23 sept 2019

TÉCNICAS EXPERIMENTALES: Ajuste por el método gráfico

Si sospechamos que las magnitudes físicas $x$ e $y$ está correlacionadas mediante la función $y=f(x)$, podemos representar en una gráfica el valor de $y$ que hemos medido para cada valor de $x$. ¿Cómo podemos saber si los puntos obtenidos en esa gráfica, con sus rectángulos de error, se ajustan a la curva que predice la ley $y=f(x)$?

17 sept 2019

La mayoría de la población no tiene motivos para idolatrar a los grandes científicos


Solvay conference 1927.jpg


El Proyecto de Genealogía de Matemáticas (Math Genealogy Project) es un proyecto muy ambicioso del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Dakota del Norte, en colaboración con la American Mathematical Society, que pretende recopilar información sobre todos los científicos de todo el mundo y de todas las épocas que han recibido un doctorado en matemáticas.

Además del título de la tesis, la universidad y el año, uno de los datos más interesantes que se puede analizar en esta base de datos es quién dirigió la tesis a quién. Así, el proyecto permite construir el árbol genealógico de todos los matemáticos.

La idea de escribir este post me ha venido cuando me han regalado el póster con mi árbol genealógico:



Como indica la misma página del proyecto, es cierto que la relación entre el director de tesis y sus doctorandos no siempre ha sido tan formal como lo es ahora, pero este árbol sí nos da una idea de una cierta relación mentor/discípulo que nos permite trazar la historia intelectual de los proyectos de investigación en matemáticas.

Lo primero que llama la atención del póster es que entre los ancestros de Werner Heisenberg, el científico más brillante de todos los que desarrollaron la mecánica cuántica, podemos encontrar un porcentaje importante de los grandes físicos y matemáticos de la historia, desde Copérnico, Huygens y Leibniz, hasta Sommerfeld y Klein, pasando por Gauss, Pfaff, Dirichlet, Fourier, Poisson, Lagrange, Laplace, Euler, D'Alembert, Bernoulli entre muchos otros. Científicamente hablando, ¡todos son familia! ¿Es casualidad? Es evidente que no. Los avances en matemáticas no son tan dependientes de poder trabajar en una universidad con caros equipos de laboratorio, como ocurre en otras disciplinas más experimentales. Tiene que haber un motivo.

Un gran científico no le dirige la tesis a cualquiera, así que la primera hipótesis es que, de todos los candidatos, sólo a los mejores, a los que superan unas duras pruebas, se les permite formar parte de esa familia científica. Como sólo los mejores entran, está más o menos garantizado que la mayor parte de los grandes avances en matemáticas que se van a hacer van a ser realizados por miembros de esa familia.

15 sept 2019

TÉCNICAS EXPERIMENTALES: Medida múltiple y su aplicación al cálculo de errores.

Ya hemos visto que, cuando estamos realizando una medición de una magnitud física $x$ y el error aleatorio no es despreciable, lo que debemos hacer es tomar varias medidas y quedarnos con el valor medio de todas ellas. Pero, ¿qué incertidumbre experimental debemos asignarle a ese resultado?

Lo que la mecánica cuántica nos enseñó acerca de la invariancia gauge

De todas las interacciones de la naturaleza, la que se estudia en mayor detalle en la universidad en los denominados grados STEM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas) es la electromagnética. Todos los estudiantes que entran en estos grados saben ya desde Bachillerato que sobre toda partícula con carga $q$ y velocidad $\vec{v}$ sometida a un campo electromagnético se ejerce siempre una fuerza (denominada fuerza de Lorentz) de valor $$
\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $\vec{E}$ es valor del campo eléctrico en el punto donde está situada la partícula y $\vec{B}$ el campo magnético. Esto implica que, en el caso de que la partícula sea no relativista, la ecuación diferencial que describe su movimiento es, si la fuerza de Lorentz es la única que actúa:
$$
m\vec{a}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $m$ es la masa de la partícula y $\vec{a}$ es su aceleración.

