplemente lo que ha variado \(E_p\).Así, en el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo realizado por el campo lo podemos escribir en el lado derecho, el de los incrementos de energía, de tal forma que se tiene:

 \[ W_{\mathrm{no\,cons}}=\Delta E_m. \] 

donde $E_m=E_c+E_p$. Esta es la fórmula que debemos usar siempre que nos pidan calcular el trabajo necesario para llevar un objeto de un punto a otro en un campo gravitatorio, El trabajo necesario es un trabajo no conservativo, una energía extra que hay que dar al objeto para llevarlo de un sitio a otro. Si, por el contrario, en este proceso la partícula pierde energía, el trabajo no conservativo sale negativo porque estamos obteniendo energía gracias a este proceso, por ejemplo, la energía que se obtiene en una central hidráulica al caer el agua por una cascada.

 

Energía potencial gravitatoria (lejos de la superficie terrestre)

Hay un teorema matemático que dice que todos los campos de fuerzas centrales cuyo módulo depende sólo de la distancia al centro son conservativos. Esto implica, en particular, que el campo gravitatorio creado por una distribución esféricamente simétrica de masas es conservativo. Y, aunque no sea el campo creado por una distribución esféricamente simétrica de masas, sino por una distribución más complicada, como se puede expresar como suma de campos creados por partículas puntuales, el campo gravitatorio siempre va a ser conservativo.

Podemos calcular, por tanto, la expresión de la energía potencial gravitatoria que posee una masa \(m\), por ejemplo, el asteroide que acabó con los dinosaurios, en el campo gravitatorio creado por otra masa \(M\), por ejemplo, el planeta Tierra, calculando el trabajo que realiza el campo gravitatorio para llevar a la masa \(m\) desde el infinito (donde fijamos \( E_p=0 \) ) hasta el punto \( \vec r. \)

Como:

\[ W_{\rm grav} = -\Delta E_p = - (E_p(\infty)-E_p(r)) =E_p(r) \] 

la energía potencial en el punto \( \vec r: \) es:

 \[ E_p = - W_{\rm grav} = - \int_{\infty}^{\vec r} \vec F_{\rm grav}\cdot d\vec r = - \int_{\infty}^{r} F_{{\rm grav},x}\,dx \]

Como

\[ F_{{\rm grav},x} = - \frac{GMm}{x^2}, \]

resulta:

\[ E_p = - \int_{\infty}^{r} \left( - \frac{GMm}{x^2} \right) dx = \int_{\infty}^{r} \frac{GMm}{x^2}\,dx \] \[ = GMm \left[ -\frac1x \right]_{\infty}^{r} = - \frac{GMm}{r}. \]

Por tanto:

\[ \boxed{ E_p = -\frac{GMm}{r} } \] 

\(E_p\) siempre es negativa (porque el cuerpo siempre va a estar más bajo que infinito, donde la energía potencial se ha fijado a cero) y es menor (mayor en valor absoluto) cuanto más cerca esté \(m\) de \(M\).

El hecho de que hayamos obtenido la expresión de \(E_p\) integrando la fuerza gravitatoria \(F_{\rm grav}\) respecto de \(x\) (cambiado de signo) nos lleva a interpretar la fuerza gravitatoria (al menos en los problemas unidimensionales) como la derivada (cambiada de signo) de la gráfica de \(E_p\) frente a \(x\).

 

En efecto, en el punto del diagrama la derivada (la pendiente) es positiva. Esto nos indica que hay una fuerza gravitatoria actuando sobre la partícula.

\[ F_{{\rm grav},x} = - \frac{\partial E_p}{\partial x} = - \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{GMm}{x} \right) = - \frac{GMm}{x^2} \]

Cuanto más pendiente tenga el diagrama de energía potencial, mayor será (en módulo) la fuerza gravitatoria.

