Las partículas cargadas en movimiento constituyen una corriente eléctrica, y el proceso por el cual hay un transporte neto de carga eléctrica de un lugar a otro se denomina conducción.
Intensidad de corriente
En física fundamental toda corriente eléctrica está caracterizada por una magnitud denominada densidad de corriente:
donde \(\rho=\dfrac{dq}{dV}\) es la densidad volumétrica de carga (es una función escalar de la posición y del tiempo) y \(\vec v\) es una función vectorial de la posición y del tiempo que expresa la velocidad de las cargas situadas en ese punto. Por tanto:
En cambio, en física aplicada se suele utilizar para caracterizar la corriente la magnitud intensidad de corriente \(I\), que se define como la carga eléctrica que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. De ambas definiciones es claro que \(I\) es la integral de superficie del campo vectorial \(\vec J\):
Nótese, por tanto, que \(I\) sólo tiene sentido para una superficie dada y que es, en general, una función del tiempo. En la mayoría de los problemas de interés práctico los portadores de carga están restringidos a seguir una trayectoria de conducción cerrada denominada circuito, de tal forma que las magnitudes de interés son las intensidades de corriente en cada parte del circuito.
La densidad \(\vec J\) indica cómo fluye la carga en cada punto; la intensidad \(I\) indica cuánta carga atraviesa una sección completa por unidad de tiempo. El vector \(d\vec S\) es perpendicular a la superficie y su orientación fija qué sentido se cuenta como positivo. Si \(\vec J\) es uniforme y perpendicular a una sección de área \(A\), la integral se reduce a \(I=JA\).
Existe un teorema fundamental de la teoría del campo electromagnético denominado teorema de conservación de la carga eléctrica. Se trata de un teorema que se deduce a partir de una simetría que tiene el campo electromagnético, denominada invariancia gauge, relacionada con el hecho de que el lugar donde, por convenio, fijemos el potencial eléctrico a cero no afecta a ninguna predicción de la teoría comprobable experimentalmente.
Esta simetría implica que se conserva una cantidad: la carga eléctrica. Esto quiere decir que, si en un volumen \(V\) hay cierta carga eléctrica total, entonces esa carga no puede crearse ni destruirse. Como mucho lo que hará será atravesar la superficie cerrada \(S\) que limita al volumen \(V\) para ir a otro lado. Matemáticamente, la variación por unidad de tiempo de la carga contenida dentro del volumen \(V\) es igual a menos la carga por unidad de tiempo que atraviesa la superficie \(S\) para salir de \(V\):
En esta expresión, \(I\) es la intensidad de corriente que atraviesa \(V\) hacia fuera, y \(dq_{\text{dentro}}/dt\) es la variación de la carga contenida en \(V\).
Para una superficie cerrada, la expresión completa es
Si sale carga positiva, la carga interior disminuye: de ahí el signo menos. La conservación local también se escribe como ecuación de continuidad:
La libertad de elegir el cero del potencial es una manifestación sencilla de la libertad gauge. La relación general entre simetría y conservación requiere una formulación más amplia de la teoría, pero la consecuencia física utilizada aquí es que la carga se conserva.
Por eso \(I\) se mide en amperios (A):
En el caso de que \(I\) sea constante en el tiempo, la fórmula
(donde \(q\) es la carga que atraviesa la superficie) se simplifica a
Aquí \(q\) representa la carga transportada durante el intervalo \(\Delta t\). Si la intensidad varía, la carga transportada entre \(t_1\) y \(t_2\) se obtiene integrando: \(q=\int_{t_1}^{t_2}I(t)\,dt\).
Corriente eléctrica que circula por un conductor
Se denominan conductores a todos aquellos materiales que poseen un gran número de partículas, o uniones de partículas, portadoras de carga eléctrica, que pueden moverse casi libremente por todo el material, de tal forma que la aplicación de una diferencia de potencial eléctrico \(\phi\) entre dos extremos origina una fuerza sobre las cargas moviéndolas y dando lugar a una corriente eléctrica.
La fuerza eléctrica sobre un portador de carga \(q\) es \(\vec F=q\vec E\). Los portadores positivos se desplazan, en promedio, en el sentido del campo, y los negativos en el sentido contrario. El sentido que se asigna por convenio a la corriente es el del movimiento de las cargas positivas. En el caso de los metales, algunos de cuyos electrones pueden moverse a través de la red formada por iones positivos, el sentido de la corriente es el contrario al del movimiento real de las cargas, es decir, de los esectrones. Pero en el caso de las disoluciones electrolíticas, en las que los cationes y aniones pueden también moverse, hay cargas moviéndose en ambos sentidos.
