En mecánica clásica (newtoniana) para la descripción de la interacción entre las distintas partículas materiales es útil el concepto de campo: suponemos que una partícula crea un campo alrededor suyo de tal forma que cierta fuerza actúa sobre todas las demás partículas localizadas en ese campo. Esto sería simplemente una mera herramienta matemática si no llega a ser por el hecho, puesto de manifiesto por la teoría especial de la relatividad, de que las interacciones se propagan a una velocidad finita. Hay que considerar, por tanto, que el campo mismo posee realidad física.
Además de la interacción gravitatoria, existe otra interacción en la naturaleza denominada interacción electromagnética y su campo asociado se denomina campo electromagnético.
Cuando una partícula se encuentra en el seno de un campo electromagnético, se observa que sobre ella se aplica una fuerza que depende en general de la velocidad de esa partícula. No obstante, cuando la velocidad es cero esa fuerza electromagnética no se anula, con lo que podemos decir que la fuerza electromagnética tiene un sumando independiente de la velocidad (ya que está presente incluso cuando \(v=0\)). A este sumando se le llama fuerza eléctrica y a la parte del campo electromagnético responsable de esta fuerza se le llama campo eléctrico. Por otro lado, a la parte de la fuerza electromagnética que depende de la velocidad de la partícula situada en el campo se le denomina fuerza magnética y a la parte del campo electromagnético responsable de esa fuerza, campo magnético.
En esta unidad estudiamos la interacción electromagnética entre partículas en el caso particular de que éstas estén en reposo en algún sistema inercial. A esta situación se le llama electrostática y en ella todo el campo electromagnético es sólo campo eléctrico.
No todas las partículas sufren la interacción electromagnética. Aquellas que sí lo hacen se dicen que son partículas cargadas y la intensidad con la que estas partículas interaccionan con el campo electromagnético se cuantifica con una magnitud denominada carga eléctrica \(q\). En el SI se mide en culombios (\(\mathrm C\)).
Ley de Coulomb
De acuerdo con la ley de Coulomb, todas las partículas con carga eléctrica se ejercen fuerzas eléctricas entre ellas proporcionales a sus cargas e inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias que hay entre ellas. Para dos partículas A y B:
El vector que une A con B es \(\vec r_B-\vec r_A\); \(\vec r_A\) y \(\vec r_B\) son sus vectores de posición respecto al origen, con ejes \(x,y\).
La fuerza que ejerce B sobre A, por la ley de acción y reacción, es:
donde \(K\) es una constante denominada constante de la ley de Coulomb de valor \(9{,}00\cdot10^9\) en el SI (dejamos al estudiante el ejercicio de determinar cuáles son esas unidades).
En la naturaleza existen partículas con carga eléctrica tanto positivas como negativas. Esto hace que la interacción eléctrica pueda ser tanto atractiva como repulsiva:
| \(Q_A>0\) | \(Q_A<0\) | |
|---|---|---|
| \(q_B>0\) | Repulsiva | Atractiva |
| \(q_B<0\) | Atractiva | Repulsiva |
La fuerza que ejerce A sobre B va hacia \(Q_A\) si la fuerza es atractiva, y en sentido contrario si es repulsiva.
Es mejor calcular primero el módulo de la fuerza eléctrica que ejerce \(Q_A\) sobre \(q_B\):
Y luego añadirle el vector unitario, que apunta hacia \(Q_A\) si la fuerza es repulsiva o en sentido contrario si es repulsiva. Nótese que al calcular el módulo hay que poner \(Q_A\) y \(q_B\) en valor absoluto para asegurarnos de que el módulo es positivo.
Intensidad de campo eléctrico
Los conceptos de campo gravitatorio y de campo eléctrico se introdujeron inicialmente como una herramienta matemática útil para calcular la fuerza eléctrica que se ejercen las partículas entre sí. Así, se puede decir que la partícula cargada A «crea» un campo eléctrico a su alrededor cuyo valor en el punto de posición \(\vec r\) es:
de tal forma que si B se encuentra en \(\vec r\) se ejercerá sobre B una fuerza \(\vec F_{AB}=q_B\vec E\).
En el caso de que se tenga que \(M_A\gg M_B\), la aceleración que lleve A será despreciable con reslecto de la de B, de tal forma que podemos trabajar en el sistema de referencia de A como si fuera inercial y considerar que A crea a su alrededor un campo electrostático:
donde \(Q=\text{carga de A}\) y el origen lo hemos situado en A, de tal forma que la partícula cargada B sufre una fuerza
por el hecho de estar en ese campo eléctrico.
