Por qué todos los físicos deberían estudiar unas nociones básicas de supersimetría

 

Luke es un joven inquieto que no se conforma con las cuestiones mundanas que rodean a la granja donde vive. Cuando observa las estrellas por la noche, o la puesta de los dos soles que calientan su planeta, Tatooine, siente la llamada que le lleva a tratar de desvelar los secretos del universo. Afortunadamente para él, un astrónomo retirado, llamado Obi Wan, le proporciona a Luke los datos que obtuvo su padre, Anakin, el mejor observador de cuerpos celestes de su época, acerca del movimiento de los planetas de su sistema solar.

A Luke le han dicho que su padre está muerto. No sabe que abandonó la astronomía para pasarse al lado oscuro. Ahora le lee el futuro al emperador mediante el timo de la astrología. El emperador es un señor muy malvado que paga mejor a los astrólogos que a los astrónomos. Pero Luke se dispone a continuar el trabajo que dejó a medias su padre, y descifrar así las leyes fundamentales del universo.

Los planetas a veces se mueven más rápido y a veces más despacio. Parece difícil encontrar un patrón, una regularidad. Y entonces a Luke se le ocurre una idea muy atrevida: a lo mejor los planetas cambian su velocidad para que el vector que une el astro mayor del sistema con el planeta barra áreas iguales en tiempo iguales.

A estas alturas seguro que usted piensa que es capaz de adivinar cómo continúa la historia. Luke es Kepler, y con los datos de su padre, Tycho Brahe, descubre la ley de las áreas, y también la ley que relaciona los cubos de las distancias con los cuadrados de los periodos. Este impresionante trabajo hace que, unas décadas después, una científica de la nueva generación, Rey, que es bastante más valiente e inteligente que Luke, hace de Newton y, a partir de las leyes de Luke, llega a elaborar unas leyes de la física universales, que explican tanto la caída de una manzana como el movimiento de los planetas.

Pero no. El área barrida por unidad de tiempo es, salvo constante multiplicativa, el momento angular del planeta. La ley de las áreas en realidad es la ley de conservación del momento angular. Gracias al trabajo de la matemática Emmy Noether, sabemos que a toda simetría global continua de un sistema físico le corresponde una ley de conservación. Un caso concreto es la ley de conservación del momento angular. Esta ley se cumple cuando el planeta se mueve en un campo gravitatorio con simetría esférica. Sin embargo, el campo gravitatorio en el sistema solar al que pertenece Tatooine no tiene, ni de lejos, simetría esférica, porque hay dos soles, dos objetos muy masivos cuyos campos gravitatorios no podemos despreciar. Luke gasta mucho dinero y esfuerzo en construir telescopios cada vez más grandes, en medir las posiciones con cada vez mejor precisión. Pero no hay ni rastro de la ley de las áreas. Luke, desesperado por el movimiento caótico de los planetas, acaba en una disputa muy fuerte con un malvado y poderoso astrólogo (Vader), el cual, tras cortarle la financiación, le confiesa que es su padre y le convence para que se una al lado oscuro. Luke dedica el resto de su vida a entretener a los ricos con estupideces astrológicas que nada tienen que ver con la realidad.

En nuestro Sistema Solar, cuando los meses del año quedan los sábados por la noche para jugar al Risk, piden pizzas elípticas y las cortan de tal forma que todos coman la misma porción de pizza más o menos (menos Febrero, al que descaradamente le dan menos). Pero en el sistema solar de Tatooine esto no pasa. 

La analogía no es la que esperábamos. Luke somos nosotros, y la ley de conservación del momento angular de cada planeta es la supersimetría. La supersimetría es una hipotética simetría de la naturaleza que implica que cada grado de libertad fermiónico tiene asociado uno bosónico y viceversa. Al igual que Luke vive en un sistema solar que no tiene simetría de rotación y, por tanto, el momento angular de cada planeta no se conserva, nosotros vivimos en un universo en el que existe el electrón, pero no existe su compañero supersimétrico bosónico, el selectrón. Al menos a las escalas de baja energía en las que hemos explorado el mundo de la física de partículas (bajas comparadas con la escala de Planck) este mundo no es supersimétrico. Por mucho que nos hemos esforzado no hemos encontrado compañeros supersimétricos de las partículas conocidas. ¿Debemos, por tanto, abandonar la idea de la supersimetría? Eso es lo que vamos a analizar en este artículo.

La supersimetría en la física de partículas

Hay que dejar claro que los físicos de partículas llevan décadas tomándose la supersimetría muy en serio no por una moda, como algunos desinformadores dan a entender, sino porque tenemos motivos para pensar que las leyes de la física sí son supersimétricas, sólo que esta supersimetría está rota espontáneamente porque vivimos en un vacío que no es supersimétrico, y por eso no la observamos a bajas energías. Es de esperar que a más altas energías, cuando nos acerquemos a la escala de ruptura de supersimetría, empecemos a encontrar los compañeros supersimétricos de las partículas del modelo estándar.

En primer lugar, la supersimetría ayuda a la unificación de la interacción nuclear fuerte, basada en el grupo gauge SU(3), y la interacción electrodébil, basada en SU(2)xU(1). El acoplo gauge del grupo U(1), que es el más débil a baja energía, va aumentando su valor a medida que ésta crece, lo que corresponde en distancias a que esta interacción no cumple exactamente la ley de Coulomb, sino que es más débil de lo que predice la ley de Coulomb a distancias grandes, y más fuerte a pequeñas distancias. Una forma de entenderlo es que en teoría cuántica de campos el vacío no es la nada, sino que es el estado de menor energía de los campos y, por tanto, es un ente que se polariza, apantallando a las cargas. En cambio, en los grupos SU(2) y SU(3), como los bosones gauge interaccionan entre ellos, los acoplos van disminuyendo al aumentar la energía, ya que se produce una especie de "magnetización" del vacío que potencia el valor del campo en vez de apantallarlo. Esto hace que, a medida que nos acerquemos a la escala de Planck, los tres acoplos tomen valores más cercanos de los que toman a baja energía, lo que sugiere que en realidad estos tres grupos son subgrupos de un grupo gauge simple mayor que unifique todas estas interacciones. Pero estos tres acoplos no convergen a la vez a un mismo valor a ninguna energía.

Para que haya una unificación de los acoplos gauge, hace falta, por tanto, que haya nueva fisica más allá de los pocos TeV que hemos explorado hasta ahora, y que esta nueva física haga que los acoplos converjan a un valor común. Pues bien, la supersimetría hace eso. Al aumentar el números de especies de partículas, para incluir a los compañeros supersimétricos de las partículas del Modelo Estándar, aumenta el apantallamiento, ya que hay más especies de partículas con cargas, pero el antiapantallamiento debido a los bosones gauge sigue prácticamente igual. El acoplo de SU(2) pasa entonces a ir aumentando con la energía tímidamente, mientras que el de SU(3) sigue disminuyendo, aunque más lentamente. Y esto hace que, si ponemos la escala de energía de ruptura de supersimetría no lejos de 1 TeV, los tres acoplos converjan a una escala cercana a los $ 10^{16} $ GeV.

A falta de datos experimentales sobre lo que ocurre por encima de unos pocos TeV, que converjan los acopos al aumentar la energía es un claro indicio de que las interacciones gauge pueden ser distintas caras de una misma interacción y de que las leyes de la física pueden ser supersimétricas con una escala de ruptura de supersimetría que debe estar cerca del rango que está explorando el LHC, el acelerador de partículas más potente del mundo.

Pero el principal problema que resuelve la supersimetría es el problema de las jerarquías. El Modelo Estándar es realmente una teoría efectiva que surge a baja energía de integrar los grados de libertad de mayor masa en lo que sería una teoría de gravedad cuántica que unifique todas las interacciones. Si esta teoría efectiva llega hasta escalas sólo un poco por debajo de la escala de Planck, la masa del Higgs desnuda que habría que poner en la lagrangiana efectiva tendría que estar artificialmente ajustada para que, al aplicarle las correcciones cuánticas, que serían del orden de la escala de Planck, se obtenga el valor medido experimentalmente por el LHC de 125 GeV. Sería algo así como obtener el valor de la longitud de un campo de fútbol restando la distancia que hay entre Alfa Centauri y cada una de las dos porterías. Lo natural habría sido que la masa del Higgs y la escala de ruptura electrodébil hubieran sido de un orden de magnitud similar a la escala de Planck. Se trata del problema de no naturalidad más importante que hay ahora mismo en física después del de la constante cosmológica (véase este post). Y, al igual que ocurre en el caso de la constante cosmológica (véase este otro post), en el caso del problema de las jerarquías hay quien propone que la solución es antrópica: si la masa del Higgs no estuviera ajustada tan artificialmente no estaríamos aquí para pensar en esto.  Aquí creo que son pertinentes las palabras de David Gross, Premio Nobel de Física de 2004, acerca de la conveniencia en ciencia de evitar los argumentos antrópicos:

"The main reason I think people take this anthropic argument seriously is the value of the cosmological constant: how do we explain that? [...] It is a small number [...] but we have explained such a small numbers before. Remember Dirac in 1937 [...] was worried about why is the Planck mass so much bigger than the proton mass (Mproton/MPlanck=10-19) [...] He did not invoke anthropic arguments by saying that if this number was of order 1 we would not be here! Instead he used it to make a prediction: he suggested that the ratio Mproton/MPlanck was related to the size of the universe in atomic units [...] 30 years ago the Dirac’s Mproton/MPlanck tiny ratio was explained by QCD's log running of the strong interaction coupling from the unification scale". D. GROSS (2007): «Perspectives», en Strings 07 Madrid  <http://www.ift.uam.es/strings07/040_scientific07_contents/videos/gross.mp4>.

