En física clásica, sobre toda partícula con carga $q$ y velocidad $\vec{v}$ sometida a un campo electromagnético se ejerce siempre una fuerza (denominada fuerza de Lorentz) de valor $$
\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $\vec{E}$ es valor del campo eléctrico en el punto donde está situada la partícula y $\vec{B}$ el campo magnético. Esto implica que, en el caso de que la partícula sea no relativista, la ecuación diferencial que describe su movimiento es, si la fuerza de Lorentz es la única que actúa:
\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $\vec{E}$ es valor del campo eléctrico en el punto donde está situada la partícula y $\vec{B}$ el campo magnético. Esto implica que, en el caso de que la partícula sea no relativista, la ecuación diferencial que describe su movimiento es, si la fuerza de Lorentz es la única que actúa:
$$
m\vec{a}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $m$ es la masa de la partícula y $\vec{a}$ es su aceleración.
Esta ecuación de movimiento se puede obtener imponiendo que el camino que tiene que seguir la partícula entre los puntos espaciotemporales $(t_i, \vec{r}_i)$ y $(t_f, \vec{r}_f)$ sea aquel que minimiza la acción
$$
S=\int \left( \frac{1}{2} m v^2 -q\phi \right)dt+ q\int \vec{A}\cdot d\vec{r} =
$$ $$
=\int \left( \frac{1}{2} m v^2 -q\phi +q\vec{A}\cdot\vec{v}\right)dt
$$ (donde las integrales se realizan entre esos dos puntos espaciotiemporales) siempre que identifiquemos a $\vec{E}$ y $\vec{B}$ con
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$ $$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$ Aquí $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{A}$ es el potencial vector magnético.
Pero, ¿qué ocurre en mecánica cuántica? ¿Cómo podemos describir en mecánica cuántica el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético clásico? En mecánica cuántica las probabilidades de cada posible resultado a la hora de realizar una medición se calculan mediante el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad asociada a ese suceso. Esta amplitud de probabilidad la podemos calcular, o bien haciendo uso de la integral de camino de Feynman, o bien haciendo uso de la ecuación de Schrödinger para calcular cómo es la función de onda de la partícula en el instante de la medición. Hay, por tanto, dos procedimientos que a uno se le ocurren para cuantizar la partícula cargada.
El primero consiste en llevar a cabo la integral de camino de Feynman metiendo en la acción el término descrito anteriormente responsable de la interacción de la partícula cargada con el campo electromagnético. En el cálculo de la amplitud de probabilidad de que una partícula situada en $\vec{r}_i$ en el instante $t_i$ acabe en el punto $\vec{r}_f$ en un instante posterior $t_f$, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino posible, siendo cada una de éstas un número complejo de módulo 1 y cuya fase viene dada por la acción $S$ dividida entre $\hbar$:
$$
U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)=\langle \vec{r}_f | \hat{U}(t_f-t_i) | \vec{r}_i \rangle = \int D\vec{r}(t) e^{i\frac{S}{\hbar}}
$$ donde $\hat{U}$ es el operador unitario de evolución del estado de la partícula. A la función $U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)$ se la denomina propagador de la partícula cargada en el espacio de posición.
