Funciones de onda que dependen a la vez de las coordenadas y de los momentos. Parte 1: La representación holomorfa

El principio de indeterminación nos dice que, cada partícula, en su movimiento, no sigue una trayectoria bien definida. Un error común consiste en pensar que lo que nos dice este principio es que las trayectorias de las partículas están ocultas para nosotros. Sin embargo, el principio de indeterminación va mucho más allá. Lo que dice no es sólo que no podemos saber con total precisión cuál es la trayectoria que ha seguido una partícula, sino que la trayectoria, como ente físico, no existe. Usted, querido lector, puede afirmar que su cuerpo ha seguido, desde que se levantó esta mañana de la cama hasta el lugar donde ha tomado el desayuno, una trayectoria bien definida con una precisión de más/menos un micrómetro, pero cada uno de los electrones, protones y neutrones que forman parte de su cuerpo no ha seguido ninguna trayectoria concreta. Y, si no han seguido ninguna trayectoria bien definida, tampoco tienen en cada instante de tiempo unos valores de las coordenadas que dan la posición $q$ y las que dan el momento $p$ bien definidos simultáneamente (ya que, si estuvieran bien definidos en cada instante de tiempo, entonces la trayectoria también estaría bien definida).

Aunque todos los sistemas físicos obedecen al principio de indeterminación, sí es posible seguirle el rastro, seguirle la trayectoria con cierta incertidumbre experimental, a la mayoría de los sistemas macroscópicos. Por ejemplo, es posible ver cómo una aguja de un aparato de medida va pasando de la posición 5 a la posición 6. De esto se aprovecha la mecánica cuántica: los aparatos de medida con los que estudiamos los sistemas físicos son siempre, en buena aproximación, clásicos. Estudiando cómo evoluciona ese sistema clásico mientras interacciona con el sistema cuántico podemos obtener información sobre el sistema cuántico. Este truco nos permite hacer física a pesar del principio de indeterminación.

Pero el precio que tenemos que pagar es trabajar con magnitudes físicas que no son características sólo del sistema cuántico, sino que son propiedades del conjunto formado por el sistema cuántico y los aparatos de medida [Landau1962]. Las características dinámicas de los objetos cuánticos sólo están, por tanto, asociadas a los resultados de la medición cuántica, y por eso se les llama "observables". Por ejemplo, si dispongo los aparatos para medir con muchísima precisión la posición de una partícula, el observable posición $q$ tomará un valor bien definido, y podemos llamar $|q\rangle$ al estado cuántico en el que se encuentra la partícula. Pero entonces el observable momento $p$ no tomará una valor bien definido. ¡Ojo! No es que tome un valor bien definido desconocido para nosotros, sino que no toma ningún valor en concreto. Al ser una característica asociada, no sólo al sistema cuántico, sino también a una disposición concreta de los aparatos de medida que hemos decidido no implementar, es una característica de algo que no existe en ese momento y, por tanto, su valor no existe en ese momento. Si, después, ponemos los aparatos de medida de tal forma que midan la velocidad, entonces el observable momento $p$ sí tomará un valor bien definido y llamamos al estado cuántico correspondiente $|p\rangle$, pero entonces el observable posición $q$ estará indeterminado. Por simplicidad nos limitaremos al caso unidimensional en el que hay sólo una coordenada espacial $q$ y su momento asociado $p$, pero todo lo que vamos a ver se puede generalizar para cualquier número de dimensiones.

En general, el estado mecanocuántico $|\psi \rangle$ en que se encuentra una partícula va a ser un estado superposición de estados $|q\rangle$ con posición bien definida diferente:

$ | \psi \rangle = \int dq \psi (q) | q \rangle $

Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ la posición de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\psi(q)$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir la posición de la partícula, obtengamos el valor $q$. A la función $\psi$ que asigna a cada posición $q$ la amplitud de probabilidad $\psi (q)$ se la denomina función de onda en la representación de coordenadas de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\psi (q)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminada está la posición de la partícula.

Análogamente, este mismo estado $|\psi \rangle$ también se puede escribir como superposición de estados $|p\rangle$ con momento bien definido diferente:

$ | \psi \rangle = \int dp \tilde{\psi (p)} | p \rangle $

Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ el momento de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\tilde{\psi(p)}$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir el momento de la partícula, obtengamos el valor $p$. A la función $\tilde{\psi}$ que asigna a cada momento $p$ la amplitud de probabilidad $\tilde{\psi} (p)$ se la denomina función de onda en la representación de momentos de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\tilde{\psi} (p)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminado está el momento de la partícula.

La función $\tilde{\psi} (p)$ contiene exactamente la misma información que la función de onda en la representación de coordenadas $\psi (q)$ y todo estudiante de física sabe que se puede pasar de una a la otra mediante una transformación unitaria que se denomina transformada de Fourier.

Por tanto, parece que tenemos básicamente dos opciones. O bien representamos el estado cuántico $|\psi\rangle$ mediante la función de onda $\psi(q)$, con la que se visualiza perfectamente la indeterminación de la posición de la partícula, o bien trabajamos con $\tilde{\psi}(p)$ para visualizar la indeterminación en el momento. Sin embargo, en realidad existen infinitas formas de especificar el estado cuántico que son distintas a $\psi(q)$ y $\tilde{\psi}(p)$. ¿Es posible construir una función de onda $\psi^\prime (q,p)$ que represente al estado cuántico $|\psi\rangle$ y que sea dependiente tanto de las coordenadas como de los momentos? Eso es lo que vamos analizar en este artículo.

¿Qué es cuantizar?

A principios del siglo XX la física sufrió dos revoluciones que la cambiaron para siempre. La mayor de ellas, la revolución cuántica, nos hizo ver que objetos matemáticos que dábamos por hecho que poseían existencia física, como, por ejemplo, la trayectoria de las partículas, en realidad de forma precisa no existen en la naturaleza. El principio de indeterminación nos dice que las partículas elementales no son ni ondas ni corpúsculos clásicos, sino unos objetos cuánticos que, en su movimiento, no siguen una trayectoria bien definida. En la teoría que describe el comportamiento de estos objetos, la mecánica cuántica, las variables dinámicas como la posición $x$ o la cantidad de movimiento $p$ no son números reales, sino operadores $\hat{x}$, $\hat{p}$ en un espacio vectorial cuyos elementos son los estados de la partícula cuántica. El principio de indeterminación da lugar a que estos operadores no conmutan, sino que obedecen a la relación de conmutación $ [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$. Todo en la naturaleza es cuántico y, por tanto, obedece a los principios de la mecánica cuántica.

Se denomina cuantización a los procedimientos que nos permiten obtener una descripción cuántica de un sistema físico a partir de su descripción clásica. Gracias a los métodos de cuantización, podemos pasar de la mecánica clásica de un sistema físico a la mecánica cuántica del mismo. Por ejemplo, si tomamos el oscilador armónico clásico, cuyo hamiltoniano$$
H=\frac{{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2{x}^2
$$ es una constante de movimiento que puede tomar cualquier valor mayor o igual que cero, y promocionamos las funciones $x$ y $p$ del espacio de fases a operadores en un espacio de Hilbert con la relación de conmutación antes descrita, obtenemos el oscilador armónico cuántico. En éste, por culpa del principio de indeterminación, el estado de menor energía no es el de $E=0$, sino el de $E=\hbar \omega /2$, mientras que los demás niveles toman, por ser un sistema ligado, valores discretos, en este caso separados por $\hbar \omega$. Análogamente, si cogemos la descripción clásica del átomo de hidrógeno, la del modelo de Rutherford, en la que un electrón orbita en torno a un protón, y promocionamos la posición y la cantidad de movimiento del electrón a operadores, obtenemos el modelo mecanocántico del átomo de hidrógeno, en el que, también por culpa del principio de indeterminación, el electrón en el estado de menor energía está deslocalizado en torno al protón en una región de un tamaño del orden de magnitud de $$ a_0=\frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2}$$

Al método de cuantización que acabamos de describir se le denomina cuantización canónica. Éste consiste en promocionar a operadores las funciones del espacio de fases del sistema clásico, imponiendo las relaciones de conmutación adecuadas. Sin embargo, éste no es el único método de cuantización que existe. Hay otros métodos, como son la cuantización geométrica, la integral de camino de Feynman, la basada en las funciones de distribución cuánticas, etc.

