¿Por qué flotan los astronautas en la Estación Espacial Internacional?

By NASA/Crew of STS-132 - http://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/shuttle/sts-132/hires/s132e012208.jpg (http://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/shuttle/sts-132/html/s132e012208.html), Public Domain, Link

Estamos acostumbrados a ver imágenes de los astronautas de la Estación Espacial Internacional (ISS) flotando en ingravidez, tanto en el interior como en el exterior de la nave. De hecho, la ISS sirve de laboratorio de ingravidez en el que se llevan a cabo experimentos de biología, física y otros campos.

Sin embargo, a lo mejor no nos hemos parado a pensar que la ISS mantiene una órbita alrededor de la Tierra bastante baja, a una altitud de entre 330 y 435 km sobre el nivel del mar, con lo que, de acuerdo con la ley de gravitación universal de Newton, la intensidad del campo gravitatorio allí es, aproximadamente

$g=\frac{GM}{(R+h)^2}=8,9 \frac{m}{s^2}$

donde G es la constante de Newton, y M y R son, respectivamente, la masa y el radio de la Tierra.

Este resultado es sorprendente, si tenemos en cuenta que la intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre es de $9,8 m/s^2$. Resulta que la intensidad del campo gravitatorio en la ISS es sólo un poco más baja que la que experimentamos nosotros en la superficie de la Tierra. Usando la fórmula $\vec{P}=m\vec{g}$ para el peso de un objeto, vemos que los objetos y los astronautas en la ISS pesan sólo un 10% menos que lo que pesarían en la superficie de la Tierra, y que caen sólo con un 10% menos de aceleración de la que tendrían en caída libre en la superficie de la Tierra. Vamos, prácticamente igual.

Entonces, ¿por qué flotan los objetos y los astronautas en la ISS? La respuesta a esta sencilla pregunta encierra una de las ideas más profundas de la física.

Masa inercial y masa gravitatoria

Ya hemos demostrado en un artículo anterior la ley de inercia, que nos dice que en todo sistema inercial todo cuerpo sobre el que no se apliquen fuerzas va a viajar en línea recta con velocidad constante. Es claro, por tanto, que el efecto de aplicar una fuerza sobre este cuerpo lo que va a provocar es una aceleración:

• Si la fuerza que se aplica va en la dirección y sentido de la velocidad del cuerpo, entonces la aceleración que provoca apuntará en la misma dirección de la velocidad. Esto significa que el cuerpo seguirá moviéndose en línea recta, pero cada vez más deprisa.
• Si va en sentido contrario a la velocidad, la aceleración irá en contra de la velocidad. El cuerpo irá en línea recta cada vez más despacio.
• Si la fuerza aplicada es perpendicular a la velocidad del cuerpo, la aceleración no irá ni a favor ni en contra de la velocidad, sino que también será perpendicular a la velocidad. Esto significa que el cuerpo ni acelerará ni frenará, pero cambiará la dirección de su trayectoria. Ya no irá en línea recta. A esta aceleración perpendicular a la velocidad se la llama aceleración centrípeta $a_c$. La trayectoria será menos curva (el radio de giro $R$ será mayor) cuanto menor sea la aceleración centrípeta y cuanto mayor sea la velocidad, de acuerdo con esta fórmula:

$r=\frac{v^2}{a_c}$

En física de Newton la fuerza aplicada y la aceleración provocada son directamente proporcionales. La ley que expresa esta relación es la segunda ley de Newton y se escribe así:

$ \vec{F}=m_i\vec{a} $

A la constante de proporcionalidad $m_i$ la llamamos masa inercial, ya que nos mide la "inercia" que tiene ese cuerpo, es decir, la resistencia que tiene ese cuerpo a ser acelerado. Está claro que, a una misma fuerza aplicada, vamos a conseguir acelerar menos a un elefante de 5000 kg que a una persona de 70 kg.