El segundo procedimiento consiste en hacer uso del hecho de que el hamiltoniano clásico de la partícula cargada es $$
H=\frac{p_F^2}{2m}+ q\phi=\frac{(\vec{p}-q\vec{A})^2}{2m}+ q\phi
$$ (donde $\vec{p}$ es el momento canónico de la partícula cargada, que no coincide con su momento físico $\vec{p}_F=\vec{p}-q\vec{A}$). Así, en mecánica cuántica podemos valernos de esta sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$ para postular que el hamiltoniano cuántico de la partícula cargada es $$
\hat{H}=\frac{\hat{p}_F^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)=\frac{(\hat{\vec{p}}-q\vec{A}(\hat{\vec{r}},t))^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)
$$ Esto hace que la ecuación de Schrödinger, que nos da la evolución temporal de la función de onda de la partícula cargada, sea $$
i \hbar \, \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +
q\phi(\vec{r})
+ \frac{i \hbar q}{m }
\vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla +\lambda \frac{i \hbar q}{m c} \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) +
\frac{q^2}{2 m } \vec{A}^2(\vec{r}) \right] \, \psi(\vec{r},t)
$$
¿Nos dan ambos métodos el mismo resultado? El problema es que es posible que no. El término de interacción de la partícula con el campo electromagnético $q\vec{A}(\vec{r})\cdot \vec{v}$ no sólo depende de la posición de la partícula, sino también de su velocidad. Esto nos da lugar a una ambigüedad en cuanto a cómo ordenar los productos de operadores posición y velocidad, ya que en mecánica cuántica la posición $\hat{\vec{r}}$ y la velocidad $\hat{\vec{v}}$ de una partícula no conmutan. Es de sobra conocido que este problema de ordenamiento lo tenemos en el hamiltoniano al sustituir $\vec{r}$ y $\vec{p}$ por los operadores $\hat{\vec{r}}$ y $\hat{\vec{p}}$, ya que éstos no conmutan. Experimentalmente se puede comprobar que el hamiltoniano que nos da el resultado correcto es el de la sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$. Sin embargo, lo que mucha gente no sabe es que este mismo problema de ordenamiento también lo tenemos en la integral de camino de Feynman. Como hemos explicado en otro post, este problema de ordenamiento queda oculto en la notación simplificada de la integral de camino que acabamos de utilizar. ¿Cuál es el orden adecuado que tenemos que establecer en la integral de camino de Feynman para obtener una evolución de la función de onda que sea equivalente a la de la sustitución minimal? Eso es lo que vamos a ver en este post. Si estás interesado en saber qué le ocurre a la invariancia gauge en mecánica cuántica, es mejor que te leas este otro post, bastante más atractivo a nivel conceptual.
Para ver explícitamente que en la integral de camino de Feynman hay también un problema de orden, es mejor descomoponer en la integral de camino el intervalo temporal $ t_f - t_i $ en $ N $ intervalos infinitesimales $$
\epsilon = \frac{t_f - t_i}{N},
$$ con $N$ tendiendo a infinito. En el eje x, por ejemplo, la evolución mecanocuántica de la partícula que viaja desde $x_a$ hasta $x_b$ está descrita en la integral de camino como una suma de historias. Al discretizar, en cada una de esas historias la partícula tiene distintas posiciones intermedias $x_1$, $x_2$... $x_{N-1}$, pero la misma posición inicial $x_0=x_a$ y la misma posición final $x_N=x_b$, como muestra el siguiente dibujo:
Así, en el caso de una partícula que se mueve en una dimensión y que está sometida a un potencial que sólo depende de la posición de la partícula, la expresión que se obtiene para la integral de camino de Feynman discretizada es: $$
\hspace{-1cm} U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> \ldots \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \right )^2 -
V(x_j) \right ] \> \right \} =
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar} \> \> .
$$ donde la vuelta al continuo se hace en el límite en el que simultáneamente $$
N \to \infty \>, \> \> \epsilon \to 0 \>,
\hspace {0.5cm} {\rm con} \> \> \> \epsilon N = t_b - t_a \hspace {0.5cm}
{\rm fijo}
$$ Nótese que en esta fórmula la integral sobre un punto intermedio $x_j$ significa físicamente que estamos sumando sobre todos los caminos entre $x_{j-1}$ y $x_{j+1}$, ya que, para $x_{j-1}$ y $x_{j+1}$ fijos, el hecho de que $x_j$ tome un valor distinto nos define un nuevo camino.
Y aquí es donde se aprecia la esencia del problema. En la integral de camino discretizada anterior la parte correspondiente a la energía potencial depende de las posiciones, que "viven" en los instantes $t_j$, mientras que la parte de la energía cinética depende de las velocidades, que no "viven" en los instantes $t_j$, sino en los intervalos que hay entre esos instantes. Esto hace que tengamos la ambigüedad de poner en la acción el término $ \> V(x_{j+1}) \> $ en vez de $ \> V(x_j) \> $. ¿Se obtiene al hacer esto una integral de camino diferente? No en el caso de una partícula sometida a un potencial $V(x)$, ya que en este caso la diferencia entre las dos opciones que tenemos es de orden $\epsilon$ y se anula al pasar al límite continuo $\epsilon \to 0$. Pero, en el caso de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético, el término de interacción de la partícula con el campo electromagnético no sólo depende de la posición de la partícula, sino también de su velocidad. Esto nos da lugar a una ambigüedad en la integral de camino de Feynman en cuanto a cómo ordenar los productos de operadores posición y velocidad. En este caso no se obtiene el mismo resultado si se evalúa $\vec{A}$ en $\vec{r}_j$ o en $\vec{r}_{j+1}$. Para cubrir todas las posibilidades, podemos escribir $$
\hspace{-1cm} U(\vec{r}_f, t_f; \vec{r}_i, t_i) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{3N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} d^3\vec{r}_1 \> d^3\vec{r}_2 \> \ldots \> d^3\vec{r}_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{\vec{r}_{j+1} - \vec{r}_j}{\epsilon} \right )^2 -
q\phi(\vec{r}_j) + q\vec{A}\left( \lambda \vec{r}_j + (1-\lambda)\vec{r}_{j+1} \right) \cdot \frac{\vec{r}_{j+1} - \vec{r}_j}{\epsilon} \right ] \> \right \}
$$ donde el parámetro $ \lambda \in [0,1] $ nos dice cómo hay que hacer la media ponderada entre los puntos $\vec{r}_j$ y $\vec{r}_{j+1}$ donde evaluar $\vec{A}$, es decir, nos prescribe el orden en los productos de operadores posición y velocidad.
