Las relaciones de indeterminación energía-tiempo, el efecto Zenón cuántico y la indistinguibilidad de los estados cercanos

"Si todo, cuando ocupa un mismo espacio, está en reposo, y si lo que está en movimiento está ocupando ese mismo espacio en algún momento, entonces la flecha volante permanece inmóvil". Aristóteles, Física VI:9, 239b5 

 

Por Martin Grandjean - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, Enlace

 

Según la famosa paradoja de la flecha de Zenón de Elea, tal y como la cuenta Aristóteles, en cualquier instante de tiempo que no tenga duración, un objeto, el que sea, no puede moverse de donde está ni a donde no está, porque no transcurre el tiempo suficiente para que se mueva allí. Dicho de otro modo, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si en cada instante todo permanece inmóvil, y el tiempo está formado únicamente por instantes, entonces el movimiento resulta imposible.

Hoy en día no resulta difícil, para cualquier persona con una formación matemática básica de nivel bachillerato, refutar esta paradoja, entendida al pie de la letra, sin demasiado esfuerzo. Sólo es necesario utilizar el cálculo infinitesimal inventado por Newton y Leibniz en el siglo XVII. No se puede juzgar, observando solo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, la posición $x$ de una flecha en un instante concreto $t$ está relacionada con la posición de la flecha en un instante infinitesimalmente cercano $t+\Delta t$ mediante la relación:

\[
v(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
\]

donde a la funcion $v(t)$ la llamamos velocidad de la flecha. Definiento, además, la aceleración de la flecha como

 \[
a(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}
\]

 podemos escribir:

$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)(\Delta t)^2+...$

donde los puntos suspensivos nos indican cantidades que, a medida que nos acercamos al límite $\Delta t \to 0$, se van haciendo más pequeñas que los sumandos anteriores. Todas estas expresiones no expresan más que el hecho geométrico de que toda curva diferenciable, por ejemplo, la que se obtiene al representar $x$ como función de $t$, se puede aproximar en un punto dado de la gráfica (es decir, en un instante de tiempo $t$):

• primero por una recta horizontal,
• si queremos que la aproximación sea mejor, por una recta tangente a la curva (cuya pendiente es la velocidad del objeto en ese instante)
• si queremos hilar más fino, por una parábola
• o por un polinomio de grado n mayor, haciendo el desarrollo de Taylor hasta orden n.

 

Lo que hizo Zenón de Elea fue quedarse con la aproximación a orden cero, en la que la posición no cambia con el tiempo y por eso argumentaba que no es posible el movimiento. Pero esta es solo la aproximación más burda. "Si las paradojas se expresan en la terminología matemática precisa de las variables continuas (...) las contradicciones aparentes se resuelven" [Boyer1959]. Basta darse cuenta de que hay un término más en el desarrollo de Taylor (el de orden 1, que es proporcional a la velocidad) para apreciar que la flecha se está moviendo.

Sin embargo, este análisis que hemos llevado aquí sólo vale en el contexto de la mecánica clásica, donde las partículas, en su movimiento, tienen asociado en todo instante de tiempo una posición y, a la vez, una velocidad. Y resulta que el mundo en el que vivimos no es clásico, sino cuántico, y aquí el principio de indeterminación se cumple rigurosamente. En general, en mecánica cuántica, las magnitudes físicas no son propiedades exclusivas del sistema cuántico que estamos estudiando (una flecha o una partícula), sino también del conjunto de aparatos de medida que usamos para determinarla, y por eso lo más general es que el sistema cuántico este en un estado en el que esa magnitud que queremos medir no toma ningún valor bien definido. No es que tome un valor que es desconocido, es que no toma ningún valor determinado. Así, en un isntante concreto una partícula cuántica va a estar en general en un estado superposición de varias posiciones, de tal forma que sólo podemos hacer que la magnitud física "posición x de la partícula" tome un valor bien definido si disponemos los aparatos de medida para que esta magnitud exista. Si, además, queremos que tome también un valor bien definido en un instante posterior $t+ \Delta t $, entonces también hay que que disponer los aparatos de medida de la manera adecuada en ese instante posterior. 

Una de las ideas que vamos a explicar en este post es que, en mecánica cuántica, en cierto sentido, Zenón tenía razón: si hacemos tender a cero al intervalo de tiempo $\Delta t$ que transcurre entre mediciones sucesivas de una magnitud física, entonces esta magnitud no cambia con el tiempo. Es decir, en la condiciones en las que puedo asegurar de manera continua que esa magnitud física toma un valor bien definido, entonces ese valor no se mueve, ¡es siempre el mismo! A esta característica de la mecánica cuántica, que, como todas las demás, ha sido verificada experimentalmente, se la conoce con el nombre de efecto Zenón cuántico [von Neumann1955, SudarshanMisra1977, Venugopalan2012, Steele2015, Itano2009]  

Para poder explicar el efecto Zenón cuántico va a ser necesario tener claro en qué consiste en mecáncia cuántica la relación de indeterminación energía-tiempo. Esta relación a menudo se escribe vagamente como:

\[ \Delta E\,\Delta t\gtrsim \hbar. \]

lo que choca con la precisión de la relación de indeterminación posición-momento

\[ \Delta x\,\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}. \]

De hecho, según la fuente que se consulte, el coeficiente que multiplica a $\hbar$ en la relación de indeterminación energía-momento va cambiando, lo cual no sólo resultaría desagradable a Zenón, sino también a todas las personas que estudian física. En este post también vamos a aclarar este asunto.

 

 Las relaciones de indeterminación en mecánica cuántica

 

En las formulaciones de Heisenberg y de Schrödinger de la mecánica cuántica, los observables están representados por operadores hermíticos en el espacio de Hilbert de todos los posibles estados cuánticos. Sus autovalores son los posibles resultados al realizar la medición del observable, y sus autovectores son los estados cuánticos en los que ese observable toma un valor bien definido. Si llamamos $\hat{A}$ a uno de estos operadores, el estado cuántico $|\psi\rangle$ en el que se encuentra el sistema será, en general, una superposición de autoestados correspondientes a diferentes autovalores de $\hat{A}$, de tal manera que, en ese estado cuántico, el observable correspondiente a $\hat{A}$ no toma un valor bien definido. Es importante remarcar que lo que ocurre no es que el sistema cuántico sí tiene un valor de $\hat{A}$, pero que está oculto para nosotros. Lo que pasa en este caso es que, en ese estado cuántico, entre las propiedades del sistema no está el tomar un valor de $\hat{A}$ bien determinado.

Cualquier estudiante que esté en el ecuador de sus estudios universitarios de Física sabe que el grado de indeterminación del observable $\hat{A}$ en ese estado cuántico $|\psi\rangle$ se puede cuantificar como el módulo de un vector $|\psi_A\rangle$ $$
\Delta A = | |\psi_A\rangle | \>,
$$ donde $|\psi_A\rangle$ es un vector que se obtiene, a partir de $|\psi\rangle$, realizando la operación $$
|\psi_A\rangle= (\hat{A}-\langle A\rangle \hat{I})|\psi\rangle \>.
$$ Aquí $\hat{I}$ es el operador identidad, y$$
\langle A\rangle = \langle \psi | \hat{A} |\psi \rangle
$$ es el valor esperado de $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$. Es sencillo comprobar que, si realizamos muchas mediciones de $\hat{A}$, estando en todas ellas el sistema previamente en el estado $|\psi\rangle$, entonces $\Delta A$ coincide con la desviación típica de los resultados $$
\Delta A= \sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}
$$

La característica principal que tiene la mecánica cuántica, que la hace completamente diferente a la física anterior, es que los operadores que se utilizan para describir los observables físicos en general no conmutan. Si llamamos $\hat{B}$ a uno de los operadores que no conmuta con $\hat{A}$ $$
[\hat{A},\hat{B}]\neq 0
$$ entonces se puede ver que la desigualdad de Schwarz, aplicada a los estados $| \psi_A\rangle$ y $| \psi_B\rangle$, $$
\langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle \geq  | \langle \psi_A | \psi_B \rangle |^2 \geq (\operatorname{Im} \langle \psi_A | \psi_B \rangle )^2 \>,
$$ conduce a la relación de indeterminación $$
\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle  \psi | [\hat{A},\hat{B}]   |\psi  \rangle|
$$
El significado físico de esta relación es que, si el conmutador es no nulo, es imposible encontrar algún estado cuántico en el que ambos observables estén bien determinados y, cuanto más determinado esté el observable $\hat{A}$ en un estado cuántico, más indeterminado estará $\hat{B}$ en ese estado, ya que el producto de las indeterminaciones no puede ser inferior a $\frac{1}{2} |\langle  \psi | [\hat{A},\hat{B}]   |\psi  \rangle|$. Por ejemplo, si tomamos $\hat{A}=\hat{x}$ y $\hat{B}=\hat{p}$, como el conmutador entre la coordenada $\hat{x}$ y su momento correspondiente $\hat{p}$ es $$
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \hat{I}
$$ lo que se obtiene es la relación de indeterminación posición-momento que hemos escrito antes. En la formulación de la integral de camino de Feynman es más difícil ver cómo aparece esta relación, asunto que expliciamos en otro post.

 

Pero, ¿qué pasa con la relación energía-tiempo? La dificultad no está en definir \(\Delta E\). En mecánica cuántica existe el operador Hamiltoniano \(H\), que representa la energía, y por tanto \(\Delta H\) es la indeterminación en la energía.

El problema es el tiempo. En mecánica cuántica el tiempo no es un operador. El tiempo es un parámetro, un número real que se usa para describir cómo cambian los sistemas. Por esta razón, si no definimos de forma precisa qué queremos decir por \(\Delta t\), no podemos esperar obtener una relación de indeterminación bien definida entre energía y tiempo.

 

La evolución temporal en mecánica cuántica

En mecánica cuántica la evolución temporal continua puede entenderse como una representación unitaria del grupo aditivo de los números reales \(\mathbb{R}\). A cada instante de tiempo \(t-t_o\) perteneciente a ese grupo de los número reales se le asocia un operador unitario de evolución temporal que, en la imagen de Schrödinger, transforma el estado en un instante $t_o$ en el estado en un instante $t$:

$$ |\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle $$

El operador \(U(t,t_0)\) es el operador de evolución unitario. La unitariedad es indispensable porque la evolución temporal debe conservar normas y, por tanto, probabilidades.