En los dos ejemplos que acabamos de mencionar, o en el caso más general de una partícula no relativista sometida a un potencial $V(x)$, al promocionar $x$ y $p$ a operadores no tenemos ningún problema de ambigüedad en la mayoría de las aplicaciones por el hecho de que en la teoría cuántica $\hat{x}$ y $\hat{p}$ no conmutan. Sin embargo, en el momento en el que estamos interesados en observables que clásicamente sean funciones tanto de $x$ como de $p$, o en sistemas con hamiltonianos que poseen términos que combinan $x$ con $p$ (como por ejemplo en el caso de una partícula cargada) entonces hay distintas formas de asignar, a cada observable $f(x,p)$ en mecánica clásica, su correspodiente observable $f(\hat{x},\hat{p})$ en mecánica cuántica. Hay distintas asignaciones posibles porque estos observables dependen de con qué criterio se ordenan los productos de $x$ con $p$. A cada una de estas formas se le denomina esquema de cuantización, y cada uno de ellos da lugar a predicciones distintas, con lo que es importante saber cuál es el adecuado en cada caso. Es importante señalar que este problema de saber qué orden es el adecuado en el hamiltoniano y en los observables mecanocuánticos aparece de forma genérica incluso aunque impongamos que estos operadores deben ser hermíticos. La condición de hermiticidad no es suficiente para fijar sin ambigüedad qué observable mecánocuántico $f(\hat{x},\hat{p})$ es el que se corresponde con el observable clásico $f(x,p)$. Son en última instancia los experimentos los que tienen que decidir cuál es el esquema de cuantización adecuado para un sistema físico.

Bien, supongamos que tenemos resuelto para un sistema físico concreto el problema del esquema (orden) de cuantización. Para muchos estudiantes, la cuantización es un procedimiento que, aunque pueda ser en la mayoría de casos mucho más largo y tedioso que en el oscilador armónico o el átomo de hidrógeno, es directo, una vez que se ha elegido el esquema de cuantización adecuado. Piensan que los distintos métodos de cuantización son recetas infalible mediante las cuales, a partir de una teoría clásica concreta, se obtiene su correspondiente teoría cuántica.

En este artículo vamos a ver por qué esta visión ingenua que tienen en general los estudiantes después de su primer curso de mecánica cuántica en la universidad es incorrecta, y que la razón es mucho más profunda que la ambigüedad de orden que acabamos de mencionar. Esto lo vamos a hacer utilizando como ejemplo los intentos de cuantización de la partícula relativista. De la misma manera que en nuestro primer curso de cuántica en la universidad teníamos una partícula clásica no relativista sometida al potencial del oscilador armónico, o al del átomo de hidrógeno, y la hemos hecho cuántica, ahora vamos a intentar hacer lo mismo con la partícula relativista. A ver qué ocure.

La vuelta a clase "voluntaria" vulnera el derecho a la educación de niñas, niños y adolescentes

En la película El Cabezota, Pedro Pinzalez es un hombre viudo que vive con su hijo Pedrín, de unos siete años de edad, cazando, pescando y cultivando la huerta familiar. Esto le lleva a considerar que enseñar a vivir a su hijo es mejor que cualquier otro tipo de educación, y por ello se niega a llevar a Pedrín a la escuela cuando en 1857 entra en vigor la Ley Moyano, que establecía la obligatoriedad de la primera enseñanza. Que un padre se oponga a que su hijo reciba cualquier tipo de educación es una actitud que nos parece de una necedad que roza lo absurdo, incluso aunque se trate de una historia ambientada en el siglo XIX, pero la realidad en España es que más de un siglo después de que se promulgara la Ley Moyano se seguía sin escolarizar al 100% de los niños y niñas, tanto por oposición de algunas familias como por el hecho de que las administraciones no garantizasen plazas para todos en los colegios.

Hoy el Estado Español es, desde 1978, un estado democrático en el que la educación se considera un derecho fundamental. Este derecho, como tal, viene recogido en la Constitución. El artículo 27 establece que todos tienen derecho a la educación y, además, define de un modo preciso el concepto de educación que habrá de ser aplicado cuando señala que "la educación tendrá pòr objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana en el respeto a los principios democráticos de convivencia y a los derecho y libertades fundamentales". Para garantizar ese derecho a la educación de nuestros niños, niñas y adolescentes, la Ley Orgánica de Educación (LOE) y su modificación posterior, la nefasta LOMCE, establecen como obligatorias las etapas de educación primaria (desde los 6 hasta los 12 años) y la secundaria obligatoria (hasta los 16 años).

Es importante señalar que no fue nada fácil conseguir esta obligatoriedad para todos hasta los 16 años. El primer paso importante lo dio la Ley General de Educación de 1970, que posibilitó en la década de los setenta del pasado siglo la escolaridad de la totalidad de la población por primera vez en la historia de España, y que no se discriminara a los niños y niñas a los 10 años, como ocurría con la Ley Moyano. Y no fue hasta 1990 cuando, con una nueva ley, la LOGSE, nuestros gobernantes tomaron la valiente decisión de garantizar que todos los menores de 16 años estén escolarizados independientemente de su condición socioeconómica o del interés que tengan sus progenitores en su educación.

Nunca me he visto en la necesidad de tener que explicar esto a nadie, ni mucho menos de escribir sobre este asunto, hasta que la respuesta que nuestros gobernantes están dando en materia educativa a la pandemia del COVID-19 me ha dejado de piedra. Voy a centrarme en la Comunidad de Madrid, pero en el resto de comunidades autónomas está ocurriendo algo parecido.

Hay matemáticas que no serán obligatorias en el Bachillerato de Ciencias, pero no son las que tú piensas

Seguramente habrás leído que con la nueva ley educativa, la LOMLOE, la asignatura de Matemáticas va a dejar de ser obligatoria en el Bachillerato de Ciencias y en el de Sociales. Es un motivo para estar muy enfadado. Tener conocimiento sólido de matemáticas a nivel de bachillerato es fundamental para casi cualquier actividad en la sociedad actual, ya sea a nivel laboral o a nivel de ejercer nuestros derechos como ciudadanos en un país democrático. No debería repetirse en nuestro país la vergonzosa escena que tuvo lugar en cierto debate electoral, en la época en la que la mayoría de los españoles pensaba que sólo era viable votar a dos únicos partidos, en la que el líder del Partido Socialista Obrero Español mostraba una gráfica acerca de la evolución del precio de la vivienda y, probablemente a causa de su ignorancia él, y de claras malas intenciones por parte de sus asesores, confundía la función que nos da el precio medio de la vivienda en España en cada instante de tiempo con su derivada (en concreto, con la derivada de su logaritmo neperiano). El líder del Partido Popular podía haber destrozado a su contrincante allí mismo, poniendo en evidencia el grave error básico en matemáticas de su adversario, si no hubiese sido porque los "sobres" que le habían dado no eran precisamente "sobresalientes en las asignaturas de matemáticas". Pocos se dieron cuenta de que realmente el precio de la vivienda no estaba disminuyendo, sino que lo que disminuía era la velocidad con la que aumentaba el precio de la vivienda. Dos líderes políticos completamente anuméricos estaban disputándose la presidencia del gobierno gracias al anumerismo generalizado de los ciudadanos que estaban llamados al voto.