Es decir, una posible solución de verdad, esta sí científica y no huyendo del problema, es que la escala de ruptura elecrodébil sea en realidad una escala que surge a partir de un acoplo que es débil en la escala de Planck y que se hace fuerte a baja energía, como ocurre con al acoplo de QCD, que al aumentar a baja energía produce confinamiento con partículas compuestas de masas en torno a 1 GeV. Pero para que la masa del Higgs esté determinada por una escala de confinamiento, haría falta suponer que el bosón de Higgs es en realidad una partícula compuesta de otras partículas más pequeñas, denominadas techniquarks, y esta idea no ha conseguido llevarse a la práctica de forma satisfactoria.

En cambio, los modelos de dimensiones extra sí han podido desarrollarse y han demostrado que pueden explicar por qué la masa del Higgs es tan pequeña en unidades Planck, pero trasladan el problema de naturalidad a otro lado como, por ejemplo, el tamaño de las dimeniones extra.

Por eso, de todas las posibles soluciones al problema de las jerarquías, la más natural y robusta es la supersimetría. En los modelos supersimétricos la simetría entre bosones y fermiones provoca una cancelación en las correcciones cuánticas a la masa del Higgs, mandando ésta de forma natural a una escala cercana a la de ruptura de supersimetría. De nuevo, si esta escala es cercana a lo que está ya viendo el LHC (unos pocos TeV), ya no es artificial que sumas y restas de cantidades de este orden de magnitud den como resultado 125 GeV. Otra forma de verlo es que no existen los fermiones quirales con masa, con lo que el Higgsino, el compañero supersimétrico del Higgs, tiene que tener masa nula. Si la supersimetría no estuviera espontáneamente rota, el Higgs tampoco tendría masa entonces, adquiriendo masa de un orden de magnitud cercano al de la escala de ruptura de supersimetría si ésta se produce. 

Además, recordemos que, desde Einstein, sabemos que la consistencia de las teorías es tan importante como las evidencias experimentales. En 1905 no había datos experimentales que apuntaran a que existe el fenómeno de la dilatación temporal, medible sólo si las velocidades son comparables a las de la luz. Tampoco había ningún experimento que indicara algún tipo de equivalencia entre masa y energía, medible sólo en las reacciones nucleares, ya que incluso en las reacciones químicas más exotérmicas la ley de conservación de la masa se seguía verificando experimentalmente. Pero estos fenómenos de dilatación temporal y equivalencia masa-energía se seguían necesariamente de la consistencia entre el principio de relatividad, descubierto por Galileo, y el electromagnetismo de Maxwell.

Pues bien, la supersimetría es necesaria para dar estabilidad al espaciotiempo en el único marco que tenemos para estudiar la gravedad cuántica que ha pasado test de consistencia que no son nada triviales: la teoría de cuerdas. Sin ella aparecen modos de vibración taquiónicos que nos indican que el espaciotiempo es inestable. La supersimetría es una predicción de la teoría de cuerdas. Pero no tenemos ni idea de a qué escala está rota espontáneamente.

Otro punto a favor de la supersimetría es que proporciona de forma natural especies de partículas que son candidatas a ser las responsables de la materia oscura. Una introducción pedagógica a nivel de bachillerato al problema de la materia oscura se puede escuchar en este audio:

La opción de las teorías MOND, que consiste en modificar las leyes de la física de Newton y la de Einstein para explicar por qué rotan las galaxias tan rápido sin que las estrellas escapen, está prácticamente descartada como única explicación, debido a que la hipótesis de la materia oscura tiene un soporte experimental importante también en los datos del fondo de radiación de microondas, y debido también a que las MOND son incapaces de explicar aquellas situaciones en donde el mayor efecto de lente gravitacional se da en zonas donde no está la mayor parte de la materia ordinaria, como por ejemplo, el cúmulo de la Bala. La opción de suponer que la materia oscura está formada mayoritariamente por objetos compactos fríos hechos de materia ordinaria que apenas emiten radiación electromagnética también está prácticamente descartada porque esa materia ordinaria extra entraría en contradicción con lo que sabemos de la nucleosíntesis primitiva.

La materia oscura tiene que estar formada, al menos mayoritariamente, por especies de partículas diferentes a las del Modelo Estándar, partículas masivas que, además de interaccionar débilmente, tienen que ser bastante estables para dar cuenta de la evolución observada del universo. Esta estabilidad puede ser causada por una carga conservada, que tome un valor para las partículas del Modelo Estándar y otro distinto para estas partículas extra, impidiéndoles así desintegrarse en partículas del Modelo Estándar, aunque sean más ligeras que ellas. La supersimetría es la forma más natural de hacer esto, ya que en las extensiones supersimétricas del Modelo Estándar se puede asignar un valor de paridad-R a las partículas del Modelo Estándar, y otro valor a las compañeras supersimétricas. Pero esto se puede hacer también en modelos con dimensiones extra, donde esa carga sea el momento en la dimensión extra. De hecho, la capacidad de la supersimetría para producir candidatos a materia oscura es la más débil de sus puntos a favor, porque es fácil construir modelos con candidatos a materia oscura sin supersimetría, y también modelos supersimétricos sin candidatos a materia oscura. Pero es verdad que, si la escala de ruptura de supersimetría está cerca de lo que está explorando el LHC, en las extensiones supersimétricas más sencillas del Modelo Estándar la partícula supersimétrica de masa mínima, el neutralino (una mezcla de los supercompañeros del fotón, el bosón Z y el Higgs), tiene todas las propiedades adecuadas de masa e intensidad de las interacciones para explicar la totalidad de la materia oscura que hemos estimado hay en el universo.

Por las razones dadas anteriormente, muchos físicos de partículas ven probable desde hace décadas que la escala de ruptura de supersimetría sea muchísimo más baja que la escala de Planck, incluso que sea del mismo orden de magnitud que las energías más altas que explora el LHC, en torno a 10 TeV. Aunque no disponemos de ningún argumento cuantitativo y contundente, cuanto más ligeras sean las compañeras supersimétricas del Modelo Estándar, de forma más natural se explica que la masa del Higgs sea de 125 GeV, que las interacciones gauge unifiquen y que la materia oscura esté hecha mayoritariamente de partículas masivas estables y débilmente interactuantes. Si no fuera así, estos problemas no se resolverían completamente.

Pero el hecho de que no se haya observado todavía ni rastro de supersimetría en el LHC ha animado a los haters de la supersimetría, y también de la teoría de cuerdas, a incrementar su campaña contra ella. En mi opinión, la actividad de estos haters en medios, blogs y vídeos en redes sociales está siendo perjudicial para los estudiantes de física. Estar expuestos a un bombardeo continuo que presenta a la supersimetría como una idea fracasada promocionada por vendedores de humo a lo que lleva es a desmotivar a los estudiantes para estudiarla. Y al no estudiarla se pierden mucho. Muchísimo.

La primera idea que quiero exponer en este artículo es que no saber nada de supersimetría te impide entender y te deja al márgen de buena parte de las investigaciones más activas y prometedoras que se hacen en fisica de partículas. Aunque el LHC no haya encontrado indicios de supersimetría, y aunque no los encuentre en lo que le queda de funcionamiento (la tercera fase que acaba de arrancar), extender el Modelo Estándar con las compañeras supersimétricas de las partículas conocidas sigue siendo la solución más racional y más seria a los problemas anteriores de todas las opciones que se han propuesto. Por supuesto, a medida que se va descartando la supersimetría al ampliar el rango de parámetros explorado por el LHC, la confianza de los físicos de partículas en que esa va a ser la solución va disminuyendo. Pero no se va a hacer cero, ya que el LHC no va a poder cubrir todo el rango posible de parámetros. Y a falta de nuevas ideas y, sobre todo, de indicios en los datos del LHC que nos apunten hacia una alternativa distinta a la supersimetría, la confianza de la comunidad en la supersimetría no está disminuyendo respecto de las otras alternativas, ya que las otras alternativas no tienen la habilidad que tiene la supersimetría de resolver simultáneamente problemas tan distintos, ni son tan profundas, tan elegantes ni tan completas.

A esto hay que añadir el hecho de que, al no haberse encontrado indicios experimentales de nueva física, todos los modelos que van más allá del Modelo Estándar tienen que ser ajustados para que a bajas energías predigan casi lo mismo que el Modelo Estándar, y esto los hace menos probables en cualquier inferencia bayesiana (véase este otro post). De todos ellos, los supersimétricos son precisamente los que necesitan menos ajustes para hacerlos consistentes con los datos que tenemos, ya que la supersimetría es una teoría desacoplante: cuanto mayor sea la escala de ruptura de supersimetría mejor concuerda con los datos del Modelo Estándar. La única excepción a esta regla es que predecía que el bosón de Higgs tenía que ser ligero, no mayor de 135 GeV, y este test ya lo pasó la supersimetría satisfactoriamente en 2012. La supersimetría es la menos ad hoc de todas las alternativas y resiste mejor la ausencia de nuevos indicios experimentales de nueva física.