Si el tiempo inicial y el final coinciden, no hay evolución real: el operador debe ser la identidad.

$$ U(t_0,t_0)=1,\qquad \forall\,t_0 . $$

La evolución inversa, desde \(t\) hasta \(t_0\), viene dada por el inverso del operador que lleva de \(t_0\) a \(t\):

$$ U(t_0,t)=U^{-1}(t,t_0). $$

Como el operador es unitario, se cumple que el inverso coincide con el adjunto:

$$ U^{-1}(t,t_0)=U^\dagger(t,t_0). $$

Por tanto:

$$ U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0)=1. $$

Derivando esta identidad respecto al tiempo:

$$ \frac{\partial}{\partial t}\left(U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0)\right) = \frac{\partial 1}{\partial t}=0. $$

Al aplicar la regla del producto se obtiene:

$$ \frac{\partial U^\dagger}{\partial t}U + U^\dagger\frac{\partial U}{\partial t}=0. $$

Ahora derivamos el estado respecto del tiempo. Partimos de:

$$ |\Psi,t\rangle=U(t,t_0)|\Psi,t_0\rangle. $$

Entonces:

$$ \frac{\partial}{\partial t}|\Psi,t\rangle = \frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t}|\Psi,t_0\rangle. $$

Como \(|\Psi,t_0\rangle=U(t_0,t)|\Psi,t\rangle\), puede escribirse:

$$ \frac{\partial}{\partial t}|\Psi,t\rangle = \frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t}U(t_0,t)|\Psi,t\rangle. $$

Usando que \(U(t_0,t)=U^\dagger(t,t_0)\), llegamos a la ecuación de Schrödinger: 

$$ \boxed{ \frac{\partial}{\partial t}|\Psi,t\rangle = \left(\frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t}U^\dagger(t,t_0)\right)|\Psi,t\rangle }. $$

La expresión entre paréntesis es antihermítica. Por eso, para que nos quede como suele aparecer en los libros, ese operador antihermítico puede escribirse como \(-i/\hbar\) multiplicado por un operador hermítico, al que llamamos hamiltoniano:

$$ \frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t}U^\dagger(t,t_0) = -\frac{i}{\hbar}\hat H. $$

Con esta definición se recupera la forma usual de la ecuación de Schrödinger:

$$ \frac{\partial}{\partial t}|\Psi,t\rangle = -\frac{i}{\hbar}\hat H|\Psi,t\rangle, $$

o, equivalentemente,

$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi,t\rangle = \hat H|\Psi,t\rangle. $$

Nótese que el hamiltoniano no depende del tiempo inicial \(t_0\), sino sólo del tiempo \(t\):

$$ \hat H \text{ no depende de } t_0 \quad\Rightarrow\quad \hat H=\hat H(t). $$

Cuando el hamiltoniano depende del tiempo, los operadores \(H(t_1)\) y \(H(t_2)\) no tienen por qué conmutar. Por eso la solución formal al problema de cuál es el operador evolución temporal dado un hamiltoniano concreto no es una exponencial ordinaria, sino una exponencial ordenada temporalmente:

$$ U(t,t_0) = \mathrm{Texp}\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'\,H(t')\right]. $$

que es sólo una forma abreviada de escribir:

$$ \begin{aligned} U(t,t_0) &= \mathrm{Texp}\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'\,H(t')\right] \\ &\equiv 1+ \left(-\frac{i}{\hbar}\right) \int_{t_0}^{t}dt_1\,H(t_1) \\ &\quad+ \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^{t}dt_1\,H(t_1) \int_{t_0}^{t_1}dt_2\,H(t_2) \\ &\quad+ \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^3 \int_{t_0}^{t}dt_1\,H(t_1) \int_{t_0}^{t_1}dt_2\,H(t_2) \int_{t_0}^{t_2}dt_3\,H(t_3) \\ &\quad+\cdots . \end{aligned} $$

Los límites anidados \(t_0\leq t_3\leq t_2\leq t_1\leq t\) implementan precisamente el orden temporal: los operadores correspondientes a tiempos posteriores quedan colocados antes que los de tiempos anteriores.

En el caso especial en que el hamiltoniano no depende del tiempo la evolución temporal se convierte en una exponencial ordinaria.

$$ \text{Si } \hat H\neq \hat H(t), \qquad \hat U(t,0)=e^{-it\hat H}. $$

(en unidades con \(\hbar=1\) ). En términos de la teoría de representaciones de grupos, podemos decir que esta evolución temporal del estado cuántico es una representación de la traslación temporal $-t$ del tiempo hacia atrás, que significa "traer el futuro hacia el presente": 

$$ \hat U(t,0)=e^{-it\hat H}\equiv \hat T(-t). $$

Escribiéndo esta transformación de la forma

$$ \hat T(-t)=e^{-i(-t)(-\hat H)}. $$

Vemos que, en rigor, el generador de las traslaciones temporales es:

$$ -\hat H. $$

mientras que el generador de las traslaciones espaciales es $\hat{p}$. Una forma de ver que $\hat{H}$ tiene que ser el operador que en mecánica cuántica representa la energía y $\hat{p}$ la cantidad de movimiento es que en el límite clásico estos operadores se convierten en funciones en el espacio de fases que generan, respectivamente, las traslaciones clásicas temporales y espaciales.

La relación entre la duración de un pulso y la indeterminación en su frecuencia

En el caso de una partícula libre, el operador momento conmuta con el hamiltoniano,

$$ [\hat H,\hat p]=0 $$

entonces existen estados propios simultáneos de energía y momento:

$$ \hat p|p\rangle=p|p\rangle $$

En representación de posición, esta ecuación de autovalores conduce a:

$$ -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|p\rangle = p\langle x|p\rangle $$

La solución es una onda plana:

$$ \langle x|p\rangle = Ce^{ipx/\hbar} $$

Por tanto:

$$ \psi_p(x,t)=\langle q|U(t)|p\rangle= Ce^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$$

representa un estado de momento definido propagándose temporalmente y es la ecuación de una onda monocromática plana de frecuencia angular $\omega=E/\hbar$. Esta es la famosa fómula que introdujo Planck para explicar la relación entre la frecuencia de un cuanto de luz y su energía.

Las ondas monocromáticas planas tienen una frecuencia perfectamente bien definida, pero una duración infinita. Si, en cambio, lo que tenemos es un pulso oscilatorio de duración exacta \(T\) y nos preguntamos por el valor de la frecuencia angular \(\omega\) del pulso notamos que tenemos que tener en cuenta el número \(N\) de oscilaciones completas de la onda que pasan durante ese pulso. Si el periodo de la onda es:

\[ \frac{2\pi}{\omega}, \]

entonces el número de oscilaciones es:

\[ N=\frac{T}{2\pi/\omega} = \frac{\omega T}{2\pi}. \]

Sin embargo, no podemos contar perfectamente las oscilaciones completas, porque al comienzo y al final del pulso la forma de onda no sigue exactamente un patrón sinusoidal completo. Por ello se espera una incertidumbre del orden de:

\[ \Delta N\gtrsim 1. \]

Como:

\[ N=\frac{\omega T}{2\pi}, \]

y si \(T\) se conoce exactamente, esto implica una incertidumbre en la frecuencia angular:

\[ \Delta\omega\,T\gtrsim 2\pi. \]

Este es el motivo por el que en física ondulatoria clásica cuanto menos tiempo observamos una onda, peor podemos determinar su frecuencia. Un pulso corto no puede tener una frecuencia bien definida y cuanto más largo sea mejor definida estará.

Otra forma de llegar al mismo resultado es que un pulso \(f(t)\) de duración temporal finita tiene una transformada de Fourier \(\tilde f(\omega)\) con una anchura en frecuencia que es inversamente proporcional a la duración del pulso.

 

Si queremos hacer sonar una nota musical cuyo espectro contega sólo la frecuencia fundamental, sin armónicos, y con anchura cero, tendríamos que hacer que esa nota durase infinito tiempo, lo cual claramente inclumpliría las normas de Eurovisión. 

En mecánica cuántica la función de onda de una partícula no es una onda, sino una aplicación que da, para cada valor posible de la posición $x$, una amplitud de probabilidad, pero este resultado de la física ondulatoria clásica se aplica igual. En este caso, como tenemos la relación entre frecuencia y energía

\[ E=\hbar\omega, \]

tenemos:

\[ \Delta E=\hbar\Delta\omega. \]

Multiplicando la desigualdad anterior por \(\hbar\), obtenemos:

\[ \Delta E\,T\gtrsim h. \]

Aquí \(T\) es la duración del pulso, con lo que se puede interpretar como la indeterminación en el instante de tiempo en el que nos llega la partícula, pero esto es sólo un argumento intuitivo. En el lenguaje de las representaciones de grupos podemos decir que los estados cuánticos constituyen un espacio vectorial que es una representación reducible del grupo abeliano de las traslaciones en el tiempo que se descomponen en representaciones irreducibles. Esta descomposición no es más que la transformada de Fourier inversa. Cada una de estas representaciones irreducibles tiene asociada una energía y, por tanto, una frecuencia concreta. La transformada de Fourier es, por tanto, la operación matemática que tenemos que hacer para obtener el espectro de energías (frecuencias) de ese estado cuántico, y por eso la anchura en tiempo es inversamente proporcional a la anchura en energía.

Pero seguimos sin librarnos del símbolo \(\gtrsim\) y con una idea vaga de qué es la indeterminación en el tiempo. 

 

La relación de indeterminación energía-tiempo de Mandelstam y Tamm

Una formulación precisa de la relación de indeterminación energía-tiempo fue encontrada por los físicos rusos Mandelstam y Tamm poco después de la formulación del principio de indeterminación.

Consideremos un operador hermítico \(Q\), que mide una cierta magnitud física. Queremos encontrar una relación entre:

• la incertidumbre en energía, \(\Delta H\);
• la incertidumbre del observable, \(\Delta Q\);
• la rapidez con la que cambia el valor esperado \(\langle Q\rangle\).

Aplicamos la relacion de indeterminación demostrada antes rigurosamente a \(H\) y \(Q\):

\[ \Delta H\,\Delta Q \geq \left| \left\langle \frac{1}{2i}[H,Q] \right\rangle \right|. \]

Nótese que en esta expresión aparece el conmutador \([H,Q]\). Cualquiera que sepa un poco de teoría de representaciones de grupos en mecánica cuántica sabe que \(Q\), como generador de un álgebra de Lie, transforma mediante la representación adjunta al hacer traslaciones temporales. Es decir, este conmutador nos dice cómo cambia \(Q\) (en lo que llamamos imagen de Heisenberg).