Durante la primera semana de marzo de 2020, mientras crecía exponencialmente el número de infectados con SARS-CoV-2, ningún líder político de ningún partido tenía entre sus asesores a nadie pendiente de la epidemia que dominara las matemáticas a nivel de bachillerato, y eso resultó en un retraso de una semana por parte de todas las administraciones en reforzar el sistema sanitario y tomar medidas. Aunque, quizás, el ejemplo más claro de por qué es peligroso un anumerismo generalizado entre la población es que la extrema derecha se vale de este anumerismo para propagar su mensaje de odio.

Como iba diciendo, que la asignatura de Matemáticas deje de ser obligatoria en Ciencias y en Sociales es un motivo para estar muy enfadado. Y yo estaría muy enfadado si realmente fuera así. Sin embargo, lo que ocurre es que la asignatura de Matemáticas sí va a ser obligatoria en el Bachillerato de Ciencias y en el de Sociales. Hay periodistas que están mintiendo. Entonces, ¿a qué viene el revuelo que están montando los matemáticos en las redes sociales? ¡Si hasta las tres reales sociedades (Matemáticas, Física y Química) han emitido un comunicado conjunto de queja! Voy a tratar de explicar lo que está pasando.

FÍSICA BACHILLERATO: Trabajo y energía para 1º de Bachillerato

Una vez los estudiantes de Bachillerato están familiarizados con el concepto de producto escalar

pueden estudiar el concepto físico de trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo como el producto escalar de esa fuerza por el vector desplazamiento, cuando la fuerza es constante. En este vídeo se explica también qué pasa si la fuerza no es constante, y se aclara la relación entre trabajo, energía cinética, energía potencial, energía mecánica y calor:

FÍSICA BACHILLERATO: Planos inclinados y masas enlazadas

En este vídeo explico a los estudiantes de 1º de Bachillerato cómo utilizar las leyes de Newton para resolver problemas de planos horizontales e inclinados. Explico que la normal es la fuerza que ejerce el plano sobre el objeto para evitar ser penetrado y, como tal, su módulo es lo justo para evitar que el plano sea penetrado. También explico que la fuerza de rozamiento no se opone el movimiento, sino al movimiento relativo entre los dos objetos que friccionan. Por último, también explico que cuando la superficie no es plana (plano inclinado con inclinación variable, es decir, que no es plano) la normal no es igual a la componente del peso perpendicular al plano.

En este otro vídeo explico cómo los objetos físicos pueden ejercerse fuerzas entre ellos a través de la tensión de una cuerda, y explico cómo funciona la polea:

FÍSICA BACHILLERATO: Movimientos en el plano

En este vídeo explico a los estudiantes de 1º de Bachillerato cómo descomponer el movimiento de un objeto que se mueve por un plano en dos movimientos: uno en el eje x y otro en el eje y.

En este otro vídeo explico que esta descomposición muchas veces es más útil tomando como referencia, en vez de los ejes cartesianos x e y, la dirección de la velocidad:

• La componente de la fuerza total que se aplica sobre el cuerpo en la dirección de la velocidad se denomina fuerza tangencial, y provoca que el módulo de la velocidad cambie.
• La componente de la fuerza total en la dirección perpendicular a la velocidad se denomina fuerza centrípeta o fuerza normal, y provoca que vaya cambiando la dirección de la velocidad.

FÍSICA BACHILLERATO: Las leyes de Newton y la conservación del momento lineal

En este vídeo explico, a nivel de 1º de bachillerato, por qué las leyes de Newton en el fondo son consecuencia de la ley de conservación del momento lineal, también llamado cantidad de movimiento. Considero que, al contrario de lo que se hace tradicionalmente, es mejor enfocar en este curso las leyes de Newton como una consecuencia de las transferencias de cantidad de movimiento entre cuerpos.

FÍSICA BACHILLERATO Y ESO: Movimientos rectilíneos

Enseñar a los estudiantes de 4º de ESO los contenidos de cinemática, básicamente movimientos rectilíneos, entraña la dificultad de que los estudiantes de estas edades todavía no saben representar gráficamente correctamente funciones de una variable real, ni conocen todavía el concepto de derivada.

En este post recopilo materiales de elaboración propia para que los estudiantes comprendan los conceptos de velocidad y aceleración desde un triple punto de vista: físico, algebraico y geométrico.

FÍSICA BACHILLERATO Y ESO: El principio de relatividad

El principio de relatividad forma parte del currículo oficial de las asignaturas de Física y Química de 4º de ESO y de 1º de Bachillerato, porque es fundamental para entender la ley de inercia. Probablemente sea el principio más importante y más fundamental de toda la física. En éste está basada tanto la física de Newton como la de Einstein. Aquí tenéis acceso a unos recursos para trabajar este contenido con los estudiantes. Hay que trabajarlo por el orden que viene aquí, y es conveniente debatir en clase los contenidos de los vídeos tras verlos o, si es online, hacer preguntas a los estudiantes tras ver cada vídeo para comprobar qué han entendido.

• Visionado del vídeo:

• Visionado de otro vídeo al que puede accederse mediante este enlace.

• Visionado de un tercer vídeo:

• Lectura y resumen de este artículo: La física de Newton también está basada en el principio de relatividad

Por qué el momento angular sólo puede tomar valores discretos en mecánica cuántica

La mecánica cuántica ha cambiado para siempre nuestra concepción del mundo físico, de la teoría de la información y hasta de los objetos matemáticos. Un ejemplo de esto último es lo que ocurre con los grupos de transformaciones. La forma en la que un grupo $G$ de transformaciones actúa sobre un sistema físico puede ser muy complicada. El sistema físico puede ser altamente no lineal y tener una estructura geométrica altamente no trivial. Sin embargo, el principio de superposición de estados cuánticos nos dice que en mecánica cuántica los estados en los que se puede encontrar todo sistema físico son elementos de un espacio vectorial $\mathcal{H}$, ya que cualquier combinación lineal de varios estados cuánticos representa otro estado cuántico posible para el sistema. Esto significa que a cada elemento $g$ del grupo $G$, al actuar sobre el sistema físico, le corresponde una transformación lineal $\pi(g)$, un operador, que actúa sobre este espacio vectorial de estados cuánticos. Y las transformaciones lineales son mucho más fáciles de estudiar. Además, esas transformaciones tienen que ser unitarias, ya que éstas son las únicas que conservan la probabilidad total, ya que la suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos en mecánica cuántica tiene que ser siempre igual a uno, por muchas transformaciones que apliquemos al sistema físico.

