La mecánica cuántica ha cambiado para siempre nuestra concepción del mundo físico, de la teoría de la información y hasta de los objetos matemáticos. Un ejemplo de esto último es lo que ocurre con los grupos de transformaciones. La forma en la que un grupo $G$ de transformaciones actúa sobre un sistema físico puede ser muy complicada. El sistema físico puede ser altamente no lineal y tener una estructura geométrica altamente no trivial. Sin embargo, el principio de superposición de estados cuánticos nos dice que en mecánica cuántica los estados en los que se puede encontrar todo sistema físico son elementos de un espacio vectorial $\mathcal{H}$, ya que cualquier combinación lineal de varios estados cuánticos representa otro estado cuántico posible para el sistema. Esto significa que a cada elemento $g$ del grupo $G$, al actuar sobre el sistema físico, le corresponde una transformación lineal $\pi(g)$, un operador, que actúa sobre este espacio vectorial de estados cuánticos. Y las transformaciones lineales son mucho más fáciles de estudiar. Además, esas transformaciones tienen que ser unitarias, ya que éstas son las únicas que conservan la probabilidad total, ya que la suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos en mecánica cuántica tiene que ser siempre igual a uno, por muchas transformaciones que apliquemos al sistema físico.
Se dice que el conjunto de todas estas transformaciones lineales sobre el espacio de estados cuánticos forma una representación del grupo $G$ sobre el espacio $\mathcal{H}$. Más concretamente, una representación es una función $\pi$ que asocia, a cada elemento $a$ de un grupo, su correspondiente transformación lineal $\pi(a)$ en un espacio vectorial, de manera que la estructura del grupo se respete, es decir, que da lo mismo componer dos transformaciones y hallar la representación del resultado, que componer las representaciones de cada transformación. Matemáticamente, se escribe $$
\pi(b) \cdot \pi(a)=\pi(ba)
$$ Es evidente que mapear todos los elementos de un grupo a la transformación identidad en un espacio vectorial es trivialmente una representación, que se denomina representación trivial o escalar. Lo interesante para los matemáticos es estudiar las representaciones no triviales de los distintos grupos que reproduzcan la estructura de los mismos de forma fiel. A la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{H}$ sobre el que actúan los operadores $\pi(g)$ se la denomina dimensión de la representación $\pi$. También es interesante desde el punto de vista matemático estudiar cuáles son las representaciones irreducibles de cada grupo $G$. Éstas son aquellas que no tienen subrepresentaciones, es decir, donde no hay ningún subespacio vectorial propio $\mathcal{H}^\prime \subset \mathcal{H}$ tal que $\pi$ actuando sobre $\mathcal{H}^\prime$ sea una representación. Esto es así porque, dadas dos representaciones $\pi_1$ y $\pi_2$ actuando sobre dos espacios vectoriales $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$, siempre es posible construir la representación suma directa $\pi_1 \oplus \pi_2$ que actúa sobre el espacio vectorial suma directa $ \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$ generado por el conjunto de vectores que surge al unir el conjunto de los vectores de una base de $ \mathcal{H}_1 $ con el de una base de $\mathcal{H}_2$. En notación matricial:
En física, sin embargo, lo interesante es saber en cada caso concreto bajo qué representaciones transforman los estados cuánticos de cada sistema físico. Como todas estas representaciones tienen que ser unitarias, los operadores $\pi(g)$ tienen que ser todos unitarios, es decir, su adjunto debe ser igual a su inverso. A este tipo de representaciones del grupo $G$ se las denomina representaciones unitarias. Como las transformaciones unitarias en un espacio vectorial conservan el producto escalar, vectores que eran ortogonales lo siguen siendo después de esa transformación. Esto hace que toda representación reducible se pueda escribir como suma directa de representaciones irreducibles, aunque puede ser difícil encontrar la base en la que ésta se exprese en forma de bloques en la diagonal, como en la matriz anterior.
En este post vamos a estudiar en detalle cómo actúan las rotaciones sobre los sistemas cuánticos y vamos a analizar qué lecciones nuevas nos ha enseñado la mecánica cuántica sobre estas transformaciones. El motivo por el que me he animado a escribir este post es porque, por algún motivo, los profesores que dan clase de mecánica cuántica en la universidad y los autores de la mayoría de los manuales sobre mecánica cuántica consideran que este tema es demasiado sencillo para incluirlo en sus lecciones y confían en que los estudiantes lo aprendan por revelación divina sin que nadie se lo explique.
El grupo SO(2) de rotaciones en el plano
Supongamos que, en el plano XY, rotamos todos los objetos en torno al origen de coordenadas un ángulo $\theta$, como indica la figura
En el espacio tridimensional se trataría de una rotación en torno al eje $Z$. Así, el vector posición de un objeto, de coordenadas $(x,y)$, al rotar sin que roten los ejes tiene ahora unas nuevas coordenadas $(x^\prime, y^\prime)$ que, en términos de las coordenadas antiguas, son $$
x^\prime= x\cos \theta-y\sin \theta
$$ $$
y^\prime= x\sin\theta+y\cos\theta
$$ Es conveniente escribir estas ecuaciones en forma matricial:
Esta rotación es, por tanto, una transformación lineal que actúa sobre los vectores del plano, es decir, una transformación en un espacio vectorial de dimensión real 2. Si no entiendes de dónde han salido estas ecuaciones, te recomiendo que visualices este vídeo:
En coordenadas polares, la transformación es $$
r^\prime=r
$$ $$
\phi^\prime=\phi+\theta
$$
Las rotaciones en el plano conmutan. El conjunto de todas las rotaciones del plano forma un grupo abeliano, denominado grupo SO(2). Si no entiendes por qué, o no sabes qué es un grupo de transformaciones, te recomiendo que visualices este otro vídeo:
El grupo U(1)
La representación que nos define el grupo SO(2) es una representación de dimensión real 2. Sin embargo, esta representación no nos sirve para estudiar cómo actúan las rotaciones sobre un sistema cuántico, porque el espacio de estados mecanocuánticos es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, no de los números reales. Si no entiendes por qué tienen que ser números complejos, te recomiendo que leas la introducción de este otro post.