Mótese que la fórmula 

\[ E_p = -\frac{GMm}{r} \]

sólo vale para el exterior del planeta Tierra \[ (r>R_T), \] o del astro cuyo campo gravitatorio queremos calcular. 

ya que la hemos obtenido integrando la fuerza \[ F_x = - \frac{GMm}{x^2}, \]

que viene de \[ g_x = - \frac{GM}{x^2}. \]

Si estamos en el interior de la Tierra, \(g\) depende de \(r\) de forma distinta y, por tanto, \(E_p\) depende de \(r\) de otra forma.

Velocidad de escape

La conservación de la energía mecánica nos permite analizar de forma cualitativa, mediante diagramas de energía potencial, cómo va a ser el movimiento de una partícula.

Por ejemplo, si desde la superficie de la Tierra lanzamos un objeto hacia el espacio exterior con cierta velocidad $v_o$, este objeto tendrá energía

\[ E = \frac12 mv_o^2 - \frac{GMm}{R_T}, \]

y esta energía será constante durante todo su movimiento. 

 

Por tanto: 

Como

\[ E=\text{cte}, \]

el cuerpo se alejará de la superficie de la Tierra cada vez con menos energía cinética y más potencial. Pero llegará un momento (punto de retorno) en el que

\[ E_c=0, \]

y el cuerpo se pare y ya no pueda subir más. A partir de ese punto el cuerpo comenzará a descender cada vez con más energía cinética y menos potencial.

Si queremos que el cuerpo no vuelva, su energía mecánica tiene que ser cero o positiva:

\E_m \geq 0 \] 

Para ello, hay que darle al objeto una energía cinética de, como mínimo:

\[ E_{c,\min} = +\frac{GMm}{R_T} = \frac12 mv_{\min}^2. \]

De donde se obtiene que la velocidad mínima que hay que darle a un objeto desde la superficie terrestre para que escape de la Tierra (para que suba y ya no vuelva a caer más) es:

\[ \boxed{ v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R_T}} } \]

A esta velocidad se la llama velocidad de escape, y es diferente para cada planeta, porque cada astro tiene su propia masa $M$ y su propio radio $R$. Teniendo en cuenta el valor de la constante de gravitación universal, la masa de la Tierra, y el radio de la Tierra $R=6370\text{ km}$, la velocidad de escape en la Tierra es, para todos los objetos, de $ v= 11,18 \text{ km/s} $.

Energía en una órbita circular

En el caso de una orbita circular, como la fuerza gravitatoria es perpendicular a la velocidad en todos los puntos de la órbita, actúa siempre como fuerza centrípeta.

\[ F_g=F_c \]

y de esta expresión se obtiene la fórmula

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}  \]

Sustituyendo esta fórmula en la expresión de la energía cinética, se obtiene

\[ E_c=\frac{1}{2} m v^2= \frac{GMm}{2r}   \]

de donde se desprende que la energía cinética en una órbita circular es la mitad de su energía potencial, pero puesta positiva. Por tanto, la energía mecánica en una órbita circular es:

\[ E_m =E_c +E_p= E_p/2 = - \frac{GMm}{2r}   \] 

Potencial gravitatorio

Al igual que interesa definir la intensidad de campo gravitatorio como

\[ \vec g = \lim_{m\rightarrow0} \frac{\vec F_{\rm grav}}{m} = - \frac{GM}{r^2} \, \frac{\vec r}{r}, \]

también interesa definir un escalar, el potencial gravitatorio, como:

\[ \phi = \lim_{m\rightarrow0} \frac{E_p}{m} = - \frac{GM}{r}. \]

Se mide en

\[ \frac{\rm J}{\rm kg} = \frac{{\rm m}^2}{{\rm s}^2} \]

en el SI.

La relación que hay entre \( \phi \) y \( \vec g \) es la misma que la que hay entre \( E_p \) y \( \vec F_{\rm grav}. \)

Debido al principio de superposición, el potencial gravitatorio en cada punto será la suma de los potenciales gravitatorios que crea cada masa \( M_a \) en ese punto:

\[ \boxed{ \phi = \sum_a \phi_a = - \sum_a \frac{GM_a} {\left|\vec r-\vec r_a\right|} } \]

sólo que en este caso es una suma escalar, no vectorial. 

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.