Por otro lado, tenemos también otra idea intuitiva de lo que es la masa, que es distinta al concepto de masa inercial. En vez de llamar masa a la resistencia de un cuerpo a ser acelerado, podemos llamar masa a lo que cuesta sostener a un cuerpo en un campo gravitatorio para que no caiga hacia abajo. Esa propiedad es precisamente la que miden las balanzas. Cuanto más masa tenga un cuerpo, con más fuerza lo atrae el planeta Tierra hacia su centro. A esta fuerza de atracción se la llama peso del objeto, y, de acuerdo con la ley de gravitación universal, este peso es directamente proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en el punto en el que se encuentre ese objeto.

$\vec{P}=m_g\vec{g}$

A la constante de proporcionalidad, $m_g$, se la llama masa gravitatoria del objeto.

Como se puede observar, en principio no tenemos ninguna razón para pensar que la masa gravitatoria de un cuerpo tenga que ser lo mismo que su masa inercial, ya que en física de Newton los dos son conceptos completamente distintos. Perfectamente podríamos imaginar un cuerpo que sea fácil de acelerar, pero que la Tierra le atraiga con mucha fuerza. Se trataría de un cuerpo con masa inercial pequeña, pero con masa gravitatoria grande. Sin embargo, este tipo de cuerpos no existe en el universo. Trabajando en las unidades adecuadas para la intensidad del campo gravitatorio, la masa gravitatoria de todo cuerpo coincide con su masa inercial, y este es el motivo por el que nunca escribimos $m_g$ o $m_i$ en las fórmulas, sino simplemente $m$, la masa del cuerpo.

Caída libre

Así, si soltamos un cuerpo en un campo gravitatorio para que caiga libremente, como la única fuerza que actúa sobre éste es su peso, tenemos:

$\vec{F}=\vec{P}$

es decir,

$m_i\vec{a}=m_g\vec{g}$

Pero, como $m_i=m_g$, las dos masas se cancelan en esta fórmula, quedando que la aceleración que adquiere todo cuerpo en caída libre es siempre igual a la intensidad del campo gravitatorio en el punto donde esté el cuerpo:

$\vec{a}=\vec{g}$

Es decir, la aceleración de todo cuerpo en caída libre va a ser independiente de su masa y sólo va a depender de la masa y posición de los cuerpos que le estén atrayendo gravitatoriamente. Cada vez que soltamos un cuerpo en la superficie del planeta Tierra, obtenemos, si quitamos el aire para que no haya rozamiento, que éste caerá en línea recta hacia abajo aumentando su velocidad en 9,8 m/s cada segundo hasta que choque contra el suelo. Sin embargo, si lo soltamos desde la altura a la que está la ISS, en su caída aumentará su velocidad en 8,9 m/s cada segundo durante los primeros segundos. Se trata de una aceleración muy parecida, aunque un poco inferior.

La órbita de la ISS

Nadie sostiene a la ISS. Entonces, ¿por qué no se cae? La respuesta ya la hemos dado. La ISS viaja a una velocidad de unos 7,7 km/s en dirección perpendicular a su peso. Esto hace que, aunque la Tierra la atraiga hacia abajo, esta fuerza, al ser perpendicular a la velocidad, lo que provoca es una aceleración centrípeta, y este es el motivo por el que la ISS describe una órbita prácticamente circular alrededor de la Tierra cuyo radio es aproximadamente

$r=\frac{v^2}{a_c}=6800 km$

Y, ¿cuánto vale la aceleración centrípeta de la ISS? Precisamente 8,9 $m/s^2$, la intensidad del campo gravitatorio en ese punto, ya que, al ser el peso la única fuerza que actúa sobre la ISS, masa inercial y masa gravitatoria se cancelan en la fórmula $m_i\vec{a}=m_g\vec{g}$.

