17 nov 2024
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3 sept 2024
FÍSICA 2º BACHILLERATO. Problemas sobre conservación de L en órbitas elípticas.
Estos son los primeros problemas que podéis tratar de resolver. La solución la tenéis en Fiquipedia. Todos estos problemas se pueden resolver sin necesidad de usar la ley de conservación de la energía mecánica.
FÍSICA 2º BACHILLERATO: Problemas sobre la ley de gravitación universal y campos gravitatorios estáticos
Estos son los primeros problemas que podéis tratar de resolver. La solución la tenéis en Fiquipedia.
3 ago 2024
Si hacemos mucho zoom, ¿sigue existiendo la geometría?
El descubrimiento de las geometrías no euclídeas y la formulación de la teoría de la relatividad general nos enseñó, hace ya más de un siglo, que la geometría del mundo físico no corresponde en general a la geometría euclídea que, de manera ingenua, esperábamos y que experimentamos en nuestra vida cotidiana. El nacimiento de la física moderna, con el advenimiento de la relatividad y la física cuántica, nos hizo ver que la naturaleza no tiene la obligación de ajustarse a nuestras percepciones intuitivas y limitadas. La imagen mental que teníamos del universo, construida sobre la base de nuestras experiencias diarias, no reflejaba fielmente la estructura de la realidad.
Por ejemplo, para Kant, el espacio y el tiempo eran las condiciones a priori fundamentales del conocimiento científico, inherentes a la estructura del sujeto, con lo que no provenían de los datos de los sentidos. Eran previos a la experiencia. Como condiciones a priori son universales y necesarios, y son los que hacen posible la experiencia (por ello son denominados también condiciones transcendentales). Para el filósofo de Konigsberg espacio y tiempo son el modo como percibimos todas las impresiones, no poseen contenido empírico y su validez es independiente de la experiencia. Pero en la relatividad general, el espacio y el tiempo se combinan en un solo ente, el espaciotiempo, que se curva y se deforma en presencia de energía. Esta curvatura es descrita por una geometría diferenciable y no euclidiana, conocida como geometría riemanniana (con signatura lorentziana). Las trayectorias de los objetos en movimiento no sometidas a ninguna interacción más que la gravitatoria, incluyendo la luz, no son más que geodésicas en este espaciotiempo, curvado por la distribución de energía concreta que haya. Esto supuso un desafío a la concepción kantiana del espacio y el tiempo. El hecho de que en relatividad general la materia condicione la estructura del espacio-tiempo
acaba con la idea de que espacio y tiempo son anteriores a la
experiencia. Esto impactço a los pensadores posteriores. Por ejemplo, en la base de la filosofía que caracteriza al Círculo de Viena y a su entorno de influencia, donde habría que añadir a Hans Riechenbach, se encuentran incluidas de forma esencial las enseñanzas epistemológicas y metodológicas que proporciona el estudio del surgimiento de la relatividad, estudio que obliga a un reajuste de la concepción kantiana del espacio y del tiempo. Así, Reichenbach escribía [SánchezRon1985] en 1932:
“La
teoría de la relatividad me impresionó inmensamente y me llevó a un
conflicto con la filosofía de Kant. La crítica de Einstein al problema
del espacio-tiempo me hizo darme cuenta de que el concepto de a priori
de Kant no se puede mantener.”
El propio Einstein habló sobre este tema en una conferencia sobre las consecuencias filosóficas de la relatividad en la Academia de Ciencias de Barcelona, durante el viaje que realizó a España en 1923. Para Einstein la relatividad no es contraria a la línea de pensamiento de Kant de considerar que todo conocimiento tiene una base a priori, pero impone algunas restricciones. Con la relatividad especial la simultaneidad pierde su caracterización a priori y con la relatividad general el espacio geométrico a priori también pierde su status. No puede haber geometría aparte de la física [Glick1986].
No obstante, visto a posteriori, el cambio conceptual que supuso la relatividad general sobre nuestra concepción del espaciotiempo no es tan radical como parecía. Después de todo, una variedad diferenciable localmente parece un espacio plano, con lo que el espaciotiempo en relatividad general es isomorfo al espacio de Minkowski en el entorno de cada suceso.
