By Jarrokam - Own work, CC BY-SA 4.0, Link
El descubrimiento de las geometrías no euclídeas y la formulación de la teoría de la relatividad general nos enseñó, hace ya más de un siglo, que la geometría del mundo físico no corresponde en general a la geometría euclídea que, de manera ingenua, esperábamos y que experimentamos en nuestra vida cotidiana. El nacimiento de la física moderna, con el advenimiento de la relatividad y la física cuántica, nos hizo ver que la naturaleza no tiene la obligación de ajustarse a nuestras percepciones intuitivas y limitadas. La imagen mental que teníamos del universo, construida sobre la base de nuestras experiencias diarias, no reflejaba fielmente la estructura de la realidad.
Por ejemplo, para Kant, el espacio y el tiempo eran las condiciones a priori fundamentales del conocimiento científico, inherentes a la estructura del sujeto, con lo que no provenían de los datos de los sentidos. Eran previos a la experiencia. Como condiciones a priori son universales y necesarios, y son los que hacen posible la experiencia (por ello son denominados también condiciones transcendentales). Para el filósofo de Konigsberg espacio y tiempo son el modo como percibimos todas las impresiones, no poseen contenido empírico y su validez es independiente de la experiencia. Pero en la relatividad general, el espacio y el tiempo se combinan en un solo ente, el espaciotiempo, que se curva y se deforma en presencia de energía. Esta curvatura es descrita por una geometría diferenciable y no euclidiana, conocida como geometría riemanniana (con signatura lorentziana). Las trayectorias de los objetos en movimiento no sometidas a ninguna interacción más que la gravitatoria, incluyendo la luz, no son más que geodésicas en este espaciotiempo, curvado por la distribución de energía concreta que haya. Esto supuso un desafío a la concepción kantiana del espacio y el tiempo. El hecho de que en relatividad general la materia condicione la estructura del espacio-tiempo
acaba con la idea de que espacio y tiempo son anteriores a la
experiencia. Esto impactço a los pensadores posteriores. Por ejemplo, en la base de la filosofía que caracteriza al Círculo de Viena y a su entorno de influencia, donde habría que añadir a Hans Riechenbach, se encuentran incluidas de forma esencial las enseñanzas epistemológicas y metodológicas que proporciona el estudio del surgimiento de la relatividad, estudio que obliga a un reajuste de la concepción kantiana del espacio y del tiempo. Así, Reichenbach escribía [SánchezRon1985] en 1932:
“La
teoría de la relatividad me impresionó inmensamente y me llevó a un
conflicto con la filosofía de Kant. La crítica de Einstein al problema
del espacio-tiempo me hizo darme cuenta de que el concepto de a priori
de Kant no se puede mantener.”
El propio Einstein habló sobre este tema en una conferencia sobre las consecuencias filosóficas de la relatividad en la Academia de Ciencias de Barcelona, durante el viaje que realizó a España en 1923. Para Einstein la relatividad no es contraria a la línea de pensamiento de Kant de considerar que todo conocimiento tiene una base a priori, pero impone algunas restricciones. Con la relatividad especial la simultaneidad pierde su caracterización a priori y con la relatividad general el espacio geométrico a priori también pierde su status. No puede haber geometría aparte de la física [Glick1986].
No obstante, visto a posteriori, el cambio conceptual que supuso la relatividad general sobre nuestra concepción del espaciotiempo no es tan radical como parecía. Después de todo, una variedad diferenciable localmente parece un espacio plano, con lo que el espaciotiempo en relatividad general es isomorfo al espacio de Minkowski en el entorno de cada suceso.
Pero la relatividad general no es una teoría cuántica y, si hacemos mucho zoom y nos vamos al mundo ultramicroscópico, es de esperar que los efectos cuánticos sean predominantes. La pregunta que surge entonces es si la geometría diferenciable de la relatividad general sigue siendo aplicable a escalas de longitud muy pequeña.Y eso es lo que vamos a discutor en este artículo.