Ingenuamente uno podría pensar que, cuando colocamos a un conductor en un campo eléctrico, entonces estos portadores «libres» de carga eléctrica se van a mover con un MRUA. Sin embargo, en los conductores los portadores de carga no son exactamente partículas libres, ya que están sometidos a choques con el resto de partículas del material. Esto implica:
- Que el movimiento de estos portadores no es uniformemente acelerado, sino, más bien, promediado en un tiempo superior al que transcurre típicamente entre choque y choque, puede suponerse en la mayoría de los casos a velocidad constante.
- Que a través de esos choques la energía que el campo eléctrico ha transferido a las cargas se transforma en energía cinética de las partículas (incluidas las partículas que no son los portadores libres de carga) del material, es decir, se invierte en aumentar la temperatura del material.
Teniendo en cuenta que cada carga acelerada una diferencia de potencial \(V=\Delta\phi\) adquiere una energía cinética \(qV\), y suponiendo que la carga cede, a través de los choques, toda esa energía cinética al conductor en forma de calor, esta energía disipada por unidad de tiempo es exactamente:
A este efecto se le denomina efecto Joule.
En el SI, \(I\) se mide en amperios y \(V\) en voltios, de tal forma que
Para deducirlo paso a paso, si una carga \(dq\) pierde energía eléctrica \(dW=V\,dq\), la potencia disipada es
En estas expresiones, \(V\) se toma como la caída de potencial positiva en el sentido de la corriente convencional. Para una carga con signo y dos puntos concretos, la variación de energía potencial es \(\Delta U=q(\phi_B-\phi_A)\), y el trabajo del campo es \(W_{A\to B}=-\Delta U\).
Conductores óhmicos
En algunos conductores, los denominados óhmicos, esta velocidad media de movimiento de los portadores de carga es proporcional al campo eléctrico aplicado sobre ellos. Esto implica que la carga total que por unidad de tiempo atraviesa una sección del conductor es proporcional al voltaje aplicado entre los extremos del mismo. A la constante de proporcionalidad se le llama resistencia \(R\) y se mide en ohmios (\(\Omega\)).
La gráfica de \(V\) frente a \(I\) es una recta que pasa por el origen. En el esquema, su pendiente se indica mediante \(\tan\alpha=R\).
Hay que recordar, sin embargo, que no todos los conductores son óhmicos, de tal forma que no siempre se cumple que \(I\propto V\). Si el voltaje aplicado es pequeño la gráfica siempre nos va a parecer una recta y, por tanto, se va a cumplir la ley de Ohm, pero con un rango más amplio de voltajes se ve en seguida que no todos los conductores son óhmicos.
Tal es el caso de:
- Las bombillas de uso cotidiano. Su filamento se calienta tanto que los átomos que lo constituyen vibran tanto que dificultan la conducción eléctrica.
- Los semiconductores. Son materiales en los que los portadores de carga necesitan cierta excitación térmica para poder situarse en la capa conductora (banda de consucción). Conducen tanto sus electrones como los huecos que dejan éstos al pasar de la banda de valencia a la de conducción, de tal forma que al aumentar \(T\) aumenta su conductividad.
- Las disoluciones electrolíticas.
Para muchos conductores óhmicos:
donde:
- \(\rho\): resistividad del material. A su inversa se le llama conductividad: \(\sigma=1/\rho\).
- \(L\): longitud de la resistencia.
- \(A\): sección transversal (en \(\mathrm{m^2}\)).
Esta fórmula corresponde a un conductor homogéneo de sección constante. Cuanto mayor es su longitud, mayor es la resistencia; cuanto mayor es su sección, menor es la resistencia. La resistividad se mide en \(\Omega\cdot\mathrm m\) y la conductividad en \(\mathrm S/\mathrm m\). El símbolo \(\rho\) se ha usado antes para la densidad de carga; aquí representa otra magnitud, la resistividad, que se distingue por el contexto.
De hecho, otra forma de expresar la ley de Ohm de forma independiente del tamaño de la resistencia es
Esta es la forma local para un material óhmico e isótropo. Para un hilo uniforme, \(J=I/A\) y \(E=V/L\), por lo que
Circuitos de corriente continua
Llamamos corriente continua a aquella caracterizada por una intensidad de corriente que no depende del tiempo, \(I\ne I(t)\). Está, por tanto, provocada típicamente por una diferencia de potencial constante en el tiempo, \(V\ne V(t)\).
Al ser \(I\ne I(t)\), es claro que estos circuitos de corriente continua han de ser cerrados. De lo contrario, se acumularían cargas en los extremos cuyo efecto iría en contra de la corriente misma. Las cargas han de realizar, por tanto, una trayectoria cerrada sin acumularse en ningún punto.