¿Existe alguna representación de dimensión compleja 1 del grupo SO(2)? Sí la hay. Basta con asignar una estructura compleja al plano sobre el que actúa la rotación. Si asociamos a cada punto del plano el número complejo $z=x+iy$, entonces rotar un ángulo $\theta$ el plano es equivalente a multiplicar $z$ por el número complejo de módulo 1 $$
g=e^{i\theta}
$$ Al grupo de rotaciones de este tipo en el plano complejo se le denomina grupo U(1). Este grupo, por tanto, es isomorfo a SO(2). La composición de rotaciones en el lenguaje del grupo U(1) es simplemente la multiplicación de los números complejos de módulo 1 que las representan:$$
e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}
$$ También podemos caracterizar a cada elemento de U(1) por el ángulo $\theta$ de la rotación, teniendo en cuenta que este ángulo se define módulo $2\pi$, ya que dar una vuelta completa es equivalente a la transformación identidad $I$ (no hacer nada). La composición de rotaciones no es, entonces, más que la suma de los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ que caracterizan a esas rotaciones y, por tanto, es conmutativa.
Como todas las transformaciones $g$ conmutan entre ellas, el grupo U(1) es un grupo abeliano, y lo mismo ocurre con sus representaciones $\pi(g)$. Además, al ser $\mathcal{H}$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre el cuerpo de los complejos, la ecuación de autovalores $\det(\pi(g)-\lambda {I})=0$, donde ${I}$ es el operador identidad y $\lambda$ es el autovalor, siempre tiene $n$ soluciones, aunque pueden estar repetidas (siendo $n$ la dimensión compeja de la representación). Al aplicar otra transformación $\pi(g^\prime)$ de la misma representación un autovector de $\pi(g)$ de autovalor $\lambda$, el resultado tiene que seguir siendo un autovector (a lo mejor otro) del mismo autovalor $\lambda$, ya que $\pi(g)$ y $\pi(g^\prime)$ conmutan. Esto implica que $\pi$, actuando sobre el subespacio vectorial de todos los autovectores correspondientes al mismo autovalor $\lambda$, es también una representación de $G$, con lo que pueden pasar dos cosas:
- que $\pi$ sea una representación reducible, en cuyo caso, al ser unitaria, se puede escribir como suma directa de las subrepresentaciones $\pi_\lambda$.
- que $\pi$ sea una representación irreducible, en cuyo caso $\pi(g)$ sólo tiene un autovalor $\lambda$, repetido $n$ veces. Esto sólo es posible si $\pi(g)=\lambda {I}$
La aplicación del lema de Schur para el grupo U(1) nos dice que todas las representaciones irreducibles de este grupo tienen que tener dimensión compleja 1, ya que la totalidad de las transformaciones en esa representación irreducible se tienen que poder escribir como $\lambda I$ y, si $n>1$ esta matriz siempre va a ser diagonal.
El momento angular en mecánica cuántica
Para estudiar cómo son estas representaciones irreducibles del grupo U(1) vamos a llamarlas $\pi_m$, donde $m$ es un parámetro con el que ponemos nombre a cada representación irreducible. $\pi_m$ tiene que ser una función del número complejo unitario $e^{i\theta}$ que caracteriza a la rotación. Además, como es una representación, se tiene que cumplir $$
\pi_m(e^{i(\theta_1+\theta_2)})=\pi_m(e^{i\theta_1})\pi_m(e^{i\theta_2})
$$ Si calculamos la derivada de esta función, tenemos $$
\frac{d}{d\theta}\pi_m(e^{i\theta})=\lim_{\Delta\theta\to 0}\frac{\pi_m(e^{i(\theta+\Delta\theta)})-\pi_m(e^{i\theta})}{\Delta\theta}=
$$ $$
\lim_{\Delta\theta\to 0}\frac{\pi_m(e^{i(\theta})\pi_m(e^{i\Delta\theta)})-\pi_m(e^{i\theta})}{\Delta\theta}
=\pi_m(e^{i\theta})\lim_{\Delta\theta \to 0}\frac{\pi_m(e^{i\Delta\theta})-1}{\Delta\theta}=
$$ $$
=\pi_m(e^{i\theta}) \frac{d}{d\theta}\pi_m(e^{i\theta}) \arrowvert_{\theta=0}
$$ Si llamamos $$
L_z=-\frac{d}{de^{i\theta}}\pi_m(e^{i\theta}) \arrowvert_{\theta=0}
$$ entonces tenemos $$
\frac{d}{d\theta}\pi_m(e^{i\theta}) \arrowvert_{\theta=0}=-iL_z
$$ Por tanto, se obtiene la ecuación diferencial $$
\frac{d}{d\theta}\pi_m(e^{i\theta})=-iL_z \pi_m(e^{i\theta})
$$ La única solución a la ecuación diferencial que hemos obtenido que satisface $\pi_m(1)=1$ es $$
\pi_m(e^{i\theta})=e^{-i\theta L_z}
$$ Este es el aspecto que tiene que tener todas las representaciones irreducibles del grupo U(1), donde la cantidad $L_z$ es distinta para cada representación irreducible. Para que estas representaciones sean unitarias, es necesario que $L_z$ sea un número real. De momento anotamos que $L_z$ es un número real distinto para cada $m$, para cada representación irreducible del grupo U(1).
Para una partícula sin grados de libertad internos que se mueve por el plano XY, el espacio vectorial de los distintos estados $| \psi \rangle$ de ésta es isomorfo al espacio de todas las funciones complejas de cuadrado integrable cuyo domino es el plano. Se trata de un espacio de dimensión infinita, con lo que el grupo de rotaciones del plano tiene que actuar sobre él según una representación unitaria reducible $\pi$, que tiene que poder expresarse como suma directa de las representaciones irreducibles $\pi_m$. Esto quiere decir que, en general, una función de onda va a ser una combinación lineal de funciones de onda pertenecientes a distintas representaciones $\pi_m$. En cada una de ellas $L_z$ es un número diferente, y por eso podemos decir que $L_z$ actuando sobre la función de onda es un operador hermítico, y que es diagonal en la base en la que esa suma directa es manifiesta.