 

La supersimetría como parte de la mecánica cuántica

Imaginemos un tablero de 8x8 cuadrados, y que tenemos un montón de fichas de dominó, cada una de las cuales ocupa exactamente 2 cuadrados.

Si eliminamos la casilla superior izquierda, ¿es posible cubrir todo el resto del tablero, y sólo eso, con fichas de dominó?

Está claro que no. Al eliminar una casilla, en vez de 64 casillas ahora tenemos 63, un número impar. Y no podemos cubrir un número impar con fichas de dominó porque cada ficha ocupa 2 casillas.

Así que vamos a eliminar dos casillas: la casilla naranja y la casilla verde.

Ahora nos quedan 62 casillas. Es un número par. Intente, querido lector, cubrir esas 62 casillas con fichas de dominó. No siga leyendo hasta que no haya terminado el ejercicio.

¿Cómo va?

¿Ya está?

¿Todavía no?

¿Y ahora?

¿Está disfrutando del reto?

¿O está usted enfadado?

La verdad es que usted tiene motivos para estar enfadado, ya que le he puesto un ejercicio que no tiene solución. A pesar de ser un número par, no se pueden cubrir esas 62 casillas con fichas de dominó. Con el dibujo que le he puesto arriba es difícil de entender el motivo, pero si coloreamos las casillas como en un tablero de ajedrez, entonces se ve todo mucho más claro.

Cada ficha de dominó cubre, simultáneamente, una casilla blanca y un negra. Por tanto, poniendo casillas de dominó siempre vamos a cubrir el mismo número de casillas blancas que de negras. Y resulta que las dos casillas que habíamos eliminado del tablero de ajedrez eran blancas. No podemos cubrir 30 blancas y 32 negras con fichas de dominó. En todos los intentos que usted ha realizado siempre le han quedado 2 casillas negras por cubrir, las 2 pobres casillas negras que se han quedado sin pareja.

Pero en el tablero original yo no había pintado las casillas de color blanco o negro. No había ninguna división de las casillas en clases sociales. ¿Cómo es posible que el resultado de un problema que no tiene nada que ver con los colores, como es el caso de cubrir el tablero con fichas de dominó, depende de si las casillas son blancas o negras? Pues porque en un tablero de ajedrez las casillas son blancas o negras aunque tú no las pintes. La división de los cuadrados de un tablero de ajedrez en blancos y negros está ahí, aunque no los pintemos. Es una propiedad matemática que tienen los tableros de ajedrez, los coloremos como los coloreemos. Lo que es arbitrario es el nombre que queramos dar a esas dos clases sociales: blancos y negros, o al revés, negros y blancos, o burgueses y obreros, o los de arriba y los de abajo. Da igual el nombre que le pongamos, pero lo que no podemos hacer es ignorar que todo tablero de ajedrez tiene la propiedad matemática de separar a las casillas en dos grupos. Si queremos entender realmente como es un tablero de ajedrez no podemos actuar como si no existiera esa división, de la misma manera que para combatir y/o mitigar la catástrofe climática que se nos viene encima no se puede ignorar que el mundo se divide entre las personas que emiten muchos gases de efecto invernadero y las que emiten poco. No vale, como pretenden los ricos, echarle la culpa a todos por igual. Unos tienen que cambiar por completo su modo de vida, y los otros sólo algunas pequeñas cosas. Los que tienen poder son los principales responsables de la crisis climática, y también de las crisis económicas. Los demás no.

Pues bien, a la supersimetría le pasa lo mismo que a la propiedad del tablero de ajedrez de tener divididas sus casillas en blancas o negras. Esa propiedad está ahí, aunque haya quien quiera ignorarla. Por ello, y este es el segundo punto a tener en cuenta, la idea más importante que debemos transmitir a los estudiantes es que, incluso aunque nunca encontremos a las compañeras supersimétricas de las partículas elementales conocidas, esto no querría decir que la supersimetría no sea importante en las ciencias físicas. Aunque nuestro universo no sea supersimétrico, la supersimetría está ahí, desde que la hemos descubierto, como parte de la física. No se puede ir, porque, como vamos a ver, es una propiedad de la mecánica cuántica. No se puede desaprender, y ha cambiado ya la física teórica para siempre. A nadie se le ocurriría decir que no es importante el concepto físico del momento angular para estudiar un sistema estelar como el de Tatooine porque ahí el momento angular de cada planeta no se conserva. ¿Por qué hay quién dice que debemos eliminar la idea de la supersimetría en física porque en el LHC no han encontrado ninguna compañera supersimétrica?

Todo físico con una sólida formación sabe que las transformaciones que no son simetrías también son muy importantes en física. Sirva como ejemplo el del grupo de Heisenberg, también llamado grupo de Weyl, que es el grupo generado por todas las traslaciones en el espacio de fases de un sistema cuántico. Ningún sistema cuántico es invariante ante el grupo de Heisenberg completo, porque no existe ningún sistema invariante ante traslaciones simultáneas de todas las posiciones y todos los momentos. Sin embargo, el grupo de Heisenberg es fundamental en mecánica cuántica, ya que la única representación unitaria que tiene (por el teorema de Stone-Von Neumann) es la que determina por completo la mayor parte de la estructura matemática que se describe en los manuales estándar de mecánica cuántica acerca del movimiento de una partícula. Por ejemplo, podemos coger el estado fundamental del oscilador armónico, trasladarlo en las coordenadas y en los momentos y generar así todos los estados coherentes, estados que son importantísimos en física. Si llamamos $|0\rangle $ al estado fundamental del oscilador armónico, el resto de estados coherentes $|\alpha\rangle $ que se obtienen son:

$ |\alpha\rangle = \hat{D}(q,p) |0\rangle = \exp \left[ \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a} \right] |0\rangle=$

$= e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$

Estos estados tienen las mismas indeterminaciones en $q$ y en $p$ que $|0\rangle $, pero están centrados en el punto $(p,q)$ del espacio de fases tal que

$ \alpha= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} \left[m \omega q + i  p \right] $

Nótese que, normalizando estos estados coherentes de otra manera: 

$ |\alpha\rangle_{\rm bad}= e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle $

se tiene

$ \hat{a}^\dagger |\alpha\rangle_{\rm bad}= \frac{\partial}{\partial \alpha} |\alpha\rangle_{\rm bad}$

$ \hat{a} |\alpha\rangle_{\rm bad}= \alpha |\alpha\rangle_{\rm bad}$

con lo que se puede representar cada estado cuántico $|\psi\rangle$ mediante una función holomorfa en $\alpha^*$

$ \psi(\alpha^*)= _{\rm bad}\langle \alpha |\psi\rangle $

A esta representación se la denomina representación holomorfa o Bargmann-Fock. Nótese que se trata de una representación en la que el operador aniquilación actúa como $\frac{\partial}{\partial \alpha^*} $, mientras que el operador creación actúa como una multiplicación por $\alpha^*$.

Es decir, al igual que los operadores momento angular, que generan las rotaciones espaciales, son importantes aunque el sistema no tenga simetría de rotación, al igual que los operadores momento, que generan las traslaciones espaciales, también son importantes aunque no haya simetría de traslación, y al igual que los generadores del grupo de Heisenberg nos dan una estructura imprescindible para entender la mecánica cuántica de una partícula, el uso de las supercargas, que son los operadores que generan las trasformaciones supersimétricas, es muy importante en mecánica cuántica, haya o no supersimetría en la naturaleza.

Todos estamos de acuerdo en que tener conocimientos científicos te hace ver más cosas cuando observas el mundo. Todas las personas son capaces de ver este paisaje:

pero sólo las personas que han tenido la suerte de haber recibido formación científica, y se han esforzado en aprovecharla, son además capaces de ver esto otro:

Saber ciencia hace que el mundo sea más rico, más bello y más profundo.

Que yo sepa, la supersimetría no se estudia actualmente en España en el grado de física en ninguna facultad. Por tanto, para los estudiantes de física estudiar unas nociones básicas de supersimetría es completamente opcional, ya sea por su cuenta o haciendo luego un máster en física teórica donde se trate. Como ejemplo de lo que se pierden aquellos que, guiados por la mala publicidad, deciden ignorar la supersimetría, voy a contar un detalle acerca del volumen 3 del Curso de Física Teórica de Landau-Lifshitz que pocos conocen.

En la sección 111, Landau y Lifshitz resuelven el típico problema que siempre cae en el examen de acceso a la universidad que consiste en un electrón no relativista que se mueve en el plano XY en presencia de un campo magnético constante y uniforme perpendicular a ese plano. Pero no lo resuelven en mecánica clásica, como se pide para entrar en la universidad, sino en mecánica cuántica. En cuántica este problema tiene cosas mucho más interesantes.