Siguiendo en la imagen de Schrödinger, una forma de intuir el significado de \([H,Q]\) es calculando la derivada temporal del valor esperado:

\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \frac{d}{dt}\langle \Psi,Q\Psi\rangle. \]

Si \(Q\) no depende explícitamente del tiempo, sólo derivan el bra y el ket:

\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \left\langle\frac{\partial\Psi}{\partial t},Q\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi,Q\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right\rangle. \]

Usando la ecuación de Schrödinger:

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle=H|\Psi\rangle, \]

se tiene:

\[ \frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = -\frac{i}{\hbar}H|\Psi\rangle. \]

Usando además que el Hamiltoniano es hermítico, se llega a:

\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[H,Q]\rangle. \]

Usando el resultado anterior, la desigualdad:

\[ \Delta H\,\Delta Q \geq \left| \left\langle \frac{1}{2i}[H,Q] \right\rangle \right| \]

se simplifica. Como:

\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[H,Q]\rangle, \]

entonces

\[ \left| \left\langle \frac{1}{2i}[H,Q] \right\rangle \right| = \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d\langle Q\rangle}{dt} \right|. \]

Por tanto:

\[ \boxed{ \Delta H\,\Delta Q \geq \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d\langle Q\rangle}{dt} \right| }. \]

que es ua desigualdad precisa. La forma de esta expresión sugiere definir una escala temporal:

\[ \Delta t_Q = \frac{\Delta Q} {\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|}. \]

que representa el tiempo que tardaría el valor esperado \(\langle Q\rangle\) en cambiar una cantidad comparable a su propia indeterminación \(\Delta Q\), si tanto \(\Delta Q\) como la velocidad de cambio de \(\langle Q\rangle\) fueran constantes. Aunque en general no tienen por qué ser constantes, podemos interpretar \(\Delta t_Q\) como el tiempo característico para que ocurra un cambio apreciable en \(Q\). En términos de esta definición, la desigualdad queda:

\[ \boxed{ \Delta H\,\Delta t_Q \geq \frac{\hbar}{2} }. \]

Esta es una versión rigurosa de la relación de inderminación energía-tiempo. Aquí \(\Delta t_Q\) no es la indeterminación de un operador tiempo, sino una escala de tiempo asociada al cambio de un observable físico \(Q\). 

Si el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo podemos tomar \(Q=H\), obteniéndose:

\[ \frac{d}{dt}\langle H\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[H,H]\rangle=0. \]

También podemos tomar \(Q=H^2\), obteniendo:

\[ \frac{d}{dt}\langle H^2\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[H,H^2]\rangle=0. \]

Como:

\[ (\Delta H)^2=\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2, \]

entonces:

\[ \frac{d}{dt}(\Delta H)^2 = \frac{d}{dt}\langle H^2\rangle - \frac{d}{dt}\langle H\rangle^2 = 0. \]

Por tanto, si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces $\Delta H $ es constante en el tiempo.

 

La anchura de líneas espectrales y el tiempo decaimiento atómico 

Si combinamos la ley de conservación de la energía en un átomo que emite radición con la fórmula para la energía del fotón:

\[ E=\hbar\omega. \]

se obtiene la famosa ley de Ritz, que dice simplemente que las frecuencias observadas emitidas por los átomos, \(\omega_{mn}\), pueden escribirse en términos de un número menor de cantidades, las energías \(E_n\) de los distintos niveles atómicos, de la forma:

\[ \hbar \omega_{mn}=E_m-E_n. \]

Es decir, la frecuencia de la radiación emitida cuando el átomo pasa del estado \(m\) al estado \(n\) queda determinada por la diferencia de energía entre esos dos estados.

Por tanto, si un átomo puede emitir dos frecuencias, por ejemplo \(\omega_{12}\) y \(\omega_{23}\), entonces es de esperar que también pueda emitir la frecuencia

\[ \omega_{13}=\omega_{12}+\omega_{23}. \]

La razón es que, usando la fórmula anterior,

\[ \hbar\omega_{12}=E_1-E_2, \qquad \hbar\omega_{23}=E_2-E_3, \]

y al sumar ambas expresiones se obtiene

\[ \hbar(\omega_{12}+\omega_{23})=E_1-E_3, \]

es decir,

\[ \omega_{13}=\omega_{12}+\omega_{23}. \]

Hay que remarcar  lo sorprendente que resulta esta última afirmación desde una perspectiva clásica. En la física clásica, la frecuencia de la radiación emitida por cargas eléctricas que circulan depende de la velocidad con la que orbitan. Por ejemplo, en una antena la frecuencia de la señal emitida está relacionada con la frecuencia del movimiento de las cargas en ella. Sin embargo, en un átomo no existe, desde el punto de vista clásico, una “frecuencia angular total de los electrones” que se conserve. Además, la energía no es proporcional a la frecuencia, sino que en la mecánica clásica la energía cinética depende de \(\omega^2\). Pero experimentalmente se verifica que los átomos excitados emiten luz en cuantos individuales (fotones), cuya frecuencia ya no está vinculada a la frecuencia del movimiento orbital que podría calcularse a partir de trayectorias clásicas. Por eso, esta ley de Ritz es completamente inexplicable dentro de la física clásica. Su simplicidad apunta directamente, tanto a la existencia de niveles discretos de energía en los átomos (lo cual es una característica natural de todos los estados ligados en mecánica cuántica), como de la proporcinalidad entre energía y frecuencia (que es la idea que está detrás de la relación de indeterminación energía-tiempo). Esto representa un cambio conceptual enorme. En la física clásica, uno imaginaría electrones orbitando como pequeños planetas y emitiendo radiación con una frecuencia relacionada directamente con su movimiento. Pero en mecánica cuántica la radiación depende de las transiciones entre estados discretos de energía, no de una órbita clásica bien definida.  

Es importante añadir que la mecánica cuántica sí que contiene a la clásica como límite y que en este límite clásico sí que es verdad que la emisión de ondas electromagnéticas por cargas eléctricas aceleradas viene dada por las fórmulas clásicas del electromagnetismo. Cuando los números cuánticos son muy grandes una carga acelerada emite radiación de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell y, por tanto, el comportamiento cuántico se va aproximando gradualmente al comportamiento clásico. Pero las líneas espectrales tan bien marcadas, junto con la ley de Ritz, jamás podrán ser explicadas por ningún modelo clásico, por sofisticado que sea.

Más aún, uno de los mejores ejemplos de la relación de indeterminacion energía-tiempo que acabamos de explicar lo encontramos en la relación entre la anchura de las líneas espectrales y la vida media de decaiminento atómico. Debido a la existencia del espín del protón y del espín del electrón, el estado fundamental del átomo de hidrógeno es cuádruplemente degenerado. Los 4 estados ortogonales con la misma energía se corresponden con las cuatro combinaciones posibles de espines:

• arriba-arriba;
• arriba-abajo;
• abajo-arriba;
• abajo-abajo.

Pero la interacción magnética entre los espines rompe esta degeneración y produce el llamado desdoblamiento hiperfino. Este desdoblamiento es muy pequeño:

\[ 5.88\times10^{-6}\,\mathrm{eV}. \]

comparado con la energía de ionización del átomo de hidrógeno, que es del orden de:

\[ 13.6\,\mathrm{eV}. \]

y con las energías del resto de transiciones entre niveles atómicos. 

En la transición hiperfina, el fotón emitido transporta la diferencia de energía:

\[ E_\gamma=5.88\times10^{-6}\,\mathrm{eV}. \]

que se corresponde a una longitud de onda aproximada de:

\[ \lambda=21.1\,\mathrm{cm}, \]

y a una frecuencia:

\[ \nu=1420.405751786(30)\,\mathrm{MHz}. \]

El número de cifras significativas con las que hemos podido medir esta frecuencia muestra la gran nitidez de la línea de emisión: el espectro tiene una anchura en frecuencias en esta línea extremadamente pequeña. ¿Cuál es el motivo? Pues que el estado excitado de la transición hiperfina tiene un tiempo de vida finito, pero muy grande, antes de decaer al estado fundamental y emitir un fotón. Se trata de un tiempo de vida extremadamente largo:

\[ \tau_H\approx 11\ \text{millones de años} \approx 3.4\times10^{14}\,\mathrm{s}. \]

Este tiempo puede interpretarse, en el espíritu de la relación derivada anteriormente, como el tiempo necesario para que algún observable del sistema electrón-protón cambie significativamente, por ejemplo, que cambie el momento angular total de espín. La relación de indeterminación energía-tiempo nos relaciona este tiempo con una indeterminación en la energía:

\[ \Delta E\sim\frac{\hbar}{\tau_H} \approx 2\times10^{-30}\,\mathrm{eV}. \]

Una vez que el decaimiento ocurre, el átomo queda en el estado fundamental completamente estable, sin incertidumbre energética posible asociada al estado excitado. Como el hamiltoniano no depende del tiempo, se debe conservar la indeterminación en la energía, con lo que el fotón debe llevar la indeterminación:

\[ \Delta E_\gamma\sim 2\times10^{-30}\,\mathrm{eV}. \]

La fracción relativa de indeterminación en la energía del fotón es, por tanto:

\[ \frac{\Delta E}{E_\gamma}\sim 3\times10^{-25}. \]

Se trata de un efecto extremadamente pequeño. Por eso no hay ensanchamiento apreciable de la línea de \(21\,\mathrm{cm}\) en el espectro del átomo de hidrógeno y esa es una de las razones por las que esta línea es tan útil en astronomía. Pero en decaimientos con tiempos de vida mucho más cortos, sí puede observarse un ensanchamiento de la línea de emisión que siempre obedece a la relación de indeterminación energía-tiempo.

 

Tiempo mínimo para evolucionar a un estado ortogonal

Otra cosa que podemos hacer para obtener una relación de indeterminación energía-tiempo es derivar una cota sobre el tiempo que tarda un estado en evolucionar hasta un estado ortogonal a sí mismo, ya que, si en el estado inicial una serie de observables toman unos valores bien definidos, la probabilidad de que todos esos observables sigan tomando esos mismos valores en el estado ortogonal es nula, con lo que midiendo cualquiera de esos obserbables nos vamos a dar cuenta de que el sistema ha evolucionado.

Si llamamos \(|\Psi(0)\rangle\) al estado inicial, y \(\Delta t_\perp\) al menor tiempo para el cual:

\[ \langle\Psi(0)|\Psi(\Delta t_\perp)\rangle=0, \]

entonces vamos a ver que:

\[ \boxed{ \Delta H\,\Delta t_\perp\geq\frac{h}{4} }. \]

Esta es otra formulación precisa de la relación de indeterminación energía-tiempo y significa que la rapidez con la que un estado puede volverse ortogonal a sí mismo está limitada por la indeterminación en la energía. Cuanto mayor sea \(\Delta H\), más rápido puede cambiar de forma esencial el estado. Cuanto menor sea \(\Delta H\), más lenta será la evolución hacia un estado distinguible ortogonalmente. En computación cuántica, por ejemplo, estas cotas juegan un papel importante porque limitan la velocidad máxima posible de evolución de un sistema cuántico con energía finita.