Trabajando en coordenadas polares, tenemos la función de onda $\psi(r,\phi)$. Como hemos asignado una coordenada compleja en el plano $$
z=re^{i\phi}
$$ siempre podemos escribir $$
\psi(r,\phi)=f(z)
$$ Después de una rotación $e^{i\theta}$, el máximo de la función de onda estará situado en una coordenada $\phi^\prime$ que se habrá incrementado, respecto de la coordenada $\phi$ del máximo, en un valor $\theta$. Por tanto, podemos decir que esta rotación ha transformado a la función de onda $\psi$ de la siguiente forma: $$
f^\prime(z^\prime)=(\pi(e^{i\theta})f)(z)=f(e^{-i\theta}z^\prime)
$$ Si no entiendes por qué la rotación por dentro de la función es la inversa, lee este otro post. En esta representación, $L_z$ actúa de la siguiente manera $$
(-iL_z f) (z)=\frac{d}{d\theta}(\pi (e^{i\theta})f) (z) \arrowvert_{\theta=0}=\frac{d}{d\theta}f(e^{-i\theta}z^\prime) \arrowvert_{\theta=0}=
$$ $$
=\frac{d}{d\theta}f(r e^{i(\phi^\prime-\theta)}) \arrowvert_{\theta=0}=-\frac{\partial}{\partial \phi} f(re^{i\phi})
$$ Es decir, $L_z$ actúa sobre la función de onda $\psi(r,\phi)$ derivando respecto de la coordenada angular $\phi$. Pasando a coordenadas cartesianas $$
L_z=-i\frac{\partial}{\partial \phi}=-i \left( x\frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x} \right)
$$ Como estas coordenadas cartesianas, el momento lineal $p_x$ actúa sobre la función de onda $\psi(x,y)$ de la forma $$
p_x=-i \frac{\partial}{\partial x}
$$ (trabajando en unidades en las que $\hbar=1$), entonces se tiene que $$
L_z=xp_y-yp_x
$$ lo que nos permite interpretar al operador $L_z$ como el momento angular en la dirección z (la dirección perpendicular al plano, la dirección del eje de giro). Recuérdese que, al ser la representación $\pi$ unitaria, $L_z$ es un operador hermítico.
La cuantización del momento angular
Toda función de onda cuya dependencia en la coordenada angular $\phi$ sea de la forma $$
\psi(r,\phi)=h(r)e^{im\phi}
$$ representa un autovector del momento angular $L_z$. La partícula, en ese estado, tendrá un momento angular bien definido $L_z=m$, de tal forma que la rotación $e^{i\theta}$ actuará sobre el espacio vectorial de dimensión compleja 1 generado por ese estado según la representación irreducible $$
\pi_m(e^{i\theta})\phi=e^{-iL_z\theta}\psi=e^{-im\theta}\psi
$$
No obstante, hay una condición que todavía no hemos impuesto. La rotación $\theta=2\pi$ es equivalente a $\theta=0$, la transformación identidad, porque nuestro espacio físico se queda igual cuando damos una vuelta completa. Para que $\pi_m$ sea realmente una representación, es necesario que mapee la transformación identidad (el elemento neutro del grupo) a la transformación identidad. Eso significa que $$
\pi_m(e^{i2\pi})\psi=e^{-iL_z2\pi}\psi=e^{-im2\pi}\psi=\psi
$$ La única forma de poder cumplir esta condición es que $m$ no sólo tiene que ser real (lo que nos obliga a que la representación sea unitaria) sino que, además, ¡tiene que ser un número entero!
Llegamos así a la conclusión de que todas las representaciones irreducibles $\pi_m$ del grupo U(1) tienen dimensión compleja 1, son unitarias, y están caracterizadas por un número entero $m$, que los matemáticos llaman peso de la representación, y los físicos en este contexto, número cuántico magnético, porque es necesario poner un átomo en un campo magnético para que los estados del electrón con distinto $m$ tengan distinta energía. El estado cuántico que genera el espacio vectorial de la representación $\pi_m$ es un estado en el que el momento angular $L_z$ toma el valor $m$. La componente $L_z$ del momento angular, por tanto, no puede tomar cualquier valor real, sino que está cuantizada, tiene que ser un número entero. Y lo mismo ocurre con las otras componentes, $L_x$ y $L_y$.
En la base de autoestados de $L_z$, no sólo el operador hermítico $L_z$ es diagonal (con los valores enteros $m$ en la diagonal). El operador unitario $$
\pi(e^{i\theta})=e^{-iL_z\theta}
$$ también lo es, pero en este caso las cantidades que hay en la diagonal son $e^{-im\theta}$. Un estado general, en cambio, será una superposición de autoestados de $L_z$ de distinto autovalor $m$ y, por tanto, en él el momento angular $L_z$ no tomará un valor bien definido.
La cuantización del momento angular es el ejemplo más sencillo de cómo la mecánica cuántica, a pesar de estar basada en objetos continuos, predice que algunas magnitudes sólo pueden tomar valores discretos cuando su valor está bien definido. En todos los casos en los que esto ocurre la discretitud surge de hacer la transformada de Fourier de algo compacto. Este es el motivo por el que es imposible que vivamos en una simulación informática. Los objetos fundamentales de la naturaleza son continuos, no discretos como en un ordenador. La discretitud que observamos en la naturaleza es un fenómeno emergente propio de la mecánica cuántica. En el caso de las rotaciones en el plano, la función de onda, para un $r$ fijo, tiene un dominio compacto (la circunferencia de radio $r$) y esto hace que, al hacer la transformada de Fourier de la función de onda en la representación de la coordenada $\phi$ para obtener la función de onda en la representación de su momento conjugado $L_z$, nos encontramos con que la función de onda en la representación de $L_z$ tiene como dominio el conjunto discreto de los números enteros $m$.
Nótese que el motivo último por el que el número cuántico $m$ tiene que ser un número entero es porque el grupo U(1) es topológicamente una circunferencia y también lo es el espacio sobre el que se aplican sus representaciones irreducibles (el conjunto de números complejos de módulo 1), ya que todas estas representaciones son de dimensión compleja 1 y, además, son unitarias, con lo que lo único que pueden hacerle a la función de onda es cambiar su fase. Al mapear una circunferencia en otra, el número total de vueltas que podemos dar tiene que ser un número entero (cero si toda la circunferencia va a un mismo punto, y negativo si las vueltas van en sentido contrario). Este número es lo que los matemáticos llaman índice (winding number en inglés).
En teoría de cuerdas los objetos fundamentales no son puntuales, sino que son cuerdas cerradas (que topológicamente son circunferencias) y abiertas. Además, el número de dimensiones espaciales tiene que ser, por consistencia de la teoría, un numero que es mayor de 3. Eso significa que tiene que haber dimensiones extra compactas enrolladas que tienen que ser como pequeñas circunferencias y por eso no las hemos podido detectar todavía. Y resulta que, por la forma en que interaccionan y se mueven las cuerdas, las cuerdas cerradas que se mueven en una de estas direcciones ocultas de pequeño tamaño son equivalentes a las que están enrolladas en otras variedades compactas de tamaño el inverso del tamaño anterior. Hay una simetría perfecta entre los fenómenos físicos de ambas descripciones, con lo que no hay forma de distinguir una situación de otra mediante experimentos. Son situaciones físicamente equivalentes:
Lo que acabamos de indicar en el párrafo anterior es una característica general de la teoría de cuerdas: en esta teoría típicamente todos los elementos algebraicos que utilizamos para describir los fenómenos físicos, como la cuantización del momento angular, o como los lazos de Wilson y las transformaciones gauge, acaban teniendo una interpretación geométrica sencilla en alguna descripción dual que nos hace entender los fenómenos físicos en mayor profundidad. La teoría de cuerdas ha cambiado ya para siempre nuestra forma de entender los fenómenos físicos. Se trata de un cambio irreversible que todo estudiante de física teórica tiene que conocer.