Por qué la gravedad tiene que ser cuántica
En primer lugar, en relatividad general la métrica del espaciotiempo es también el campo gravitorio, con lo que hay una posibilidad de que la geometría diferencial de la relatividad general se siga aplicando microscópicamente y es que la interacción gravitatoria no sea cuántica, sino clásica. Pero esto es imposible. La gravedad tiene que estar sujeta a la mecánica cuántica porque tenemos más que comprobado que todas las demás interacciones son cuánticas. Sería lógicamente imposible que conviviera una teoría puramente clásica de la gravedad con las teorías cuánticas de las otras interacciones ya que, en una base de estados determinada las otras interacciones de la naturaleza llevan genéricamente a los sistemas físicos a superposiciones que, al ser estos sistemas físicos también fuente del campo gravitatorio, implicarían superposiciones cuánticas del mismo campo gravitatorio. Cualquier intento de combinar objetos cuánticos con los clásicos en una sola teoría nos lleva a inconsistencias insalvables.
En concreto, sería imposible que los objetos clásicos en esa teoría híbrida evolucionaran de acuerdo con los valores esperados de algunos operadores cuánticos. Si este fuera el caso, el colapso de la función de onda se convertiría en un proceso físico, ya que éste hace que cambien los valores esperados, y eso se reflejaría en las cantidades clásicas que describen a los objetos clásicos de esa teoría. Pero ya hemos explicad en este post y en este otro también que el colapso de la función de onda ni es ni puede ser un proceso físico. Eso conduciría a violaciones de la localidad y la causalidad. Uno podría transmitir información superlumínica sobre el colapso de una función de onda incluso hacia el pasado. Es totalmente esencial para la consistencia de la mecánica cuántica, y su compatibilidad con la relatividad, mantener el colapso de la función de onda como un proceso no físico. Eso prohíbe que los observables dinámicos clásicos interactúen mutuamente con los observables cuánticos. La necesidad de una descripción cuántica de la gravedad se deriva de la naturaleza cuántica del resto de las interacciones fundamentales y de la inconsistencia lógica y matemática de combinar teorías clásicas y cuánticas en un solo marco coherente.
La escala de Planck
Una vez tenemos claro que la gravedad tiene que ser cuántica también, la pregunta de si la geometría del espaciotiempo sigue siendo tal y como la conocemos una vez tenemos en cuenta los efectos cuánticos en rigor sólo puede responderse con una teoría cuántica de la gravedad. En esta teoría, además de jugar un papel fundamental la constante $G$ de gravitación universal, que nos dice cómo de intensa es la interacción gravitatoria, y la velocidad de la luz en el vacío $c$, que es la velocidad máxima de propagación de las interacciones, también entra en juego la constante de Planck $h$ o, como nos gusta usar a los físicos, la constante de Planck reducida $\hbar$. Jugando con estas tres constantes podemos definir la longitud de Planck.
La longitud de Planck $l_p$
es la única longitud que se puede construir multiplicando potencias de
$c$, $\hbar$ y $G$. Como estas tres constantes caracterizan,
respectivamente, a los procesos fundamentales en relatividad especial,
mecánica cuántica y gravitación, la escala de longitud que se obtiene
juntándolas expresa la longitud típica de los procesos gravitatorios
cuánticos y relativistas. Análogamente, con estas tres constantes se
puede definir también el tiempo de Planck $t_p$, la masa de Planck $m_p$ y la temperatura de Planck $T_p$:
Esto
hace que se pueden definir el área de Planck, el volumen de Planck, la
cantidad de movimiento de Planck, la energía de Planck, la fuerza de
Planck, la densidad de Planck, la aceleración de Planck, etc.
Se
observa que estamos hablando de longitudes, tiempos, areas y volúmenes
extremadamente pequeños en comparación con las escalas a las que podemos
acceder experimentalmente, mientras que las correspondientes masas,
temperaturas, cantidades de movimiento, energías, fuerzas, densidades y
aceleraciones son muchísimo más grandes que las que podemos conseguir
experimentalmente. No debe confundirnos el hecho de que $m_p$ y $E_p$
nos parezcan pequeñas. Son masas y energías enormes para que puedan
estar acumuladas en una sola partícula elemental. Nótese, por ejemplo,
que la masa de Planck es del orden de $10^{19} veces la masa del
protón$.