Podemos explciar esto con un ejemplo sencillo basado en un sistema de dos niveles (1 qubit). Sea un estado inicial:

\[ |\Psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|2\rangle, \]

donde \(|1\rangle\) y \(|2\rangle\) son autoestados de energía con energías \(E_1\) y \(E_2\).

La evolución temporal viene dada por:

\[ |\Psi(t)\rangle = \frac{e^{-iE_1t/\hbar}}{\sqrt2}|1\rangle + \frac{e^{-iE_2t/\hbar}}{\sqrt2}|2\rangle. \]

Factorizando la fase global \(e^{-iE_1t/\hbar}\):

\[ |\Psi(t)\rangle = e^{-iE_1t/\hbar} \left( \frac{|1\rangle}{\sqrt2} + e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar} \frac{|2\rangle}{\sqrt2} \right). \]

La fase global no afecta a las probabilidades físicas. Para que el estado sea ortogonal al inicial se necesita:

\[ e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar}=-1. \]

Como:

\[ -1=e^{-i(\pi+2\pi n)}, \]

se obtiene:

\[ \frac{E_2-E_1}{\hbar}t=\pi+2\pi n. \]

Por tanto:

\[ t=\frac{\pi\hbar}{E_2-E_1} + \frac{2\pi n\hbar}{E_2-E_1}. \]

El tiempo mínimo para llegar a un estado ortogonal es:

\[ \Delta t_\perp=\frac{\pi\hbar}{E_2-E_1}. \]

La indetermianción en la energía en este estado es:

\[ (\Delta E)^2 = \langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2. \]

Como los dos niveles aparecen con igual probabilidad:

\[ \langle H\rangle=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \langle H^2\rangle=\frac{E_1^2+E_2^2}{2}. \]

Entonces:

\[ (\Delta E)^2 = \frac{E_1^2+E_2^2}{2} - \left(\frac{E_1+E_2}{2}\right)^2 = \left(\frac{E_2-E_1}{2}\right)^2. \]

Por tanto:

\[ \Delta E=\frac{E_2-E_1}{2}. \]

Multiplicando por el tiempo mínimo:

\[ \Delta E\,\Delta t_\perp = \frac{E_2-E_1}{2} \frac{\pi\hbar}{E_2-E_1} = \frac{\pi\hbar}{2} = \frac{h}{4}  . \]

Nótese que, en este ejemplo sencillo de dos niveles

\[ |\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2 =\cos^2 \left[  \frac{(E_2-E_1)t}{2\hbar} \right]. \]  

En el caso general, la fómula para la probabilildad de que, transcurrido un tiempo $t$, volvamos a medir que el sistema se encuentra en el mismo estado que inicialmente es más complicada, pero podemos parametrizarla de la forma: 

\[ |\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2=\cos^2\phi(t), \]

donde:

\[ \phi(0)=0, \qquad \phi(t)\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \]

Como el proyector sobre el estado inicial es:

\[ Q=|\Psi(0)\rangle\langle\Psi(0)|. \]

entonces, la función que estamos buscando no es más que el valor medio de este proyector:

\[ \langle Q\rangle=\cos^2\phi(t). \]

Como \(Q\) es un proyector, se cumple:

\[ Q^2=Q. \]

Por tanto:

\[ (\Delta Q)^2 = \langle Q^2\rangle-\langle Q\rangle^2 = \langle Q\rangle-\langle Q\rangle^2. \]

Sustituyendo:

\[ (\Delta Q)^2 = \cos^2\phi(t)-\cos^4\phi(t) = \cos^2\phi(t)\sin^2\phi(t). \]

Por tanto:

\[ \Delta Q = |\sin\phi(t)\cos\phi(t)| = \frac12|\sin2\phi(t)|. \]

Como:

\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \frac{d}{dt}\cos^2\phi = -\sin2\phi\,\frac{d\phi}{dt}, \]

la desigualdad de Mandelstam-Tamm:

\[ \Delta H\,\Delta Q \geq \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d\langle Q\rangle}{dt} \right| \]

conduce a:

\[ \left|\frac{d\phi}{dt}\right| \leq \frac{\Delta H}{\hbar}. \]

Esta es una cota superior para la velocidad de cambio de \(\phi(t)\). Para que el estado sea ortogonal al inicial, necesitamos:

\[ |\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2=0. \]

Como esto equivale a:

\[ \cos^2\phi=0, \]

se necesita:

\[ \phi=\frac{\pi}{2}. \]

Si \(|d\phi/dt|\leq\Delta H/\hbar\), el tiempo mínimo para alcanzar \(\pi/2\) cumple:

\[ \Delta t_\perp \geq \frac{\pi\hbar}{2\Delta H}. \]

Por tanto:

\[ \Delta H\,\Delta t_\perp \geq \frac{\pi\hbar}{2}=\frac{h}{4}. \]

 

El efecto Zenón cuántico 

 

Si expandimos el estado inicial en autoestados de energía:

\[ |\Psi(0)\rangle=\sum_n c_n|\psi_n\rangle, \qquad H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle. \]

entonces:

\[ |\Psi(t)\rangle = \sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar}|\psi_n\rangle. \]

La amplitud de supervivencia es:

\[ \langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle = \sum_n |c_n|^2 e^{-iE_nt/\hbar}. \]

con lo que el módulo al cuadrado de esa amplitud puede escribirse como:

\[  f(t)= \cos^2\phi(t) =     |\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2 = \sum_{m,n}|c_m|^2|c_n|^2 e^{-i(E_n-E_m)t/\hbar}. \]

En \(t=0\):

\[ f(0)=1. \]

La primera derivada en \(t=0\) es:

\[ f'(0)=0. \]

Y la segunda derivada en \(t=0\) está relacionada con la incertidumbre de energía:

\[ f''(0) = -\frac{2}{\hbar^2}(\Delta H)^2. \]

Por tanto, el desarrollo de Taylor para tiempos pequeños nos da:

\[ |\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2 = 1-\frac{(\Delta H)^2}{\hbar^2}t^2+O(t^3). \]

Esta fórmula muestra que, para tiempos muy cortos, la probabilidad de supervivencia del estado disminuye cuadráticamente con el tiempo, no linealmente. Esto tiene una consecuencia: para darnos cuenta de que el estado cuántico del sistema ha cambiado no nos vale, como en la física clásica, con irnos al término de primer orden en el desarrollo de Taylor. Tenemos que irnos a segundo orden, y ahí el cambio temporal está gobernado por la indeterminación en la energía, lo que hemos visto que da lugar a la relación de indeterminación energía-tiempo. Por tanto, si \(t\) es muy pequeño:

\[ |\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2\simeq 1. \]

Si medimos si el sistema cuántico sigue estando en el estado \(|\Psi(0)\rangle\) después de un tiempo muy corto, es muy probable que nos salga que sí.

Uno puede argumentar que esto no significa que Zenón tenga razón, sólo que en mecánica cuántica para poder demostrarle que no tiene razón tenemos que irnos a un orden superior que en mecánica clásica. Pero, y aquí es donde está el meollo de la cuestión, en mecánica cuántica, una vez que pasado un $\Delta t$ pequeño, hemos medido que todos los observables que tomaban inicialmente un valor bien definido siguen tomando ese mismo valor, lo que hemos determinado es que el estado en ese instante $\Delta t$ es exactamente el estado inicial. Vulgarmente se dice que el estado "colapsa" al estado inicial al medirlo, con lo que la evolución tiene que empezar de nuevo. Es decir, el cambio en el estado no se acumula cuando dejo pasar un segundo $\Delta t$ para hacer una segunda medición. Si después dejamos evolucionar el sistema otro intervalo muy corto y volvemos a medir, otra vez es muy probable encontrar el mismo estado inicial, y así hasta el infinito. En el límite en el que $\Delta t \to 0$, la probabilidad de que el estado no evolucione tiende a uno. Es decir, si repetimos continuamente estas mediciones en intervalos muy muy cortos, la evolución del sistema queda inhibida. Esto es el efecto Zenón cuántico. Un estado cuántico sometido a mediciones extremadamente frecuentes no cambia.

Es como si tenemos un coche que, partiendo de velocidad cero, intenta acelerar pero cada vez que pasa un un tiempo muy pequeño en el que el coche prácticamente no se ha movido pero ha aumentado un poco su velocidad, hacemos que el coche vuelva al punto inicial pero, además, con velocidad cero. El coche nunca termierá de arrancar. Se quedará etérnamente donde está.

La flecha que se corresponde con el vector estado cuántico durante ese $\Delta t$ ha girado un poco un ángulo $\phi(\Delta t)$, pero al medir se vuelve a colocar en su posición inicial. Un Zenón de Elea cuántico habría escrio, por tanto:

"En las condiciones en las que un sistema cuántico tiene un valor bien definido de un conjunto completo de observables que conmnutan, el sistema está en un estado que es un vector concreto de un espacio de Hilbert. Si el sistema estuviera cambiando con el tiempo, entonces estos observables dejarían de tener asociado un valor bien definido. Por ello, en las condiciones en las que un sistema cuántico tiene un valor bien definido de un conjunto completo de observables que conmutan, el sistema cuántico no evoluciona, no cambia con el tiempo".  

En efecto, la probabilidad de que midamos que el sistema sigue en el estado inicial tras $N$ mediciones consecutivas llevadas a cabo cada $\Delta t$ segundos durante un tiempo total \(t=N\Delta t\), es

\[ P^{(N)}(t) = [P(\Delta t)]^N = \left[ 1- \left(\frac{t}{N\hbar}\right)^2 (\Delta H)^2 \right]^N +\cdots \]

que tiende a 1 cuando \(N\) tienden a infinito. El tiempo total en el que el sistema no está evolucionando \(t=N\Delta t\) puede ser tan grande como queramos con tal de hacer $\Delta t$ suficientemente pequeño. 

La conclusión es todavía más loca si lo pensamos al revés. Si el sistema está inicialmente en el autoestado de la energía $|n=0\rangle $ (estado estacionario que, por tanto, no evoluciona) y medimos un observable que no sea la energía, sino uno en el que los autoestados $|n^\prime \rangle $ estén infinitesimalmente girados con respecto a los de la energía, y luego volvemos a medir otro observable en el que los autoestados $| n^{\prime \prime} \rangle $ estén infinitesimalmente girados con respecto a los $|n^\prime \rangle $, y así sucesivamente, en cada una de las mediciones siempre se obtendrá, con probabilidad que tiende a uno, el valor $n=0$ (primado las veces que haga falta en cada iteración), pero el estado del sistema irá cambiando una cantidad finita y todo lo grande que yo quiera. Puedo así hacer que el sistema cuántico evolucione al estado que a mí me dé la gana en el tiempo que yo quiera con sólo estar midiéndolo.