Una vez conocida la función de onda de la partícula en el instante $t$, el propagador nos permite calcular la función de onda en el instante $t+\epsilon$: $$
\psi(\vec{r},t+\epsilon)= \langle \vec{r} | \hat{U}(t+\epsilon,t)| \psi \rangle=\int d^3 \vec{r}^\prime U(\vec{r}, t+\epsilon; \vec{r}^\prime, t) \psi(\vec{r}^\prime,t).
$$ Sustituyendo $\vec{\xi}=\vec{r}^\prime-\vec{r}$, se llega a: $$
\psi(\vec{r},t+\epsilon) = \left ( \frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar}
\right )^{3/2} \, \int_{-\infty}^{+\infty} d^3\xi \> \exp \left (
\frac{i m \xi^2}{2 \epsilon \hbar} \right ) \, \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left[ -\frac{i\epsilon q}{\hbar} \phi(\vec{r}+\vec{\xi}) - \frac{i q}{\hbar } \vec{\xi} \cdot
\vec{A} (\vec{r}+ \lambda \vec{\xi}) \right] \,
\psi(\vec{r}+\vec{\xi},t) \> .
$$ El factor gaussiano dentro de la integral hace que las contribuciones no despreciables de $\vec{\xi}$ a la integral sean de orden $\sqrt{\epsilon}$. Esto nos permite expandir la expresión obtenida en potencias de $ \epsilon $ y $ \vec{\xi} $. Utilizando el valor conocido de las integrales gaussianas $$
\int d^3 \xi \> \left( 1, \xi_k, \xi_k \xi_l \right) \, \exp (-a \xi^2 ) = \left( 1, 0, \frac{\delta_{kl}}{2 a}
\right) \, \left( \frac{\pi}{a} \right)^{3/2} \>,
$$ donde $ a = -\frac{im}{2 \hbar \epsilon} $ y donde $ k, l $ son las componentes cartesianas, se llega a $$
\psi(\vec{r},t+\epsilon) = \psi(\vec{r},t) + \epsilon \frac{i \hbar}{2 m} \, \Delta \psi(\vec{r},t) + \epsilon
\frac{\lambda q}{m } \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) \, \psi(\vec{r},t)
- $$ $$
-\frac{i\epsilon q}{\hbar}\phi(\vec{r})\psi(\vec{r},t) -\epsilon \frac{i q^2}{2 \hbar m } \vec{A}^2(\vec{r}) \,
\psi(\vec{r},t) + \epsilon \frac{q}{m} \vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla \psi(\vec{r},t) + {\cal O}(\epsilon^2) \> . $$ En el límite $ \epsilon \to 0 $ se obtiene $$
i \hbar \, \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +
q\phi(\vec{r})
+ \frac{i \hbar q}{m }
\vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla +\lambda \frac{i \hbar q}{m c} \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) +
\frac{q^2}{2 m } \vec{A}^2(\vec{r}) \right] \, \psi(\vec{r},t)
$$ Esta es precisamente la ecuación de Schrödinger correspondiente al hamiltoniano $$
\hat{H}=
\frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{i} \nabla
- q \vec{A}(\vec{r}) \right)^2 + q\phi(\vec{r}),
$$ de la sustitución minimal, pero sólo si $ \lambda = 1/2 $ [Rosenfelder2009]. Como experimentalmente se comprueba que éste es el hamiltoniano que nos da evolución temporal de la partícula cargada no relativista en el seno de una campo electromagnético, la prescripción de ordenamiento que se debe establecer en la integral de camino de Feynman es la correspondiente a $ \lambda = 1/2 $, es decir, la correspondiente a evaluar $\vec{A}$ en el punto medio entre $\vec{r}_j$ y $\vec{r}_{j+1}$. A esta regla se la denomina regla del punto medio.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
m\vec{a}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}
$$ donde $m$ es la masa de la partícula y $\vec{a}$ es su aceleración.