La órbita de los astronautas

El mismo razonamiento que hemos hecho para explicar por qué la ISS no se cae, nos vale para explicar por qué los astronautas que están dentro, o a su alrededor, tampoco caen hacia la Tierra. Cada astronauta tiene una velocidad de 7,7 km/s en dirección perpendicular a su peso, la misma que la ISS. Por tanto, aunque la Tierra atrae a cada astronauta, al ser esta fuerza perpendicular a la velocidad, lo que provoca es que los astronautas estén también en órbita circular alrededor de la Tierra. Como la aceleración centrípeta que adquiere cada astronauta es la misma que la que tiene la ISS (porque ésta no depende de la masa), entonces el radio de la órbita de cada astronauta es exactamente el mismo que el radio de la órbita de la ISS. Es decir, cada astronauta realiza un movimiento en órbita alrededor de la Tierra que es exactamente igual al que realiza la ISS que tiene alrededor.

Por eso, aunque respecto de la Tierra tiene una aceleración (centrípeta) de 8,9 $m/s^2$, cada astronauta está prácticamente en reposo y sin aceleración respecto de la ISS. El resultado es que "flota" en el sistema de referencia de la ISS.

¿Por qué no notamos que la Tierra está orbitando alrededor del Sol?

El mismo razonamiento lo podemos aplicar a la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Cada uno de nosotros está siendo atraído gravitatoriamente por el Sol, al igual que le ocurre al planeta Tierra. Pero, como el movimiento de los cuerpos sometidos sólo a un campo gravitatorio es independiente de su masa, la trayectoria que estamos siguiendo alrededor del Sol es la misma que la que sigue la Tierra. En el sistema de referencia de la Tierra en el que estamos situados el campo gravitatorio del Sol no se nota. Éste es el verdadero motivo por el que no notamos que la Tierra se mueve alrededor del Sol, y no el principio de relatividad, como se sugiere en la película Ágora de Alejandro Amenábar. Si no existiese el Sol ni la Vía Láctea y la Tierra vagara en línea recta por el espacio, entonces sí sería el principio de relatividad la causa de que no notemos que la Tierra se mueve. Pero al estar sometido al campo gravitatorio del Sol y de toda la Vía Láctea, es otro principio el que tenemos que invocar para explicar que no notemos que la Tierra se mueva.

Movimiento en un sistema no inercial

Acabamos de ver que la interacción gravitatoria ocupa un lugar peculiar dentro del conjunto de las interacciones. Los campo gravitatorios tienen la propiedad fundamental de que todos los cuerpos se mueven en ellos de la misma manera, independientemente de su masa, con tal de que las condiciones iniciales sean las mismas. Esto es algo que no ocurre en los demás campos. Por ejemplo, en el caso del campo eléctrico, si la única fuerza que actúa sobre una partícula es la fuerza eléctrica, la ecuación que obtenemos al introducir la expresión de la fuerza eléctrica en la segunda ley de Newton es

$m_i\vec{a}=q\vec{E}$

donde $q$ es la carga de la partícula y $\vec{E}$ es la intensidad del campo eléctrico. En este caso se ve que $m_i$ no se cancela con $q$, ya que, aunque tengamos la libertad de cambiar las unidades para el campo eléctrico, el cociente carga/masa es distinto para cada partícula. La aceleración que adquiere una partícula en el seno de un campo eléctrico depende, además del valor de $\vec{E}$, de su cociente carga/masa. No es la misma para todas las partículas, como sí ocurre en un campo gravitatorio.
Pero en física sí que hay otro escenario donde también se da que los cuerpos tienen una aceleración independiente de su masa. Se trata del movimiento de los cuerpos que no están situados en ningún campo exterior pero que se consideran desde el punto de vista de un sistema de referencia no inercial.