Álgebra de Lie del grupo U(1)
Como todo elemento de U(1) se puede escribir de la forma $e^{i\theta}$, con $\theta$ un parámetro real, se dice que la unidad imaginaria $i$ es la generadora del grupo U(1). Esta terminología se debe a que todo elemento del grupo infinitesimalmente cercano al elemento neutro (transformación identidad), se puede escribir como $$
e^{i\theta} \sim 1+i\theta
$$ ya que $\theta$ es pequeño, con lo que se puede llegar a él sumando cantidades proporcionales a la unidad imaginaria. Análogamente, como a este elemento le corresponde el operador $e^{-iL_z\theta}$ en la presentación $\pi$, en la que el grupo actúa sobre el espacio vectorial de estados de la partícula cuántica, se dice que el operador antihermítico $X=-iL_z$ es el generador de la acción del grupo de rotaciones U(1) sobre el espacio de estados. Como a los físicos nos gusta trabajar mejor con observables mecanocuánticos, que son operadores hermíticos, a quien llamamos generador de las rotaciones, abusando del lenguaje, es a $L_z$. es decir, el momento angular $L_z$ es el generador de la acción del grupo de rotaciones U(1) sobre el espacio de estados.
Los matemáticos normalmente utilizan un lenguaje diferente. U(1) es un grupo de Lie, un conjunto que, además de tener estructura de grupo, tiene estructura de variedad diferencial, en este caso de dimensión real 1. El espacio tangente a esta variedad en el punto donde se encuentra el elemento neutro tiene dimensión real 1, y está generado por la unidad imaginaria $i$. Es decir, todo vector de ese espacio tangente es de la forma $i\theta$. A ese espacio tangente se le denomina álgebra de Lie del grupo U(1). La unidad imaginaria $i$ es, por tanto, el generador del álgebra de Lie del grupo U(1), que se denota como u(1) y es simplemente la recta real (mejor dicho, la recta imaginaria).
La representación unitaria $\pi$ no es más que una función entre el grupo de Lie U(1) y el grupo de Lie de las transformaciones unitarias que actúan sobre el espacio de estados del sistema cuántico. Como tal, tiene que tener una derivada $\pi^\prime$, que no es más que una función lineal que va desde el álgebra de Lie del grupo U(1) hasta el espacio tangente en la identidad del grupo de Lie de transformaciones unitarias del espacio de estados $$
\pi^\prime (i\theta)=\theta \frac{d}{d\theta^\prime} \pi(e^{i\theta^\prime}) \arrowvert_{\theta^\prime=0}=\theta \frac{d}{d\theta^\prime} e^{-iL_z\theta^\prime}\arrowvert_{\theta^\prime=0}=-iL_z\theta
$$
Las álgebras de Lie y sus representaciones
Esto es algo que no ocurre sólo con el grupo U(1), sino con cualquier otro grupo de Lie, solo que en general el álgebra de Lie del grupo va a ser un espacio vectorial de dimensión real superior a 1, generado por operadores $X$ que no conmutan entre ellos en el caso general de grupo no abeliano. En concreto, el álgebra de Lie del grupo $G$ se define como el espacio de matrices $X$ tales que $$
e^{tX}\in G
$$ para cualquier número real $t$. Es importante señalar que, ni todos los elementos de $G$ tienen por qué poder expresarse de esa manera, ni tiene por qué ocurrir que cada $t$ dé un elemento de $G$ distinto. Lo que sí ocurre es que cada vector del álgebra de Lie $X$ nos define un camino en $G$ que pasa por el elemento neutro (cuando $t=0$) con vector velocidad $$
\frac{d}{dt} \left( e^{tX} \right) \arrowvert_{t=0}=X
$$
Lo que hemos visto que ocurre con las representaciones del grupo U(1) también se cumple para representaciones de otros grupos G, aunque no sean unitarias. En este caso lo que tenemos es que $\pi \left( e^{tX} \right) $ es un camino en el espacio de transformaciones lineales del espacio vectorial sobre la que actúa la representación, que también pasa por la transformación identidad cuando $t=0$, y que tiene como vector velocidad en ese punto $$
\pi^\prime(X)= \frac{d}{dt} \pi \left( e^{tX} \right) \arrowvert_{t=0}
$$
e^{t\pi^\prime(X)}=\pi \left( e^{tX} \right)
$$
El hecho de que el álgebra de Lie sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales nos permite definir una representación especial del grupo de Lie, denominada representación adjunta, en la que el elemento $g$ actúa sobre el operador $X$ del álgebra de Lie mediante la siguiente operación $$
(Ad(g))(X)=gXg^{-1}
$$ En el caso del grupo U(1), por ser abeliano, la representación adjunta es trivial. Esto quiere decir que el operador momento angular $L_z$ no cambia cuando realizamos una rotación en torno al eje $Z$. Sin embargo, si el grupo $G$ es no abeliano, entonces en general los generadores $X$ del grupo sí van a cambiar cuando se hace una transformación que pertenezca a $G$. Si esa transformación ha sido generada por el operador $Y$, entonces la versión infinitesimal de ese cambio, que es también un elemento del álgebra de Lie, es $$
\frac{d}{dt} (e^{tY}Xe^{-tY}) \arrowvert_{t=0}=[Y,X]
$$ igual al conmutador de $Y$ con $X$. Por tanto, este conmutador nos mide cómo cambia infinitesimalmente $X$ ante una transformación generada por $Y$. Por ello, la representración del álgebra de Lie del grupo $G$ que corresponde a la representación adjunta $Ad$ del grupo es $$
ad(Y)(X)=[Y,X]
$$ Y este es el motivo por el que los matemáticos llaman a este conmutador corchete de Lie. Sólo cuando los dos operadores conmutan, la transformación que genera uno de ellos deja invariante al otro y. además, sabemos que los observables asociados a ambos operadores pueden tomar valores bien definidos simultáneamente. Pero el carácter no abeliano del grupo $G$ se traduce en que estos conmutadores no son nulos en general. La estructura del grupo $G$ da lugar a una estructura de corchetes de Lie en su espacio tangente, que es el álgebra de Lie del grupo $G$. Y este es el motivo por el que a este espacio tangente se le denomina álgebra de Lie: además de tener estructura de espacio vectorial, tiene un corchete de Lie asociado.