Se dice que el conjunto de todas estas transformaciones lineales sobre el espacio de estados cuánticos forma una representación del grupo $G$ sobre el espacio $\mathcal{H}$. Más concretamente, una representación es una función $\pi$ que asocia, a cada elemento $a$ de un grupo, su correspondiente transformación lineal $\pi(a)$ en un espacio vectorial, de manera que la estructura del grupo se respete, es decir, que da lo mismo componer dos transformaciones y hallar la representación del resultado, que componer las representaciones de cada transformación. Matemáticamente, se escribe $$
\pi(b) \cdot \pi(a)=\pi(ba)
$$ Es evidente que mapear todos los elementos de un grupo a la transformación identidad en un espacio vectorial es trivialmente una representación, que se denomina representación trivial o escalar. Lo interesante para los matemáticos es estudiar las representaciones no triviales de los distintos grupos que reproduzcan la estructura de los mismos de forma fiel. A la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{H}$ sobre el que actúan los operadores $\pi(g)$ se la denomina dimensión de la representación $\pi$. También es interesante desde el punto de vista matemático estudiar cuáles son las representaciones irreducibles de cada grupo $G$. Éstas son aquellas que no tienen subrepresentaciones, es decir, donde no hay ningún subespacio vectorial propio $\mathcal{H}^\prime \subset \mathcal{H}$ tal que $\pi$ actuando sobre $\mathcal{H}^\prime$ sea una representación. Esto es así porque, dadas dos representaciones $\pi_1$ y $\pi_2$ actuando sobre dos espacios vectoriales $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$, siempre es posible construir la representación suma directa $\pi_1 \oplus \pi_2$ que actúa sobre el espacio vectorial suma directa $ \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$ generado por el conjunto de vectores que surge al unir el conjunto de los vectores de una base de $ \mathcal{H}_1 $ con el de una base de $\mathcal{H}_2$. En notación matricial:

En física, sin embargo, lo interesante es saber en cada caso concreto bajo qué representaciones transforman los estados cuánticos de cada sistema físico. Como todas estas representaciones tienen que ser unitarias, los operadores $\pi(g)$ tienen que ser todos unitarios, es decir, su adjunto debe ser igual a su inverso. A este tipo de representaciones del grupo $G$ se las denomina representaciones unitarias. Como las transformaciones unitarias en un espacio vectorial conservan el producto escalar, vectores que eran ortogonales lo siguen siendo después de esa transformación. Esto hace que toda representación reducible se pueda escribir como suma directa de representaciones irreducibles, aunque puede ser difícil encontrar la base en la que ésta se exprese en forma de bloques en la diagonal, como en la matriz anterior.

En este post vamos a estudiar en detalle cómo actúan las rotaciones sobre los sistemas cuánticos y vamos a analizar qué lecciones nuevas nos ha enseñado la mecánica cuántica sobre estas transformaciones. El motivo por el que me he animado a escribir este post es porque, por algún motivo, los profesores que dan clase de mecánica cuántica en la universidad y los autores de la mayoría de los manuales sobre mecánica cuántica consideran que este tema es demasiado sencillo para incluirlo en sus lecciones y confían en que los estudiantes lo aprendan por revelación divina sin que nadie se lo explique.

FÍSICA BACHILLERATO: El oscilador armónico

El movimiento más importante en física es el movimiento vibratorio armónico simple (mvas), también conocido como oscilador armónico. La mayor parte de sistemas físicos realizan de manera aproximada este movimiento, desde los átomos que hay en una molécula o en un sólido, que se acercan y se alejan continuamente, pasando por cualquier objeto macroscópico elástico. Hasta el movimiento elíptico de un planeta o de un satélite es en cierta forma un movimiento vibratorio de acercamiento y alejamiento del astro en torno al cual orbita, compuesto con un movimiento de rotación. Es más, las mismas partículas elementales son estados de movimiento vibratorio de una serie de campos cuánticos. El oscilador armónico está en física en todas partes. ¿Por qué? Eso es lo que vamos a ver en este post.

Nuestros líderes políticos nos han fallado en lo más importante

El día 3 de marzo escribí este tweet. No tiene mérito ninguno. Me costó hacer la "predicción" 10 minutos de mi vida y una hoja de Excel. Cualquiera con conocimientos de matemáticas de bachillerato habría podido hacer la misma estimación burda de "vaca esférica". Y me consta que muchos otros también lo hicieron.

Durante 5 días la evolución de los casos de #Covid_19 en España ha seguido la función
N=No x exp(0,39t)
(con t en días)
Este crecimiento dejará pronto de ser exponencial, pero no creo que antes de 2 semanas. Para entonces tendremos más de 2000 hospitalizados graves. Abro hilo 👇

— Sergio Montañez Naz (@DivulgaMadrid) March 3, 2020

La integral de camino de Feynman de una partícula cargada en presencia de un campo electromagnético

En física clásica, sobre toda partícula con carga $q$ y velocidad $\vec{v}$ sometida a un campo electromagnético se ejerce siempre una fuerza (denominada fuerza de Lorentz) de valor $$
\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $\vec{E}$ es valor del campo eléctrico en el punto donde está situada la partícula y $\vec{B}$ el campo magnético. Esto implica que, en el caso de que la partícula sea no relativista, la ecuación diferencial que describe su movimiento es, si la fuerza de Lorentz es la única que actúa:

$$
m\vec{a}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $m$ es la masa de la partícula y $\vec{a}$ es su aceleración.

Esta ecuación de movimiento se puede obtener imponiendo que el camino que tiene que seguir la partícula entre los puntos espaciotemporales $(t_i, \vec{r}_i)$ y $(t_f, \vec{r}_f)$ sea aquel que minimiza la acción
$$
S=\int \left(  \frac{1}{2} m v^2 -q\phi \right)dt+  q\int \vec{A}\cdot d\vec{r} =
$$ $$
=\int \left(  \frac{1}{2} m v^2 -q\phi +q\vec{A}\cdot\vec{v}\right)dt
$$ (donde las integrales se realizan entre esos dos puntos espaciotiemporales) siempre que identifiquemos a $\vec{E}$ y $\vec{B}$ con
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$ $$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$ Aquí $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{A}$ es el potencial vector magnético.

Pero, ¿qué ocurre en mecánica cuántica? ¿Cómo podemos describir en mecánica cuántica el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético clásico? En mecánica cuántica las probabilidades de cada posible resultado a la hora de realizar una medición se calculan mediante el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad asociada a ese suceso. Esta amplitud de probabilidad la podemos calcular, o bien haciendo uso de la integral de camino de Feynman, o bien haciendo uso de la ecuación de Schrödinger para calcular cómo es la función de onda de la partícula en el instante de la medición. Hay, por tanto, dos procedimientos que a uno se le ocurren para cuantizar la partícula cargada.

El primero consiste en llevar a cabo la integral de camino de Feynman metiendo en la acción el término descrito anteriormente responsable de la interacción de la partícula cargada con el campo electromagnético. En el cálculo de la amplitud de probabilidad de que una partícula situada en $\vec{r}_i$ en el instante $t_i$ acabe en el punto $\vec{r}_f$ en un instante posterior $t_f$, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino posible, siendo cada una de éstas un número complejo de módulo 1 y cuya fase viene dada por la acción $S$ dividida entre $\hbar$:
$$
U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)=\langle \vec{r}_f | \hat{U}(t_f-t_i) | \vec{r}_i \rangle = \int D\vec{r}(t) e^{i\frac{S}{\hbar}}
$$ donde $\hat{U}$ es el operador unitario de evolución del estado de la partícula. A la función $U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)$ se la denomina propagador de la partícula cargada en el espacio de posición.

El segundo procedimiento consiste en hacer uso del hecho de que el hamiltoniano clásico de la partícula cargada es $$
H=\frac{p_F^2}{2m}+ q\phi=\frac{(\vec{p}-q\vec{A})^2}{2m}+ q\phi
$$ (donde $\vec{p}$ es el momento canónico de la partícula cargada, que no coincide con su momento físico $\vec{p}_F=\vec{p}-q\vec{A}$). Así, en mecánica cuántica podemos valernos de esta sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$ para postular que el hamiltoniano cuántico de la partícula cargada es $$
\hat{H}=\frac{\hat{p}_F^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)=\frac{(\hat{\vec{p}}-q\vec{A}(\hat{\vec{r}},t))^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)
$$ Esto hace que la ecuación de Schrödinger, que nos da la evolución temporal de la función de onda de la partícula cargada, sea $$
i \hbar \, \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +
q\phi(\vec{r})
+ \frac{i \hbar q}{m }
\vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla +\lambda \frac{i \hbar q}{m c} \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) +
\frac{q^2}{2 m } \vec{A}^2(\vec{r}) \right] \, \psi(\vec{r},t)
$$