Esta ecuación de movimiento se puede obtener imponiendo que el camino que tiene que seguir la partícula entre los puntos espaciotemporales $(t_i, \vec{r}_i)$ y $(t_f, \vec{r}_f)$ sea aquel que minimiza la acción
$$
S=\int \left( \frac{1}{2} m v^2 -q\phi \right)dt+ q\int \vec{A}\cdot d\vec{r} =
$$ $$
=\int \left( \frac{1}{2} m v^2 -q\phi +q\vec{A}\cdot\vec{v}\right)dt
$$ (donde las integrales se realizan entre esos dos puntos espaciotiemporales) siempre que identifiquemos a $\vec{E}$ y $\vec{B}$ con
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$ $$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$ Aquí $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{A}$ es el potencial vector magnético.
Pero, ¿qué ocurre en mecánica cuántica? ¿Cómo podemos describir en mecánica cuántica el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético clásico? En mecánica cuántica las probabilidades de cada posible resultado a la hora de realizar una medición se calculan mediante el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad asociada a ese suceso. Esta amplitud de probabilidad la podemos calcular, o bien haciendo uso de la integral de camino de Feynman, o bien haciendo uso de la ecuación de Schrödinger para calcular cómo es la función de onda de la partícula en el instante de la medición. Hay, por tanto, dos procedimientos que a uno se le ocurren para cuantizar la partícula cargada.
El primero consiste en llevar a cabo la integral de camino de Feynman metiendo en la acción el término descrito anteriormente responsable de la interacción de la partícula cargada con el campo electromagnético. En el cálculo de la amplitud de probabilidad de que una partícula situada en $\vec{r}_i$ en el instante $t_i$ acabe en el punto $\vec{r}_f$ en un instante posterior $t_f$, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino posible, siendo cada una de éstas un número complejo de módulo 1 y cuya fase viene dada por la acción $S$ dividida entre $\hbar$:
$$
U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)=\langle \vec{r}_f | \hat{U}(t_f-t_i) | \vec{r}_i \rangle = \int D\vec{r}(t) e^{i\frac{S}{\hbar}}
$$ donde $\hat{U}$ es el operador unitario de evolución del estado de la partícula. A la función $U(\vec{r}_f , t_f ; \vec{r}_i, t_i)$ se la denomina propagador de la partícula cargada en el espacio de posición.
El segundo procedimiento consiste en hacer uso del hecho de que el hamiltoniano clásico de la partícula cargada es $$
H=\frac{p_F^2}{2m}+ q\phi=\frac{(\vec{p}-q\vec{A})^2}{2m}+ q\phi
$$ (donde $\vec{p}$ es el momento canónico de la partícula cargada, que no coincide con su momento físico $\vec{p}_F=\vec{p}-q\vec{A}$). Así, en mecánica cuántica podemos valernos de esta sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$ para postular que el hamiltoniano cuántico de la partícula cargada es $$
\hat{H}=\frac{\hat{p}_F^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)=\frac{(\hat{\vec{p}}-q\vec{A}(\hat{\vec{r}},t))^2}{2m}+ q\phi(\hat{\vec{r}},t)
$$ Esto hace que la ecuación de Schrödinger, que nos da la evolución temporal de la función de onda de la partícula cargada, sea $$
i \hbar \, \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +
q\phi(\vec{r})
+ \frac{i \hbar q}{m }
\vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla +\lambda \frac{i \hbar q}{m c} \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) +
\frac{q^2}{2 m } \vec{A}^2(\vec{r}) \right] \, \psi(\vec{r},t)
$$
¿Nos dan ambos métodos el mismo resultado? El problema es que es posible que no. El término de interacción de la partícula con el campo electromagnético $q\vec{A}(\vec{r})\cdot \vec{v}$ no sólo depende de la posición de la partícula, sino también de su velocidad. Esto nos da lugar a una ambigüedad en cuanto a cómo ordenar los productos de operadores posición y velocidad, ya que en mecánica cuántica la posición $\hat{\vec{r}}$ y la velocidad $\hat{\vec{v}}$ de una partícula no conmutan. Es de sobra conocido que este problema de ordenamiento lo tenemos en el hamiltoniano al sustituir $\vec{r}$ y $\vec{p}$ por los operadores $\hat{\vec{r}}$ y $\hat{\vec{p}}$, ya que éstos no conmutan. Experimentalmente se puede comprobar que el hamiltoniano que nos da el resultado correcto es el de la sustitución minimal $\vec{p} \to \vec{p}-q\vec{A}$. Sin embargo, lo que mucha gente no sabe es que este mismo problema de ordenamiento también lo tenemos en la integral de camino de Feynman. Como hemos explicado en otro post, este problema de ordenamiento queda oculto en la notación simplificada de la integral de camino que acabamos de utilizar. ¿Cuál es el orden adecuado que tenemos que establecer en la integral de camino de Feynman para obtener una evolución de la función de onda que sea equivalente a la de la sustitución minimal? Eso es lo que vamos a ver en este post. Si estás interesado en saber qué le ocurre a la invariancia gauge en mecánica cuántica, es mejor que te leas este otro post, bastante más atractivo a nivel conceptual.