Las fórmulas correspondientes para la representación $\pi$ de $G$, que es la que actúa sobre el espacio de estados cuánticos, son $$
\pi^\prime(gXg^{-1})=\pi(g)\pi^\prime (X) (\pi (g))^{-1}
$$ $$
\pi^\prime ([Y,X])=[ \pi^\prime (Y) , \pi^\prime (X) ]
$$ Por tanto, la representación $\pi^\prime$ hereda la misma estructura de conmutadores que el álgebra de Lie que representa.
Conservación del momento angular
El estado cuántico del sistema cambia con el tiempo, de tal forma que las amplitudes de probabilidad de los distintos sucesos mecanocuánticos irán cambiando, pero las probabilidades tienen que seguir sumando uno. Los estados mecanocuánticos irán, por tanto, cambiando según cierta transformación unitaria cuya representación en el espacio de estados llamamos $\hat{U}(t)$. Podemos entender esta transformación unitaria como una representación del grupo de los números reales (la recta temporal) actuando sobre el espacio vectorial de los estados cuánticos del sistema.
Si llamamos $\psi(t_o)$ a la función de onda del sistema cuántico en un instante $t_o$ dado, el resultado de aplicar el operador evolución $\hat{U}(t)$ a la función de onda es: $$
\psi(t+t_o)=\hat{U}(t) \psi(t_o)
$$ Por otro lado, el desarrollo de Taylor de la función $\psi(t+t_o)$ en torno a $t=0$ es$$
\psi(t+t_o)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\frac{d^{(n)}\psi}{dt}(t_o)t^n=e^{t\frac{d}{dt_o}}\psi(t_o)
$$ coincide con el de la función exponencial si aceptamos que pueda haber un operador derivada en el exponente. La conclusión es que el operador evolución en mecánica cuántica se puede escribir como una exponencial de un operador hermítico $$
\hat{U}(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}
$$ donde a $\hat{H}=i\hbar\frac{d}{dt_o}$ se le denomina operador hamiltoniano del sistema. Por tanto, el operador hamiltoniano (multiplicado por $-i$) es un vector perteneciente al álgebra de Lie correspondiente a una representación del grupo de traslaciones temporales sobre el espacio vectorial de estados cuánticos del sistema, es decir, el generador de esas traslaciones temporales en esa representación. Nótese que en el caso de la evolución temporal hay un convenio de signos diferente al que hemos usado para las rotaciones y se usa para el resto de transformaciones. Con este último convenio, el generador de las traslaciones temporales no es $H$, sino $-H$. Por tanto, el vector generador del álgebra de Lie es $X=+iH$, mientras que para las rotaciones $X=-iL_z$. El motivo de que se haga así para el hamiltoniano está en la signatura del espacio-tiempo en relatividad, donde el signo para la componente del cuadrivector correspondiente a la energía es el contrario que para las componentes correspondientes a la cantidad de movimiento. Esto hace que el operador unitario que convierte a la función de onda $\psi(t_0)$ en $\psi(t_0-t)$ sea $$
e^{+itH}
$$ Sin embargo, el operador evolución temporal que transforma a la función de onda $\psi(t_0)$ en $\psi(t_0+t)$ tiene que ser entonces $$
\hat{U}(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}
$$
En mecánica cuántica, los generadores de transformaciones unitarias son operadores hermíticos que representan físicamente a los observables. En este caso, el observable que representa el hamiltoniano es la energía. Los autovalores de este operador son, por tanto, los posibles valores de la energía del sistema. Si el hamiltoniano de un sistema es independiente del tiempo, entonces los autovectores del hamiltoniano, al serlo también del operador evolución, sólo cambian ante una evolución temporal con un factor de fase $$
e^{-\frac{i}{\hbar}Et}=\cos(Et/\hbar)-i\sin(Et/\hbar),
$$ siendo $E$ el autovalor correspondiente. La dependencia temporal de estos estados, que se denominan estacionarios, es la de un oscilador armónico clásico con frecuencia angular $\omega=E/\hbar$. Al seguir siendo autovectores del hamiltoniano con el mismo autovalor, la energía del sistema sigue siendo la misma. Es una cantidad que se conserva.
Consideremos ahora el grupo de Lie $G$ generado tanto por las rotaciones en torno al eje $Z$ como por la evolución temporal del sistema cuántico. La acción de este grupo sobre el espacio de estados del sistema viene dada por una representación en el que a cada ángulo $\theta$ de rotación y cada tiempo $t$ transcurrido le corresponde un operador unitario $$
U(\theta, t)=e^{-i\theta L_z-itH}
$$ Vemos, por tanto, que en este caso el álgebra de Lie del grupo es un espacio vectorial real de dimensión 2, y está generado, al menos en su representación $\pi^{prime}$ sobre el espacio de estados, por los operadores antihermíticos $-iL_z$ y $-iH$. Para un sistema cuántico general las rotaciones en torno al eje $Z$ no conmutan con las traslaciones temporales, con lo que el grupo $G$ no es abeliano. Esto se traduce en su álgebra de Lie en que en que el generador de las rotaciones y el de la traslación temporal no conmuta, con lo que sus correspondientes representaciones sobre el espacio de estados del sistema, $L_z$ y $H$, no conmutan. Esto significa físicamente que para la mayoría de los sistemas cuánticos que uno pueda imaginar estos dos observables no pueden estar bien definidos simultáneamente. Si este es el caso, al realizar una rotación, en vez de considerar que lo que cambia es el estado cuántico, podemos considerar que el hamiltoniano del sistema cambia de acuerdo con la representación adjunta $$
H^\prime= e^{-i \theta L_z} H e^{+i \theta L_z}
$$ con lo que, si esta rotación es infinitesimal $$
H^\prime = H -id\theta [L_z, H]
$$ Por otro lado, al evolucionar con el tiemplo, en vez de considerar que es el estado del sistema el que cambia, podemos considerar que es el operador momento angular el que cambia de la forma $$
L_z(t)= e^{itH} L_z e^{-itH}
$$ A $L_z(t)$ se le denomina operador momento angular en la imagen de Heisenberg. Trascurrido un tiempo infinitesimal, este operador cambia de la forma $$
\frac{dL_z}{dt} (t)=-i [L_z,H]
$$
Por tanto, el conmutador $[L_z,H]$ nos mide simultáneamente dos cosas: cómo cambia la energía al realizar una rotación sobre el sistema, y cómo cambia el momento angular cuando el sistema evoluciona con el tiempo. ¿Qué ocurre en aquellos sistemas físicos en los que el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones en torno al eje $Z$? En ese caso, como $H$ y $L_z$ conmutan, también ocurre que el operador momento angular en la imagen de Heisenberg no cambia con el tiempo. Es decir, los sistemas cuánticos con hamiltoniano simétrico bajo rotaciones son los mismos que aquellos en los que el momento angular se conserva. Obtenemos así la versión mecanocuántica del teorema de Nöether.