Esta escala ya fue propuesta por
Planck nada más introducir la constante que lleva su nombre para
explicar el espectro de radiación del cuerpo negro. Planck
se dio cuenta de que "es posible establecer unas unidades para la
longitud, la masa, el tiempo y la temperatura que son independientes de
cuerpos o sustancias especiales y que necesariamente conservan su
significado para todas las épocas y para todas las civilizaciones,
incluyendo extraterrestres y no humanas. Esas unidades pueden ser
llamadas “unidades naturales de medida”". Por eso llamamos sistema de unidades de Planck o unidades naturales
al sistema de unidades $l_p$, $t_p$ y $m_p$ de longitud, tiempo y masa
en el las contantes de la naturaleza $c$, $\hbar$ y $G$ valen uno. En
este sistema, por tanto, el valor numérico de las distancias coincide
con el del tiempo que tardaría la luz en recorrerlas, con lo que de
forma efectiva las longitudes y los tiempos son magnitudes con las
mismas dimensiones. Lo mismo ocurre con la masa, la cantidad de
movimiento, la energía y la frecuencia: de forma efectiva todas estas
magnitudes tienen las mismas dimensiones, que son inversas a las de
distancia.
En el sistema de unidades naturales
nos damos cuenta de que es extraño que la masas de las partículas
elementales que conocemos, las escalas de QCD y de ruptura electrodébil y
la densidad de energía oscura sean números tan extremadamente pequeños.
Para saber qué implica llevar a las partículas elementales conocidas a
tener energías comparables a la escala de Planck vamos a profundizar en
el significado físico de esta escala. Se ha extendido el mito de que,
por ejemplo, la longitud de Planck es la mínima longitud que existe
porque el espaciotiempo está formado por píxeles que tienen ese tamaño.
Sin embargo, vamos a ver que esto no es así.
El significado físico de la longitud de Planck
En
teoría cuántica de campos locales, por ejemplo, en el caso más simple,
el campo de Klein Gordon, la amplitud de probabilidad de que una
partícula de masa $m$ se propague, desde un suceso del espaciotiempo
hasta otro desconectado causalmente del primero, decrece a grandes
distancias como la exponencial decreciente
$ e^{-mcr/\hbar} $
donde
$r$ es la distancia entre ambos sucesos en el sistema de referencia en
el que ambos ocurren simultáneamente. Esta amplitud de propagación no es
cero, pero esto no supone una violación del principio de velocidad máxima de propagación de las interacciones,
ya que se puede demostrar que una medición llevada a cabo en el primer
suceso espaciotemporal no afecta a una segunda medición llevada a cabo
en el segundo suceso. Lo que esta exponencial decreciente nos está
diciendo es que existe una correlación entre esos dos puntos separados
una distancia $r$, correlación que sólo se hace despreciable si esa
distancia $r$ es muy superior a
$ \lambda = \frac{\hbar}{mc} $
Es
decir, las partículas sólo se pueden considerar como entes localizados
en un punto concreto del espacio si nuestros detectores no son capaces
de detectar variaciones espaciales de tamaño del orden de magnitud de
$\lambda$. Este es el motivo por el que a $\lambda$, a demás de longitud de onda de Compton, se la denomina el "tamaño cuántico de la partícula".
Nótese que cuanto mayor sea la masa de una partícula, menor es su
tamaño cuántico, lo que está en correspondencia con el hecho de que en
teoría cuántica de campos al dar más energía exploramos distancias cada
vez más pequeñas. También es importante señalar que lo que tenemos aquí
es una exponencial decreciente, no una función que abruptamente pasa a
valer cero a partir de un valor concreto $\lambda$.
Por otro lado, de la relatividad general sabemos que si conseguimos contraer, sin que cambie su masa, un objeto hasta un tamaño inferior al radio de Schwarzschild
Por otro lado, de la relatividad general sabemos que si conseguimos contraer, sin que cambie su masa, un objeto hasta un tamaño inferior al radio de Schwarzschild
$ R_S=\frac{2GM}{c^2} $
entonces
ese objeto se convierte en un agujero negro. Por eso al radio de
Schwarzschild se le llama también el "tamaño gravitacional del objeto". Este tamaño gravitacional es proporcional a la masa del objeto.
Imaginemos ahora que queremos crear un agujero negro de tamaño
$10^{-40}$ metros. Si hacemos la cuenta, necesitamos coger una masa de
unos $10^{14}$ veces la masa del protón y comprimirla hasta los
$10^{-40}$ metros de radio. Pero por culpa de los efectos cuánticos no
podemos hacer esto. Llegaría un momento en el que el tamaño de esa masa
se haría más pequeño que el tamaño cuántico $\lambda$ asociado a esa
masa. Por debajo de ese tamaño las partículas no están localizadas. Eso
significa que el agujero negro más pequeño que podemos tener es el que
tiene una masa que hace igual en orden de magnitud a su tamaño
gravitacional y a su tamaño cuántico. Si igualamos $R_S=\lambda$, se
obtiene que esa masa es justamente la masa de Planck y su tamaño es
justamente la longitud de Planck. Por debajo de la masa de Planck las
correcciones cuánticas afectan a un tamaño superior al radio de
Schwarzschild, de tal forma que ya no podemos asegurar que lo que
tenemos es un agujero negro porque la relatividad general deja de ser
válida a esas distancias. Es decir, la masa de Planck nos da la masa del agujero negro más pequeño que podemos tener.