Para ver explícitamente que en la integral de camino de Feynman hay también un problema de orden, es mejor descomoponer en la integral de camino el intervalo temporal $ t_f - t_i $ en $ N $ intervalos infinitesimales $$
\epsilon = \frac{t_f - t_i}{N},
$$ con $N$ tendiendo a infinito. En el eje x, por ejemplo, la evolución mecanocuántica de la partícula que viaja desde $x_a$ hasta $x_b$ está descrita en la integral de camino como una suma de historias. Al discretizar, en cada una de esas historias la partícula tiene distintas posiciones intermedias $x_1$, $x_2$... $x_{N-1}$, pero la misma posición inicial $x_0=x_a$ y la misma posición final $x_N=x_b$, como muestra el siguiente dibujo:
\hspace{-1cm} U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> \ldots \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \right )^2 -
V(x_j) \right ] \> \right \} =
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar} \> \> .
$$ donde la vuelta al continuo se hace en el límite en el que simultáneamente $$
N \to \infty \>, \> \> \epsilon \to 0 \>,
\hspace {0.5cm} {\rm con} \> \> \> \epsilon N = t_b - t_a \hspace {0.5cm}
{\rm fijo}
$$ Nótese que en esta fórmula la integral sobre un punto intermedio $x_j$ significa físicamente que estamos sumando sobre todos los caminos entre $x_{j-1}$ y $x_{j+1}$, ya que, para $x_{j-1}$ y $x_{j+1}$ fijos, el hecho de que $x_j$ tome un valor distinto nos define un nuevo camino.
Y aquí es donde se aprecia la esencia del problema. En la integral de camino discretizada anterior la parte correspondiente a la energía potencial depende de las posiciones, que "viven" en los instantes $t_j$, mientras que la parte de la energía cinética depende de las velocidades, que no "viven" en los instantes $t_j$, sino en los intervalos que hay entre esos instantes. Esto hace que tengamos la ambigüedad de poner en la acción el término $ \> V(x_{j+1}) \> $ en vez de $ \> V(x_j) \> $. ¿Se obtiene al hacer esto una integral de camino diferente? No en el caso de una partícula sometida a un potencial $V(x)$, ya que en este caso la diferencia entre las dos opciones que tenemos es de orden $\epsilon$ y se anula al pasar al límite continuo $\epsilon \to 0$. Pero, en el caso de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético, el término de interacción de la partícula con el campo electromagnético no sólo depende de la posición de la partícula, sino también de su velocidad. Esto nos da lugar a una ambigüedad en la integral de camino de Feynman en cuanto a cómo ordenar los productos de operadores posición y velocidad. En este caso no se obtiene el mismo resultado si se evalúa $\vec{A}$ en $\vec{r}_j$ o en $\vec{r}_{j+1}$. Para cubrir todas las posibilidades, podemos escribir $$
\hspace{-1cm} U(\vec{r}_f, t_f; \vec{r}_i, t_i) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{3N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} d^3\vec{r}_1 \> d^3\vec{r}_2 \> \ldots \> d^3\vec{r}_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{\vec{r}_{j+1} - \vec{r}_j}{\epsilon} \right )^2 -
q\phi(\vec{r}_j) + q\vec{A}\left( \lambda \vec{r}_j + (1-\lambda)\vec{r}_{j+1} \right) \cdot \frac{\vec{r}_{j+1} - \vec{r}_j}{\epsilon} \right ] \> \right \}
$$ donde el parámetro $ \lambda \in [0,1] $ nos dice cómo hay que hacer la media ponderada entre los puntos $\vec{r}_j$ y $\vec{r}_{j+1}$ donde evaluar $\vec{A}$, es decir, nos prescribe el orden en los productos de operadores posición y velocidad.