¿Nos dan ambos métodos el mismo resultado? El problema es que es posible que no. El término de interacción de la partícula con el campo electromagnético $q\vec{A}(\vec{r})\cdot \vec{v}$ no sólo depende de la posición de la partícula, sino también de su velocidad. Esto nos da lugar a una ambigüedad en cuanto a cómo ordenar los productos de operadores posición y velocidad, ya que en mecánica cuántica la posición $\hat{\vec{r}}$ y la velocidad $\hat{\vec{v}}$ de una partícula no conmutan. Es de sobra conocido que este problema de ordenamiento lo tenemos en el hamiltoniano al sustituir $\vec{r}$ y $\vec{p}$ por los operadores $\hat{\vec{r}}$ y $\hat{\vec{p}}$, ya que éstos no conmutan. Experimentalmente se puede comprobar que el hamiltoniano que nos da el resultado correcto es el de la sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$. Sin embargo, lo que mucha gente no sabe es que este mismo problema de ordenamiento también lo tenemos en la integral de camino de Feynman. Como hemos explicado en otro post, este problema de ordenamiento queda oculto en la notación simplificada de la integral de camino que acabamos de utilizar. ¿Cuál es el orden adecuado que tenemos que establecer en la integral de camino de Feynman para obtener una evolución de la función de onda que sea equivalente a la de la sustitución minimal? Eso es lo que vamos a ver en este post. Si estás interesado en saber qué le ocurre a la invariancia gauge en mecánica cuántica, es mejor que te leas este otro post, bastante más atractivo a nivel conceptual.

La matemática es una ciencia experimental

"La matemática es una parte de la física. La física es una ciencia experimental, una parte de las ciencias naturales. La matemática es la parte de la física en la que los experimentos son baratos".

V.I. Arnold [Arnold1997]

Sí, ha leído usted bien. La matemática es justo lo contrario de lo que a muchos nos han contado en clase de matemáticas. Y el autor de estas afirmaciones no es cualquier charlatán que no sabe nada de matemáticas. Se trata de Vladímir Ígorevich Arnold, uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, con contribuciones fundamentales a la teoría de los sistemas dinámicos, la teoría de las catástrofes, la topología, la geometría algebraica, la mecánica clásica y la teoría de la singularidad.

V.I. Arnold. De Светлана Третьякова - http://www.mccme.ru/arnold/pool/original/VI_Arnold-05.jpg, CC BY-SA 3.0, Enlace

El objetivo de este artículo es analizar en qué acertó Arnold y en qué se equivocó cuando pronunció estas frases. Para ello nos vamos a preguntar si es cierto lo que se nos dice normalmente en las clases de matemáticas de que la certeza que tenemos en los enunciados de las matemáticas es de una categoría superior a la de los enunciados de la física mejor establecida. También nos vamos a preguntar si los enunciados de las matemáticas son de distinta naturaleza que los de la física, como nos dicen normalmente en clase de filosofía. Spoiler: si eres cristiano, musulmán o judío, lo que viene a continuación puede que te vaya a gustar o puede que no. No lo sé. Este artículo no habla de tu religión. No te vas a encontrar en este texto ninguna afirmación que diga que tu dios no existe, ni ninguna burla a tus creencias. En cambio, si eres un matemático escolástico, posiblemente lo que vas a leer a continuación no te va a gustar. Estás a tiempo de cerrar esta pestaña.

¿Estamos seguros de que las verdades matemáticas son ciertas?

¿Estamos realmente en condiciones de afirmar que el enunciado de la conjetura de Goldbach es un enunciado verdadero?

¿Somos capaces de afirmar que lo que dice el teorema fundamental de la aritmética es verdadero?

Cualquier persona que haya sido adoctrinada por la secta de los matemáticos escolásticos no se va a atrever a contestar afirmativamente a la primera pregunta, pero sí a la segunda. Nos dirá que nadie ha sido capaz todavía de probar la conjetura de Goldbach y que no puede descartar que sea falsa, pero que sí tenemos una forma rigurosa de demostrar el teorema fundamental de la aritmética. Ese enunciado es un teorema de la aritmética que se puede probar a partir de los axiomas de Peano.

Pero hay un problema con esto. Aunque esa inferencia esté bien hecha y, por tanto, sea válida, eso no significa que tenga que ser una buena inferencia, ya que los axiomas de Peano podrían ser falsos, o incluso podrían ser inconsistentes. No sirve de nada "demostrar" algo a partir de unos axiomas inconsistentes, ya que de un conjunto de proposiciones inconsistentes entre ellas se puede deducir cualquier cosa. Podríamos probar la conjetura de Goldbach y, al mismo tiempo, su negación. Podríamos probar el teorema fundamental de la aritmética y, al mismo tiempo su negación. Para poder descartar con seguridad este escenario catastrófico para las matemáticas, es necesario, por tanto, demostrar que los axiomas de Peano son consistentes.

Afortunadamente, sí tenemos una demostración de que los axiomas de Peano son consistentes. El problema es que esa demostración parte de los axiomas de la teoría de conjuntos, axiomas más fuertes que los de Peano y, por tanto, más sospechosos de ser inconsistentes.  Es decir, si la aritmética fuera inconsistente, también lo sería la teoría de conjuntos. Es como si ocurre un asesinato, y tenemos un testigo que tiene toda la pinta de ser de confianza, pero no estamos totalmente seguros de que está diciendo la verdad y, para estar seguros de que ese testigo es de fiar, preguntamos a otra persona que conoce a ese testigo si ese testigo es de fiar. Esa segunda persona nos dice que sí, que es de fiar, pero ese testimonio no nos termina de servir porque esa segunda persona parece menos de fiar que la primera.

Para estar totalmente seguros al 100% de que lo que dicen los teoremas de la aritmética es cierto, lo que necesitamos es una prueba de que la aritmética es consistente dentro de la misma aritmética. Desgraciadamente, esto es imposible. El segundo teorema de Gödel nos dice que cualquier sistema axiomático interesante sólo puede probar su propia consistencia si es en sí mismo inconsistente [Gödel1931].

Kurt Gödel. De Desconocido - Familienalbum der Familie Gödel, Scan from Gianbruno Guerrerio, Kurt Gödel - Logische Paradoxien und mathematische Wahrheit, S.24, Dominio público, Enlace

No le queda a usted, querido lector, más remedio que reconocer que no está usted seguro de si la aritmética es consistente o no y, por tanto, no está usted seguro de que el enunciado de un teorema bien establecido de las matemáticas sea verdadero. No tiene usted evidencia de que todos los números naturales se pueden descomponer de forma única en productos de números primos más allá del hecho de que usted piensa que esto es así, pensamiento que, como sugirió Descartes, podría haber sido introducido en su cabeza por un demonio maligno.

Pues no. Claro que estamos seguros de que cualquier número natural, por muy grande que sea, tiene una descomposición única en productos de primos. Y no me refiero sólo al contundente apoyo experimental que tiene el teorema (se cumple para todos los números naturales con los que hemos hecho la comprobación). Estamos seguros de que lo que dice el teorema es cierto porque es un teorema de la aritmética y estamos seguros de que la aritmética es consistente. Pero no porque podamos demostrarlo matemáticamente. El motivo por que el que no hay ningún matemático que piense que la aritmética es inconsistente es de la misma naturaleza que el motivo por el que los físicos de partículas están convencidos de que los electrones y los fotones interaccionan entre ellos de acuerdo a las leyes de la electrodinámica cuántica. Tenemos pruebas experimentales muy sólidas de que esto es así. Desde que éramos muy pequeños hemos sumado a 2 cosas 3 cosas, y hemos comprobado que el resultado es 5 cosas. Cientos de miles de matemáticos a lo largo de la historia han jugado con la aritmética probando teoremas dentro de ella e insertándola también en estructuras más ricas (y ahora también haciendo comprobaciones numéricas altamente no triviales con ordenadores) y lo que han encontrado es una estructura muy rica sin ningún tipo de señal de que haya alguna inconsistencia. Tener a matemáticos "convirtiendo café en teoremas" (sí, la mayoría de los científicos son unos yonquis, pero este problema no es exclusivo de los científicos) para ver si encuentran alguna contradicción en el sistema axiomático y para ver si estos teoremas tienen aplicaciones prácticas es en sí mismo un experimento científico. Probar teoremas a partir de axiomas y postulados es una actividad que se incluye dentro de la tarea de hacer experimentos, como hacen los demás científicos. En última instancia, la evidencia que tenemos de que los enunciados de la aritmética, y los del resto de las matemáticas, son verdaderos es experimental. La aritmética, como el resto de las matemáticas, es una teoría perteneciente al campo de la ciencia experimental, probablemente la más sólida y que más tests experimentales ha pasado de todas las teorías que tenemos.