A su vez, si queremos explorar distancias cada
vez más pequeñas, necesitaríamos utilizar partículas elementales cada
vez más localizadas, es decir, partículas elementales con cada vez más
masa. Pero al superar la masa de Planck, para conseguir un tamaño
cuántico inferior a la longitud de Planck, la partícula se convertiría
en un agujero negro, su radio de Schwarzschild empezaría a crecer y ya
no nos sería posible explorar esas distancias tan pequeñas (es
importante señalar que nos estamos refiriendo aquí a distancias propias,
que son invariantes relativistas porque, aunque en el sistema de
referencia en el que dos sucesos ocurren simultáneamente la distancia
entre ellos sea de tamaño superior a la longitud de Planck, en otro
sistema de referencia esa distancia será menor, y puede perfectamente
ser inferior a la longitud de Planck). En conclusión, son los
agujeros negros los que nos dicen cuál es el significado físico de la
longitud de Planck: a distancias del orden de magnitud de la longitud de Planck la geometría clásica deja de poder ser explorada experientalmente. Y, si no se puede explorar experimentalmente, entonces no tenemos ningún motivo para creer que existe. Es decir, nuestra idea de la geomatría, como geometría diferencial, deja de funcionar a distancias tan pequeñas como la longitud de Planck. Además, provocando esto los agujeros negros rompen con la propiedad que tienen las
teorías cuánticas de campos relativistas de que dar mayor energía
implica explorar distancias más pequeñas, y esta es la raíz de que
rompan con el desacoplo UV/IR de las teorías de campos efectivas, como explicaremos en un post posterior.
Es importante aquí remarcar que la existencia de la longitud de Planck no impica que el universo esté hecho de píxeles. Una vez que tenemos claro qué es la longitud de Planck, podemos entender que el valor concreto de $1,6 \cdot 10^{-35}$ metros es tan importante como cualquiera de las demás distancias del mismo orden de magnitud. No hay ningún cambio abrupto en ese valor concreto. A distancias propias de ese orden de magnitud la geometría clásica que describe la relatividad general deja de funcionar, pero eso no significa que las distancias se vuelvan discretas. El operador posición no tiene por qué pasar a tener un espectro discreto. De hecho, en el único marco consistente que tenemos ahora mismo para describir la naturaleza a esas distancias, la teoría de cuerdas, el espaciotiempo no se hace discreto a la escala de Planck. Lo que ocurre es que no es posible explorar esas distancias tan pequeñas porque no hay ningún objeto en la teoría (por ejemplo, partículas puntuales) capaces de explorarlas. Esto hace que los intervalos, las superficies y los volúmenes no se puedan localizar a escala planckiana. Como en teoría de cuerdas el espaciotiempo no es discreto, ni siquiera a la escala de Planck, el espacio de Hilbert de todos los estados cuánticos del universo no sólo no puede tener dimensión finita, sino que tampoco esta dimensión puede ser infinita numerable. Esto, junto con el hecho de que en mecánica cuántica los valores discretos que toman algunos observables son emergentes, mediante el fenómeno de las interferencias, a partir de una realidad subyacente continua, implica que es imposible que toda la física que observamos sea fruto de una simulación informática, como explico en otro post.