Supongamos que, mientras conduzco mi coche, tengo el teléfono móvil y las llaves de casa situadas sobre el asiente del copiloto. Mientras vaya a velocidad constante, el sistema de referencia del coche será aproximadamente un sistema de referencia inercial y el teléfono y las llaves se comportarán como si el coche estuviera parado, es decir, permanecerán en reposo (respecto del coche) sobre el asiento del copiloto o, lo que es lo mismo, a velocidad constante (la velocidad del coche) respecto de la carretera. Sin embargo, si pego un frenazo brusco, en el sistema de referencia de la carretera lo que se observará es que el coche disminuirá bruscamente su velocidad, mientras que, por la ley de inercia, las llaves y el teléfono seguirán manteniendo la velocidad que tenían. Lo que yo observo, situado en el sistema de referencia del coche, es que, mientras piso el freno, las llaves y el teléfono, que estaban inicialmente en reposo respecto del coche, comienzan a acelerar hacia la parte delantera del coche y se estrellan contra la guantera del vehículo. ¿Quién llega antes a la guantera, las llaves o el teléfono? Son objetos que tienen distinta masa. Sin embargo, llegan al mismo tiempo, han "caído hacia adelante" con la misma aceleración, ya que, en realidad, en el sistema de referencia de la carretera, es la guantera la que ha frenado y ha sido atropellada por las llaves y el teléfono que estaban manteniendo su velocidad constante.

Es decir, en un sistema no inercial todos los cuerpos que no están sometidos a ninguna fuerza aceleran, violándose la 2º ley de Newton. Pero no aceleran de cualquier manera, aceleran todos igual, independientemente de la masa que tengan, exactamente igual que ocurre en un campo gravitatorio. En el caso del campo gravitatorio la causa de la aceleración es el campo $\vec{g}$, mientras que en el caso de los cuerpos considerados desde un sistema no inercial la causa de la aceleración es, como hemos visto en un artículo anterior, que en los sistemas no inerciales no se cumple en general que el espacio sea homogéneo e isótropo, o que el tiempo sea homogéneo. En el ejemplo del coche que frena, hay una dirección privilegiada (hacia delante) hacia la que "caen" todos los cuerpos que no están sometidos a ninguna fuerza.

El principio de equivalencia

De todo lo anterior se deduce que, localmente, las propiedades del movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio son las mismas que en un sistema no inercial, con lo que usted, querido lector, ahora mismo no está en condiciones de distinguir si se encuentra usted en un campo gravitatorio o si en realidad le han engañado y se encuentra usted en una nave espacial, muy lejos de cualquier estrella o planeta que pueda crear campo gravitatorio, de tal manera que la nave acelera hacia arriba con 9,8 $m/s^2$. El suelo de la nave le está empujando a usted hacia arriba, y esa es la fuerza que usted confunde con la "normal" que ejercen los suelos sobre los objeto que sostienen en un campo gravitatorio para que estos no les penetren.

Da igual el experimento que usted haga desde el sitio donde está situado. No va a poder distinguir una situación de otra. Usted no va a poder saber si está en un campo gravitatorio que le empuja hacia abajo o en una nave que acelera hacia arriba. Esto es lo que nos dice el principio de equivalencia de la relatividad general. Los campos gravitatorios y los sistemas no inerciales son equivalentes localmente. Análogamente, los astronautas de la estación espacial tampoco van a poder distinguir localmente si se encuentran un una nave en órbita alrededor de la Tierra o en una zona donde no hay ningún campo gravitatorios. Por eso los experimentos que hacen allí son, a todos los efectos, experimentos de ingravidez.

Es importante señalar el adverbio "localmente" en el enunciado del principio de equivalencia. Si usted tiene la valentía de salir de su pueblo, entonces sí que pude darse cuenta fácilmente que vive en el planeta Tierra y no en una nave que acelera. Análogamente, los astronautas de la ISS también pueden determinar experimentalmente que están un orbita en un campo gravitatorio siempre que hagan experimentos que no sean locales, es decir, que trabajen con objetos no situados en el mismo punto. Los campos gravitatorios a los que equivalen los sistemas de referencia no inerciales no son por completo idénticos a los campos gravitatorios reales que crean a su alrededor los astros:

• En primer lugar, existe una diferencia esencial en cuanto a su comportamiento en el infinito (cuando un físico dice "en el infinito" quiere decir "muy lejos"). A distancia infinita de los cuerpos que lo producen, un campo gravitatorio real tiende siempre a cero. Por ejemplo, si usted se sube a una montaña muy alta puede comprobar que en la cima $g$ es un poco más pequeña que en la base. En cambio, los campos gravitatorios que equivalen a los sistemas de referencia no inerciales, o bien se mantienen constantes en el infinito (como en el caso del coche que frena), o aumentan sin límite (como en el caso de un tiovivo que da vueltas).
• Las trayectorias de dos partículas que se mueven paralelamente en un sistema inercial siguen siendo paralelas consideradas desde el punto de vista de un sistema no inercial, en el sentido de que nunca se tocan. Sin embargo, las trayectorias de dos partículas que se acercan paralelamente desde el infinito hacia un planeta dejan de ser paralelas en cuanto entran en el campo gravitatorio de ese planeta. A este fenómeno se le denomina desviación geodésica. Si hay dos astronautas en el interior de la ISS, pero uno, Bob, está situado junto a la ventana que mira hacia la Tierra, mientras que la otra, Alice, está junto a la ventana que mira en dirección opuesta a la Tierra, Alice está describiendo una órbita alrededor de la Tierra de un radio ligeramente más grande que Bob y, de acuerdo con la 3º ley de Kepler, tardará un poco más en dar una vuelta alrededor de la Tierra que Bob. En el sistema de referencia de la ISS lo que se observa es que ambos flotan, pero la distancia entre ellos se va haciendo poco a poco cada vez más grande. Si Alice y Bob no tuvieran la velocidad inicia de 7,7 km/s, entonces caerían en línea recta hacia la Tierra y, a medida que vayan perdiendo altura, verán como sus trayectorias se van acercando por la desviación geodésica.
• Los campos gravitatorios ficticios, los que equivalen a un sistema de referencia no inercial, se anulan en cuanto pasamos a un sistema de referencia inercial. Sin embargo, los campos gravitatorios reales, los que son creados por los astros y existen también en un sistema de referencia inercial, no se pueden eliminar sea cual sea la elección que se haga del sistema de referencia. Sólo se pueden eliminar localmente, que es lo que se hace en el sistema de referencia de la ISS. Una separación entre Alice y Bob de varios metros es suficiente para que se aprecien pequeños indicios de que ambos están en un campo gravitatorio real, de que la ingravidez es ficticia. Cualquier nave o avión en caída libre en un campo gravitatorio nos vale como sistema de referencia en el que localmente el campo gravitatorio se anula.

La teoría general de la relatividad

Estas ideas fueron las que dieron la clave a Albert Einstein para desarrollar una teoría del campo gravitatorio que fuera relativista, la relatividad general. Así, si en un sistema de referencia no inercial el espacio deja de ser homogéneo e isótropo, y el tiempo deja de ser homogéneo en general, en un campo gravitatorio real debe ocurrir lo mismo. Los cuerpos caen y desvían su trayectoria, no porque actúe una fuerza sobre ellos, sino porque el espaciotiempo por el que se mueven está deformado. Los campos gravitatorios reales son la parte de las deformaciones del espacio-tiempo responsables de la desviación geodésica, la parte que no se puede eliminar aunque cambiemos de sistema de referencia.

Análogamente, como en un sistema no inercial los rayos de luz se desvían, y los relojes que están en puntos distintos marchan a distintas velocidades, eso mismo debe ocurrir en un campo gravitatorio. El resultado de aplicar estas ideas es, lo que Landau y Lifshitz llamaron "probablemente la más bella de las teorías físicas existentes". En mi opinión, 60 años después de que se escribieran estas palabras lo sigue siendo y, además, no sólo puede que sea la más bellas de las teorías físicas, sino también la más bella creación humana. La pena es que sólo un pequeño porcentaje de la población ha tenido el tiempo, los recursos y las ganas suficientes para estudiarla, con lo que no todos podemos disfrutar de esta enorme obra de arte. El lector interesado en acercarse a ella, a pesar de no haber estudiado física en la universidad, puede visionar los vídeos del Curso de Relatividad para estudiantes de bachillerato, que están colgados en esta misma web.


Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

Referencias bibliográficas

• L. D. Landau y E. M. Lifshitz: Teoría Clásica de los Campos, Barcelona, Volumen 2 del Curso de Física Teórica  (1992).