Pero la relatividad general no es una teoría cuántica y, si hacemos mucho zoom y nos vamos al mundo ultramicroscópico, es de esperar que los efectos cuánticos sean predominantes. La pregunta que surge entonces es si la geometría diferenciable de la relatividad general sigue siendo aplicable a escalas de longitud muy pequeña.Y eso es lo que vamos a discutor en este artículo.
Por qué la gravedad tiene que ser cuántica
En concreto, sería imposible que los objetos clásicos en esa teoría híbrida evolucionaran de acuerdo con los valores esperados de algunos operadores cuánticos. Si este fuera el caso, el colapso de la función de onda se convertiría en un proceso físico, ya que éste hace que cambien los valores esperados, y eso se reflejaría en las cantidades clásicas que describen a los objetos clásicos de esa teoría. Pero ya hemos explicad en este post y en este otro también que el colapso de la función de onda ni es ni puede ser un proceso físico. Eso conduciría a violaciones de la localidad y la causalidad. Uno podría transmitir información superlumínica sobre el colapso de una función de onda incluso hacia el pasado. Es totalmente esencial para la consistencia de la mecánica cuántica, y su compatibilidad con la relatividad, mantener el colapso de la función de onda como un proceso no físico. Eso prohíbe que los observables dinámicos clásicos interactúen mutuamente con los observables cuánticos. La necesidad de una descripción cuántica de la gravedad se deriva de la naturaleza cuántica del resto de las interacciones fundamentales y de la inconsistencia lógica y matemática de combinar teorías clásicas y cuánticas en un solo marco coherente.
La escala de Planck
El significado físico de la longitud de Planck
Por otro lado, de la relatividad general sabemos que si conseguimos contraer, sin que cambie su masa, un objeto hasta un tamaño inferior al radio de Schwarzschild
Es importante aquí remarcar que la existencia de la longitud de Planck no impica que el universo esté hecho de píxeles. Una vez que tenemos claro qué es la longitud de Planck, podemos entender que el valor concreto de $1,6 \cdot 10^{-35}$ metros es tan importante como cualquiera de las demás distancias del mismo orden de magnitud. No hay ningún cambio abrupto en ese valor concreto. A distancias propias de ese orden de magnitud la geometría clásica que describe la relatividad general deja de funcionar, pero eso no significa que las distancias se vuelvan discretas. El operador posición no tiene por qué pasar a tener un espectro discreto. De hecho, en el único marco consistente que tenemos ahora mismo para describir la naturaleza a esas distancias, la teoría de cuerdas, el espaciotiempo no se hace discreto a la escala de Planck. Lo que ocurre es que no es posible explorar esas distancias tan pequeñas porque no hay ningún objeto en la teoría (por ejemplo, partículas puntuales) capaces de explorarlas. Esto hace que los intervalos, las superficies y los volúmenes no se puedan localizar a escala planckiana. Como en teoría de cuerdas el espaciotiempo no es discreto, ni siquiera a la escala de Planck, el espacio de Hilbert de todos los estados cuánticos del universo no sólo no puede tener dimensión finita, sino que tampoco esta dimensión puede ser infinita numerable. Esto, junto con el hecho de que en mecánica cuántica los valores discretos que toman algunos observables son emergentes, mediante el fenómeno de las interferencias, a partir de una realidad subyacente continua, implica que es imposible que toda la física que observamos sea fruto de una simulación informática, como explico en otro post.
La longitud de Planck en d dimensiones
Conclusión
Referencias bibliográficas
- Einstein, A. (1932) “Apuntes autobiográficos para propósitos académicos” Berlin 1932. Reproducido en SÁNCHEZ RON, Jose Manuel: El origen y desarrollo de la relatividad. Alianza. Madrid.1985
- Glick, Thomas F. (1986) : Einstein y los españoles. Alianza. Madrid. 1986
- Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. (1992). "Teoría Clásica de los Campos". Volumen 2 del Curso de Física Teórica. Reverté. Primera edición. Barcelona.