Una de las dificultades que tiene estudiar el movimiento de una partícula cargada en presencia de un campo magnético es que, en este caso, los momentos canónicos $\vec{p}$ no tienen significado físico porque son dependientes del gauge elegido, y son diferentes de los momentos cinéticos $\vec{\Pi}=\vec{p}-q\vec{A}$ (los que sí tienen significado físico y se pueden interpretar como la masa por la velocidad). Lo interesante aquí es que, aunque los momentos canónicos conmutan entre sí, y por eso son precisamente canónicos, los momentos cinéticos no conmutan.

$$ [\Pi_x,\Pi_y]=i\hbar qB $$

Aquí se observa que $\Pi_x/(qB)$ y $\Pi_y$ juegan, por tanto, el papel de operadores posición y momento respectivamente. Además, en términos de los momentos cinéticos el Hamiltoniano es

$$ H=\frac{1}{2m}\Pi_x^2+\frac{1}{2m}\Pi_y^2 +\frac{1}{2m}p_z^2$$

ya que $\Pi_z=p_z$ en este problema. Jugando a que $\Pi_x/(qB)$ hace de coordenada, y $\Pi_y$ hace de su momento conjugado, la parte del Hamiltoniano que corresponde a los grados de libertad en el plano XY es exactamente el Hamiltoniano de un oscilador armónico de frecuencia angular $\omega=qB/m$, que es justo la frecuencia angular del movimiento circular uniforme que describiría la partícula si fuera clásica. En esta sección del libro, Landau y Lifshitz explican que los estados fundamentales de esta partícula cargada (hay que señalar que los niveles de energía son infinitamente degenerados) se pueden encontrar, por tanto, definiendo el operador aniquilación de este oscilador armónico como se hace habitualmente

$$a= \sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}}(\Pi_x/(qB)+\frac{i}{\omega}\Pi_y)$$

e imponiendo que todo estado fundamental es aniquilado por este operador. El resto de estados excitados se pueden obtener aplicando el operador creación $a^\dagger $ sobre cada estado fundamental, dando lugar a unos niveles de energía caracterizados por los autovalores del operador número, es decir, por el número cuántico natural $N$. A estos niveles de energía de una partícula cargada en un campo magnético uniforme se les denomina niveles de Landau.

Pero, en el caso del electrón, hay otro término que añadir al Hamiltoniano, puesto que el electrón, debido a su espín, tiene momento magnético $\vec{\mu}=\frac{gq}{2m}\vec{S}$, y este momento magnético interacciona con el campo magnético proporcionando una energía adicional $ -\vec{\mu}\cdot \vec{B} $. Se obtiene así

$$ H=\hbar \omega (N+\frac{1}{2}-\frac{g}{2}S_z/\hbar) +\frac{1}{2m}p_z^2 $$

donde recordemos que $S_z=\hbar \sigma$ toma valores $+\hbar/2$ o $-\hbar/2$, en función de si el electrón tiene el espín en el sentido del campo magnético o en sentido opusto. Esto hace que cada nivel de Landau se desdoble en dos subniveles (espín hacia arriba y espín hacia abajo).

Landau y Lifshitz terminan la sección con la siguiente observación:

No añaden nada más. Los niveles $(N,\sigma=+1/2)$ y $(N+1,\sigma=-1/2)$ son exactamente los mismos en el caso concreto de que la relación giromagnética valga $g=2$, que es justo lo que le ocurre al electrón a primer orden. Se trata de una curiosa degeneración extra que se obtiene justo para ese valor de $g$, ¿verdad? ¿Qué nos indica esa degeneración? ¿Qué es lo que se ve aquí? Pues eso depende de la formación que tenga cada uno. Voy a explicar lo que yo veo:

Este tipo de degeneraciones adicionales en los autovalores de la energía lo que nos está diciendo es que debe existir algún tipo nuevo de operador $Q$ que conmuta con el hamiltoniano y que genera una simetría nueva. Pero este operador no conmuta con la parte del hamiltoniano que describe el oscilador armónico, ya que cambia al operador número en una unidad. Para entender qué hace este operador vamos a mirar al oscilador armónico con otros ojos.

En teoría cuántica de campos, un campo bosónico escalar está formado por infinitos osciladores armónicos (uno por cada posible valor de la cantidad de movimiento), cada uno de los cuales tiene un autoestado de energía que viene caracterizado por el operador número $N$ de esa oscilación armónica. Se dice entonces que hay $N$ partículas bosónicas con esa cantidad de movimiento. Este número natural $N$ puede ser mayor que 1, ya que los bosones no cumplen el principio de exclusión de Pauli y, por eso, al oscilador armónico, en el que $N=0, 1, 2, 3, 4...$ también se le denomina oscilador bosónico. En cambio, si se trata de un campo fermiónico, entonces, por el principio de exclusión de Pauli, cada "oscilador" sólo puede tener dos posibles autoestados de energía, caracterizados por el número $N_F$, que vale 0 o 1. Por eso a todo sistema de dos niveles se le puede llamar oscilador fermiónico [Shankar2008, Das2008]. Por ello, podemos considerar al espacio de estados de espín del electrón en el problema del Landau como un oscilador fermiónico.

¿Tiene este oscilador fermiónico operadores creación y aniquilación? Claro. Recordemos que el operador $S^-=S_x-iS_y$ aniquila el estado "espín para abajo", al que vamos a llamar $|N_F=0\rangle$, mientras que $S^+=S_x+iS_y$ convierte al estado "espín para abajo" en estado "espín para arriba", al que vamos a llamar $|N_F=1\rangle$. Por ello, los operadores creación y aniquilación fermiónicos son $ a_F=S^-/\hbar$ y $a_F=S^+/\hbar$. Pero estos operadores creación y aniquilación se comportan de manera distinta a los del oscilador bosónico. El motivo es que, si bien en el oscilador bosónico se cumplen estas relaciones de conmutación:

$[a, a^\dagger]=1$

$[a,a]=[a^\dagger, a^\dagger]=0$

en el fermiónico se tienen las mismas relaciones pero si cambiamos conmutadores por anticonmutadores:

$\{a_F, a_F^\dagger \}=1$

$\{a_F,a_F\}=\{a_F^\dagger, a_F^\dagger\}=0$

Estas relaciones implican que

$(N_F-1)N_F=N_F^2-N_F=a_F^\dagger a_F a_F^\dagger a_F - a_F^\dagger a_F= a_F^\dagger (1-a_F^\dagger a_F) a_F  - a_F^\dagger a_F  =0 $

con lo que ahora el operador número $N_F=a_F^\dagger a_F$ sólo puede tener de autovalores 0 o 1.

Y hay más. De la misma manera que el hamiltoniano del oscilador bosónico se puede escribir como un anticonmutador

$H_B=\frac{\hbar \omega}{2} \{ a, a^\dagger \}=\hbar\omega (N+1/2)$

el hamiltoniano del oscilador fermiónico de este problema se puede escribir como un conmutador:

$H_F=\frac{\hbar \omega_F}{2} [ a_F, a_F^\dagger ]=\hbar\omega_F (N_F-1/2)$

donde $\omega_F$, la frecuencia característica de este oscilador fermiónico, es igual a $g\omega/2$. ¿Qué ocurre, por tanto, en $g=2$? Pues que el sistema cuántico está formado por el producto tensorial de dos osciladores de la misma frecuencia, uno bosónico y otro fermiónico. ¡Es un sistema supersimétrico!

¿Cuáles son los operadores que generan esta supersimetría? Pues aquellos que cambian una excitación bosónica por una fermiónia y viceversa. Es decir, aquellos que destruyen una excitación bosónica y crean a la vez una fermiónica y viceversa:

$Q_+=\sqrt{\hbar\omega} a a_F^\dagger $

$Q_-=\sqrt{\hbar\omega} a^\dagger a_F$

Estos operadores conmutan con el hamiltoniano total $H=H_B+H_F$. No son hermíticos, sino adjuntos uno del otro, pero con ambos se pueden construir dos operadores hermíticos

$Q_1=Q_++Q_-$

$Q_2=-i(Q_+-Q_-)$

Nótese que estos operadores hermíticos, que se denominan supercargas, anticonmutan entre ellos

$\{Q_1,Q_2\}=Q_+^2=Q_-^2=0$

y que su anticonmutador con ellos mismos es

$\{  Q_1,Q_1  \}=\{  Q_2,Q_2  \}=2Q_1^2=1Q_2^2=2\{ Q_+,Q_- \}=2H$

Estas ecuaciones constituyen el denominado álgebra de supersimetría, que no es un álgebra de Lie, sino que forma parte de una generalización de éstas, denominadas superálgebras, ya que en algunos casos hay anticonmutadores en vez de conmutadores.

Como $Q_1$ se puede escribir de la forma:

$Q_1=\sqrt{\frac{1}{2m}} (2 \frac{S_x}{\hbar}\Pi_x+2 \frac{S_y}{\hbar}\Pi_y)$

la última ecuación del álgebra de supersimetría a lo que da lugar es a la ecuación de Pauli $H=Q_1^2$, que fue un ecuación que propuso Pauli para intentar explicar el movimiento del electrón alrededor de una átomo teniendo en cuenta, además de sus coordenadas orbitales, también su espín, y cómo este se acopla con un campo magnético. Esta ecuación predice $g=2$, pero no predice el acoplo espín-órbita, cuyo origen es relativista, para lo que hace falta la ecuación de Dirac. Merece la pena comentar que el valor de $g$ en la naturaleza no es exactamente igual a 2, sino a $2,00231930436321(23)$, pero para obtener este valor corregido no nos vale tampoco con la ecuación de Dirac, sino que hay que ir a la teoría cuántica de campos.