Señalamos por último que esto también se cumple para el resto de transformaciones. Si el sistema cuántico posee la simetría de ser invariante ante todos los elementos de un grupo $G$, entonces los operadores unitarios que representan la acción de $G$ sobre los estados cuánticos conmutan con el operador evolución temporal. Esto hace que los generadores de esas representaciones unitarias, que son operadores hermíticos, también conmuten con el operador evolución y con el hamiltoniano. Las magnitudes físicas que representan estos operadores hermíticos serán, por tanto, también cantidades conservadas. Además, por el lema de Schur, el hamiltoniano, al conmutar con los operadores que implementan las representaciones unitarias de ese grupo de simetrías, tiene que ser proporcional al operador identidad dentro de cada representación. Esto significa físicamente que todos los estados de una misma representación de ese grupo de simetrías son degenerados, tienen todos la misma energía. Por tanto, cuando un sistema cuántico tiene una simetría, el espacio vectorial de todos los estados que tienen una misma energía va a ser siempre una representación de ese grupo de simetría. Además, esa representación, por ser unitaria, va a ser siempre una suma directa de representaciones irreducibles del grupo $G$. Justo esta idea ha permitido encontrar una sorprendente conexión entre la teoría de representaciones de grupos y las funciones modulares, conexión para la que, por cierto, ha sido necesaria la teoría de cuerdas, que no sólo es hoy en día una herramienta fundamental para todo físico teórico que quiere estar al día en su disciplina, sino también para cualquier matemático.
El grupo SO(3) de rotaciones en el espacio
Hasta ahora nos hemos dedicado a analizar qué le ocurren en mecánica cuántica a las rotaciones en el plano, pero todo lo que hemos visto en el post anterior se puede generalizar para el grupo SO(3) de rotaciones en el espacio, y eso es lo que vamos a hacer en lo que queda de post. Para este grupo, el tratamiento matemático se complica, porque es no abeliano: las rotaciones en el espacio en general no conmutan, y eso hace que sus generadores, las tres componentes del vector momento angular, no puedan tomar en general valores bien definidos simultáneamente.
Si escribimos las coordenadas del vector posición $(x,y,z)$ como un vector columna, las rotaciones en el espacio van a ser matrices 3x3 invertibles que, además dejan invariante el módulo del vector posición. Dado que el cuadrado del módulo de un vector es el producto escalar de él consigo mismo, que el producto escalar es el producto de un vector fila y un vector columna, y que los vectores fila transforman con la matriz traspuesta, esto significa que las rotaciones $R$ son matrices que cumplen $$
R^tR=I
$$ donde $I$ es la matriz identidad. Esta ecuación nos dice que los vectores columna de las matrices $R$ tienen que ser ortonormales entre sí, y que esto también ocurre con los vectores filas. Las matrices que cumplen esta condición forman un grupo que se denomina O(3). Todas ellas cumplen que su determinante es $+1$ o $-1$. El grupo O(3) tienen dos componentes: los elementos con determinante $+1$, y los de determinante $-1$.
Sin embargo, aunque todas las rotaciones son elementos de O(3), no todos los elementos de O(3) son rotaciones. Las rotaciones son los elementos de O(3) que, además, preservan la orientación de los ejes de coordenadas. Es decir, si rotamos simultáneamente los vectores unitarios cartesianos $e_x$, $e_y$ y $e_z$, no sólo ocurre que estos vectores siguen siendo unitarios y siguen siendo perpendiculares entre ellos, como ocurre con todos los elementos de O(3), sino que, además, el producto vectorial $e_x \times e_y$ sigue dando $e_z$. Para garantizar esto, es necesario que el determinando de la matriz $R$ sea $+1$. Los elementos de O(3) con determinante 1 forman un subgrupo continuamente conectado con la identidad que se denomina SO(3). SO(3) es, por tanto, el grupo de las rotaciones en el espacio tridimensional.
Dado un vector unitario $e$ y un ángulo de giro $\theta$, queda fijado un único elemento de SO(3) $R(\theta,e)$.
El elemento $R(\alpha, \beta, \gamma)$ es $$
R(\alpha, \beta, \gamma)=R(\gamma,e_z)R(\beta,e_x)R(\alpha,e_z)
$$ Para que distintos valores de los ángulos de Euler no den lugar a la misma rotación, el ángulo $\beta$ no puede ser superior a $\pi$.
El álgebra de Lie del grupo SO(3) y sus representaciones
En el post anterior hemos visto que el álgebra de Lie de un grupo $G$ se define como el espacio de matrices $X$ tales que $$
e^{tX}\in G
$$ para cualquier número real $t$. Recuérdese que, ni todos los elementos de $G$ tienen por qué poder expresarse de esa manera, ni tiene por qué ocurrir que cada $t$ dé un elemento de $G$ distinto. Lo que sí ocurre es que cada vector del álgebra de Lie $X$ nos define un camino en $G$ que pasa por el elemento neutro (cuando $t=0$) con vector velocidad $$
\frac{d}{dt} \left( e^{tX} \right) \arrowvert_{t=0}=X
$$
Al tener el grupo de Lie O(3), como variedad, dimensión 3, el álgebra de Lie de este grupo va a ser un espacio vectorial de dimensión real 3. Como $R^tR=I$, los vectores de este espacio vectorial van a ser matrices 3x3 que tienen que cumplir $$
e^{tX^t} e^{tX}=I
$$ Si derivamos respecto de $t$, tenemos $$
X^t e^{tX^t} e^{tX} -e^{tX^t} e^{tX}=0
$$ Evaluando en $t=0$, se obtiene que los elementos del álgebra de Lie de O(3), que escribiremos como o(3), son las matrices reales 3x3 antisimétricas $$
X^t=-X
$$
Si imponemos además la condición de que $\det R=+1$, para obtener qué condición cumplen los elementos del álgebra de Lie de SO(3), que denotamos como so(3), no obtenemos ninguna condición adicional $$
\det (e^{tX})=e^{t Tr(X)}=1
$$ ya que todas las matrices antisimétricas tienen traza nula. Llegamos así a la conclusión de que o(3)=so(3), es decir, que los grupos O(3) y SO(3) tienen el mismo álgebra de Lie, el de las matrices 3x3 antisimétricas. Localmente, en el entorno de la identidad, no hay diferencia entre ambos grupos. La diferencia es global. El grupo SO(3) es simplemente conexo. En SO(3) todos los elementos están continuamente conectados con la identidad y se pueden escribir de la forma $$
e^{t X}\in SO(3)
$$ pero en O(3), los elementos con determinante $-1$ no están conectados continuamente con la identidad, porque son rotaciones combinadas con una reflexión.