- Lüst D, Vleeshouwers W (2018), "Black Hole Information and Thermodynamics" (arXiv:1809.01403)
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- Sánchez Ron, Jose Manuel (1985): El origen y desarrollo de la relatividad. Alianza. Madrid.1985%\cite{Ortin:2015hya} \bibitem{Ortin:2015hya} T.~Ortin, %``Gravity and Strings,'' Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-0-521-76813-9, 978-0-521-76813-9, 978-1-316-23579-9 doi:10.1017/CBO9781139019750 %89 citations counted in INSPIRE as of 01 Aug 2024
- Wald R.M. (1984), General Relativity, Chicago Univ. Pr., 1984, doi:10.7208/chicago/9780226870373.001.0001
- Zwiebach B. (2004). A First Course in String Theory. Cambridge University Press; 2004.
1 ago 2024
¿Cuál es el significado físico del tamaño gravitacional de un objeto?
No obstante, hay otras diferencias de tipo global con Minkowski que sí que son físicamente aceptables, como la que exista una región del espacio-tiempo, denominada agujero negro, de forma que ninguna partícula o rayo de luz pueda escapar hacia el exterior de ésta. Es claro que esta definición tiene que ser matizada de alguna forma, ya que, de lo contrario, el futuro causal de cualquier suceso del espacio tiempo sería un agujero negro. Para ello hay que especificar cuál es la región del espacio-tiempo de posible escape. Vamos a restringir nuestra atención a espacio-tiempos que sean asintóticamente planos, es decir, que se hagan minkowskianos "lejos'' de alguna "región central" y esto "en todo instante de tiempo''. Para la presente discusión no necesitamos más detalles. Una definición rigurosa de espacio tiempo asintóticamente plano viene dada en [Wald1984]. Los espacios asintóticamente planos representan en relatividad general sistemas aislados. Podemos así dar la definición de que un agujero negro es una región del espacio-tiempo situada en esa "región central'' desde la que no es posible escapar hacia la región asintótica. Su frontera, que es una superficie nula, se denomina horizonte de sucesos.
Empecemos repasando algunas soluciones concretas de tipo agujero negro que aparecen en teorías que contienen la gravitación, para luego tratar el tema de forma más general. Este es un post técnico, para estudiantes universitarios de física. Si lo que buscas es un post de divulgación sobre agujeros negros, apropiado para quien tenga conocimeintos de física de nivel de Bachillerato, es mejor que leas este otro artículo.
La solución de Schwarzschild
En relatividad general, la acción para el campo gravitatorio en ausencia de materia, denominada de Einstein-Hilbert es
- Es una solución asintóticamente plana. Eso significa que esta solución describe un objeto o conjunto de objetos situado en el espacio de Minkowski.
- Es también una solución constante, ya que existe un sistema de coordenadas, las de las fórmulas anteriores, en el que los coeficientes de la métrica son independientes de una coordenada, $t$ en este caso, que hace de tiempo universal. Otra forma de verlo es que el vector que genera las traslaciones de $t$ es un vector de Killing. Como, en rigor, un campo gravitatorio producido por varios objetos que sólo interaccionan gravitatoriamente nunca puede ser constante, porque su atracción gravitatoria mutua daría lugar a un movimiento, podemos decir que se trata del campo gravitatorio producido por un sólo objeto.
- Además, es una solución estática, porque es constante y las componentes $G_{0\alpha}$ de la métrica son nulas (donde aquí $\alpha$ es un índice espacial). Ese objeto no tiene rotación.
- Si consideramos sólo el caso $R_S>0$, en $r=R_S$ algunos coeficientes de la métrica divergen. Pero esto no quiere decir que en $r=R_S$ haya una singularidad real. El análisis de los invariantes de curvatura revela que se trata sólo de una singularidad de coordenadas, es decir, que aparece sólo como consecuencia de que las coordenadas que se están usando no cubren esa región del espacio-tiempo. El uso de otros sistemas de coordenadas, como por ejemplo las de Kruskal-Szekeres, pone de manifiesto que $r=R_S$ es un horizonte de sucesos [waldrg1984]. La región interior $r<R_S$ es un agujero negro.