Lo que hacen Landau y Lifshitz, y también Pauli, sin saberlo, porque la supersimetría se descubrió años después de que se escribieran estos libros, es descubrir que se obtiene un sistema cuántico supersimétrico cuando combinamos un oscilador fermiónico y uno bosónico correspondientes a la misma frecuencia. Un electrón moviéndose en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme y constante es el sistema supersimétrico más sencillo que hay. Si es posible encontrar supersimetría en el Landau-Lifshitz, ¿cómo no la vamos a encontrar en el LHC? ;-)

El electrón en un campo magnético es un caso particular de una familia de teorías cuánticas supersimétricas [Witten1981, Witten1982] que se puede obtener si generalizamos la definición de $a$ mediante una función diferenciable $W(q)$, que se denomina superpotencial:

$a= \sqrt{\frac{1}{2}} \left( W^\prime \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right)+\frac{i}{\sqrt{m\omega\hbar}} p \right) $

Esto hace que la relación de conmutación entre el operador aniquilación bosónico y su adjunto, el operador creación, cambie:

$ [a,a^\dagger]=W^{\prime\prime} \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right)$

con lo que no tenemos ya un oscilador armónico. La partícula está sometida ahora a un potencial diferente al del oscilador armónico, ya que el hamiltoniano es ahora

$H=Q_1^2=\frac{1}{2m}p^2+\frac{\hbar\omega}{2}\left( W^\prime \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right) \right)^2+\hbar\omega W^{\prime\prime} \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right) \left( N_F-1/2 \right) $

mientras que ahora la parte que se corresponde con el oscilador fermiónico tiene una frecuencia angular que depende de $q$. Este hamiltoniano se ha construido definiendo las supercargas en función de los operadores creación y aniquilación de la misma manera que antes. Se observa que, por culpa de la introducción del superpotencial, este sistema ahora puede ser muy complicado, pero la teoría sigue siendo supersimétrica, y esto facilita mucho las cosas porque a partir del álgebra de supersimetría es posible deducir algunas propiedades que tienen que tener todas las teorías cuánticas supersimétricas [Gendenshtein1985, Alvarez1991].

Por ejemplo, al ser el hamiltoniano el cuadrado de un operador hermítico $Q_1$, los autovalores de la energía no pueden ser negativos. Además, si $E_n$ es un autovalor de la energía no nulo, entonces, como

$\{  Q_+/\sqrt{E_n},Q_-/\sqrt{E_n} \}=1$

y tanto $Q_+$ como $Q_-$ conmutan con $H$, los estados estacionarios correspondientes a ese autovalor $E_n$ tienen que venir en parejas, donde un miembro de la pareja (el estado fermiónico, con $N_F=1$), se obtiene a partir del otro (el estado bosónico, con $N_F=0$) aplicando el operador $Q_+$. Por eso esta partícula tiene tantos estados excitados fermiónicos como bosónicos. Definiendo el operador $(-)^F=(-1)^{N_F}$, podemos asignar un $+1$ a cada estado bosónico y un $-1$ a cada estado fermiónico. En el caso más simple del electrón en un campo magnético constante se tiene el espectro de que describen Landau y Lifshitz, con esa degeneración adicional entre los estados excitados bosónicos y fermiónicos que ocurre en todas las teorías supersimétricas.

En cambio, si $E=0$ es un autovalor de la energía, entonces los estados estacionarios correspondientes a $E=0$, que tienen que ser estados fundamentales, los de menos energía, no tienen por qué venir en pares, como se aprecia en el ejemplo más simple de la figura. Puede haber más estados fundamentales bosónicos que fermiónicos o viceversa. A la diferencia entre ambos números se le llama índice de Witten. Modificando de forma continua algún parámetro del que el superpotencial tenga dependencia analítica se puede conseguir que estados con energía nula aumenten su energía, pero esto tienen que hacerlo en parejas (un estado bosónico con uno fermiónico). Análogamente, se puede conseguir que una pareja de estados excitados disminuya su energía hasta valer cero, pero eso añade un nuevo estado bosónico fundamental y uno nuevo fermiónico, con lo que el índice de Witten se mantiene invariante.

El álgebra de supersimetría también implica que los estados con energía nula sean aquellos que son aniquilados por $Q_+$, y también por $Q_-$. Por eso estos estados no tienen pareja. Estas dos condiciones hacen que encontrar estos estados sea relativamente sencillo, de forma análoga a lo que ocurre en el oscilador armónico, donde el estado fundamental se encuentra imponiendo que sea aniquilado por $a$. Esto da lugar a una ecuación diferencial más sencilla que la que surge de tratar de diagonalizar $H$. Si hay solución a la ecuación $Q_1 |\psi\rangle=0$, entonces el estado fundamental de la teoría (o estados fundamentales si son varios) es invariante bajo transformaciones de supersimetría. Pero si no la hay, entonces la supersimetría está rota espontáneamente, y el estado fundamental tiene una energía positiva, distinta de cero.

Vale, pero esto de la supersimetría es sólo un caso particular que ocurre en algunas ocasiones, por ejemplo, en el caso del electrón en un campo magnético, sólo si $g=2$. En general las teorías cuánticas no son supersimétricas, con lo que la supersimetría no sirve para nada, ¿verdad?

Pues resulta que la supersimetría es útil incluso en casos en los que no la hay por ningún lado. Se le han encontrado multitud de aplicaciones en muchísimos campos distintos de la física. Allá donde se aplique la mecánica cuántica, también es útil la supersimetría [Cooper1995].

En ejemplo inmediato que se sigue de lo que acabamos de ver aquí es lo que ocurre si, en la familia anterior de teorías supersimétricas, separamos los sectores correspondientes a $N_F=0$ y $N_F=1$. En cada uno de ellos el hamiltoniano es distinto:

$H_0=\frac{1}{2m}p^2+\frac{\hbar\omega}{2}\left( W^\prime \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right) \right)^2-\frac{\hbar\omega}{2} W^{\prime\prime} \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right) $
$H_1=\frac{1}{2m}p^2+\frac{\hbar\omega}{2}\left( W^\prime \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right) \right)^2+\frac{\hbar\omega}{2} W^{\prime\prime} \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q \right) $

Es decir, en cada uno de los dos sectores podemos considerar que la partícula se mueve en un potencial diferente. Pero en la teoría supersimétrica, los niveles de energía con $N_F=0$ y $N_F=1$ son los mismos, y los autoestados de la energía se obtienen uno a partir del otro aplicando las supercargas sobre los estados (salvo en los estados $E=0$, si es que existen). Esto implica que, aunque uno esté trabajando con una teoria que no tenga supersimetría, los niveles de energía (si son pozos de potencial con estados estacionarios) o los coeficientes de reflexión y transmisión (si son barreras) son los mismos para una partícula que se mueva según el hamiltoniano $H_1$ que sobre otra que se mueva según el hamiltoniano $H_2$, y, además, los estados estacionarios de una partícula se pueden calcular haciendo transformaciones de supersimetría sobre la otra. Por ejemplo, imaginemos una partícula que se mueve en un potencial $V_2=2 {\rm cosec}^2(x)-1$. Parece un problema complicado, ¿verdad?. Pues resulta que es muy fácil diagonalizar el hamiltoniano en este caso porque este potencial es compañero de un pozo infinito de potencial.

Otro ejemplo todavía más sorprendente es el de la barrera de potencial ${\rm sech}^2 (x)$. Esta barrera de potencial tiene un coeficiente de reflexión nulo. Es decir, cuando viene una partícula por el lado izquierdo, la probabilidad de que pase al lado derecho sin reflejarse es uno. ¿Qué curioso? ¿A qué se debe esa misteriosa propiedad? Resulta que se debe a que este potencial es compañero del potencial constante. Como en el potencial constante nada se refleja, en su compañero tampoco.

De la misma manera que, a veces, cuando tenemos un sistema físico sin simetría de rotación ni de traslación, se pueden simplificar los cálculos y entender mejor físicamente lo que está pasando si lo giramos o lo trasladamos, también ocurre que hay sistemas físicos no supersimétricos que se entienden mejor si les aplicamos una transformación de supersimetría.

Además, la supersimetría no sólo es útil a los físicos, sino que también ha revolucionado las matemáticas. Ésta constituye, por sí misma, una forma efectiva e intuitiva de demostrar varios teoremas del índice acerca de operadores diferenciales en variedades diferenciales y otras cuestiones relacionadas, como la teoría de Morse y, sorprendentemente, esto se pudo generalizar a más dimesiones mediante los procedimientos de twisteo de Witten, dando lugar a impresionantes resultados que han cambiado la matemática para siempre, como por ejemplo, la simetría de espejo (mirror symmetry). Ya hablé en otro post acerca de cómo la supersimetría en la teoría de cuerdas abrió un amplio abanico de fructíferas interacciones entre la física y las matemáticas al nivel más profundo.

