Cinemática para estudiantes de 4º de ESO y 1º de Bachillerato

Enseñar a los estudiantes de 4º de ESO los contenidos de cinemática, básicamente movimientos rectilíneos, entraña la dificultad de que los estudiantes de estas edades todavía no saben representar gráficamente correctamente funciones de una variable real, ni conocen todavía el concepto de derivada.

En este post recopilo materiales de elaboración propia para que los estudiantes comprendan los conceptos de velocidad y aceleración desde un triple punto de vista: físico, algebraico y geométrico.

En primer lugar, es muy importante que los estudiantes de ESO, cuando estudian la ecuación de la recta $y=mx+n$, aprendan a entender tanto el significado algebraico como el geométrico de cada uno de los elementos de esta ecuación. Por ejemplo, el coeficiente $n$ es:

• algebraicamente, el coeficiente que no va multiplicado por $x$ en la ecuación o, en el lenguaje de las transformaciones que hemos descrito antes, el número que le sumamos a la función por fuera.
• geométricamente, la "altura" $y$ a la que la recta corta al eje vertical (la ordenada en el origen), la distancia que hemos levantado verticalmente la función.

Por otro lado, el coeficiente $m$ es:

• algebraicamente, el coeficiente que multiplica a $x$, la cantidad con la que hemos multiplicado a la función por dentro.
• geométricamente, la pendiente de la recta, el factor con el que hemos comprimido la gráfica de la recta en el eje horizontal.

Esto lo podemos conseguir proponiéndoles que trabajen con el siguiente vídeo:

Si hacemos sistemas de ecuaciones con estos polinomios de primer grado, los estudiantes de 3º de ESO pueden saber qué soluciones hay y cuánto valen de forma intuitiva simplemente pintando las correspondientes rectas en su mente o en el papel, y viendo dónde se cortan. Cuando los estudiantes aprenden a hacer esto, de pronto la tarea de averiguar cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones se vuelve una tarea mucho más sencilla, a veces casi inmediata. Esto lo podemos conseguir trabajando con el siguiente vídeo:

Pensar los problemas matemáticos simultáneamente desde dos puntos de vista diferentes a la vez, algebraico y geométrico, ayuda a los estudiantes, y a cualquiera que utilice las matemáticas en su trabajo, a entender mejor los problemas y a saber mejor cómo resolverlos. En física, tanto la variable independiente $x$ como la variable independiente $y$ tienen un significado físico. Tener en cuenta ese significado físico también es fundamental para entender las matemáticas. Eso a nivel avanzado lo explico en este artículo. A los alumnos de ESO podemos explicarles lo del significado físico con este vídeo:

Si ahora asignamos a la variable independiente $x$ el significado físico de ser el instante de tiempo $t$ en el que ocurren los sucesos, y consideramos que la variable dependiente $y$ es en realidad la coordenada espacial $x$ en la que ocurren estos sucesos, entonces toda función continua $y=f(x)$, que ahora se escribe $x=f(t)$, se puede interpretar como la función que nos da la posición de un objeto que realiza un movimiento rectilíneo en cada instante de tiempo. Es decir, la ecuación $x=f(t)$ es la ecuación de movimiento de ese objeto:

• Algebraicamente, que una función sea continua significa que el límite de la función en cualquier punto coincide con el valor de la función en ese punto.
• Geométricamente, que se pueda dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
• Y físicamente, que el objeto no pueda desaparecer de donde está e, instantáneamente, aparecer en otro punto del espacio. 

Si el movimiento rectilíneo se produce físicamente a velocidad constante (Movimiento rectilíneo uniforme, MRU), entonces la gráfica espacio-tiempo correspondiente es geométricamente una línea recta, es decir la función $f(t)$ es algebraicamente un polinomio de primer grado.

Es muy importante que los estudiantes de ESO, cuando estudian la ecuación de la recta $x=vt+x_o$, aprendan a entender, además del significado algebraico y geométrico de cada uno de los elementos de esta ecuación, también el significado físico. El coeficiente $x_o$ es:

• algebraicamente, el coeficiente que no va multiplicado por $t$ en la ecuación o, en el lenguaje de las transformaciones que hemos descrito antes, en número que le sumamos a la función por fuera.
• geométricamente, la "altura" $x$ a la que la recta corta al eje vertical (la ordenada en el origen), la distancia que hemos levantado verticalmente la función.
• físicamente, la posición del objeto en el instante inicial $t=0$.