- Aunque $R=0$ y $R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }=0$ en todos los puntos, hay otros invariantes de curvatura, como por ejemplo $R^{\mu \nu \rho \sigma}R_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{48\left( \frac{R_S}{2G_4^N}\right)^2\cos ^2\theta }{r^6}+...$ que divergen en $r=0$. Esto pone de manifiesto que en $r=0$ hay una singularidad real, que sigue estando sea cual sea el sistema de coordenadas que se use.
- La región I, región asintóticamente plana y exterior al agujero negro.
- La región II, el interior del agujero negro. Todo observador en su interior acabará en el futuro en la singularidad.
- La región III, asintóticamente plana.
- La región IV, un agujero blanco. Todo observador en su interior tiene una singularidad en su pasado y acabar\á, en el futuro, o en la región I o en la IV.
La solución de Reissner-Nordström
- Es una solución estática y asintóticamente plana.
- Su masa ADM es $M$.
- Está cargada eléctricamente con carga $Q$ respecto del campo gauge, en el sentido de que $Q=\frac 1{16\pi G_4^N}\int_{S_\infty ^2}*F$, donde $S_\infty ^2$ es la 2-esfera centrada en $r=0$ de radio $R\rightarrow \infty $. Es decir, $Q$ se puede interpretar como la carga total del espacio-tiempo. Nótese que hemos definido así la carga eléctrica para que tenga unidades de masa (hablaremos de esto más adelante en otro post cuando definamos las unidades de Planck).
- Presenta una singularidad en $r=0$.
- Si $M>2\left| Q\right| $ hay un horizonte en $r=r_{+}$, pero también hay un horizonte interno en $r=r_{-}$, es decir, la singularidad en los agujeros negros cargados (y también los que tienen rotación) se encuentra cubierta por dos horizontes. Un aspecto extraño de estas soluciones es que hay infinitas maneras de extender la geometría del espacio-tiempo más allá del horizonte interno: las ecuaciones de Einstein dejan de producir extensiones únicas. En esta figura viene representado el diagrama conforme de una extensión analítica de la solución en el caso $M>2\left| Q\right|$. El diagrama es periódico. Al contrario de lo que ocurre en Schwarzschild, un observador en el interior del agujero negro puede evitar la singularidad y salir a otra región del espacio-tiempo asintóticamente plana.
- Si $-2\left| Q\right| <M<2\left| Q\right| $ las constantes $r_{+}$ y $r_{-}$ son complejas y no hay horizontes. La singularidad está desnuda.
- Si $M<-2\left| Q\right| $ las constantes $r_{+}$ y $r_{-}$ son reales y negativas y no hay horizonte. La singularidad está desnuda.
- El caso especial $M=2\left| Q\right| $ se denomina solución de agujero negro extremal o extremo. En ella, hay un sólo horizonte en $r=r_{+}=r_{-}=$ $G_4^NM$ cubriendo la singularidad. La relación que hay entre la carga y la masa de un agujero negro extremo de Reissner-Nordström permite que existan en la teoría soluciones estáticas que describan varios agujeros negros de este tipo en equilibrio [Ortin2015]. Como veremos más adelante en otro post, estas soluciones de agujero negro extremal son muy interesantes para la física teórica. Sin embargo, no tienen interés para la astrofísica. Es difícil que los objetos astrofísicos tengan carga neta y, si este agujero negro la tiene, entonces la fuerza eléctrica con la que repelería a una carga $q$ lejana del mismo signo (o atraería a la de signo contrario) sería proporcional a $qQ$, mientras que la fuerza gravitatoria de atracción sobre esa carga, de masa $m$, sería proporcional a $mM$. Dado que, para el electrón se tiene $q/m$ ~ $10^{21}$, y para el protón $q/m$ ~ $10^{18}$, si $Q/M$ ~ $10^{-18}$ la fuerza eléctrica con a que el agujero negro repele cargas del mismo signo sería mayor que la fuerza gravitatoria con la que las atrae, lo que hace prácticamente imposible que un agujero negro astrofísico pueda tener $Q/M > 10^{-18}$, quedando lejísimos de ser extremal.