La supersimetría también es una simetría espaciotemporal

Lo que hemos hecho en el apartado anterior es trabajar con la mecánica cuántica de una partícula, lo cual se corresponde con una teoría cuántica de campos en un espaciotiempo de 1 dimensión temporal y 0 dimensiones espaciales (hay, por tanto, un solo punto, y en ese punto hay un campo $q$, que representa la posición de la partícula). Pero gran parte de las propiedades de la supersimetría en este ejemplo de (0+1) dimensiones se siguen cumpliendo en las teorías cuánticas de campos en (3+1) dimensiones, que son las que se utilizan en física de partículas. En particular, se sigue cumpliendo que el álgebra de supersimetría impone que hay tantos estados excitados bosónicos como fermiónicos (en este caso estas excitaciones son las partículas, bosones y fermiones), el álgebra de supersimetría también determina un valor natural para el cero de energía (en este caso, densidad de energía), también nos dice que el parámetro de orden para la ruptura espontánea de supersimetría es una densidad de energía del vació (estado fundamental) que no es nula, sino positiva, o que las propiedades a baja energía del sistema se pueden calcular también mediante la continuación analítica de algunos parámetros de la teoría.

Hemos visto también que en la mecánica cuántica supersimétrica el cuadrado de $Q_1$ es el hamiltoniano. Pero el hamiltoniano es el generador de la evolución temporal del sistema. Es decir, el cuadrado de $Q_1$ genera las traslaciones temporales. Pues bien, en teoría cuántica de campos en (3+1) dimensiones los generadores de supersimetría también generan de forma cuadrática las simetrías del espaciotiempo, es decir, el grupo de Poincaré. Por tanto, la supersimetría no es, como algunos haters se piensan, una simetría interna que nos podemos inventar y meterla a mano como queramos, sino que es una simetría que afecta al mismo espaciotiempo. El álgebra de supersimetría que generan las supercargas es una especie de raíz cuadrada del álgebra de Poincaré que genera las simetrías espaciotemporales. La supersimetría es la simetría espaciotemporal más general que puede haber. Aunque no haya supersimetría, las supercargas son tan importantes en física como los generadores del grupo de Poincaré o del grupo de Heisenberg.

Una forma de entender intuitivamente qué es lo que le hacen al espaciotiempo las supercargas es mediante el formalismo del superespacio. Pero para llegar a eso es mejor volver al oscilador fermiónico, para analizarlo un poco más a fondo.

Al álgebra que forman los operadores creación y aniquilación fermiónicos y sus productos se la conoce como álgebra de Clifford [Taylor1986], aunque en los libros de texto este álgebra suele venir en términos de los operadores hermíticos

$\gamma_1=a_F+a^\dagger_F$

$\gamma_2=-i (a^\dagger_F-a_F)$

El álgebra de Clifford es el análogo al álgebra de Weyl del oscilador bosónico, pero para el oscilador fermiónico. Sabemos de los cursos estándar de mecánica cuántica que el álgebra de Weyl tiene una representación infinito-dimensional (la representacion de Schrodinger, por lo menos para los operadores que surgen de hacer productos de $q$ y $p$ hasta orden dos), formada por las funciones de onda $\psi (q) $, que nos dan las amplitudes de probabilidad de que la partícula se encuentre en la posición $q$. De la misma manera, uno podría buscar la representación análoga en el sistema de dos niveles del oscilador fermiónico. Pero no existe el análogo a la representacion de Schrödinger del álgebra de Clifford. Sin embargo, sí existe lo que sería el análogo a la representación de Bargmann-Fock [Takhtajan2008], la representación holomorfa, de la que hemos hablado antes. Se trata de una representación en la que el operador aniquilación fermiónico actúa como una derivada, $\frac{\partial}{\partial \chi^*} $, mientras que el operador creación fermiónico actúa como una multiplicación por $\chi^*$, en analogía con lo que ocurre en la representación holomorfa, en la que el operador aniquilación bosónico actúa como $\frac{\partial}{\partial \alpha^*} $, mientras que el operador creación bosónico actúa como una multiplicación por $\alpha^*$. Sabemos que los estados estacionarios del oscilador bosónico $|n\rangle= (1/n!) (a^\dagger)^n |0\rangle$ actúan como base del espacio infinito-dimensional, y en la representación holomorfa estos estados se representan como $(1/n!) (\alpha^*)^n $,. Así, al estado general $|\psi\rangle$ le corresponde en esta representación la combinación lineal

$ \psi(\alpha^*)=\sum_{n=0}^\infty \psi_n (1/n!) (\alpha^*)^n $

que es simplemente la expansión de Taylor de esa función holomorfa.

El problema es que esto no se puede extender tal cual para el sistema de dos niveles del oscilador fermiónico, ya que en este caso el espacio de Hilbert es de dimensión 2, en vez de infinito. La única forma de poder llevar la analogía hasta el último extremo es suponer que los números $\chi $ no son números complejos como $\alpha $, sino unos números complejos raros que anticonmutan, $\chi_1 \chi_2=-\chi_2 \chi_1$, a los que se les denomina números de Grassmann. Al multiplicar un número de Grassmann por sí mismo, el resultado debería ser conmutativo, pero también, por ser Grassmann, debería ser anticonmutativo. La única posibilidad es que este producto sea cero, $\chi^2=0$. Esto hace que la expansión de Taylor de la función de onda en el análogo fermiónico de la representación holomorfa tenga solamente dos términos, en concordancia con el hecho de que el sistema del oscilador fermiónico tiene sólo dos niveles.

$\psi(\chi^*)=\psi_0+\psi_1\chi^*$

donde ahora $\psi_0$ es la amplitud de probabilidad de que el sistema de dos niveles estén en el estado con número fermiónico $N_F=0$, y $\psi_1$ la amplitud de probabilidad de que el número fermiónico sea $N_F=1$.

Además, hay una condición adicional que tenemos que imponer a los números de Grassmann. Como en la representación holomorfa el producto escalar es:

$ \langle \psi_A | \psi_B \rangle= \frac{1}{\pi} \int d\alpha d\alpha^* \psi_A^*(\alpha)  e^{-|\alpha|^2} \psi_B(\alpha^*)  $

entonces, el producto escalar en el análogo fermiónico a la representación holomorfa se debería poder escribir como

$ \langle \psi_A | \psi_B \rangle= \int d\chi^* d\chi \psi_A^*(\chi) e^{-\chi^*\chi} \psi_B(\chi^*) $

Pero este producto escalar tiene que ser también igual a

$\langle \psi_A | \psi_B \rangle=\psi_{A0}^*\psi_{B0}+\psi_{A1}^*\psi_{B1}$

Y para que se cumpla esta condición, las integrales de los números de Grassmann se tienen que definir de la forma

$\int d\chi (1)=0$

$\int d\chi (\chi) =1$

Es decir, para los números de Grassmann las integrales actúan igual que las derivadas. Todo esto suena raro. Además, ¿cuáles son los límites de integración? De lo que hay que concienciarse es de que los números de Grassmann no pueden tomar ningún valor, ni real ni complejo particular. Es mejor verlos de forma intuitiva como intrínsecamente infinitesimales, por eso al integrarlos (sumarlos todos) da uno. Y por eso su cuadrado es nulo, sería algo así como un infinitésimo de orden superior.

Pero recordemos que la variable compleja $\alpha$ no era más que una coordenada compleja en el espacio de fases de la partícula, es decir, una función en el espacio de fases, un elemento del espacio de fases dual.

$ \alpha= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q + i \frac{ p}{\sqrt{m\omega\hbar}} \right] $

Entonces, ¿qué será el número complejo de Grassmann $\chi$? Pues una coordenada compleja en un espacio de fases fermiónico, que es un espacio en el que las funciones con dominio en él anticonmutan. Es decir, las coordenadas del espacio de fases dual fermiónico son números de Grassmann, números que no toman ningún valor que se pueda medir. Por eso el oscilador fermiónico no tiene análogo clásico. La mecánica clásica que se puede definir en este espacio de fases fermiónico no tiene significado físico, está basada en un corchete de Poisson que es conmutativo en vez de anticonmutativo, y se denomina pseudomecánica clásica [Berezin1977]. Pero, dado que podemos entender este espacio de fases matemáticamente a través de sus funciones en él,  este espacio de fases fermiónico sí tiene significado físico en mecánica cuántica.