Como hemos explicado anteriormente, toda representación $\pi$ de una grupo de Lie $G$ nos define un camino $$
\pi \left( e^{tX} \right)
$$ en el espacio de transformaciones lineales del espacio vectorial sobre la que actúa la representación, que pasa por la transformación identidad cuando $t=0$, y que tiene como vector velocidad en ese punto $$
\pi^\prime(X)= \frac{d}{dt} \pi \left( e^{tX} \right) \arrowvert_{t=0}
$$
e^{t\pi^\prime(X)}=\pi \left( e^{tX} \right)
$$
El hecho de que el álgebra de Lie de todo grupo G sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales nos permite definir una representación especial del grupo de Lie, denominada representación adjunta, en la que el elemento $g$ actúa sobre el operador $X$ del álgebra de Lie mediante la siguiente operación $$
(Ad(g))(X)=gXg^{-1}
$$ Si el grupo $G$ es no abeliano, entonces en general los generadores $X$ del grupo sí van a cambiar cuando se hace una transformación que pertenezca a $G$. Si esa transformación ha sido generada por el operador $Y$, entonces la versión infinitesimal de ese cambio, que es también un elemento del álgebra de Lie, es $$
\frac{d}{dt} (e^{tY}Xe^{-tY}) \arrowvert_{t=0}=[Y,X]
$$ igual al conmutador de $Y$ con $X$. Por tanto, este conmutador nos mide cómo cambia infinitesimalmente $X$ ante una transformación generada por $Y$. Por ello, la representración del álgebra de Lie del grupo $G$ que corresponde a la representación adjunta $Ad$ del grupo es $$
ad(Y)(X)=[Y,X]
$$ Y este es el motivo por el que los matemáticos llaman a este conmutador corchete de Lie. Sólo cuando los dos operadores conmutan, la transformación que genera uno de ellos deja invariante al otro y. además, sabemos que los observables asociados a ambos operadores pueden tomar valores bien definidos simultáneamente. Pero el carácter no abeliano del grupo $G$ se traduce en que estos conmutadores no son nulos en general. La estructura del grupo $G$ da lugar a una estructura de corchetes de Lie en su espacio tangente, que es el álgebra de Lie del grupo $G$. Y este es el motivo por el que a este espacio tangente se le denomina álgebra de Lie: además de tener estructura de espacio vectorial, tiene un corchete de Lie asociado.
Las fórmulas correspondientes para la representación $\pi$ de $G$, que es la que actúa sobre el espacio de estados cuánticos, son $$
\pi^\prime(gXg^{-1})=\pi(g)\pi^\prime (X) (\pi (g))^{-1}
$$ $$
\pi^\prime ([Y,X])=[ \pi^\prime (Y) , \pi^\prime (X) ]
$$ Por tanto, la representación $\pi^\prime$ hereda la misma estructura de conmutadores que el álgebra de Lie que representa.
En el caso del álgebra de Lie so(3), una base de este espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales es la que forman las matrices
e^{\theta l_3}=\cos \theta + l_3 \sin \theta = R(\theta, e_3)
$$ Análogamente, $l_1$ genera las rotaciones en torno a $e_1$ y $l_2$ general las rotaciones en torno a $l_3$. Las matrices $l_1$, $l_2$ y $l_3$ del álgebra de Lie de SO(3) no conmutan entre ellas, ya que SO(3) es no abeliano. Las rotaciones en torno a un mismo eje sí conmutan, pero las que son en torno a ejes distintos no. Este carácter no abeliano del grupo se manifiesta en los conmutadores (corchetes de Lie) del álgebra son $$
[l_i,l_j]=\epsilon_{ijk}l_k
$$ donde $\epsilon_{ijk}$ es el símbolo de Levi-Civita.
Nótese la analogía con el producto vectorial de vectores de vectores en 3 dimensiones: $$
e_i \times e_j= \epsilon_{ijk}e_k
$$ Al ser so(3) un espacio vectorial de dimensión real 3, y tener unos corchetes de Lie idénticos al producto vectorial de vectores en 3 dimensiones, podemos decir que el álgebra de Lie del grupo SO(3) es isomorfa (mediante el isomorfismo $l_i \leftrightarrow e_i$) al álgebra de Lie de los vectores en el espacio tridimensional cuyo corchete de Lie es el producto vectorial. En este espacio vectorial la identidad de Jacobi, $$
\vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \times ( \vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \times ( \vec{c} \times \vec{a})=\vec{0}
$$ que es trivial para los conmutadores, tiene una interpretación geométrica profunda, ya que es equivalente al teorema que afirma que las tres alturas de todo triángulo se cruzan en un mismo punto:
Es una pena que los libros de matemáticas de bachillerato no suelan enseñar esta relación entre el álgebra de los vectores en tres dimensiones y la geometría euclídea. El lector puede encontrar una demostración de esta equivalencia en este enlace.
También podemos explotar este isomorfismo con los vectores en 3 dimensiones para interpretar geométricamente el cambio en el vector generador de una rotación al levar a cabo otra rotación generada por otro vector. Ya hemos explicado que este campo viene dado infinitesimalmente por el conmutador de ambos generadores, que se corresponde con el producto vectorial de los vectores tridimensionales correspondientes. Esto da lugar a la conocida fórmula para el cambio en el vector $\vec{r}$ ante una rotación $R(\theta,\vec{e})$ en torno al eje $e$: $$
\frac{d\vec{r}}{d\theta}=\vec{e}\times \vec{r}
$$
Hay que remarcar que, de todos los grupos SO(d), esto sólo ocurre para $d=3$, ya que sólo en 3 dimensiones el plano de rotación queda completamente determinado por un vector, el que es perpendicular a ese plano. Esto hace queTambién podemos explotar este isomorfismo con los vectores en 3 dimensiones para interpretar geométricamente el cambio en el vector generador de una rotación al levar a cabo otra rotación generada por otro vector. Ya hemos explicado que este campo viene dado infinitesimalmente por el conmutador de ambos generadores, que se corresponde con el producto vectorial de los vectores tridimensionales correspondientes. Esto da lugar a la conocida fórmula para el cambio en el vector $\vec{r}$ ante una rotación $R(\theta,\vec{e})$ en torno al eje $e$: $$
\frac{d\vec{r}}{d\theta}=\vec{e}\times \vec{r}
$$
- sólo en 3 dimensiones existe un producto vectorial que, dado dos vectores que determinan un plano, nos da otro vector perpendicular a ese plano.