Generalizaciones de la solución de Reissner-Nordstrom
$ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2R^2d\Omega_2^2 $
donde
$ f=\left(1-\frac{r_+}{r}\right)\left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{1-a^2}{1+a^2}},\quad R= \left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{a^2}{1+a^2}},$
y $r_-,r_+$ son las posiciones del horizonte interno y externo respectivamente, que vienen dadas como función de $Q,M$. El campo escalar y el campo gauge varían con la distancia al horizonte de sucesos de la siguiente manera
$ phi=\phi_\infty-\frac{1}{a}\log R,\quad F_{tr}=\frac{4G_4^Ne^{+a(\phi-\phi_\infty)}Q}{r^2}$
El
caso extremal corresponde con $r_h\equiv r_-=r_+$, lo que ocurre cuando
$r_h=(1+a^2)G_4^NM=\sqrt{1+a^2}G_4^NQe^{+a\phi_\infty}$ e implica que
$f=R^{2/a^2}$. Como $R(r\rightarrow r_h)\rightarrow 0$, $\phi$ diverge
en el horizonte (volviéndose así independiente de $\phi_infty$), el
acoplo gauge tiende a cero en el horizonte y el área del horizonte
$A=r_h^2 R(r_h)^2$ también se hace arbitrariamente pequeña. Por eso a
este tipo de soluciones se les denomina agujeros negros pequeños [Sen199,Sen1994].
Es importante señalar que la existencia teórica de estos agujeros
negros pequeños es independiente de cual sea la función $g(\phi)$
siempre que ésta cumpla condición de tender a cero cuando $\phi$ tiende a
infinito [Hamada2021]. Como veremos en un post posterior, los agujeros negros pequeños, aunque ausentes en astrofísica, juegan un papel muy importante en el estudio de las consecuencias que tiene la gravedad cuántica sobre la física de baja energía.
La solución de Kerr-Newman
La solución de Kerr-Newman es una familia de soluciones estacionarias de la acción de Einstein-Maxwell (sin campo escalar o con campo escalar constante) con tres parámetros $M$, $Q$ y $a$:
- Su masa ADM es $M$
- Su momento angular de rotación ADM es $J=aMG_4^N $
- Está cargada eléctricamente con carga $Q$ respecto del campo gauge. La rotación hace que la solución también tenga momento dipolar magnético.
- Presenta una singularidad en los puntos donde $r^2+a^2\left(G_4^N\right)cos^2\theta=0$, denominada singularidad de anillo.
- Si $M^2\geq 4Q^2+a^2$ la solución describe un agujero negro con horizonte en $r=r_{+}=G_4^NM+G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2-a^2}$ y un horizonte interior en $r=r_{-}=G_4^NM-G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2-a^2}$.
- Si $M^2< 4Q^2+a^2$, no hay agujero negro y la singularidad está desnuda.
El colapso gravitatorio y el significado físico del tamaño gravitacional
En el caso del colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico cargado eléctricamente con $M>2\left| Q\right| $, que produce un agujero negro de Reissner-Nordström, al igual que ocurre en el caso anterior, hay regiones de la extensión de la solución de Reissner-Nordström que no se generan. No obstante, según cómo sea el cuerpo, el colapso terminará en una singularidad o el cuerpo dejará de
contraerse y empezará a expandirse en otra región asintótica del espacio-tiempo.