Por ello, el concepto físico de campo eléctrico se representa matemáticamente mediante un campo vectorial \(\vec E(x,y,z)\). Hay un vector \(\vec E\), denominado intensidad de campo eléctrico, en cada punto del espacio (y en cada instante de tiempo si las cargas que crean \(\vec E\) se mueven en el sistema de referencia inercial en el que estamos trabajando). \(\vec E\) se mide en \(\mathrm{N/C}\).
De nuevo, para hallar el campo eléctrico creado por una carga puntual \(Q\) es mejor calcular primero su módulo:
Y luego añadirle un vector unitario que:
- Va hacia la carga \(Q\) si \(Q<0\).
- Va en sentido contrario si \(Q>0\).
El campo electrostático tiene mucha similitud con el gravitatorio. No obstante, hay algunas diferencias muy importantes. Por ejemplo, si consideramos una partícula de masa \(m\) y carga \(q\) en un campo eléctrico, su cantidad de movimiento es \(\vec p=m\vec v\), donde \(m=\text{masa inercial}\). Por la 2.ª ley de Newton la fuerza total que se ejerce sobre ella es
Si la única fuerza que se ejerce sobre ella es la eléctrica:
Como \(m\) es la masa inercial y \(q\) es la carga eléctrica, no todas las partículas aceleran igual, como pasa en caída libre en un campo gravitatorio, la aceleración de la partícula ¡depende del cociente \(q/m\)!
El campo eléctrico como campo conservativo
Al igual que el campo gravitatorio, el campo eléctrico también es conservativo. Esto quiere decir que el trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una partícula de carga \(q\) entre los puntos \(\vec r_A\) y \(\vec r_B\) no depende del camino seguido, sino de la diferencia de energía potencial entre \(\vec r_B\) y \(\vec r_A\):
Fijando de nuevo el convenio de que la energía potencial es cero si la carga \(q\) está en el infinito (lejos de las demás cargas), se puede obtener la energía potencial que tiene una carga \(q\) situada a una distancia \(r\) de otra carga \(Q\) calculando el trabajo que realiza el campo eléctrico creado por \(Q\) sobre la carga \(q\) en el trayecto en el que \(q\) va desde el infinito hasta una distancia \(r\) de \(Q\). Por analogía con el campo gravitatorio, no hace falta que hagamos la cuenta. Sabemos que se obtiene:
Importante: aquí \(Q\) y \(q\) NO van en valor absoluto. Hay una importante diferencia con la energía potencial gravitatoria:
- \(E_{p,\mathrm{elec}}>0\) si \(\operatorname{signo}(Q)=\operatorname{signo}(q)\), ya que en ese caso ambas cargas se repelen y habría que darles energía para que se pudieran acercar.
- \(E_{p,\mathrm{elec}}<0\) si \(\operatorname{signo}(Q)=-\operatorname{signo}(q)\).
En los diagramas \(E_p\) frente a \(r\), la primera curva es positiva y decrece hacia cero; la segunda es negativa y se aproxima a cero desde abajo.
Al igual que en el caso del campo gravitatorio, también nos interesa definir el potencial eléctrico en cada punto del espacio:
de tal forma que el potencial eléctrico creado por una carga puntual \(Q\) a \(r\) metros es:
El potencial eléctrico se mide en el SI en \(\mathrm{J/C}=\mathrm V=\text{voltios}\).
Si \(Q>0\), la gráfica de \(V\) frente a \(r\) es positiva y decrece hacia cero. Si \(Q<0\), es negativa y se aproxima a cero desde abajo. Es decir, el potencial eléctrico es grande y positivo cerca de las cargas positivas, y muy negativo cerca de las cargas negativas:
Al igual que con el campo gravitatorio, en los problemas unidimensionales podemos calcular la fuerza que se ejerce sobre la carga \(q\) mediante la ecuación
Esto nos indica que sobre la carga \(q\) se va a ejercer una fuerza eléctrica que empuja a la carga hacia donde tendría menos energía potencial (lo mismo pasa en el campo gravitatorio). Pero ahora, como \(\phi=E_p/q\):
- Las cargas positivas son empujadas hacia donde hay menos potencial eléctrico.
- Las cargas negativas son empujadas hacia donde hay más potencial eléctrico.
A la diferencia de potencial eléctrico que hay entre dos puntos se le denomina voltaje:
EXTRA. Se puede calcular a partir de \(\vec E\) mediante:
Si tenemos una distribución de \(N\) cargas \(q_a\) (con \(a=1,2,3,\ldots,N\)), la energía potencial de esa distribución de cargas se puede obtener fácilmente calculando el trabajo eléctrico en el proceso de traer las cargas desde el infinito hasta donde estén, y cambiándolo de signo:
- Para la carga \(q_1\): \(W_{\mathrm{elec}}=0\).