Pero, si entre los puntos A y B de un circuito hay una diferencia de potencial de \(\Delta\phi=V\) voltios, entonces las cargas que hayan ido desde A hasta B para tener menos energía potencial eléctrica ahora tendrán que ganar energía potencial para poder volver a A. Es decir, hacen falta elementos (fuentes de alimentación) que aporten esa energía potencial.
A esa energía potencial por unidad de carga se le denomina fuerza electromotriz (fem) \(\mathcal E\) y ha de ser igual a la caída de potencial entre A y B:
La fem se mide en voltios y representa energía suministrada por unidad de carga, aunque su nombre incluya la palabra «fuerza». Hay una cuestión de signo en la expresión anterior: si una carga positiva pierde energía potencial al pasar de A a B, entonces \(\phi_A>\phi_B\) y la caída positiva es \(V=\phi_A-\phi_B\). Para una fuente ideal que la devuelve de B a A, \(\mathcal E=\phi_A-\phi_B\). La expresión \(\phi_B-\phi_A\) corresponde a tomar el orden de puntos contrario. Además, la igualdad entre fem y tensión terminal supone una fuente ideal; una fuente real puede tener resistencia interna.
A las fuentes de alimentación que aportan una \(\mathcal E\) positiva se las denomina normalmente elementos activos. Ejemplos son los generadores de corriente, pilas electrolíticas (celdas galvánicas o electrolíticas), etc.
Están caracterizados por la fuerza electromotriz \(\mathcal E\) que generan, y que puede ser:
- De origen químico (cargas que se van desplazando de un extremo al otro de la pila como consecuencia de una serie de reacciones químicas espontáneas).
- De origen EM (flujos de campo magnético variables con el tiempo) (ver más adelante).
Por el contrario, los elementos pasivos son aquellos que transforman la energía eléctrica en otras formas de energía, que es, por ejemplo, lo que ocurre en una resistencia óhmica, en una bombilla o en un motor.. Si los elementos pasivos son óhmicos, están caracterizados por su resistencia \(R\), de tal forma que la intensidad que los atraviesa es
y la energía que se disipa en forma de calor:
\(P_d\) es una potencia, es decir, energía disipada por unidad de tiempo. También puede escribirse \(P_d=V^2/R\). Si la potencia es constante durante \(\Delta t\), la energía disipada es \(W=P_d\Delta t\).
Leyes de Kirchhoff
En general, para obtener la intensidad que circula por cualquier circuito de corriente continua, por muy complicado que sea, se pueden utilizar las leyes de Kirchhoff:
Ley de nodos: La suma algebraica de todas las corrientes que circulan hacia un nodo es cero (es simplemente el principio de conservación de la carga aplicado a este caso estacionario):
\[\boxed{\sum_i I_i=0}\qquad\text{para todo nodo}.\]Ley de mallas: La suma algebraica de las diferencias de potencial de todos los elementos de cualquier malla (contorno cerrado) es igual a la de las fuerzas electromotrices de la malla:
\[\boxed{\sum_i\mathcal E_i=\sum_j V_j}\qquad\text{para toda malla cerrada}.\]
En la ley de nodos se asigna un signo a las corrientes entrantes y el contrario a las salientes. De forma equivalente, \(\sum I_{\text{entran}}=\sum I_{\text{salen}}\). Si todas las flechas se dibujan hacia el nodo, alguna intensidad resultará negativa cuando el sentido real sea el contrario.
En la ley de mallas se elige un sentido de recorrido y se mantienen los signos: atravesar una resistencia en el sentido de su corriente supone una caída \(IR\); atravesar una fuente ideal desde su terminal negativo al positivo supone una subida \(\mathcal E\). Así, la suma de subidas y caídas en una vuelta completa es cero.
Ejemplos
a) Circuito con una resistencia
Si la resistencia es óhmica:
Por otro lado, la fuente aporta la fem:
Por tanto:
Circulará más corriente cuanto más pequeña sea la resistencia y más grande la fem que aporta la fuente.
b) Circuito con dos resistencias en serie
Como están en serie:
Si son óhmicas:
La fuente aporta una fem:
Sustituyendo las caídas de potencial:
El circuito se comporta como si hubiera una sola resistencia:
«Circulará menos corriente que en el caso de que esté la resistencia \(R_1\) sola».