Merece la pena leer lo que el lógico e historiador de la ciencia P. H. Nidditch escribió acerca de la crisis fundacional de la matemática que tuvo lugar a principios del siglo XX, tras los descubrimientos de antinomias como la de Russell o la de Burali-Forti:

"El temor a que los actuales sistemas de la matemática pudieran ser inconsistentes ha sido el principal responsable de que se produzca un cambio en la dirección de la Lógica Matemática hacia la metamatemática, con lo objetivo de liberarse de la penosa duda de si las matemáticas están o no descansando sobre una base sólida. Una razón especial para preocuparse al respecto es que la teoría de conjuntos es utilizada en todas las partes de las matemáticas; por tanto, si la teoría de conjuntos está mal de alguna manera, todas las demás partes se verán conducidas a error. Más aún, dejando a un lado la teoría de conjuntos, ¿no podría ser que súbitamente se realizaran descubrimientos de teoremas contradictorios en álgebra, geometría o en análisis matemático, como ocurrió con los descubrimientos de Burali-Forti y Russell? Ya ha quedado demostrado que el sentido común no es un faro lo bastante poderoso como para mantenernos a salvo del riesgo de vernos zozobrar contra los escarpados salientes de la lógica. Para estar, con buena razón, seguros de que los sistemas matemáticos son todos correctos, es necesario examinar con cuidado los detalles de sus estructuras, y dar demostraciones de que, con esas estructuras, la consistencia está presente.

Esta última preocupación, junto con el temor y la obsesión de la que hemos hablado en estas líneas, han sido y son comunes entre los que investigan en lo que se denomina "los fundamentos de la matemática", esto es, sistemas axiomáticos de lógica-conjuntos-y-aritmética. Sin embargo, algunas personas, con las cuales concuerda quien escribe este libro, tienen una opinión diferente. Estas personas dirían que el bienestar de la matemática no depende de sus "fundamentos". El valor de la matemática está en los frutos de sus ramas más que en sus "raíces"; en el gran número de sorprendentes e interesantes teoremas de álgebra, análisis, geometría, topología, teoría de números y teoría de probabilidades, más que en los intentos de obtener un fragmento de la aritmética o la topología como un mero desarrollo de la lógica. Dirían que el nombre "fundamentos de la matemática" es un nombre desafortunado, en la medida en que transmite a la mente una imagen errónea de las relaciones entre la lógica y la matemática superior. La matemática superior no se fundamenta en la lógica ni está constituida por la lógica. Dirían que las perturbaciones en teoría de conjuntos eran debidas a los singularísimos ejemplos de conjuntos aducidos, y que semenjantes conjuntos no eran usados en la matemática superior. Y añadirían que, si bien es deseable tener certeza de la consistencia, supuesto que nos sea posible llegar a un conocimiento de esa índole, no obstante, un conocimiento de la teoría matemática que sea sólo probable es generalmente suficiente, y el único tipo de conocimiento de la consistencia que, de hecho, generalmente se tiene. Y alegarán que un tal conocimiento probable encuentra un buen soporte en el hecho de que se haya trabajado tanto en las teorías de la matemática y no hayan salido a la luz teoremas contradictorios" [Nidditch1962].

También es necesario aclarar que no es cierto que el trabajo de los matemáticos profesionales sea simplemente "convertir café en teoremas". Como afirma Terence Tao, al contrario que los estudiantes universitarios, los matemáticos profesionales "ya no necesitan el formalismo para realizar razonamientos matemáticos de alto nivel, y llevan a cabo su tarea en una gran parte mediante su intuición". Esto se debe a que "el objetivo del rigor matemático no es destruir toda intuición, sino destruir la mala intuición al mismo tiempo que se clarifica y se potencia la buena intuición" [Tao2009]. Nótese que "destruir la mala intuición al mismo tiempo que se clarifica y se potencia la buena intuición" no deja de ser un ejercicio similar a la actualización bayesiana de los grados de confianza que se lleva a cabo en la ciencias naturales.

En realidad, la situación epistemológica en la que se encuentran las matemáticas es similar a la del resto de las ciencias naturales.  La metodología que se utiliza en matemáticas no es más rigurosa que la del resto de ciencias por una cuestión de naturaleza, sino de grado. ¿Cuál es en realidad esta metodología? La explicación que da Arnold es la siguiente:

"El esquema de construcción de una teoría matemática es exactamente el mismo que el de cualquier otra de las ciencias naturales. Primero prestamos atención a objetos y hacemos observaciones en casos especiales. Luego probamos y encontramos los límites de aplicación de nuestras observaciones, buscamos contraejemplos que nos prevengan de extender injustificadamente nuestras observaciones hacia un rango demasiado extenso de eventos (por ejemplo, el número de particiones de números impares consecutivos 1, 3, 5, 7, 9 en un número impar de sumandos nos da la secuencia 1, 2, 4, 8, 16, pero a continuación aparece el 29).

Como resultado, formulamos el descubrimiento empírico que acabamos de hacer (por ejemplo, la conjetura de Fermat o la conjetura de Poincaré) de forma tan clara como sea posible. Después de esto, es cuando viene la difícil fase de comprobar cómo de fiable son nuestras conclusiones.

Para este punto, una técnica especial ha sido desarrollada en matemáticas. Esta técnica, cuando se aplica al mundo real, es algunas veces útil, pero puede a veces también conducir al autoengaño. A esta técnica se la denomina modelización. Al construir un modelo, hay que hacer la siguiente idealización: ciertos hechos que son sólo conocidos con un cierto grado de probabilidad o con un cierto grado de exactitud son considerados como "absolutamente" correctos y son aceptados como "axiomas". El sentido de esta "absolutez" descansa precisamente en el hecho de que nos damos permiso a nosotros mismos para utilizar estos "hechos" de acuerdo con las reglas de la lógica formal, en un proceso en el que asignamos la categoría de "teorema" a todo lo que de ellos se puede deducir. 

Es obvio que en cualquier actividad de la vida real es imposible confiar completamente en tales deducciones. El motivo es que, por lo menos, los parámetros que caracterizan los fenómenos estudiados nunca son conocidos completamente de forma exacta y un pequeño cambio en los parámetros (por ejemplo, en las condiciones iniciales de un proceso) puede cambiar el resultado totalmente. Por ejemplo, este es el motivo por el que una predicción del tiempo meteorológico fiable a largo plazo es imposible y seguirá siendo imposible por mucho que mejoremos los ordenadores y los dispositivos que registran las condiciones iniciales. De la misma manera, un pequeño cambio en los axiomas (de los cuales no podemos estar por completo seguros) es capaz, en general, de conducir a conclusiones completamente distintas a aquellas que se obtienen a partir de los teoremas que se han podido deducir partiendo de los axiomas aceptados. Cuanto más larga y sofisticada sea la cadena de deducciones ("demostraciones"), menos fiable es el resultado final. Los modelos complejos pocas veces son útiles (salvo para aquellos que escriben sus tesis).