- Para \(q_2\): \(W_{\mathrm{elec}}=-Kq_1q_2/r_{12}\).
- Para \(q_3\): \(W_{\mathrm{elec}}=-Kq_1q_3/r_{13}-Kq_2q_3/r_{23}\).
- Para \(q_4\): \(W_{\mathrm{elec}}=-Kq_1q_4/r_{14}-Kq_2q_4/r_{24}-Kq_3q_4/r_{34}\).
donde \(\phi_{ab}=\text{potencial al que está sometida la carga }q_a\text{ por culpa de }q_b\).
Se excluye \(b=a\): no se suma la interacción de una carga consigo misma. El factor \(1/2\) evita contar cada pareja dos veces.
Campo electrostático creado por una distribución de cargas
El campo electrostático cumple las siguientes características:
Principio de superposición
El campo eléctrico creado por varias cargas es la suma (vectorial) del campo creado por cada una de ellas:
Esto es así porque las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de \(\vec E\) son lineales.
A su vez, el potencial eléctrico creado por varias cargas es la suma (escalar) del potencial creado por cada una de ellas.
Líneas de campo
Nacen en las cargas positivas (o en el infinito) y mueren en las negativas (o en el infinito).
- Carga puntual positiva: líneas radiales que salen de la carga.
- Carga puntual negativa: líneas radiales que entran en la carga.
- Plano con densidad de carga superficial positiva: líneas rectas perpendiculares al plano, hacia fuera por ambos lados.
- Plano con densidad de carga superficial negativa: líneas rectas perpendiculares al plano, hacia el plano por ambos lados.
- Dos cargas positivas: las líneas salen de ambas y se separan en la región entre las cargas.
- Una carga positiva y una negativa (dipolo eléctrico): las líneas salen de la positiva y llegan a la negativa.
- Dos cargas negativas: las líneas llegan a ambas cargas desde el exterior y no unen una negativa con otra.
Ley de Gauss para el campo eléctrico
Todo lo dicho anteriormente se puede resumir en la ley de Gauss: el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada \(S\) es igual a:
donde \(Q_{\mathrm{dentro}}=\text{suma de todas las cargas que hay dentro}\).
Este flujo será positivo o negativo en función de si la carga total que hay en el interior es positiva o negativa, ya que de las cargas positivas salen líneas de campo, y en las cargas negativas mueren.
\(\varepsilon_0\) es una constante de valor \(8{,}85\cdot10^{-12}\) en el SI denominada permitividad eléctrica del vacío.
Esta ley nos permite calcular \(\vec E\) en aquellas situaciones en las que la simetría nos permite calcular fácilmente \(\oint_S\vec E\cdot d\vec S\). Por ejemplo:
a) Carga puntual \(Q\)
Elijo como superficie \(S\) una esfera de radio \(r\) centrada en la carga:
\(\vec E\) y \(d\vec S\) son paralelos porque el campo es radial. Por simetría, \(E\) es constante en toda \(S\). En 3 dimensiones la superficie total de la esfera es \(4\pi r^2\).
Campo eléctrico creado por una carga puntual \(Q\). Si \(Q>0\), hacia fuera. Si \(Q<0\), hacia dentro.
Se observa que \(\boxed{1/(4\pi\varepsilon_0)=K}\), con lo que hemos obtenido:
Este resultado nos indica que podemos deducir la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss.
Aquí \(E\) representa la componente radial con signo. Para expresar el módulo se sustituye \(Q\) por \(|Q|\).
b) Cuerpo esférico de carga total \(Q\) y radio \(R\)
No hace falta que la carga \(Q\) esté distribuida uniformemente, basta con que esté distribuida de manera que haya simetría esférica.
Tomamos como superficie \(S\) una esfera concéntrica al cuerpo de radio \(r>R\):
Campo radial. Por simetría, \(E\) es constante en \(S\).
En conclusión, un cuerpo con simetría esférica crea, en su exterior, un campo eléctrico igual al que crearía una partícula puntual con la misma carga.
Ejercicio: ¿y en su interior? Calcúlelo en el caso de:
- Que la carga esté uniformemente distribuida por la superficie de la esfera.
- Que la carga esté uniformemente distribuida por el volumen de la esfera. En ese caso utiliza la densidad de carga: \(\rho=dQ/dV=Q_{\mathrm{total}}/V_{\mathrm{total}}\), con \(\rho=\text{constante}\).
c) Plano cargado indefinido de densidad superficial de carga \(\sigma\) uniforme
Se mide en \(\mathrm{C/m^2}\). \(\vec E\) es perpendicular al plano.
La superficie gaussiana es un cilindro que atraviesa el plano. Sus tapas, de área \(S\), quedan a ambos lados, a distancia \(d\); se denominan tapa 1 y tapa 2.