Un ejemplo de esto lo puedo hacer con la polarización de los fotones. Si hago pasar un fotón por muchos polarizadores cada vez un poco más girados, el fotón pasará, con probabilidad que tiende a uno, a tener la porlarización que yo quiera [Klein2019].

 

El efecto Zenón cuántico y la pérdida de coherencia

 

Por supuesto, el lenguaje que utiliza el término "colapso" del estado cuántico no es adecuado para entender físicamente qué está pasado en el efecto Zenón cuántico. En realidad, el colapso no es un proceso que ocurre en la naturaleza, sino en el cuaderno donde los físcos y las físicas escribios nuestras ecuaciones. Cuando medimos un observable, lo que en realidad estamos haciendo es hacer que el sistema cuántico evolucione de forma unitaria (sin colapso) en interacción con un aparato de medida y con un entorno. Es, al quedar entrelazado el sistema cuántico con el aparato y con el entorno como queda fijada una base privilegiada, la base de estados en los que ese observable toma valores bien definidos. Asignar realidad a un valor determinado de un observable no es más que una propiedad emergente de la mecánica cuántica que surge cuando hay entrelazamiento y hay grados de libertad (los del entorno) que se pierden. De forma efectiva las fases relativas de las supersposiciones dejan de tener efecto físico alguno y por eso una superposición se acaba comportanto tras este proceso (denominado decoherencia) como una simple mezcla estadística en la que el observable sí está tomando un valor definido, solo que no sabenos cuál es.

 

Por tanto, cuando se da el efecto Zenón cuántico sí que hay evolucion temporal, ya que el sistema cada vez se está entrelazando más con otros sistemas. La realidad que nos aparece como congelada no es una realidad fundamental, sino una realidad emergente que surge cuando se produce el proceso físico de la decoherencia. 

 

Para hacer bien las cuentas con un ejemplo sencillo considermos de nuevo un sistema cuántico de dos niveles, con base computacional:

\[ \{|0\rangle,\ |1\rangle\}. \]

Supongamos que el estado inicial del sistema es

\[ |\Psi_0\rangle=|0\rangle+0|1\rangle. \]

Es decir, el sistema empieza exactamente en el estado \(|0\rangle\):

\[ |\Psi_0\rangle=|0\rangle. \]

La notación \( |0\rangle+0|1\rangle \) simplemente deja claro que la amplitud de \(|1\rangle\) es inicialmente nula.

Si hacemos que en nuestro ejemplo $\frac{\Delta H}{2\hbar}=1$, entonces $\phi (t)=t$, con lo que la evolución temporal de este estado es:

\[ |\Psi(t)\rangle=\cos t\,|0\rangle+\sin t\,|1\rangle. \]

Esto describe una oscilación coherente entre los estados \(|0\rangle\) y \(|1\rangle\). Para tiempos pequeños, usando:

\[ \cos t\simeq 1-\frac{t^2}{2}, \qquad \sin t\simeq t, \]

se obtiene:

\[ |\Psi(t)\rangle\simeq \left(1-\frac{t^2}{2}\right)|0\rangle+t|1\rangle. \]

Por tanto, al principio la amplitud de \(|1\rangle\) crece linealmente con \(t\), mientras que la amplitud de \(|0\rangle\) sólo cambia a segundo orden.

Podemos reescribir esta evolución usando las identidades:

\[ \cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}, \qquad \sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}. \]

Sustituyendo:

\[ |\Psi(t)\rangle = \left(\frac{e^{it}}{2}+\frac{e^{-it}}{2}\right)|0\rangle + \left(\frac{e^{it}}{2i}-\frac{e^{-it}}{2i}\right)|1\rangle. \]

Agrupando los términos con \(e^{it}\) y \(e^{-it}\):

\[ |\Psi(t)\rangle = \frac{e^{it}}{2}\left(|0\rangle-i|1\rangle\right) + \frac{e^{-it}}{2}\left(|0\rangle+i|1\rangle\right). \]

Esta expresión sugiere introducir una nueva base, formada por autoestados del hamiltoniano:

\[ |+\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle-i|1\rangle\right), \qquad |-\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle+i|1\rangle\right). \]

Entonces:

\[ |\Psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt2}e^{it}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt2}e^{-it}|-\rangle. \]

Como una fase global no cambia las probabilidades (los estados cuánticos no son en rigor vectores en el espacio de Hilbert, sino rayos en este espacio), es útil escribir este vector como:

\[ |\Psi(t)\rangle = e^{it} \left( \frac{1}{\sqrt2}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt2}e^{-2it}|-\rangle \right). \]

 

La relación entre las dos fases utilizadas es:

\[ |0\rangle= \frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2}, \qquad |1\rangle= \frac{i(|+\rangle-|-\rangle)}{\sqrt2}. \]

Las energías de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) son +1 y -1.

\[ \hat H|+\rangle=|+\rangle, \qquad \hat H|-\rangle=|-\rangle. \]

Por eso, la evolución libre del sistema acumula una fase relativa entre \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\). Esa fase relativa es la que produce la oscilación entre \(|0\rangle\) y \(|1\rangle\).

Si, pasado un tiempo pequeño,

\[ t=\varepsilon, \qquad \varepsilon\ll1. \]

decidimos hacer una medición en la base

\[ \{|0\rangle,\ |1\rangle\}. \]

entonces, como

\[ |\Psi(\varepsilon)\rangle = \cos\varepsilon\,|0\rangle+\sin\varepsilon\,|1\rangle. \]

\[ |\Psi(\varepsilon)\rangle \simeq \left(1-\frac{\varepsilon^2}{2}\right)|0\rangle + \varepsilon|1\rangle. \]

la probabilidad de obtener \(|0\rangle\) es:

\[ P(0)=\cos^2\varepsilon\simeq1-\varepsilon^2. \]

mientras que la probabilidad de obtener \(|1\rangle\) es:

\[ P(1)=\sin^2\varepsilon\simeq\varepsilon^2. \]

Por tanto, para tiempos muy pequeños, es extremadamente probable encontrar el sistema todavía en \(|0\rangle\), como nos dice el efecto Zenón cuántico: si medimos demasiado pronto, casi siempre se encuentra que el sistema no ha cambiado.

Pero una medición no es más que un entrelazamiento del sistema con el entorno y con un aparato de medida, aunque no haya nadie mirando ni anotando el resultado. Si introducimos los estados del entorno:

\[ |0\rangle_e,\qquad |1\rangle_e, \]

que registran el resultado de la medición, la interacción de medida puede representarse como:

\[ |0\rangle|e_{\mathrm{inicial}}\rangle\longrightarrow |0\rangle|0\rangle_e, \] \[ |1\rangle|e_{\mathrm{inicial}}\rangle\longrightarrow |1\rangle|1\rangle_e. \]

Entonces el estado:

\[ |\Psi(\varepsilon)\rangle \simeq \left(1-\frac{\varepsilon^2}{2}\right)|0\rangle + \varepsilon|1\rangle \]

pasa, tras el entrelazamiento con el entorno, a:

\[ |\Psi\rangle_{\mathrm{SE}} \simeq \left(1-\frac{\varepsilon^2}{2}\right)|0\rangle|0\rangle_e + \varepsilon|1\rangle|1\rangle_e. \]

Este entrelazamiento destruye la coherencia efectiva entre las dos alternativas cuando no observamos el entorno. En otras palabras, el entorno guarda información sobre “qué resultado” ocurrió, y eso impide que las amplitudes sigan interfiriendo como antes.

Si después de la medida dejamos evolucionar el sistema otro intervalo pequeño \(\varepsilon\), cada componente del sistema evoluciona aproximadamente como:

\[ e^{-iH\varepsilon}|0\rangle\simeq |0\rangle+\varepsilon|1\rangle, \] \[ e^{-iH\varepsilon}|1\rangle\simeq |1\rangle-\varepsilon|0\rangle. \]

Estas expresiones representan la evolución a primer orden: la componente \(|0\rangle\) empieza a generar una pequeña amplitud de \(|1\rangle\), y la componente \(|1\rangle\) empieza a generar una pequeña amplitud de \(|0\rangle\) con signo contrario.

En términos de la base \(|+\rangle,|-\rangle\), la evolución a primer orden es:

\[ e^{-iH\varepsilon}|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle+\varepsilon|1\rangle\right) - \frac{i}{\sqrt2}\left(|1\rangle-\varepsilon|0\rangle\right). \]

Reordenando:

\[ e^{-iH\varepsilon}|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle-i|1\rangle\right) + \frac{\varepsilon}{\sqrt2}\left(|1\rangle+i|0\rangle\right). \]

Como:

\[ |+\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle-i|1\rangle), \]

y el segundo término es proporcional a \(|+\rangle\), se obtiene:

\[ e^{-iH\varepsilon}|+\rangle\simeq (1+i\varepsilon)|+\rangle. \]

ya que, para un autoestado de energía, la evolución sólo añade una fase. No cambia el estado físico, y el correspodiente vector no cambia salvo por esa fase.

Si no se mide en \(t=\varepsilon\), la evolución unitaria durante dos intervalos pequeños seguidos da:

\[ e^{-iH\varepsilon}e^{-iH\varepsilon}|0\rangle = e^{-iH\varepsilon}\left(|0\rangle+\varepsilon|1\rangle\right). \]

Usando las aproximaciones anteriores:

\[ e^{-iH\varepsilon}\left(|0\rangle+\varepsilon|1\rangle\right) \simeq |0\rangle+\varepsilon|1\rangle+\varepsilon(|1\rangle-\varepsilon|0\rangle). \]

y despreciando términos de orden \(\varepsilon^2\):

\[ |\Psi(2\varepsilon)\rangle \simeq |0\rangle+2\varepsilon|1\rangle. \]

Por tanto, si no se interrumpe la evolución, la amplitud de \(|1\rangle\) crece coherentemente:

\[ \text{sin medida:}\qquad |0\rangle\longrightarrow |0\rangle+2\varepsilon|1\rangle. \]

Esto es simplemente la continuación de la oscilación libre entre \(|0\rangle\) y \(|1\rangle\).