Una vez conocida la función de onda de la partícula en el instante $t$, el propagador nos permite calcular la función de onda en el instante $t+\epsilon$: $$
\psi(\vec{r},t+\epsilon)= \langle \vec{r} | \hat{U}(t+\epsilon,t)| \psi \rangle=\int d^3 \vec{r}^\prime U(\vec{r}, t+\epsilon; \vec{r}^\prime, t) \psi(\vec{r}^\prime,t).
$$ Sustituyendo $\vec{\xi}=\vec{r}^\prime-\vec{r}$, se llega a: $$
\psi(\vec{r},t+\epsilon) = \left ( \frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar}
\right )^{3/2} \, \int_{-\infty}^{+\infty} d^3\xi \> \exp \left (
\frac{i m \xi^2}{2 \epsilon \hbar} \right ) \, \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left[ -\frac{i\epsilon q}{\hbar} \phi(\vec{r}+\vec{\xi}) - \frac{i q}{\hbar } \vec{\xi} \cdot
\vec{A} (\vec{r}+ \lambda \vec{\xi}) \right] \,
\psi(\vec{r}+\vec{\xi},t) \> .
$$ El factor gaussiano dentro de la integral hace que las contribuciones no despreciables de $\vec{\xi}$ a la integral sean de orden $\sqrt{\epsilon}$. Esto nos permite expandir la expresión obtenida en potencias de $ \epsilon $ y $ \vec{\xi} $. Utilizando el valor conocido de las integrales gaussianas $$
\int d^3 \xi \> \left( 1, \xi_k, \xi_k \xi_l \right) \, \exp (-a \xi^2 ) = \left( 1, 0, \frac{\delta_{kl}}{2 a}
\right) \, \left( \frac{\pi}{a} \right)^{3/2} \>,
$$ donde $ a = -\frac{im}{2 \hbar \epsilon} $ y donde $ k, l $ son las componentes cartesianas, se llega a $$
\psi(\vec{r},t+\epsilon) = \psi(\vec{r},t) + \epsilon \frac{i \hbar}{2 m} \, \Delta \psi(\vec{r},t) + \epsilon
\frac{\lambda q}{m } \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) \, \psi(\vec{r},t)
- $$ $$
-\frac{i\epsilon q}{\hbar}\phi(\vec{r})\psi(\vec{r},t) -\epsilon \frac{i q^2}{2 \hbar m } \vec{A}^2(\vec{r}) \,
\psi(\vec{r},t) + \epsilon \frac{q}{m} \vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla \psi(\vec{r},t) + {\cal O}(\epsilon^2) \> . $$ En el límite $ \epsilon \to 0 $ se obtiene $$
i \hbar \, \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +
q\phi(\vec{r})
+ \frac{i \hbar q}{m }
\vec{A}(\vec{r}) \cdot \nabla +\lambda \frac{i \hbar q}{m c} \, \left( \nabla \cdot \vec{A}(\vec{r})\right) +
\frac{q^2}{2 m } \vec{A}^2(\vec{r}) \right] \, \psi(\vec{r},t)
$$ Esta es precisamente la ecuación de Schrödinger correspondiente al hamiltoniano $$
\hat{H}=
\frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{i} \nabla
- q \vec{A}(\vec{r}) \right)^2 + q\phi(\vec{r}),
$$ de la sustitución minimal, pero sólo si $ \lambda = 1/2 $ [Rosenfelder2009]. Como experimentalmente se comprueba que éste es el hamiltoniano que nos da evolución temporal de la partícula cargada no relativista en el seno de una campo electromagnético, la prescripción de ordenamiento que se debe establecer en la integral de camino de Feynman es la correspondiente a $ \lambda = 1/2 $, es decir, la correspondiente a evaluar $\vec{A}$ en el punto medio entre $\vec{r}_j$ y $\vec{r}_{j+1}$. A esta regla se la denomina regla del punto medio.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
Referencias bibliográficas
- Rosenfelder R. : “Path integrals for potential scattering,” Phys. Rev. A 79 (2009) 012701 [arXiv:0806.3217[nucl-th]].
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