Las Conjeturas de la Censura Cósmica
Si bien el estudio del colapso de un cuerpo esféricamente simétrico se simplifica bastante debido a teoremas como el de Birkhoff, el estudio del colapso no esférico es muy complicado. Una cuestión importante es saber si, en un colapso, en general no esférico, es posible que aparezcan singularidades desnudas. La evidencia más fuerte que se tiene de que esto no es posible viene del estudio de la evolución de perturbaciones lineales del colapso esférico, que siempre dan lugar a agujeros negros, en vez de singularidades desnudas. De aquí viene la conjetura, denominada de censura cósmica (en su formulación débil), de que, si se tiene un sistema aislado en una situación físicamente razonable, la naturaleza se las apaña para que, si se produce en la evolución de este sistema colapso gravitatorio, se llegue a una situación en la que todas las singularidades que se hayan formado no puedan ser vistas por un observador distante.
Una condición que se requiere para que la situación inicial sea físicamente razonable es que se cumpla la condición de energía dominante: que la velocidad de los flujos de energía asociados a la materia sea menor o igual que la de la luz. Si $t^\mu $ es un campo vectorial tipo tiempo dirigido hacia el futuro, esta condición puede expresarse matemáticamente diciendo que $-T_\nu ^\mu t^\nu $ es un campo
vectorial tipo tiempo dirigido hacia el futuro o es tipo nulo. Por ello, si $n^\mu $ es un campo vectorial que no es de tipo espacio, entonces:
Un argumento a favor de la formulación débil de la conjetura del censor cósmico es el teorema de positividad de la energía, que establece que la masa ADM de todo espacio-tiempo que sea solución de la ecuación de Einstein con un tensor energía-impulso que satisface la condición de energía dominante es no negativa y sólo se anula para el espacio-tiempo plano (bien explicado en [Ortin2015]. Pero la masa del espacio-tiempo contiene tanto la energía asociada al campo gravitatorio como la asociada a la materia y a todos los demás campos. En el colapso gravitatorio de un cuerpo, la energía gravitatoria de ligadura, que es siempre negativa, crece en valor absoluto. Si el proceso continua, llegaría un momento en el que la
energía gravitatoria se hiciera mayor en valor absoluto que la energía asociada a la materia y el resto de campos, con lo que se violaría el teorema de positividad de la energía. Por ello, lo que se espera es que,
antes de que se llegue a esta situación, aparezca un horizonte de sucesos.
Hay otra versión de la conjetura del censor cósmico, que fue la que formuló Penrose [Penrose] inicialmente, que se denomina conjetura de censura cósmica fuerte, ya que, en vez de aplicarse a observadores distantes en un espacio-tiempo asintóticamente plano, se aplica a cualquier observador en cualquier espacio tiempo. Esta versión afirma que, aparte de una posible singularidad inicial como la del big bang, ninguna singularidad es visible por ningún observador (el espacio tiempo debe ser globalmente hiperbólico).
En el colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico de masa $M>0$, que da lugar a la formación de un agujero negro de Schwarzschild, no se viola ninguna de las dos versiones dadas de la conjetura del censor cósmico: ya hemos dicho que un observador en el exterior del agujero negro
no puede ver la singularidad, y uno que cruce el horizonte tampoco, ya que ésta, al ser de tipo espacio, está siempre en su futuro. En cambio, en el agujero negro de Reissner-Nordström, que se forma en el colapso gravitatorio de un cuerpo esférico cargado de masa $M>2\left| Q\right| $, aunque se respeta la versión débil de la conjetura, se viola la fuerte: el hecho de que las singularidades sean de tipo tiempo permite en principio que un observador que haya entrado en el agujero negro las evite, emergiendo en una nueva región el espacio-tiempo asintóticamente plana, de forma que, a lo largo de este viaje, este observador ha podido ver las singularidades. Por eso la versión original de la conjetura de censor cósmico, que era la fuerte, tuvo que ser suavizada para dar lugar a la versión débil. No obstante, si, como