Por otro lado, el coeficiente $v$ es:

• algebraicamente, el coeficiente que multiplica a $x$, la cantidad con la que hemos multiplicado a la función por dentro.
• geométricamente, la pendiente de la recta, el factor con el que hemos comprimido la gráfica de la recta en el eje horizontal.
• físicamente, la velocidad del objeto.

Esto lo podemos trabajar con los estudiantes de 4º de ESO con este vídeo:


Ya están los estudiantes en condiciones de entender que un problema en el que un coche persigue a otro se puede analizar desde tres puntos de vista complementarios, siendo los tres necesarios para entender lo que está ocurriendo:

• físicamente, el perseguidor tiene más velocidad que el perseguido y por eso se acaba produciendo el alcance
• geométricamente, la recta que representa el movimiento del perseguidor, aunque tiene ordenada en el origen más pequeña, tiene más pendiente. Por eso acaba cruzándose con la recta del perseguido, que tiene mayor ordenada en el origen pero menor pendiente.
• algebraicamente, el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de movimiento de ambos vehículos tiene una solución que nos dice cuando y donde se produce el encuentro. 

Esta relación entre física, álgebra y geometría, se puede trabajar también con este tutorial, elaborado por mí con Exelearning y publicado en Procomún. Es decir, una vez nos hemos mentalizado de que es importante asignar un triple significado a los objetos matemáticos (algebraico, geométrico y físico), vemos que un sistema de ecuaciones no sólo es equivalente a la intersección de curvas, también es equivalente al encuentro de objetos que se mueven. Todo esto podemos trabajarlo con los estudiantes con este vídeo:

Si la función no es un polinomio de primer grado, geométricamente la pendiente de la gráfica varía. Algebraicamente, eso significa que la derivada de la función es distinta para cada valor de $t$, y físicamente, eso significa que el objeto va cambiando su velocidad a medida que transcurre el tiempo. Si, por ejemplo, la velocidad va variando uniformemente con el tiempo (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, MRUA), entonces lo que algebraicamente es la segunda derivada, que físicamente es la aceleración $a=f^{\prime\prime}(t)$, es constante. Esto significa geométricamente que la gráfica de $a$ frente a $t$ es una recta horizontal. Entonces, la primera derivada, la velocidad $v=f^\prime(t)$, es algebraicamente un polinomio de primer grado y geométricamente una recta cuya pendiente es $a$ y ordenada en el origen es la velocidad inicial $v_o$. La ecuación de movimiento $x=f(t)$ se obtiene integrando la ecuación de la velocidad, es algebraicamente un polinomio de segundo grado y geométricamente una parábola.

El punto que geométricamente es el vértice de la parábola es algebraicamente el punto donde la derivada se anula, y físicamente el evento espaciotemporal en el que el objeto posee velocidad cero, porque su velocidad está cambiando de sentido. Cuando tenía 14 años, me enseñaron a calcular dónde estaba el vértice de una parábola mediante una fórmula que me tuve que aprender de memoria (ya que todavía no sabía derivar). Me consta que todavía se sigue haciendo en muchas clases de matemáticas en ESO. Hacer eso no me sirvió para nada. Habría aprendido mucho más si me hubieran enseñado el significado físico del vértice de la parábola: el punto de retorno de una piedra que hemos lanzado verticalmente hacia arriba.

Todo esto se puede trabajar con el siguiente vídeo:

De esta forma los estudiantes de 4º de ESO tendrán así otra forma intuitiva de visualizar cuántas y cuáles son las soluciones del sistema de ecuaciones: los cruces entre móviles. Por ejemplo, las soluciones a un sistema de ecuaciones formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo grado, que geométricamente corresponden con los puntos de interesección de una recta y una parábola, se puede interpretar físicamente como los cruces de una piedra que ha sido lanzada verticalmente hacia arriba y luego cae, y un cohete que asciende a velocidad constante:

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.