Hay que señalar que, además del formalismo de operadores y estados, las amplitudes de probabilidad en el oscilador fermiónico se pueden calcular también mediante integrales de camino de Feynman de forma análoga a como se hace en la teoría bosónica, sólo que estas integrales de camino involucran ahora variables de Grasssmann. Aunque estas variables de Grassmann no tengan un significado físico clásico, porque no toman valores numéricos que se puedan medir, sí tiene sentido integrar y hacer mecánica cuántica con ellas. La existencia de osciladores fermiónicos en la naturaleza es otra de las pruebas que tenemos de que el mundo no puede ser clásico, ya que estos osciladores no tienen clásicamente conexión con el mundo físico, pero sí cuánticamente. Dicho de otra manera, el hecho de integrar en $\chi$ y $\chi^*$ la exponencial de la acción del oscilador fermiónico hace que no necesitemos trabajar con ningún valor particular de los números de Grassmann, cosa que no tiene significado, y que, a la vez, obtengamos un valor complejo para la amplitud de probabilidad de los distintos procesos, cantidad que sí tiene significado físico. Lo mismo que la naturaleza está llena de osciladores bosónicos, ya que hay partículas elementales que son excitaciones de campos bosónicos, también lo está de osciladores fermiónicos, por las partículas elementales que son excitaciones de campos fermiónicos. Eso sólo es posible en un mundo cuántico. En particular, es imposible en mecánica bohmniana, en donde las coordenadas del espacio de fases toman valores ocultos bien definidos, y por eso la mecánica bohminana no tiene nada que ver con el mundo real. En mecánica bohmiana las trayectorias de las partículas en realidad existen, aunque están ocultas, cosa que se puede hacer con las coordenadas bosónicas pero no con las fermiónicas. En cambio, en mecánica cuántica la cantidad que tiene significado físico es la suma (integral) sobre todas las trayectorias, con lo que no es necesario que matemáticamente existan estas trayectorias, pero sí su integral.

En general, en teoría cuántica de campos, cuando las interacciones son débiles, las integrales de camino se pueden aproximar en primer orden por integrales de gaussianas. Pero estas integrales tienen un comportamiento diferente cuando las variables en las que se está integrando son las coordenadas en el espacio de fases bosónico o fermiónico. Por ejemplo, al integrar una gaussiana bosónica se obtiene

$G_B(A) = \int_{-\infty}^{+\infty} dq^N \> e^{- q_i A_{ij} q_j} =
\sqrt{\frac{\pi^N}{{\rm det}(A)}}$

mientras que al integrar una gaussiana fermiónica

$G_F(A) = \int d\chi^N \> e^{- \chi_i A_{ij} \chi_j} =
\sqrt{ \frac{{\rm det}(A)}{2^N}}$

El hecho de que en la gaussiana fermiónica el determinante de $A$ aparezca en el numerador, en vez de en el denominador, se debe a que en los números de Grassmann la integración no es lo contrario a la derivación, sino lo mismo. Y esto está en la raíz de muchas de las cancelaciones que ocurren entre fermiones y bosones en las teorías supersimétricas.

Además, en las integrales de camino de Feynman de las teorías supersimétricas se cumple, de forma general, un principio denominado localización. Este principio nos muestra cómo el cálculo de las integrales de camino se puede reducir a integrales en menos dimensiones. Incluso en situaciones ideales estas integrales de camino se reducen simplemente a contar contribuciones de sólo ciertos puntos en el espacio en el que tomen valor los campos. Esto nos permite calcular directamente, y de forma sencilla, funciones de partición (y algunas funciones de correlación) que de otra manera serán intratables. Por ejemplo, se puede ver que el cálculo de la integral de camino que evalúa el índice de Witten de la familia de teorías del apartado anterior, que son teorías de campos en (0+1) dimensiones, se reduce al cálculo de integrales de camino en una teoría de campos en (0+0) dimensiones. Eso ya ni siquiera son integrales de camino, sino integrales normales y corrientes en $q$, $\chi$ y $\chi^*$.

La idea básica consiste en realizar una transformación de supersimetría escogida a propósito (su versión clásica) para hacer que uno de los campos fermiónicos (coordenada fermiónica en nuestro caso simple de 0+1 dimensiones) se convierta en cero. Esto hace, de acuerdo con la regla de integración para variables de Grassmann explicada anteriormente, que la integral de camino valga cero. Pero esto puede hacerse para todos los valores de los campos bosónicos (coordenada $q$ en nuestro ejemplo) menos para aquellos valores especiales que hacen que la variación del campo fermiónico ante una transformación de supersimetría valga cero, ya que entonces no podemos convertir a ese campo fermiónico en cero. Como la integral de camino vale cero, salvo para esos puntos especiales, se dice entonces que esa integral de camino localiza en esos puntos. Sólo es necesario calcularla en esos puntos.

Para terminar la analogía entre el oscilador bosónico y el fermiónico, hay que indicar que, de la misma manera que la cuantización del espacio de fases bosónico (el de la mecánica clásica de siempre) depende de la elección de una forma simpléctica, que es una forma bilineal antisimétrica no degenerada, la cuantización del espacio de fases fermiónico (el de la pseudomecánica clásica) depende la elección también de una forma bilineal no degenerada, pero en este caso simétrica, es decir, de un producto escalar. El grupo que preserva esta forma bilineal en mecánica clásica es el grupo simpléctico, mientras que el que la preserva en pseudomecánica clásica es el grupo de rotación el espacio de fases. El hamiltoniano del oscilador bosónico es precisamente el operador que genera un subgrupo U(1) del grupo simpléctico que se corresponde con las rotaciones en el espacio de fases (por eso el oscilador armónico lo que hace es dar vueltas en el espacio de fases con periodo $T=2\pi/ \omega$) y por eso los autovalores de la energía están equiespaciados (véase este artículo anterior). Pero la función de onda del sistema bosónico pertenece a una representación metapléctica del grupo simpléctico, porque al dar una vuelta completa pesca un -1, debido a que el nivel del estado fundamental es $\hbar\omega/2$. Análogamene, el hamiltoniano del oscilador fermiónico genera el grupo de rotaciones Spin(2) [Porteous1995, Lawson1989], que consiste en una rotación del espacio de fases fermiónico con el mismo periodo $T=2\pi / \omega$ , y por eso el oscilador fermiónico también es un oscilador. El grupo es Spin(2) porque al dar la vuelta completa la función de onda pesca un -1, y por eso la función de onda del sistema fermiónico es un espinor (véase este artículo que explica qué es un espinor).

Esta analogía perfecta que hay entre las propiedades del oscilador fermiónico y del bosónico nos muestra que la supersimetría es, en realidad, una propiedad intrínseca de la mecánica cuántica. La supersimetría forma parte de la mecánica cuántica tanto como el resto de unidades que aparecen en los manuales universitarios de cuántica. 

Y ahora tenemos las herramientas para ver cómo podemos generar simultáneamente ambos osciladores, el bosónico y el fermiónico, para construir teorías supersimétricas, teorías en las que las coordenadas $(q,p)$ del espacio de fases bosónico surjan a la vez que las coordenadas $(\chi,\chi^*)$ del espacio de fases fermiónico. El truco está en trabajar, para cuantizarla después, con una supercoordenada $\Phi$ (supercampo en la generalización a más dimensiones de la teoría cuántica de campos) que, en vez de depender sólo del tiempo $t$, depende de un supertiempo $(t, \theta, \theta^*)$ (superespacio en teoría cuántica de campos, aunque en realidad es superespaciotiempo), donde $\theta$ es una coordenada compleja de Grassmann y $\theta^*$ su complejo conjugado. En ese caso, haciendo la expansión de Taylor en $\theta$ y $\theta^*$, se tiene:

$ \Phi(t, \theta, \theta^*)=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}q(t)+i \theta \chi (t) -i \chi^*(t) \theta^* + \theta \theta^* D(t)$

es decir, el supercampo contiene la información sobre la evolución temporal de dos coordenadas fermiónicas, $q$ y $D$, y de dos coordenadas fermiónicas, $\chi$ y $\chi^*$. De la misma manera que podemos entender el hamiltoniano cuántico como una representación del generador de las traslaciones en la coordenada temporal $t$, también podemos entender los operadores correspondientes a las supercargas $Q_+$ y $Q_-$ como los generadores de las traslaciones en $\theta$ y $\theta^*$, pero con una peculiaridad: como su anticonmutador es igual al hamiltoniano (en más dimensiones estos anticonmutadores generan todas las traspaciones en el espaciotiempo), entonces $Q_+$ no puede actuar sobre los supercampos simplemente como una derivada $\frac{\partial}{\partial \theta} $, sino que tiene que ser una derivada covariante que contenga también $\frac{\partial}{\partial t}$.

$Q_-=i\frac{\partial}{\partial \theta} -  \theta^* \frac{\partial}{\partial t}$

$Q_+=-i\frac{\partial}{\partial \theta^*} - \theta \frac{\partial}{\partial t}$

Es decir, las transformaciones de supersimetría son traslaciones en el superespacio:

$e^{i(\epsilon^* Q_+ +Q_-\epsilon)} \Phi(t, \theta, \theta^*)=\Phi(t-i(\theta^* \epsilon - \epsilon^* \theta), \theta+\epsilon, \theta^*+\epsilon^*)$

Si en vez de una acción por la izquierda de las transformaciones de supersimetría, la hubiéramos hecho por la derecha, entonces las supercargas serían

$D_-=\frac{\partial}{\partial \theta} - i \theta^* \frac{\partial}{\partial t}$

$D_+=\frac{\partial}{\partial \theta^*} - i \theta \frac{\partial}{\partial t}$

Esta segunda pareja de derivadas covariantes se mantiene invariante ante una transformación de supersimetría generada por la primera pareja. Esto podemos explotarlo, ya que nos permite usar el formalismo del superespacio para construir de manera eficiente acciones que sean invariantes bajo las trasformaciones de supersimetría, acciones que pueden expresarse en este formalismo de forma compacta en las que las interacciones del sistema supersimétrico vienen expresadas en términos de un prepotencial (superpotencial en nuestro ejemplo). Así, por ejemplo, la acción

$S=\int dt d\theta^* d \theta \left( \frac{1}{2} |D_-\Phi|^2 - W(\Phi) \right)$

genera el hamiltoniano del sistema supersimétrico del apartado anterior.