Perpendicular al plano y hacia fuera si \(\sigma>0\).
Nótese que el campo creado por el plano cargado no depende de la distancia al plano.
Nótese también que esta fórmula es también una buena aproximación del campo eléctrico creado por un plano cargado que no sea infinito si estamos tan cerca de él que nos parece infinito.
c) Hilo cargado indefinido de densidad lineal de carga \(\lambda\)
\(\vec E\) es perpendicular al hilo. Elegimos un cilindro coaxial de radio \(r\), longitud \(L\) y superficie \(S\). \(\lambda=\text{constante}\).
Hacia fuera si \(\lambda>0\).
Naturaleza eléctrica de la materia
La materia que conocemos, y de la que estamos hechos, está formada por partículas cargadas:
- Cargas positivas: los protones en los núcleos de los átomos.
- Cargas negativas: los electrones que se mueven en torno a estos núcleos.
Pero la atracción y repulsión entre ellas hace que los cuerpos macroscópicos tiendan a ser neutros. No obstante, esto no quiere decir que el campo eléctrico no les afecte, ya que las partículas positivas y las negativas no se encuentran exactamente en el mismo lugar.
Materiales prototípicos son los conductores y los dieléctricos:
Dieléctricos
En ellos, todas las partículas cargadas están confinadas en una pequeña región del espacio (por ejemplo, cada electrón no puede salir de la molécula en la que está). Esto implica que, si estos cuerpos se encuentran en presencia de un campo eléctrico, las partículas cargadas que los forman no se pueden mover una distancia macroscópica de un sitio a otro. No son, por tanto, conductores de la electricidad.
Sin embargo, los campos eléctricos sí que tienen efectos sobre estos materiales ya que hacen que, dentro de la pequeña región en la que pueden moverse las cargas, se separen las cargas positivas de las negativas:
- Si se trata de moléculas apolares, la presencia de un campo eléctrico hace que los electrones se desplacen un poco hacia un lado, y los núcleos hacia el otro. Se convierten así las moléculas en pequeños dipolos (dipolos inducidos) todos con la misma orientación.
- Si se trata de moléculas polares, cada una es un pequeño dipolo. Por la agitación térmica estos dipolos están desordenados, cada uno apunta hacia un sitio distinto. No obstante, en presencia de un campo eléctrico todos se orientan con el mismo sentido.
En los esquemas: sin campo, \(\vec E=\vec0\), los dipolos presentan orientaciones distintas; con campo \(\vec E\), se orientan según el campo.
En ambos casos se dice que el dieléctrico se ha polarizado. Este efecto de polarización de un dieléctrico tiene la consecuencia macroscópica de que los campos eléctricos se apantallan un poco.
Campo eléctrico de \(Q\) en el vacío:
Campo eléctrico de \(Q\) en un dieléctrico:
A \(\varepsilon\) se le llama permitividad eléctrica del dieléctrico. Debido a este apantallamiento, \(\varepsilon>\varepsilon_0\) para todos los dieléctricos. Por tanto, en un dieléctrico podemos calcular el campo eléctrico creado por una carga \(Q\) con las mismas ecuaciones que en el vacío, pero sustituyendo \(\varepsilon_0\) por \(\varepsilon\) (siempre que el dieléctrico sea homogéneo; si no, sería más difícil).
Conductores
Son aquellos materiales en los que hay partículas cargadas que se pueden mover con cierta libertad distancias macroscópicas de un sitio a otro. A este movimiento de cargas se le denomina corriente eléctrica, y ocurre siempre que se sitúa el conductor en presencia de un campo eléctrico.
Dado que
hacer esto es equivalente a someter los extremos del conductor a una diferencia de potencial \(V=\phi_B-\phi_A\).
En el caso electrostático, como las cargas están quietas, lo que le ocurre a los conductores es muy sencillo de ver:
- En su interior \(\vec E=\vec0\), ya que si no fuera cero las cargas se moverían.
- En su superficie \(\vec E\perp\text{superficie}\), ya que si no las cargas se moverían por la superficie.
- Como \(\vec E=\vec0\) en el interior, \(\phi_B-\phi_A=0\), es decir, todo el conductor debe estar al mismo potencial.
- Por la ley de Gauss, para cualquier superficie cerrada en el interior del conductor:
\[\frac{Q_{\mathrm{dentro}}}{\varepsilon_0}=\oint_S\vec E\cdot d\vec S=0\quad\Rightarrow\quad Q_{\mathrm{dentro}}=0\quad\Rightarrow\quad\text{la carga total en el interior del conductor ha de ser cero}\]\(\Rightarrow\) la carga del conductor se distribuye sólo en su superficie.
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