La última frase es la que se lee en la anotación inferior: al añadir \(R_2>0\) en serie, aumenta la resistencia total y disminuye la intensidad, manteniendo la misma fem. En particular, si \(R_1=R_2=R_0\), la resistencia equivalente es \(2R_0\) y la intensidad es \(\mathcal E/(2R_0)\).
c) Circuito con dos resistencias en paralelo
Por la conservación de la carga:
Como están en paralelo:
Si son óhmicas:
La fuente aporta una fem:
En consecuencia:
El circuito se comporta como si hubiera una sola resistencia \(R\) de valor:
La intensidad de corriente es mayor que si estuviera la resistencia \(R_1\) sola.
Despejando la resistencia equivalente:
Para resistencias positivas, es menor que cualquiera de las dos resistencias individuales. Si \(R_1=R_2=R_0\), entonces \(R=R_0/2\), cada rama conduce \(\mathcal E/R_0\) y la intensidad total es \(2\mathcal E/R_0\).
Ejercicios
Ejercicio: quiero construir un brasero con dos resistencias de igual valor \(R\) para calentar mi casa. ¿Cómo se disipa más calor, colocándolas en serie o en paralelo?
Para comparar ambas conexiones debemos mantener la misma tensión de alimentación \(V\). La potencia total transformada en calor es \(P=V^2/R_{\text{eq}}\).
En serie:
En paralelo:
La comparación da:
A igual tensión y con resistencias de valor constante, la conexión en paralelo disipa cuatro veces más potencia total. Durante el mismo intervalo de tiempo, transforma en calor cuatro veces más energía.
Ejercicio: quiero construir un aparato que mida la intensidad de corriente eléctrica que pasa por una parte de un circuito (amperímetro). ¿Qué resistencia tiene que tener el amperímetro y cómo ha de colocarse (en serie o en paralelo) para que no afecte al circuito?
El amperímetro debe colocarse en serie con la parte del circuito cuya intensidad se desea medir, de modo que lo atraviese esa misma corriente. Su resistencia interna debe ser muy pequeña; en el modelo ideal, \(R_A=0\).
Si la rama tenía resistencia \(R\) y estaba alimentada por una tensión \(V\), antes de introducir el instrumento la intensidad era \(I=V/R\). Tras introducir un amperímetro de resistencia \(R_A\), resulta:
Para que \(I'\approx I\), necesitamos \(R_A\ll R\). El ideal de no alterar en absoluto la corriente corresponde al límite \(R_A\to0\).
Ejercicio: quiero construir un aparato que mida la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito (voltímetro). ¿Qué resistencia tiene que tener el amperímetro y cómo ha de colocarse (en serie o en paralelo) para que no afecte al circuito?
En la segunda pregunta del enunciado se vuelve a escribir «amperímetro», pero, por el aparato que se quiere construir, debe entenderse «voltímetro».
El voltímetro debe colocarse en paralelo entre los dos puntos cuya diferencia de potencial se desea medir. Su resistencia interna debe ser muy grande; en el modelo ideal, \(R_V\to\infty\).
La corriente que toma el instrumento es
Cuando \(R_V\) es muy grande, \(I_V\) es muy pequeña. Así, el instrumento apenas modifica la distribución de corrientes del circuito. En el límite ideal no toma corriente.
Ejercicio: diseña un experimento que nos permita averiguar si una resistencia es óhmica o no.
Se conecta el elemento a una fuente de tensión regulable. Se coloca un amperímetro en serie y un voltímetro en paralelo con el elemento. Se aplican varios valores de tensión y se registran los pares \((I,V)\), procurando mantener constante la temperatura del elemento para que el calentamiento no cambie las condiciones de la comparación.
Se representa \(V\) en el eje vertical e \(I\) en el horizontal. Si los datos forman una recta que pasa por el origen y el cociente
es constante dentro de la incertidumbre experimental, el elemento tiene comportamiento óhmico en el intervalo estudiado. La pendiente de la recta proporciona su resistencia. Si la gráfica es curva o el cociente cambia, no se comporta como una resistencia óhmica de valor constante en esas condiciones.
Corriente alterna vs. corriente continua
En inglés: Alternating Current y Direct Current, respectivamente. Sus iniciales son AC y DC (¿Como la calle de Leganés? — me preguntó una vez una estudiante).
| Corriente alterna | Corriente continua |
|---|---|
| La función \(I(t)\) es sinusoidal. | \(I(t)\) es la función constante. |
| Por tanto, la corriente tiene un período \(T\) y cambia de sentido cada medio período. | Por tanto, la corriente circula siempre en el mismo sentido. |
La corriente alterna sinusoidal de la gráfica puede expresarse como
\(I_{\max}\) es la amplitud, \(T\) el período, \(f\) la frecuencia y \(\varphi\) la fase inicial. El cambio de signo expresa la inversión del sentido de circulación. Una corriente alterna también puede tener formas no sinusoidales. La continua constante representada se escribe \(I(t)=I_0\).
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