Con el formalismo del superespacio se ve muy bien que la supersimetría es también una simetría espaciotiemporal. Aunque tiene propiedades en común con las simetrías internas, no es una simetría interna más:

• Las simetrías internas son simetrías capaces de relacionar, en cada punto concreto del espaciotiempo, campos e interacciones que, previamente a la introducción de esa simetría interna, parecía que no tenían relación entre ellas. Las simetrías internas relacionan en todos los puntos del espacio a unos campos con otros. Unos sí y otros no.
• En cambio, las simetrías espaciotemprales juegan un papel especial dentro de las teorías físicas porque en todas ellas los fenómenos físicos deben respetar la existencia de un espaciotiempo y, como todos los campos que existen en el universo comparten el mismo espaciotiempo, las simetrías espaciotemporales son universales para todos ellos.

Pero la supersimetría tiene propiedades mezcla entre las de las simetrías internas y las espaciotemporales, ya que actúan tanto sobre las propiedades internas de los campos como sobre las espaciotemporales. Relacionan campos fermiónicos con bosónicos (cosa que parece es una simetría interna), pero no se limitan sólo a doblar los campos (y por tanto las especies de partículas elementales que hay), sino que su cuadrado genera traslaciones en el espaciotiempo. De la misma manera que las simetrías de rotación y de traslación en el espaciotiempo lo que hacen en las teorías es reducir el abanico de posibles interacciones (por ejemplo, las interacciones tienen que conservar la energía y el momento angular totales), la supersimetría también constriñe cuales son las interacciones posibles, aunque en este último caso, si existe, está rota espontáneamente. 

Nótese, además, que, si la supersimetría fuera sólo una simetría interna, al hacerla local generaríamos una teoría gauge sin gravedad. Pero lo que se genera al hacer la supersimetría local es una teoría de supergravedad. Al hacerla local se genera una teoría que contiene la interacción gravitatoria porque la supersimetría es también una simetría espaciotemporal.

Pero no sólo genera una teoría gravitatoria, sino algo mas: una teoría de supergravedad en la que el gravitón, que tiene espín 2, y, por el teorema espín-estadística es un bosón, tiene un compañero supersimétrico fermiónico de espín 3/2, denominado gravitino. Nótese que la invariancia bajo difeomorfismos que tiene toda teoría gravitatoria es la que permite que pueda existir una partícula, como el gravitón, de espín 2, ya que esta invariancia bajo difeomorfismos es la que permite asignar la etiqueta de "no físicos" a los estados cuánticos cuya norma al cuadrado es negativa, estados que conducirían a probabilidades negativas y que, inevitablemente, tendría toda partícula de espín 2 si no hubiera invariancia bajo difeomorfismos. Lo mismo ocurre con las partículas de espín 1: existen gracias a las invariancias gauge asociadas a los grupos gauge del modelo estándar. Análogamente, la simetría que permite que puedan existir partículas de espín 3/2 sin que éstas tengan estados con norma al cuadrado negativa es la supersimetría hecha local. Sería raro que en la naturaleza existieran partículas con espín 0, 1/2, 1 y 2, pero no hubiera ninguna partícula con espín 3/2.

Conclusiones

Si Kepler hubiera vivido en un sistema solar con más de un sol, no habría podido encontrar la ley de las áreas (cada planeta barre areas iguales en tiempos iguales), porque el campo gravitatorio en el que se mueven esos planetas no tiene simetría de rotación. Pero la ley de las áreas no es más que la ley de conservación del momento angular. ¿Habría significado eso que el momento angular no es importante en física? No. Lo mismo le pasa a la supersimetría. No vivimos en un universo supersimétrico, pero los operadores mecanocuánticos correspondientes a las supercargas son tan importantes como el operador momento angular.

(La imagen corresponde a la obra El problema de los tres cuerpos (2022), de Denis Escorsa y Albert Merino. Se trata de una videoinstalación que consiste en una animación en 3D sobre pintura al oleo que reinterpreta el paisaje romántico La esfinge de Roscoff, pintado por José Nogué en 1910. Sobre una copia de la pintura, se proyecta la ficcion del paisaje iluminado por tres soles cuyos movimientos, desde que salen hasta que se ponen, hacen que cambien la luz y las sombras y, en consecuencia los colores de la escena. La animación refleja el problema de los tres cuerpos de Kepler, un sistema en el que no sólo no se conserva el momento angular de los planetas sino, que además, es caótico, con lo que es imposible predecir las trayectorias de los tres soles. No sólo la física de Newton, ¿cómo habría podido desarrollarse la idea del determinismo laplaciano en un sistema así?)

Una vez hemos estudiado unas nociones de supersimetría, ahora la sección 111 del volumen 3 del Landau tiene otro aspecto para nosotros.

Cuando Copérnico propuso su modelo heliocéntrico se puso de manifiesto que, al circular la Tierra alrededor del Sol en una órbita exterior a la de Venus e interior a la de Marte, el tamaño aparente, tanto de Venus como de Marte, debería cambiar apreciablemente a lo largo del año. Esto es así porque, cuando la Tierra está en el mismo lado con respecto del Sol que alguno de estos dos planetas, este planeta está mucho más cerca de la Tierra que cuando ambos están en lados opuestos. Cuando se estudió este asunto cuantitativamente se concluyó que el diámetro aparente de Venus debería cambiar en un factor 6 y el de Marte en un factor 8.

Por otro lado, de acuerdo con el modelo de Ptolomeo, el modelo geocéntrico que había servido con éxito a astrónomos y navegantes durante 14 siglos, Venus y Marte no deberían apenas cambiar de tamaño aparente, ya que dan vueltas alrededor de la Tierra y el tamaño de los epiciclos que había que introducir no era lo suficientemente grande como para que este efecto afectara mucho al tamaño aparente. Sólo hay que observar y anotar el tamaño aparente de estos dos astros a lo largo del año para poder distinguir qué modelo de universo es más adecuado. Bien, pues resulta que lo que se observaba, y se observa en la actualidad, es que Venus no cambia de tamaño y Marte lo hace en un factor que no llega a 2. Se trata de una prueba experimental sólida ¡a favor del modelo geocéntrico y en contra del heliocéntrico!

Los astrónomos de principios del siglo XVII no sabían que nuestros ojos no son instrumentos en los que se pueda uno fiar para estimar el tamaño aparente de objetos tan pequeños y brillantes sobre un fondo oscuro. Fue Galileo el que se dio cuenta de esto y el que mostró al mundo que, si observamos a Venus y a Marte con el telescopio, sí que se aprecia que estos cambian como predice el modelo copernicano. Pero no bastó con el hallazgo de Galileo. Los astrónomos que se aferraban al modelo ptolemaico se negaron a aceptar el telescopio como instrumento legítimo de observación. Se trató de una actitud muy perjudicial para la ciencia, porque los telescopios nos permiten ver lo que nuestros ojos no ven. Afortunadamente, aunque nunca se les convenció, se murieron, y los jóvenes astrónomos de aquella época aceptaron de buen gusto el uso del telescopio, revolucionando la astronomía y haciéndola avanzar a pasos agigantados.

Más tarde, gracias a las antenas y a las placas fotográficas, aprendimos a captar ondas electromagnéticas que nuestros ojos no detectan. Desarrollos todavía más difíciles, como el de los detectores de neutrinos en el siglo XX y los detectores de ondas gravitacionales en el siglo XXI, nos proporcionan nuevos ojos con los que ver el mundo. Sería estúpido negarse a usar estos nuevos instrumentos para explorar el universo.

Lo que he tratado de hacer ver con este artículo es que sería igualmente estúpido negarse también a mirar el mundo con los instrumentos que nos da la física teórica. Ignorar estos instrumentos nos hace también estar ciegos y no captar fenómenos profundos de la naturaleza que tenemos delante de nuestras narices. Los físicos de Tatooine serían idiotas si se negaran a estudiar y a utilizar la simetría de rotación y el momento angular en sus trabajos de física sólo porque Luke no haya encontrado todavía la ley de las áreas en los datos del cielo. Nosotros también lo seríamos si nos negáramos a estudiar la supersimetría y a trabajar con las supercargas. Por eso no podemos atrofiar el desarrollo intelectual de los jóvenes físicos y negarles el uso de estos instrumentos teóricos tan importantes. No podemos dejar que tengan una formación deficiente para entender su disciplina y que caigan en el lado oscuro, como aquellos que graban vídeos o escriben artículos de divulgación insustanciales para entretener a los ricos y a la clase media acomodada del primer mundo con concepciones erróneas sobre los conceptos físicos, y que llegan incluso a desinformar en las redes sociales con mensajes sobre lo mala que es la física que hacen actualmente los grupos de investigación más punteros del mundo. Como hacen ya en universidades en EEUU, enseñemos también en España supersimetría en las asignaturas de cuántica del grado de Física, por lo menos unas nociones básicas que permitan a los estudiantes adquirir cierta confianza con ella y poder así llamarla SUSY.

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

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