Es importante aquí remarcar que la existencia de la longitud de Planck no impica que el universo esté hecho de píxeles. Una vez que tenemos claro qué es la longitud de Planck, podemos entender que el valor concreto de $1,6 \cdot 10^{-35}$ metros es tan importante como cualquiera de las demás distancias del mismo orden de magnitud. No hay ningún cambio abrupto en ese valor concreto. A distancias propias de ese orden de magnitud la geometría clásica que describe la relatividad general deja de funcionar, pero eso no significa que las distancias se vuelvan discretas. El operador posición no tiene por qué pasar a tener un espectro discreto. De hecho, en el único marco consistente que tenemos ahora mismo para describir la naturaleza a esas distancias, la teoría de cuerdas, el espaciotiempo no se hace discreto a la escala de Planck. Lo que ocurre es que no es posible explorar esas distancias tan pequeñas porque no hay ningún objeto en la teoría (por ejemplo, partículas puntuales) capaces de explorarlas. Esto hace que los intervalos, las superficies y los volúmenes no se puedan localizar a escala planckiana. Como en teoría de cuerdas el espaciotiempo no es discreto, ni siquiera a la escala de Planck, el espacio de Hilbert de todos los estados cuánticos del universo no sólo no puede tener dimensión finita, sino que tampoco esta dimensión puede ser infinita numerable. Esto, junto con el hecho de que en mecánica cuántica los valores discretos que toman algunos observables son emergentes, mediante el fenómeno de las interferencias, a partir de una realidad subyacente continua, implica que es imposible que toda la física que observamos sea fruto de una simulación informática, como explico en otro post.
La longitud de Planck en d dimensiones
Una
de las predicciones de la teoría de cuerdas es que existen dimensiones
extra. Si éstas son compactas, la cantidad de movimiento de las cuerdas
en esas direcciones extra sólo puede tomar valores discretos y, si el
volumen de estas dimensiones extra es suficientemente pequeño, entonces
es posible que con las energías a las que podemos acceder
experimentalmente sólo podemos llegar al nivel de cantidad de movimiento
en esas direcciones más bajo, con lo que no seríamos capaces de
detectar esas dimensiones extra. No seríamos capaces de detectar que los
objetos se mueven en esas direcciones y no veríamos que los campos efectivos cambian al movernos en las direcciones extra.
Y hay que señalar aquí que, en
el caso de que existan esas dimensiones extra y de que éstas sean
indetectables a baja energía, la escala de Planck es distinta para la
teoría con dimensiones extra que para la teoría efectiva
cuadridimensional que describe la física a la que podemos acceder a baja
energía. En efecto, como a bajas energías en primera aproximación
podemos suponer que los campos no dependen de las coordenadas que
parametrizan las dimensiones extra, podemos hacer la intergral en el
volumen $V_{d-3}$ de estas dimensiones extras, obteniéndose:
$
S_{EH} =\frac 1{16\pi G_{d+1}^N}\int dx^{d+1}\sqrt{G_{d+1}}R_{d+1}
=\frac{V_{d-3}}{16\pi G_{d+1}^N}\int dx^{4}\sqrt{G_{4}}R_{4}$
de
donde se obtiene que la constante de gravitación de Newton en 3+1
dimensiones sería distinta a la de la teoría con más dimensiones:
$G^N_{4}=G^N_{d+1}/V_{d-3}$
En
$d+1$ dimensiones la constante de gravitación universal tiene unidades
diferentes, con lo que la relación con la longitud de Planck es
diferente:
$l_p^(d+1)=\left(\frac{\hbar G^N_{d+1}}{c^3}\right)^{1/(d-1)}$
lo que hace que la relación entre las longitudes de Planck en $3+1$ dimensiones y en $d+1$ dimensiones sea:
$l_p^{(3+1)}=l_p^{(d+1)}\left( \frac{l_p^{(d+1)}}{V_{d-3}^{1/(d-3)}} \right)^{\frac{d-3}{2}}$
Por
ejemplo, si hubiera 6 dimensiones extra con un volumen de $V_{d-3}\sim
10^{-15} m$, lo que implicaría la ley de gravitación universal tendría
un 8 en el exponente, pero sólo a distancias tan pequeñas que sin
inaccesibles a los experimentos sobre gravitación que podemos hacer hoy
en día, entonces, como $l_p^{(3+1)} \sim 10^{-35} m$, entonces se
tendría que la longitud de Planck en la teoría (d+1)-dimensional,
$l_p^{(d+1)}\sim 10^{-20} m$, no sería tan pequeña como la de la teoría
efectiva cuadridimensional a la que podemos acceder nosotros. Por
supuesto, la teoría de cuerdas también permite que haya dimensiones
extra de tamaños mucho mayores si suponemos que los campos del Modelo
Estándar vienen de la física a baja energía en unas branas de (3+1)
dimensiones y que las dimensiones extras están warpeadas.