Por otro lado, ya en la universidad los estudiantes aprenden que esta ecuación de movimiento se puede obtener imponiendo que el camino que tiene que seguir la partícula entre los puntos espaciotemporales $(t_i, \vec{r}_i)$ y $(t_f, \vec{r}_f)$ sea aquel que minimiza la acción
$$
S=\int \left(  \frac{1}{2} m v^2 -q\phi \right)dt+  q\int \vec{A}\cdot d\vec{r} =
$$ $$
=\int \left(  \frac{1}{2} m v^2 -q\phi +q\vec{A}\cdot\vec{v}\right)dt
$$ (donde las integrales se realizan entre esos dos puntos espaciotiemporales) siempre que identifiquemos a $\vec{E}$ y $\vec{B}$ con
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$ $$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$ Aquí $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{A}$ es el potencial vector magnético.

Sin embargo, aunque aparecen en la acción, en mecánica clásica tanto $\phi$ como $\vec{A}$ no representan entes reales, no tienen ningún significado físico. Son simplemente campos auxiliares matemáticos que se introducen por pura utilidad para poder calcular mejor los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$. Estos últimos sí tienen significado físico, ya que ejercen fuerzas que podemos medir sobre las partículas cargadas.

Dada una configuración concreta de $\phi$ y $\vec{A}$, si hacemos la transformación (denominada transformación gauge)
$$
\phi^\prime=\phi - \frac{\partial \chi}{\partial t}
$$ $$
\vec{A}^\prime=\vec{A} + \vec{\nabla} \chi
$$ (donde $\chi$ es una función diferenciable arbitraria de $\vec{r}$ y $t$) los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ se mantienen invariantes y la acción $S$ de la partícula cargada sólo cambia en la cantidad $q(\chi_f-\chi_i)$, que es una constante que no afecta a las ecuaciones de movimiento. Además, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo una transformación gauge, ya que en ellas parecen $\vec{E}$ y $\vec{B}$, y no los potenciales $\vec{A}$ y $\phi$. Es decir, la nueva configuración que se obtiene al hacer una transformación gauge describe exactamente la misma física que la configuración inicial, con los mismos campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ evolucionando igual y ejerciendo la misma fuerza sobre las partículas cargadas. A esta invariancia que tiene la teoría del campo electromagnético se la denomina invariacia gauge [Landau1992].

Algunas configuraciones gauge son más convenientes que otras para realizar ciertos cálculos, pero es muy importante tener esta invariancia gauge presente para distinguir las cosas que ocurren físicamente en la realidad de lo que son simplemente elementos matemáticos sin existencia física que nos ayudan a hacer los cálculos. La realidad no es lo que los matemáticos y los físicos escribimos en nuestros papeles, y los procesos físicos no son los pasos que realizamos cuando hacemos cálculos. En la teoría clásica del electromagnetismo lo que existe en realidad son los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ y las partículas cargadas que interaccionan con ellos. Los valores concretos de $\vec{A}$ y $\phi$ no tienen existencia real. Esto lo sabe cualquier estudiante de los grados STEM cuando asigna arbitrariamente el valor de $\phi$ igual a cero voltios al punto que quiere a la hora de resolver los problemas de electrostática. En estos problemas sólo las diferencias de potencial eléctrico entre distintos puntos tienen significado físico, pero no su valor concreto, ya que estas diferencias son las que determinan el campo eléctrico $\vec{E}$.

Sin embargo, el universo en el que vivimos no es clásico. Es cuántico. ¿Siguen siendo en mecánica cuántica las leyes de la física invariantes ante una transformación gauge? ¿Siguen siendo los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ los que tienen significado físico frente a $\vec{A}$ y $\phi$? Para entender en su totalidad qué ocurre con la invariancia gauge en mecánica cuántica habría que irse al formalismo de la teoría cuántica de campos. Sin embargo, muchas de las ideas cruciales ya se pueden discutir en el contexto de una partícula cuántica no relativista que interacciona con un campo electromagnético clásico. Y eso es lo que vamos a hacer en el presente artículo.


8 sept 2019

TÉCNICAS EXPERIMENTALES: Propagación de errores

Ya hemos visto que, al medir cualquier magnitud física $x$, siempre tenemos una incertidumbre experimental $\Delta x$. Si ahora utilizamos ese valor medido de $x$ para calcular el valor de otra magnitud $y$ utilizando una ley conocida que nos dice que $y=f(x)$, ¿cuál es la incertidumbre experimental $\Delta y$ que hay que asignar a nuestro resultado?