- sólo en 3 dimensiones la representación que define al grupo SO(d), como el grupo de rotaciones de vectores, es isomorfa a la representación adjunta del grupo (la representación que actúa sobre su álgebra de Lie).
Cuando estas rotaciones actúan sobre un sistema cuántico, lo hacen según alguna representación unitaria $\pi$, a la que le corresponde una representación del álgebra de Lie $\pi^\prime$. De acuerdo con la discusión el post anterior, a cada elemento de la base $l_1, l_2, l_3$ le corresponde el operador antihermítico $$
\pi^\prime (l_i)=-iL_i
$$ donde $L_i$ es el operador hermítico que corresponde a la componente $i$ del momento angular del sistema cuántico. Al heredar la representación del álgebra de Lie los mismos corchetes de Lie que el álgebra de Lie original, esto hace que las tres componentes del momento angular no conmuten entre ellas $$
[L_i,L_j]=i\epsilon_{ijk}L_k
$$ Es decir, el hecho de que las rotaciones en torno a distintos ejes no conmuten entre ellas se traduce físicamente en que el sistema cuántico en general no puede tener las tres componentes del vector momento angular bien definidas.
Una forma mediante la que se pueden obtener las representaciones irreducibles de SO(3) es complexificando su álgebra de Lie. Una determinada combinación lineal de $L_1$ y $L_2$ se comporta como un operador escalera, aumentando, al aplicarse sobre un autoestado de $L_3$, su autovalor en una unidad, mientras que su hermítico conjugado disminuye este autovalor en una unidad. Las representaciones irreducibles quedan así caracterizadas por el valor máximo que puede tomar el número cuántico $m$, y a este valor lo llamamos $l$. Los valores que toma, por tanto, $m$ en cada representación son los enteros que hay entre $-l$ y $+l$, lo cual es algo que, por ley, obligamos a los estudiantes de secundaria a aprenderse de memoria sin poder entenderlo todavía. El valor de $l$ también fija el valor del operador $L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2$ en esa representación, que, al conmutar con todas componentes del momento angular, se comporta, por el lema de Schur, como un operador proporcional a la identidad $\hat{I}$. En concreto, $L^2=\hbar l (l+1) \hat{I}$ en esa representación. Los correspondientes autoestados simultáneos de $L_z$ y $L^2$ son los famosos armónicos esféricos, que nos dan la forma angular de los orbitales del átomo de hidrógeno que viene dibujada en los libros de química y que todo estudiante universitario que se encuentre en el ecuador de sus estudios de física ya sabe manejar.
Conclusiones
El conjunto $SO(2)$ de las rotaciones en torno al mismo eje $Z$ forma un grupo de Lie abeliano que es isomorfo a $U(1)$, el conjunto de cambios de fase de un número complejo. Al ser el espacio de estados de un sistema cuántico un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos, cuando realizamos sobre el sistema cuántico una rotación, ésta actúa mediante un operador lineal que, además, tiene que ser unitario para conservar la probabilidad total $$
e^{-i\theta Lz}
$$ donde $\theta$ es el ángulo de la rotación y $L_z$ un operador hermítico que físicamente se corresponde con el momento angular del sistema. Se dice que $L_z$ físicamente genera la acción del grupo de rotaciones sobre el espacio de estados, y algebraicamente genera el álgebra de Lie de la acción del grupo $U(1)$ sobre el espacio de estados.
El operador hamiltoniano es el que genera las traslaciones temporales del sistema cuántico y se corresponde físicamente con la energía del sistema. El conmutador $[L_z,H]$ nos dice cómo actúa la representación adjunta del álgebra de Lie del grupo generado tanto por las traslaciones temporales como por las rotaciones en el espacio de estados cuánticos. Por ello, nos mide simultánemente dos cosas: cómo cambia la energía al realizar una rotación sobre el sistema, y cómo cambia el momento angular cuando el sistema evolucione con el tiempo. Este es el motivo por el que en mecánica cuántica, en todos aquellos sistemas físicos en los que la energía no cambie al realizar una rotación, el momento angular va a ser una cantidad conservada, al igual que ocurría en mecánica clásica.
El hecho de que el espacio físico se quede igual cuando damos una vuelta completa implica que los posibles valores que puede tomar $L_z$ sean números enteros, y eso es una diferencia fundamental con lo que ocurre con el momento angular en mecánica clásica. Cada uno de estos números enteros $m$ nos indica una representación irreducibles del grupo U(1). Todas estas representaciones irreducibles son unitarias y de dimensión compleja 1, y el espacio vectorial de cada una está generado por el correspondiente autoestado de $L_z$. Las funciones de onda de una partícula, al formar representaciones unitarias de $U(1)$, que tienen necesariamente que ser suma directa de representaciones irreducibles, van a ser en general una combinación lineal de autoestados de $L_z$, con lo que no van a tener un valor de $L_z$ bien definido. Esto también es una diferencia fundamental con la mecánica clásica.
Todo esto se puede generalizar para el grupo SO(3) de rotaciones en el espacio. Para este grupo, el tratamiento matemático se complica, porque es no abeliano: las rotaciones en el espacio en general no conmutan, y eso hace que sus generadores, las tres componentes del vector momento angular, no puedan tomar en general valores bien definidos simultáneamente.
Lo que no hemos estudiado aquí es qué ocurre con las rotaciones de los grados de libertad internos de las partículas cuánticas. Estos grados de libertad internos, como el espín de las partículas, no tienen por qué quedarse igual al dar una vuelta completa. Esto nos lleva a tener que aceptar que, en la naturaleza, el grupo que implementa las rotaciones no es $SO(3)$, sino otro más amplio. Dejamos esto para otro post posterior.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
Referencias bibliográficas
- Stillwell J. (2008), Naive Lie theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
- Tapp K. (2016), Matrix groups for undergraduates, second ed., American Mathematical Society.
- Woit P. (2017): Quantum Theory, Groups and Representations. An Introduction. Springer International Publishing.
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