resultado de la perturbación que supone el observador, el horizonte interior $r=r_{-}$ se convirtiera en una singularidad de tipo espacio, entonces se salvaría la conjetura fuerte. Es decir, la conjetura de censura cósmica fuerte implica que los horizontes interiores, que, como hemos indicado anteriormente, exponen situaciones en las que las ecuaciones de Einstein no tienen una solución única (en su lugar, tienen muchas), también se evitan, porque son inestables. Siempre que se añadan a estas soluciones alguna perturbación que involucre materia que cumpla con condiciones energéticas razonables, la perturbación crecería exponencialmente y, una vez que llegue a ese horizonte, el espacio-tiempo se volvería singular. Es decir, en las situaciones físicamente realistas el horizonte interior debe ser sustituido por una singularidad
En el caso de la débil, hablaremos de ella más adelante en otro post, pero en el caso de la fuerte ya tenemos claro que no es cierta. Se ha demostrado [DefermosLuk] que si realmente perturbas un poco las condiciones iniciales todavía es posible extrapolar el espaciotiempo (es decir, todavía existe localmente una solución de las ecuaciones de Einstein) un entorno finito más allá del horizonte interior del agujero negro. Al contrario de lo que dice la conjetura de la censura cósmica fuerte, el espaciotiempo puede continuar en uno que tiene que incluir una singularidad de tipo luz, en vez de de tipo espacio, así que un observador que cayera al agujero negro en principio sí podría medir información que viene de la singularidad antes de morir y la relatividad general no es capaz de proporcionar predicciones únicas para esas mediciones. Pero una teoría más completa puede producir mediciones únicas. Es sí, si la conjetura de censura cósmica débil es cierta, esas singularidades no pueden transmitir su información al observador asintótico que observa el agujero negro desde fuera de éste.
La ley de máxima tensión
El hecho de que los objetos en relatividad general tengan asociado un tamaño gravitacional tal que, si el objeto se pudiera comprimir hasta ese tamaño, colapsaría para formar un agujero negro tiene también otra consecuenca sorprendente. Para verlo, consideremos dos objetos de masas \(M_1\) y \(M_2\) separados por una distancia \(D\). La fuerza gravitacional entre ellos es, aproximadamente,
$ F = \frac{G M_1 M_2}{D^2} = \left(\frac{GM_1}{c^2D}\right) \left(\frac{GM_2}{c^2D}\right) \frac{c^4}{G}. $
Sin embargo, \(M_1 M_2\) no puede exceder \(\frac{1}{4} (M_1 + M_2)^2\) y, por lo tanto,
$ F \leq \left(\frac{G(M_1 + M_2)}{c^2 D}\right)^2 \frac{c^4}{4G}. $
Para asegurarnos de que se trata de dos objetos separados, y no de un agujero negro, se tiene que cumplir que $G( M_1 + M_2) < c^2 D$. Por tanto, la tensión o fuerza entre dos cuerpos no puede exceder el valor
$F_g = \frac{c^4}{4G} \approx 3.025 \times 10^{43} $ Newtons.
Y un valor máximo para la tasa de cambio de masa de un objeto:
$\frac{dM}{dt} = \frac{c^3}{4G} \approx 1.0009 \times 10^{35} $ kg/s.
Los Teoremas de Unicidad
- $M$ distinta de cero, $Q=0,$ $J=0$ y el resto de campos triviales es el de Schwarzschild.
- $M$ distinta de cero, $Q=0,$ $J$ distinto de cero, y el resto de campos triviales es el de Kerr, que es la solución de Kerr-Newman en la que $Q=0$.
- $M$ distinta de cero, $Q$ distinta de cero, $J=0$ y el resto de campos triviales es el de Reissner-Nordström.
- $M,$ $Q$, y $J$ distintos de cero y el resto de campos triviales, es el de Kerr-Newman.
de ausencia de pelo: sea cual sea el cuerpo que colapsa, el agujero negro al que da lugar tiene unas características que sólo dependen de su masa, sus cargas (conservadas localmente) y su momento angular.
Las leyes Clásicas de los Agujeros Negros
- (Ley cero) Para todo agujero negro estacionario puede verse que existe un campo vectorial de Killing $\chi^{\mu}$ que es normal al horizonte. Al ser el horizonte nulo, entonces $\chi_{\mu}\chi^{\mu}=0$ en el horizonte. De aquí puede deducirse que la cantidad $\kappa^2=-\frac{1}{2}\left(\nabla^{\mu}\chi^{\nu}\right)\left(\nabla_{\mu}\chi_{\nu}\right)$ denominada gravedad de superficie es constante en todo el horizonte.