La técnica matemática de la modelización consiste en ignorar este problema y hablar sobre tu modelo deductivo como si coincidiese con la realidad. Al hecho de que este camino, que es obviamente incorrecto desde el punto de vista de las demás ciencias naturales, frecuentemente conduce a resultados útiles en física, se le denomina "la inconcebible efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales" (o el "principio de Wigner").
[...]
"El sutil veneno de la formación en matemáticas" (en palabras de Klein) para un físico consiste precisamente en el hecho de que el modelo, considerado como "absoluto", se separa de la realidad y ya no se puede comparar con ella. Aquí puede verse un ejemplo simple: los matemáticos nos enseñan que la solución a la ecuación de Maltus $$
\frac{dx}{dt}=x
$$ queda completamente determinada por las condiciones iniciales (lo que es equivalente a decir que las correspondientes curvas integrales en el plano (t,x) no intersecan entre ellas). Pero esta conclusión del modelo matemático tiene poca relevancia en lo que respecta a la realidad. Los experimentos con ordenadores nos demuestran que todas estas curvas integrales tienen puntos en común en el semieje negativo temporal. En efecto, las curvas con, por ejemplo, las condiciones iniciales $x(0)=0$ y $x(0)=1$ prácticamente intersecan en $t=-10$, y en $t=-100$ ni siquiera cabe un átomo entre ellas. Las propiedades del espacio a esas distancias tan pequeñas ya no se pueden describir mediante la geometría euclídea. La aplicación del teorema de unicidad en esta situación obviamente está fuera del rango de validez del modelo. Esto se tiene que respetar en las aplicaciones prácticas del modelo ya que, si no, nos podemos encontrar con problemas serios.

Me gustaría remarcar que, sin embargo, este mismo teorema de unicidad explica por qué hay que hacer manualmente la fase de acercamiento en el proceso de amarre de un barco: en la conducción, si la velocidad de acercamiento hubiese sido definida como una función lineal suave de la distancia, el proceso de amarre habría requerido un periodo infinito de tiempo. [...] Este problema tuvo que ser encarado de forma seria al aterrizar aparatos en la Luna y en Marte y en los acoplos de las estaciones espaciales - aquí el teorema de unicidad juega en nuestra contra.

Desafortunadamente, en los modernos libros de texto de matemáticas no es posible encontrar, ni ninguno de estos ejemplo, ni ninguna discusión acerca de los peligros de fechitizar los teoremas, ni siquiera en los mejores libros. De hecho, incluso tengo la impresión de que los matemáticos escolásticos (aquellos que saben poco de física) creen que la matemática axiomática es distinta de la modelización que se lleva a cabo habitualmente en las ciencias naturales. Ésta última siempre requiere un posterior control de las deducciones mediante experimentos, pero creen que la matemática axiomática no.

Incluso aunque nos olvidemos del carácter relativo de los axiomas iniciales, no se puede ignorar la inevitabilidad de que se produzcan errores lógicos en las inferencias largas [...] con computadoras [...] y matemáticos después de diez páginas de fórmulas [...]. La tecnología necesaria para combatir tales errores es precisamente el mismo control externo que llevan a cabo los experimentadores en cualquier ciencia experimental y se debería enseñar desde el principio a todos los estudiantes en las escuelas.

Los intentos de crear unas matemáticas deductivo-axiomáticas "puras" han conducido al abandono del esquema que se usa en física (observación, modelo, investigación del modelo, conclusiones y comprobaciones experimentales) y sus sustitución por el esquema: definición, teorema, demostración. Es imposible entender una definición si no ha sido bien motivada pero esto no les para los pies a los algebristas-axiomatizadores criminales."

Todas estas frases forman parte del discurso que dio Arnold en el Palais de Découverte en Paris en 1997, en el que denuncia el daño que causaron esos matemáticos escolásticos al ocultar a los jóvenes que los objetos matemáticos, además de tener un significado algebraico y geométrico, también tienen un significado físico, cuyo conocimiento da al matemático una intuición que le sirve de potente faro, y que la modelización en matemáticas también necesita de confirmación experimental.

¿Son los enunciados de las matemáticas de distinta naturaleza que los de la física?

Ya hemos visto que la metodología que se utiliza en matemáticas no es de distinta naturaleza que la de la física. Pero, ¿qué ocurre con sus enunciados? En toda la tradición filosófica occidental siempre se ha considerado que los enunciados de las matemáticas (analíticos) poseen una naturaleza distinta a los de la física (que son sintéticos). Por ejemplo, La distinción kantiana entre verdades analíticas y verdades sintéticas fue anticipada por la distinción de Hume entre relaciones de ideas y cuestiones de hecho, y por la distinción leibniziana entre verdades de razón y verdades de hecho. Leibniz decía de las verdades de razón que son verdaderas en todos los mundos posibles.

Sin embargo, en 1951 el filósofo y lógico matemático norteamericano W. V. O. Quine, en el que se considera el artículo más importante del siglo XX en filosofía de la ciencia, enterró definitivamente de la filosofía la distinción entre verdades analíticas (verdades lógico-matemáticas, independientes de los hechos) y verdades sintéticas (basadas en los hechos) [Quine1951].

W.V.O. Quine

By (Photo booth?)Stampit at English Wikipedia. [CC BY-SA 2.5-2.0-1.0, GFDL or CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

En este artículo Quine demuestra que todos los argumentos posibles que se puede proponer para intentar demostrar que son analíticos los enunciados del tipo "Ningún número de jugadores en un equipo que sea número compuesto es un número primo" son en realidad circulares. Podríamos decir que el enunciado es analítico porque, usando "compuesto" como sinónimo de "no primo", somos capaces de convertirlo en una tautología (descartemos los equipos de 1 jugador, ya que el 1 no se considera ni primo ni compuesto). Pero Quine demuestra que el concepto de sinonimia está tan necesitado de explicación como el de analiticidad, ya que todos los intentos de caracterizar conceptualmente la sinonimia acaban dependiendo de sí mismos o del concepto analiticidad.

Por ejemplo, un diccionario que traduzca "compuesto" por "no primo" no puede resolver el problema, porque los diccionarios son informes que recogen las sinonimias conocidas y, por tanto, dependen de la noción previa de sinonimia.

También podríamos explicar la sinonimia en términos de "intercambiabilidad": "compuesto" puede cambiarse por "no primo" en todas los enunciados sin que por ello cambie el valor de verdad de cada enunciado. Pero Quine demuestra que no es posible hacer esto de forma general garantizando que el motivo por el que el enunciado no ha cambiado su valor de verdad es por su significado y no por casualidad. Por ejemplo, podemos cambiar en todas los enunciados "criatura con corazón" por "criatura con riñón", y no por ello cambiaría su valor de verdad, ya que es un hecho experimental que todas las criaturas con corazón también tienen riñón, pero, entonces, el significado de los enunciados cambiaría, y no podemos decir que "Toda criatura con riñón es una criatura con corazón" sea precisamente un enunciado analítico. Podríamos añadir el adverbio modal "Necesariamente", con lo que sí quedaría claro que "Necesariamente, ningún compuesto es primo" es analítico, mientras que "Necesariamente, toda criatura con riñón es criatura con corazón" no lo es porque, al añadir "Necesariamente" se vuelve falso. Pero la noción de necesidad descansa sobre la de analiticidad, con lo que el argumento sería circular.