Ya
hemos dicho que, cuanto más pequeño sea el volumen de las dimensiones
extra mayor es la cantidad de movimiento de las cuerdas que viajan en
esa dirección y que no estén en el nivel de cantidad de movimiento más
bajo. Por tanto, mayor es la energía de estas cuerdas. Pero entonces se
hace menor la energía de las cuerdas enrolladas en esas dimensiones
extra al estar menos "tensas", y se puede demostrar que esos modos de
cuerdas enrolladas acaban jugando el mismo papel que jugaban las cuerdas
que tenían cantidad de movimiento en esa dirección cuando la longitud
de ésta era grande. Hay una dualidad entre ambas descripciones
(denominada T-dualidad) que hace que los tamaños pequeños comparados con
la longitud de Planck ni siquiera tengan significado físico, al ser
duales con otros más grandes. Ambas situaciones describen la misma
física. Y este es el motivo por el que, en teoría de cuerdas, longitudes
más pequeñas que la de Planck no tienen significado físico y, a la vez,
el espacio no está pixelado, sino que es continuo.
Conclusión
En resumen, salvo que haya dimensiones extra muy grandes o warpeadas, la longitud de Planck es la mínima escala de longitud a la que podemos asignar un significado geométrico clásico
y, aun así, tendríamos la longitud de Planck de la teoría
$d+1$-dimensional jugando el mismo papel. Esta longitud de Planck la
podemos entender como el radio del agujero negro más pequeño que todavía obedece más o menos a las leyes clásicas de la relatividad general.
Objetos con menos masa (para que tengan un radio gravitacional más
pequeño) ya no se comportarían como agujeros negros, sino más bien como
partículas elementales con un tamaño cuántico más grande que la longitud
de Planck. Esto hace que la longitud de Planck sea también la
distancia más pequeña que podríamos explorar en principio con los
aceleradores de partículas más potentes que podamos imaginar antes de
que la incertidumbre cuántica de las partículas se haga del 100% por
culpa de efectos gravitacionales (aparición de agujeros negros), lo
que se manifiesta en fenómenos microscópicos no locales, fluctuaciones
cuánticas de la métrica y correcciones con derivadas más altas a la
acción de Einstein-Hilbert que hacen que ya no tenga sentido considerar
distancias más pequeñas. Es, por tanto, la distancia a la que los
axiomas de la geometría diferencial dejan de cumplirse.
Aumentar
la energía de las partículas en los colisionadores más allá de la masa
de Planck sólo serviría para que esos agujeros negros que se forman sean
cada vez más grandes, lo que implicaría tener una peor resolución.
Nótese que esto también significa que estamos obligados a tratar a
todas las teorías cuánticas de campos de interés en física como teorías
efectivas por debajo de algún cut-off inferior a la energía de Planck.
En efecto, en todas ellas, incluso aunque se trate de campos libres
(que no interaccionan con nada) hay un oscilador en cada punto del
espacio-tiempo. La teoría cuántica de campos nos dice que podemos
excitar este grado de libertad hasta energías arbitrariamente altas.
Pero la gravedad es la única interacción a la que está obligatoriamente
sometida toda la materia y energía. Una vez que acoplamos esos campos
a la gravedad, ya no es cierto que se puedan excitar esos osciladores a
energías tan altas como queramos, porque cuando se concentra suficiente
densidad de energía en una pequeña región del espacio, ésta colapsará
para formar un agujero negro. Los agujeros negros violan por tanto, el desacoplo IR/UV en el que estaba basada toda la física anterior. Pero eso lo dejamos para otro post.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
Referencias bibliográficas
- Einstein, A. (1932) “Apuntes autobiográficos para propósitos académicos” Berlin 1932. Reproducido en SÁNCHEZ RON, Jose Manuel: El origen y desarrollo de la relatividad. Alianza. Madrid.1985
- Glick, Thomas F. (1986) : Einstein y los españoles. Alianza. Madrid. 1986
- Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. (1992). "Teoría Clásica de los Campos". Volumen 2 del Curso de Física Teórica. Reverté. Primera edición. Barcelona.
- Lüst D, Vleeshouwers W (2018), "Black Hole Information and Thermodynamics" (arXiv:1809.01403)
- Ortín T. Gravity and Strings, Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-0-521-76813-9, 978-0-521-76813-9, 978-1-316-23579-9 doi:10.1017/CBO9781139019750.
- Sánchez Ron, Jose Manuel (1985): El origen y desarrollo de la relatividad. Alianza. Madrid.1985
- Wald R.M. (1984), General Relativity, Chicago Univ. Pr., 1984, doi:10.7208/chicago/9780226870373.001.0001
- Zwiebach B. (2004). A First Course in String Theory. Cambridge University Press; 2004.
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