- (Primera ley) El campo vectorial de Killing $\chi^{\mu}$ no coincide en general con el Killing temporal $\xi^{\mu}$, de forma que se define la velocidad angular del horizonte $\Omega_H$ como $\chi^{\mu}=\xi^{\mu}+\Omega_H\psi^{\mu} $, donde $\psi^{\mu}$ es el Killing axial, normalizado para que sus órbitas cerradas tengan periodo $2\pi$. $\xi^{\mu}$ se normaliza, al igual que $\chi^{\mu}$, para que $\xi^{\mu}\xi_{\mu}=-1$ en el infinito. Si sobre este agujero negro estacionario realizamos una pequeña perturbación con simetría axial, entonces puede demostrarse que la masa cambia en: $\delta M=\frac{\kappa}{8\pi G_4^N}\delta A + \Omega_H\delta J+ \phi_H\delta q$, donde $A$ es el área del horizonte y $\phi_H$ es el potencial electrostático $A^0$ en el horizonte, que se obtiene al pasar a un sistema de referencia que rota con el horizonte.
- (Segunda ley) El teorema del área de los agujeros negros establece que, dada una solución de tipo agujero negro que verifique que $R_{\mu\nu}k^{\mu}k^{\nu}\geq0 $ (lo que se cumple para toda solución de las ecuaciones de Einstein con materia en la que la materia verifique la condición de energía dominante) el área del horizonte nunca decrece. Así, si se tiene inicialmente un agujero negro en situación estacionaria y se realiza una cierta perturbación, la nueva situación estacionaria a la que el sistema evoluciona tiene un área del horizonte igual o mayor al de la situación inicial.
- (Tercera ley) Es imposible llegar, mediante una sucesión finita de procesos físicos, a la situación en la que $\kappa=0$.
De todo esto, tenemos la correspondencia:
Referencias bibliográficas
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%89 citations counted in INSPIRE as of 01 Aug 2024Ortín T. Gravity and Strings, Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-0-521-76813-9, 978-0-521-76813-9, 978-1-316-23579-9 doi:10.1017/CBO9781139019750.
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6 sept 2023
Si rompiendo núcleos de átomos obtenemos energía, ¿por qué uniéndolos también?
Conocemos como energía nuclear al uso de reacciones nucleares que liberan energía para generar calor. Básicamente, existen dos formas de liberar energía a partir de los núcleos de los átomos:
- la fisión nuclear, que es una reacción nuclear o un proceso de desintegración radioactiva en el que el núcleo de un átomo se divide en partes más pequeñas (núcleos más ligeros). Esta energía liberada es la que se usa con frecuencia en turbinas de vapor para producir electricidad en las centrales nucleares.
- la fusión nuclear, que es una reacción en la que dos núcleos atómicos se fusionan para formar un núcleo más pesado. Los reactores de fusión nuclear aún no son económicamente viables, pero esta tecnología se encuentra actualmente en investigación y podría ser viable en algunas décadas.
12 jul 2023
No es verdad que los físicos restemos infinito a infinito
\hspace{-1cm} U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> \ldots \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \right )^2 -
V(x_j) \right ] \> \right \} =
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar} \> \> .
$$ en la amplitud de transición entre puntos espaciotemporales cercanos domina el término cinético frente al de la energía potencial en el límite en el que hacemos tender el intervalo de tiempo $\epsilon$ a cero, es decir, en el UV (de hecho, el análisis dimensional nos dice en este caso que, da igual qué función se tome para el potencial, este término siempre será relevante y este es el motivo por el que en mecánica cuántuca de una partícula normalmente no aparece divergencias y no es necesario saber nada de renormalización). El caso del ejemplo de juguete de este post es especial porque el potencial no es una función, sino una distribución de tipo delta de Dirac.
Bibliografía
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- Motl, L. Diversos posts en el difunto blog The Reference Frame.
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- Tong, David: Lectures on Quantum Mechanics.