Pero si realizamos una medida o entrelazamiento en \(t=\varepsilon\), tras el primer intervalo y la interacción con el entorno:

\[ |\Psi\rangle_{\mathrm{SE}} \simeq |0\rangle|0\rangle_e+\varepsilon|1\rangle|1\rangle_e. \]

Si se aplica la evolución unitaria del sistema durante otro intervalo \(\varepsilon\), se obtiene:

\[ e^{-iH\varepsilon} \left( |0\rangle|0\rangle_e + \varepsilon|1\rangle|1\rangle_e \right). \]

Como el Hamiltoniano actúa sobre el sistema, no sobre el registro ambiental, queda:

\[ (|0\rangle+\varepsilon|1\rangle)|0\rangle_e + \varepsilon(|1\rangle-\varepsilon|0\rangle)|1\rangle_e. \]

Despreciando términos de orden \(\varepsilon^2\):

\[ |\Psi\rangle_{\mathrm{SE}} \simeq |0\rangle|0\rangle_e + \varepsilon|1\rangle|0\rangle_e + \varepsilon|1\rangle|1\rangle_e. \]

Lo relevante aquí es que ¡ya no podemos sumar los $\varepsilon$ para dar $2\varepsilon$! Vemos que, por culpa de los entrelazamientos, la componente correspondiente al estado $|1\rangle$  no crece como debería ($2 \varepsilon$). La razón es que la información ha quedado repartida entre estados diferentes del entorno. Al quedar marcadas las alternativas en registros ambientales distintos, las amplitudes que antes se sumaban coherentemente ya no se refuerzan de la misma manera.

Pero sin mediciones ni interaccines con el entorno, las pequeñas amplitudes generadas en cada intervalo se sumarían coherentemente. Por eso:

\[ |0\rangle \longrightarrow |0\rangle+\varepsilon|1\rangle \longrightarrow |0\rangle+2\varepsilon|1\rangle \longrightarrow |0\rangle+3\varepsilon|1\rangle \longrightarrow\cdots \]

En cambio, con mediciones frecuentes o entrelazamientos frecuentes con el entorno, cada intervalo queda registrado por un estado ambiental diferente. Entonces las alternativas dejan de comportarse como una única amplitud coherente. En vez de acumularse como amplitudes, las probabilidades de transición se reinician continuamente. Si cada intervalo dura \(\varepsilon\), la probabilidad de transición en un intervalo es de orden:

\[ P(0\to1)\simeq\varepsilon^2. \]

Si hay \(N\) mediciones en un tiempo total \(T\), con:

\[ \varepsilon=\frac{T}{N}, \]

la probabilidad total acumulada es aproximadamente:

\[ P_{\mathrm{total}}\sim N\varepsilon^2 = N\left(\frac{T}{N}\right)^2 = \frac{T^2}{N}. \]

En el límite de mediciones infinitamente frecuentes:

\[ N\to\infty \quad\Rightarrow\quad P_{\mathrm{total}}\to0. \]

Por tanto, la transición queda inhibida.

Lo que acabamos de ver es que el sistema no queda congelado porque “mirarlo” tenga una acción misteriosa, sino porque una medición en mecánica cuántica implica entrelazamiento. La medición es una evolución unitaria donde hay una interacción que entrelaza al sistema con grados de libertad externos. El entorno registra información sobre el estado del sistema y destruye la coherencia entre las ramas que, sin medición, habrían interferido constructivamente (los $\varepsilon$ se sumarían). Si las mediciones o interacciones con el entorno ocurren con suficiente frecuencia, la evolución coherente queda continuamente interrumpida. En el límite ideal, el sistema permanece en su estado inicial. El efecto Zenón cuántico es, por tanto, la consecuencia de la suma de dos ingredientes:

• Una evolución unitaria entre mediciones en la que el sistema evoluciona de forma coherente según el Hamiltoniano, pero en la que el cambio en las probabilidades no se aprecia a primer orden sino a segundo orden (y está dictado por la indeterminación en la energía).
• Un entrelazamiento con grados de libertad que se pierden: durante la medición, el sistema queda correlacionado con registros ambientales que distinguen \(|0\rangle\) de \(|1\rangle\) e impiden el crecimiento de las amplitudes de cambio (impiden que se puedan sumar los $\varepsilon$ que multiplcan a $|1\rangle$).

Una transición cuántica necesita tiempo para acumular amplitud coherente. Si hay una interaccion con el entorno que “pregunta” demasiado a menudo en qué estado está el sistema, esa acumulación se corta una y otra vez. 

 

Indistinguibilidad de los estados infinitesimalmente cercanos en mecánica cuántica

 

Por tanto, lo que el efecto Zenón cuántico nos está diciendo no es que los sistemas cuánticos no evolucionen, sino que esta evolución puede ser tal que la decoherencia haga que no se desarrolle la evolución coherente. Pero podemos decir más: el hecho de que nos parezca que el estado del sistema siempre es el mismo en el efecto Zenón cuántico es una manifestación de una propiedad de la mecánica cuántica que la distingue claramente de la física clásica: los estados cuánticos que se corresponden con vectores infinitesimalmente cercanos en el espacio de Hilbert son indistinguibles. Físicamente son el mismo estado, y por eso una evolución temporal durante un tiempo pequeño $\Delta t$ es indistinguible a primer orden de una sitación estática, sin cambio temporal.

 

Todo esto no es ninguna conclusión nueva sobre la mecánica cuántica. es tan antiguo como ella. El hecho de que dos estados infinitesimamente cercanos en el espacio de Hilbert sean indistinguibles es precisamente lo que nos hizo abandonar las ideas clásicas a principios del siglo XX para describir el mundo cuánticamente. Es lo que está detras de que Planck propusiera las primeras fórmulas de la física cuántica para evitar la catástrofe ultavioleta en la radiación del cuerpo negro en 1901. Pero para ilustrar esta idea voy exponer aquí un ejemplo más sencillo, que viene de un trabajo de Einstein de 1907: el del calor específico de los sólidos, modelizados estos como un conjunto de $N$ osciladores armónicos que representan $N$ átomos en una red vibrando.

 

Para estudiar cómo se comporta este sólido en equilibrio térmico a temperatura $T$ podemos utilizar el colectivo canónico. En mecánica clásica posición y momento sí toman valores bien definidios simultáneamente, con lo que podemos considerar el espacio de fases: 

$$ \{q_i,p_i\}=\{x_1,\ldots,x_s,x_{s+1},\ldots,x_{2s}\}. $$

La densidad de probabilidad en el espacio de fases es:

$$ f(q,p)=f(x)=\frac{1}{N!Z}\,e^{-\beta H(x)}, $$

donde la función de partición es:

$$ Z=\frac{1}{N!}\int dx\,e^{-\beta H(x)}. $$

Si queremos calcular el promedio de la cantidad \(x_i\,\partial H/\partial x_j\), en el colectivo canónico tenemos:

$$ \overline{x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}} =\frac{1}{N!Z}\int dx\,x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}e^{-\beta H(x)}. $$

Usamos que:

$$ \frac{\partial}{\partial x_j}e^{-\beta H(x)} =-\beta\frac{\partial H}{\partial x_j}e^{-\beta H(x)}. $$

Por tanto:

$$ \overline{x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}} =-\frac{1}{N!Z}\frac{1}{\beta} \int dx\,x_i\frac{\partial}{\partial x_j}e^{-\beta H(x)}. $$

Integrando por partes:

$$ \overline{x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}} =-\frac{1}{N!Z}\frac{1}{\beta} \left[ \int dx\,\frac{\partial}{\partial x_j}\left(x_i e^{-\beta H}\right) - \int dx\,\frac{\partial x_i}{\partial x_j}e^{-\beta H} \right]. $$

Si ningún resultado generalizado es de tipo angular, los límites van de \(-\infty\) a \(+\infty\), por lo que el primer término de borde se anula:

$$ \int dx\,\frac{\partial}{\partial x_j}\left(x_i e^{-\beta H}\right)=0. $$

Como:

$$ \frac{\partial x_i}{\partial x_j}=\delta_{ij}, $$

queda:

$$ \overline{x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}} =\frac{\delta_{ij}}{\beta}. $$

Usando \(\beta=1/(k_BT)\), se obtiene el resultado enmarcado en las notas:

$$ \boxed{\overline{x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}}=\delta_{ij}k_BT.} $$

Este es el teorema de equipartición generalizado en mecánica estadística clásica. Cada variable cuadrática independiente contribuye de forma controlada con la cantidad \(k_BT\) a los promedios térmicos.

Como hemos dicho antes, vamos a aplicar esto a un sólido clásico modelado como \(N\) osciladores tridimensionales. El hamiltoniano es:

$$ H=\sum_{\alpha=1}^{N}\left(\frac{\vec p_{\alpha}^{\,2}}{2m}+\frac{1}{2}k\vec x_{\alpha}^{\,2}\right). $$

Es decir, para cada partícula hay tres coordenadas y tres momentos:

$$ \vec x_\alpha^{\,2}=x_{\alpha,1}^2+x_{\alpha,2}^2+x_{\alpha,3}^2, \qquad \vec p_\alpha^{\,2}=p_{\alpha,1}^2+p_{\alpha,2}^2+p_{\alpha,3}^2. $$

Aplicando el teorema de equipartición antes demostrado al término potencial:

$$ \frac{\partial H}{\partial x_\alpha}=kx_\alpha \quad\Rightarrow\quad x_\alpha\frac{\partial H}{\partial x_\alpha}=kx_\alpha^2, $$

$$ \Rightarrow\quad \overline{kx_\alpha^2}=k_BT \quad\Rightarrow\quad \frac12 k\overline{x_\alpha^2}=\frac12 k_BT. $$

Para los \(3N\) términos potenciales:

$$ \overline{E_p}=\frac{3N}{2}k_BT. $$

Aplicando equipartición al término cinético:

$$ \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}=\frac{p_\alpha}{m} \quad\Rightarrow\quad p_\alpha\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}=\frac{p_\alpha^2}{m}, $$

$$ \Rightarrow\quad \frac12\overline{\frac{p_\alpha^2}{m}}=\frac12 k_BT. $$

Para los \(3N\) términos cinéticos:

$$ \overline{E_c}=\frac{3N}{2}k_BT. $$

Por tanto, la energía total media es:

$$ \overline{E}=\overline{E_c}+\overline{E_p}=3Nk_BT. $$

El calor específico a volumen constante es la derivada de la energía con respecto a la temperatura. Nos dice cuántos julios cuesta aumentar la temperatura un grado. Derivando la expresión anterior sale:

$$ \boxed{C_V=3Nk_B.} $$

que es indepediente de la temperatura. Este resultado se conoce como la ley de Dulong y Petit:

Pero experimentalmente este resultado sólo se cumple aproximadamente a altas temperaturas. ¿Por qué? Pues porque el mundo no es clásico, es cuántico. Si consideramos al conjunto de \(3N\) osciladores armónicos unidimensionales como cuánticos, entonces lo que tenemos es el modelo que propuso Einstein. El operador hamiltoniano es:

$$ H=\sum_{s=1}^{3N}H_s =\sum_{s=1}^{3N}\left[\frac{p_s^2}{2m}+\frac12kx_s^2\right]. $$

Como antes, la frecuencia angular de cada oscilador es:

$$ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. $$

La solucion mecanocuántica la conocemos bien. Los estados estacionarios tienen energía:

$$ E(n_1,n_2,\ldots,n_{3N}) =\sum_{s=1}^{3N}\hbar\omega\left(\frac12+n_s\right). $$

La función de partición es:

$$ Z=\prod_{s=1}^{3N}\sum_{n_s=0}^{\infty} \exp\left[-\beta\hbar\omega\left(\frac12+n_s\right) \right]. $$

Como todos los osciladores son iguales:

$$ Z= \left( \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta\hbar\omega(\frac12+n)} \right)^{3N}. $$

Separando el factor de energía de punto cero:

$$ Z= \left( e^{-\beta\hbar\omega/2} \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta\hbar\omega n} \right)^{3N}. $$

Usamos la suma geométrica:

$$ \sum_{n=0}^{\infty}A^n=\frac{1}{1-A}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}A^n=\frac{1}{1-A}-1=\frac{A}{1-A}. $$

Con \(A=e^{-\beta\hbar\omega}\), resulta:

$$ Z= \left[ \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} \right]^{3N}. $$

La energía media se obtiene mediante:

$$ \overline{E}=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}. $$

Aplicando esta fórmula:

$$ \overline{E} =3N\left[ \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1} +\frac{\hbar\omega}{2} \right]. $$

Por tanto, el calor específico a volumen constante del sólido es, según la mecánica cuántica:

$$ C_V=3N\frac{\hbar\omega}{k_BT^2}\, \frac{e^{\hbar\omega/(k_BT)}}{igl(e^{\hbar\omega/(k_BT)}-1\bigr)^2}. $$

Definiendo la temperatura de Einstein:

$$ \theta=\frac{\hbar\omega}{k_B}, $$

la expresión puede escribirse como:

$$ C_V=3Nk_B\left(\frac{\theta}{T}\right)^2 \frac{e^{\theta/T}}{\left(e^{\theta/T}-1\right)^2}. $$

Por tanto, las curvas de \(C_V\) frente a \(T\) en mecánica clásica (límea punteada) y en mecánca cuántica (límea continua) son diferentes:

 

Para temperaturas altas, la curva que predice la mecánica cuántica, que es también la que se obtiene experimentalmente, se aproxima horizontalmente al valor \(3Nk_B\) que predice la mecánica clásica, pero para temperaturas bajas cae hacia cero. Es decir, si:

$$ T\gg \theta=\frac{\hbar\omega}{k_B}, $$

entonces se recupera la ley de Dulong y Petit:

$$ C_V\to 3Nk_B. $$

Pero si:

$$ T\ll\theta, $$

entonces:

$$ C_V\simeq 3Nk_B\left(\frac{\theta}{T}\right)^2e^{-\theta/T}. $$

Aquí estamos utilizando que, si

$$ f(x)=\frac{1}{x}e^{-1/x}. $$

entonces:

$$ \lim_{x\to0}f(x)=0. $$

$$ f'(x)=-\frac{1}{x^2}e^{-1/x}+\frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^2}\right)e^{-1/x}. $$

$$ \lim_{x\to0}f'(x)=-\frac{1}{x^3}e^{-1/x}=0. $$

Nótese que en el modelo cuántico \(C_V\) se anula en el cero absoluto, pero en el modelo clásico no. Esto sucede porque el modelo clásico está considerando más grados de libertad de los que físicamente existen. En mecánica clásica estados que están infinitesimalmente cercanos son distinguibles, y esto afecta a cómo se aplican a los modelos clásicos las técnicas de mecánica estadística. Pero en mecánica cuántica son indistinguibes y tenemos efecto Zenón cuántico. Por ello, sólo hay que sumar, para hacer los promedios estadísticos, sobre estados cuanticos que son ortogonales entre sí.

Es importante señalar que esta indistinguibilidad es microscópica. Si fuera sólo macroscópica, eso nos daría lugar a una entropía más grande de la que es. En cambio, en mecánica cuántica, al sumar sólo sobre los ortogonales entre sí, estamos sumando sobre menos estados indistinguibles macroscópicamente. En efecto, en este ejemplo la función de onda del sistema viene especificada por \(3N\cdot d\) números complejos, con \(d\to\infty\) la dimensión del espacio de Hilbert de cada oscilador. Si cada función de onda distinta fuera considerada un microestado distinto de los demás, entonces en la fórmula:

$$ S=k_B\log\Omega $$

habría que poner:

$$ S=k_B\log\left(\infty^{3Nd}\right). $$

Se obtendría así una entropía proporcional a la dimensión $d$ del espacio de Hilbert, y, al promediar sobre demasiados microestados concluiríamos que \(C_V\) sería más grande de lo que se mide experimentalmente. Pero esta cuenta está mal hecha porque no podemos tratar a la función de onda como una magnitud que nos dé grados de libertad clásicos. Si fuera así, estados infinitesimalmente cercanos serían distinguibles y no lo son. En mecánica cuántica no se deben contar los microestados como si cada amplitud continua de la función de onda fuese un grado de libertad clásico independiente. Los estados físicamente distinguibles se cuentan mediante estados ortogonales en el espacio de Hilbert. Esta diferencia es justamente la que evita el sobreconteo clásico y permite explicar por qué el calor específico de los sólidos cae a bajas temperaturas.

Las bajas capacidades caloríficas compatibles con los experimentos solo aparecen si el número de microestados mutuamente excluyentes es muchísimo menor que el número aparentemente posible de configuraciones. Para ello es esencial que dos estados cuánticos genéricos

\[ |\phi\rangle \qquad\text{y}\qquad |\psi\rangle \]

no sean mutuamente excluyentes en general. En mecánica cuántica, dos estados arbitrarios normalmente se superponen. Si el sistema está en el estado

\[ |\phi\rangle, \]

no tiene sentido afirmar clásicamente que “definitivamente no” está en el estado

\[ |\psi\rangle, \]

a menos que ambos sean ortogonales.La probabilidad de encontrar el sistema en el estado \(|\psi\rangle\) cuando está preparado en \(|\phi\rangle\) viene dada por la regla de Born:

\[ P_{\psi\leftarrow\phi}=|\langle\phi|\psi\rangle|^2. \]

Esto significa que los estados cuánticos no funcionan como configuraciones clásicas claramente separadas. El espacio de fases clásico queda reemplazado por una estructura mucho más rígida, donde enormes regiones del “espacio de posibilidades” no corresponden a alternativas físicamente distinguibles. En mecánica cuántica el número de estados físicamente distinguibles crece muchísimo más lentamente, porque las superposiciones lineales no representan nuevas alternativas mutuamente excluyentes.

Por eso, en mecánica cuántica el número efectivo de alternativas físicas no es el número de todos los valores continuos posibles de la función de onda, sino la dimensión del espacio de Hilbert relevante:

\[ \Omega =d. \] 

En resumen, las bajas capacidades caloríficas observadas en los experimentos muestran que muchos grados de libertad que una teoría clásica trataría como reales e independientes no pueden contarse como microestados distinguibles. En cambio la mecánica cuántica evita este exceso porque no todos los estados posibles son mutuamente excluyentes, sólo los ortogonales.

En cambio, muchas mal llamadas "interpretaciones de la mecánica cuántica" que son intrínsecamente realistas intentan recuperar una visión clásica del mundo. La idea básica es que un sistema físico tendría siempre propiedades perfectamente definidas, aunque nosotros no las conozcamos. La función de onda sería sólo una descripción incompleta de una realidad más profunda. En estas teorías aparecen las llamadas variables ocultas o beables, es decir, grados de libertad adicionales que describirían el “estado real” del sistema. Pero cuantos más grados de libertad clásicos tenga una teoría, mayor será el número de microestados posibles, lo que implica entropías enormes. Además, todos esos grados de libertad deberían poder absorber energía térmica. Eso llevaría a capacidades caloríficas enormes o incluso infinitas, en contradicción directa con los experimentos. Esto pasa en toda alternatica intrínsecamente realista, como, por ejemplo, la teoría de la onda piloto de Bohm-de Broglie y sus variaciones, las interpretaciones realistas de los muchos mundos de Everett, las teorías de colapso de Ghirardi-Rimini-Weber entre otras. Puede leerse más sobre este tema en este otro post.

Sin embargo, en la mecánica cuántica, la que muchos llaman "de Copenhague", que es realista de forma participativa, pero no intrínsecamente, al no ser la función de onda ningun ente físico, se suma sólo sobre estados ortogonales, lo que hace que los modos de frecuencia muy alta requieran demasiada energía para excitarse a una temperatura que no sea muy alta, de modo que dejan de contribuir térmicamente, que es lo que se observa en el laboratorio. Las capacidades caloríficas observadas experimentalmente son demasiado pequeñas para permitir una descripción clásica completa de la realidad microscópica. Por tanto, estos resultados experimentales demuestran que la funcion de onda en mecánica cuántica no es un ente objetivo con existencia real en la naturaleza. Es sólo la manera que tenemos de asociar una ampitud de probabilidad a cada posible resultado experimental.  

 

Ausencia de la estructura microscópica interna en las relaciones termodinámicas

Hemos visto que las líneas espectrales muestran claramente que los átomos poseen una estructura interna que puede estudiarse y que nos demuestra que el comportamiento del movimiento de los electrones en el átomo es cuántico. Las propiedades del movimiento de los electrones son las responsables de la estructura de las líneas espectrales y de los estados ligados del átomo. Pero, curiosamente, esta estructura no se manifiesta cuando se consideran propiedades macroscópicas como los calores específicos.

En efecto, tanto en sólidos como en líquidos como en gases, la capacidad calorífica por átomo siempre es del orden de la constante de Boltzmann, incluso aunque cambiemos los átomos por otros de otros elementos con muchos más electrones, con una estructura interna con muchos más grados de libertad. ¿Por qué?