Otra definición posible sería decir que un enunciado analítico es aquel que está en el caso extremo de que no es necesaria una verificación empírica del mismo, porque queda confirmado independientemente de lo que salga en los experimentos. Pero para eso hace falta aceptar la teoría de la verificación del significado que dice que sólo los enunciados que son empíricamente verificables tienen significado, es decir, habría que aceptar el postulado reduccionista del positivismo. Pero el reduccionismo presenta un problema tan intratable como el de la analiticidad, ya que para llevar a cabo la empresa reduccionista es necesario especificar cómo traducir los datos sensibles a los enunciados de nuestro discurso, como intentó sin éxito Carnap. Carnap fracasó en esta empresa porque no tuvo más remedio que introducir notación lógica, de teoría de conjuntos y de localización en el espacio-tiempo, volviendo de nuevo a la analiticidad que pretendíamos definir.

Ante el fracaso de los positivistas en dar caracterizaciones no circulares de analiticidad y reduccionismo, Quine concluye que ambas nociones no son más que dogmas metafísicos de fe. En vez del reduccionismo, Quine propone que es la totalidad del conocimiento científico lo que es verificable, y no cada enunciado individualmente, porque prácticamente todos los enunciados en ciencia están interconectados. Al contrario de lo que decía Popper, no son, por tanto, los enunciados los que son falsables, sino la totalidad del conocimiento científico como un todo. Ante una evidencia experimental en contra habrá varias posibilidades de modificar toda la red de teorías e hipótesis para adaptarla a ésta. Un enunciado que es falso en una de estas posibilidades puede ser verdadero en otra. Estas ideas constituyen la denominada tesis de Duhem-Quine.

Por supuesto, hay enunciados, los que antes llamábamos "analíticos", que son menos susceptibles que otros, los que antes llamábamos "sintéticos", de ser modificados ante un resultado experimental en contra, pero, como señala Quine, la diferencia entre los enunciados "analíticos" de las matemáticas y los "sintéticos" de la física no es de naturaleza sino de grado: los resultados experimentales nos dan las condiciones de frontera que tiene que satisfacer la red que constituye todo el conocimiento científico. Los juicios que llamamos "sintéticos" están más cerca de esa frontera, con lo que, cuando hay un cambio en la frontera, al ajustar la red para adaptarse a ese cambio es más probable que los acabemos tocando, pero no tiene sentido hablar del contenido empírico de un enunciado concreto. Como afirmó Arnold "La identidad de Jacobi (que fuerza a que las tres alturas de todo triángulo se crucen en un punto) es un hecho experimental de la misma naturaleza que el hecho de que la Tierra es redonda, pero que se puede descubrir con menos dinero y esfuerzo" [Arnold1997]. A su vez, las leyes de la lógica dan las relaciones entre los distintos enunciados, pero ellas mismas también son enunciados del sistema y, por tanto, tampoco puede decirse que sean puramente analíticas, que no dependan de la experiencia.

Alguno puede pensar que es imposible que los enunciados de la matemática sean de la misma naturaleza que la de las ciencias  que habitualmente se llaman "experimentales", ya que los objetos con los que trabaja la matemática son objetos abstractos, que entran dentro de otra categoría. Sin embargo, ya hemos visto en un artículo anterior que los objetos matemáticos tienen un triple significado: algebraico, geométrico y físico, y que uno no puede abarcarlos completamente si se olvida de su significado físico. Desgraciadamente, ha habido una escuela de pensamiento dominante durante la segunda mitad del siglo XX entre los matemáticos que ha tenido consecuencias nefastas para la enseñanza de las matemáticas y para la investigación, que ha actuado bajo el perverso objetivo de ocultar a los jóvenes el significado físico de los objetos matemáticos. Se ha intentado forzar una separación entre matemáticas y física teórica aislando a ambas comunidades de investigadores bajo la falsa excusa de que estudian disciplinas de distinta naturaleza. La realidad es que no lo son. Los objetivos y metodologías de ambos grupos sólo difieren en grado, pero esta realidad queda oscurecida por el hecho de que ambos colectivos utilizan un lenguaje muy distinto para referirse a los mismos objetos.

Afortunadamente, es difícil mantener una mentira de tal magnitud durante mucho tiempo, y esta barrera construida artificialmente entre físicos teóricos y  matemáticos, debido a la diferente formación y diferente lenguaje que utilizan, está empezando a caer. Como explico en ese articulo anterior, en las últimas décadas las nuevas ideas en teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas están revolucionando por completo las matemáticas. Ejemplos exitosos de la aplicación de conceptos físicos para resolver problemas matemáticos y crear nuevas ramas de la matemática, como mirror symmetry, la teoría de nudos o el monstrous moonshine, están obligando a ambos colectivos a entenderse de nuevo, haciendo ver a los matemáticos que despreciar el significado físico de los objetos con los que trabajan conlleva una visión estrecha de su disciplina y terminando de destruir el complejo de inferioridad que se había inoculado a muchos físicos al hacerles creer la mentira de que la naturaleza de las matemáticas se encuentra en un estatus superior en "pureza" a la de la física.

Conclusión

Ni la metodología que se usa en matemáticas ni los enunciados con los que ésta trabaja difieren en naturaleza con lo que se hace en física. Arnold tenía razón. La matemática es una ciencia experimental y, además, ni siquiera se puede establecer una frontera clara entre ésta y la física teórica.

Nos vemos, por tanto, obligados a sustituir esta popular viñeta en las redes sociales:

por esta otra:

donde en el grupo "dogmatism" podemos englobar a los matemáticos y lógicos escolásticos que creen que sus sistemas axiomáticos están a salvo de necesitar confirmación experimental. Los matemáticos y lógicos de verdad, como Arnold, Tao, Gödel, Quine, Nidditch, etc, formarían parte, junto con los físicos, de la parte más pura de los que practican el pensamiento racional. Y todo esto, por supuesto, sin menospreciar la importancia de las otras ciencias que, aunque fundamentadas en la que tienen a su derecha, tienen todo el derecho a poseer la categoría de ciencia por sus propias metodologías y por la complejidad y singularidad de sus metodologías y de los sistemas que estudian.

Eso sí, no podemos terminar este artículo sin señalar un error importante en la afirmación de Arnold con la que hemos comenzado este texto. Los experimentos en matemáticas no son baratos, y el motivo no es sólo que las supercomputadoras cuestan mucho dinero. Hay que pagar bien a los matemáticos y a los físicos teóricos para que desarrollen su trabajo en condiciones dignas, dedicando no más de 40 horas a la semana, con un sueldo adecuado y con una estabilidad laboral, tras leer la tesis, suficiente como para que nadie tenga que elegir entre asumir sus responsabilidades con sus hijos y con los ancianos de su familia o seguir con la carrera investigadora. Eso no se está haciendo, y la consecuencia es que se está expulsando masivamente de la academia a las mujeres en mitad de su carrera científica (y también a los hombres que sí asumen esas responsabilidades familiares), mientras se está dando una ventaja que no merecen a los hombres más irresponsables. Si acabáramos con esta situación de explotación y el trabajo de investigador en la etapa de postdoc fuera compatible con la vida, las matemáticas ya no serían tan baratas. Arnold no deja de ser un señoro del siglo pasado, capaz de ver algunas cosas con una profundidad alucinante, mientras no se daba cuenta de lo que sucedía delante de sus narices.


Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

Referencias bibliográficas

• Arnold V.I. (1998) "On teaching mathematics". Uspekhi Mat. Nauk 53 (1998), no. 1, 229-234.
• Gödel, K. (1992) [1931] On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. New York: Dover, 1992
• Quine W.V.O. (1951) "Two dogmas of empirism", Philosophical Review 60: 20–43.
• Nidditch P.H. (1962). The development of mathematical logic. Monographs in modern logic. Routledge & Kegan Paul, London, and The Free Press of Glencoe, New York.
• Tao T. (2009). "There’s more to mathematics than rigour and proofs". What's new.