Este hecho experimental también contradice cualquier modelo clásico o de variables ocultas. Imaginemos que uno diseña una teoría clásica con algún potencial o mecanismo que mantenga a los electrones, por ejemplo, dentro de ciertos “valles” alrededor del núcleo, de manera que la energía asociada a esos valles coincida con los niveles atómicos del átomo de hidrógeno.Como un átomo más complicado contiene cientos de electrones, su capacidad calorífica, aplicando el teorema de equipartición de la energía, al haber más grados de libertad, debería ser órdenes de magnitud mayor de lo que realmente se observa. Por ejemplo, si intentamos incorporar nuevas fuerzas clásicas que mantengan a los electrones en órbitas preferidas. tendríamos que introducir un potencial muy escarpado que impidiera que los electrones se desviaran incluso una distancia diminuta. Pero un potencial así simplemente añadiría nuevos grados de libertad parecidos a osciladores armónicos para cada electrón, y cada uno de estos nuevos grados de libertad debe contribuir a la energía como $kT$.

La dinámica interna no trivial de los electrones dentro del átomo en una teoría que aspire a explicar los resultados experimentales debe contribuir de manera sorprendente con un valor de prácticamente cero a la capacidad calorífica del átomo a temperaturas ordinarias. ¿Cómo consigue esto la mecánica cuántica? Pues de la combinación de dos factores. El primero es que, como hemos explicado, por la indistinguibilidad de los estados cercanos sólo debemos sumar en los promedios estadísticos sobre estados ortogonales. El segundo es que la energía de los electrones está cuantizada, de modo que, si la temperatura es baja, el factor de Boltzmann nos dice que, con una altísima probabilidad, el átomo permanece casi siempre en su estado fundamental. Así, sólo el movimiento global del átomo como un todo puede ser excitado por el caos térmico a temperatura ambiente. Únicamente pueden excitarse los grados de libertad asociados al centro de masas del átomo, de modo que el átomo se comporta como si fuera indivisible. Y precisamente por eso los griegos lo llamaron “átomo”. Pero los defensores de las alternativas a la mecánica cuántica intrínsecamente realistas entienden este punto exactamente al revés. Los partidarios de las variables ocultas creen que cuantos más mecanismos ocultos añadan, mejor será la teoría. Sin embargo, la realidad física apunta justamente en la dirección opuesta. Las observaciones muestran que la teoría correcta debe poseer, en cierto sentido universal, muchos menos grados de libertad efectivos que el sencillo modelo clásico planetario que propuso Rutherford, y la mecánica cuántica hace precisamente eso: tiene la capacidad de “eliminar” grados de libertad efectivos. En cualquier modelo clásico con variables ocultas, las propiedades térmicas de esas variables adicionales no podrían desacoplarse de las coordenadas del centro de masas. La capacidad calorífica sería enorme en cualquier teoría clásica de ese tipo.

La mecáncia cuántia, en cambio, se caracteriza, por tanto, por un gap de energía generado dinámicamente. Cuando existe una separación energética finita entre el estado fundamental y los estados excitados,

\[ \Delta E > 0, \]

las excitaciones internas quedan “congeladas” a bajas temperaturas porque la energía térmica disponible, del orden de \(kT\), no basta para activarlas. Y este es el motivo por el que la capacidad calorífica que predice la mecánica cuántica en el modelo del solido de Einstein hecho de osciladores tiende a cero cuando la temperatura tiende a cero. Esta es la idea profunda que está detrás del éxito de la hipótesis de Planck de donde surgió la semilla que dio lugar a la mecáncia cuántica. Todos los estados que son mutuamente excluyentes con el estado fundamental deben ser ortogonales, y además existe un gap de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado. Si denotamos por \(E_0\) la energía del estado fundamental y por \(E_1\) la del primer estado excitado, entonces existe una separación energética

\[ \Delta E = E_1-E_0 >0. \]

Por ello, cuando la temperatura es muy baja y la energía térmica disponible

\[ k_B T \]

es mucho menor que \(\Delta E\), las excitaciones quedan prácticamente descartadas por altamente improbables en el colectivo canónico. En consecuencia, el estado físico del sistema queda fijado de manera prácticamente única y precisa: el sistema se encuentra en su estado fundamental.

Desde el punto de vista estadístico, esto significa que la entropía a bajas temperaturas se vuelve extremadamente pequeña, porque casi no existen configuraciones accesibles térmicamente. En cierto sentido, la Naturaleza “selecciona” un único estado limpio y estable. Ni la física clásica ni las alternativas intrínsecamente realistas permitirían un resultado tan limpio. Siempre existirían grados continuos de libertad capaces de oscilar alrededor del mínimo de energía, incluso a temperaturas arbitrariamente bajas. En una teoría clásica, una partícula situada en el fondo de un potencial todavía podría realizar pequeñas oscilaciones con amplitudes continuamente variables. No existiría ningún mecanismo natural que congelara completamente esos movimientos hasta llevarlos a la mínima vibración posible compatible con el principio de indeterminación (el estado fundamental) como hace la mecánica cuántica. Por eso, cualquier teoría clásica con “suficientes mecanismos internos para imitar la mecánica cuántica” predeciría inevitablemente capacidades caloríficas por átomo muchísimo mayores que la constante de Boltzmann, muchísimo mayores que las observadas experimentalmente (y en muchos casos clásicamente incluso infinitas).  Si existieran demasiadas variables ocultas capaces de tomar distintos valores, el calor suministrado al sistema podría excitar y modificar todas ellas. Sería exactamente igual que aumentar arbitrariamente el número de átomos: el objeto podría absorber demasiada energía por cada diferencia de temperatura.

Las fuerzas muy débiles son irrelevantes

La mecánica cuántica no amplía arbitrariamente el número de posibilidades físicas; al contrario, reduce drásticamente el número efectivo de estados físicamente distinguibles, hace que los estados sean menos distinguibles. Y esta propiedad de la cuántica tiene también otra consecuencia importante: en cuántica aparece una diferencia fundamental entre las fuerzas de largo alcance y las de corto alcance.

Las fuerzas gravitatoria y electrostática poseen potenciales del tipo $ \frac{1}{r}$, mientras que las fuerzas de corto alcance decrecen mucho más rápidamente con la distancia. En física clásica podría parecer que la diferencia es simplemente cuantitativa. Pero en mecánica cuántica la diferencia es también cualitativa.Cuando en un sistema se dan fuerzas de corto alcance extremadamente débiles, la probabilidad de que no produzcan ningún efecto observable tiende al 100%, mientras que en física clásica, una fuerza muy débil produce pequeños cambios continuos en los observables, y esos cambios son detectables en principio. Per en mecánica cuántica, una fuerza muy débil no modifica directamente los valores de observables. Lo que modifica son las probabilidades. Es decir, una fuerza débil solo altera ligeramente la probabilidad de que ocurra un resultado experimental u otro. Los estados cuánticos evolucionan como amplitudes de probabilidad, no como configuraciones clásicas perfectamente definidas. Cuando una fuerza es extremadamente débil, la probabilidad de que el sistema permanezca en el mismo estado se aproxima al 100%, aunque haya pasado un tiempo no tan pequeño como el que ocurre entre medida y medida en el efecto Zenón cuántico. Las funciones de onda inicial y final son distintas matemáticamente, pero físicamente siguen siendo indistinguibles. En otras palabras, si una fuerza modifica ligeramente la función de onda, esa modificación puede resultar completamente indetectable experimentalmente. Por eso la mecánica cuántica permite que existan efectos con una probabilidad casi total de ser estrictamente indetectables, entre ellos, las fuerzas de corto alcance a partir de cierta distancia.

 

Conclusiones

 

Hemos visto que: 

• La relación de indeterminación energía-tiempo es más sutil que el resto de relaciones de indeterminación porque el tiempo no es un operador en mecánica cuántica..
• Mandelstam y Tamm dieron una formulación precisa usando cómo cambia el valor medio de un observable hermítico \(Q\). La desigualdad precisa es: \(\Delta H\,\Delta Q\geq\frac{\hbar}{2}\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|\). Si definimos el tiempo característico de cambio de ese observable como \(\Delta t_Q=\Delta Q/\left|d\langle Q\rangle/dt\right|\) se tiene: \(\Delta H\,\Delta t_Q\geq\hbar/2\).
• Otra forma de entender esta relación de indeterminación es darse cuenta de que el tiempo mínimo para evolucionar a un estado ortogonal está limitado por el inverso en la indeterminación en la energía: \(\Delta H\,\Delta t_\perp\geq h/4\).
• La probabilidad de supervivencia de un estado para tiempos cortos es \(1-(\Delta H)^2t^2/\hbar^2+O(t^3)\), es decir, no tiene término de primer orden. Los estados cuánticos empiezan evolucionando poco, y el término de segundo orden en este cambio está gobernado por la indeterminación en la energía, lo cual es otra manifestación de la relación de indeterinación energía-tiempo.
• El efecto Zenón cuántico consiste en que mediciones muy frecuentes pueden inhibir la evolución del estado que ocurriría si se deja al sistema "a su bola". Este efecto, sin embargo, no significa que no haya evolución temporal, sino que eso es lo que nos parece al alternar la evolución libre del sistema con entrelazamientos frecuentes con grados de libertad que se pierden y que impiden que las amplitudes de probabilidad de que midamos que el sistema ha cambiado se acumulen.
• Este efecto es una manifestación del hecho de que los estados infinitesimalmente cercanos en el espacio de Hilbert son físicamente indistinguibles, al contrario de lo que pasaba en mecánica clásica. Por eso, tanto la mecánica clásica como las mal llamadas "interpretaciones de la mecánica cuántica" intrínsecamente realistas cuentan más grados de libertad de los que hay al hacer física estadística con lo que quedan refutadas por los experimentos. Para hacerlo bien debemos sumar, para hacer los promedios estadísticos, solamente sobre estados cuanticos que son mutuamente excluyentes, y estos son los que que son ortogonales entre sí. Por eso las capacidades caloríficas que predice la mecánica cuántica, y que están de acuerdo con los resultados experimentales, son menores que las de cualquier teoría clásica o cualquier alternativa de variables ocultas.
• La discretitud de los niveles de energía de los estados ligados junto con la indistinguibilidad de los estados cercanos garantizan en mecánica cuántica que a bajas temperaturas la estructura microscopica interna de los átomos no contribuya a las capacidades caloríficas, mientras que en las alternativas intrínsecamente realistas esto no ocure.
• Otra consecuencia de la indistinguibilidad es que las fuerzas muy muy débiles son indetectables en mecánica cuántica y ni siquiera tienen sentido como entes físicos si no pasa un tiempo muy largo. Esto hace que las fuerzas de corto alcance sean, en cuántica, diferentes a las de largo alcance, no sólo de manera cuantitativa sino en naturaleza. 

 

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

 

Referencias bibliográficas

 

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