¿Se quedan las cosas igual si les damos una vuelta completa?

Tome usted un folio rectangular de tamaño A4.

Gírelo 45 grados. ¿Se queda igual? Es evidente que no. Ahora está inclinado.

Ahora gírelo 90º. Sigue sin estar igual. Antes estaba en posición horizontal, pero ahora está vertical.

¿Y si lo giramos 180ª? Entonces sí se queda igual.

Como el folio se queda invariante al realizar una rotación de 180º, entonces decimos que tiene simetría de rotación al girarlo 180º, o cualquier múltiplo de 180º.

Tomemos ahora un triángulo equilátero.

En este caso esta figura, para que se quede igual, hay que rotarla  120º o cualquier múltiplo de 120º.

Pero si elegimos una figura que no tiene ninguna simetría, como por ejemplo:

Entonces la única forma de que se quede igual es rotarla 360º, es decir, dándole una vuelta completa.

Esta última propiedad que hemos descrito, ¿es universal? ¿Se quedan todos los objetos igual al darles una vuelta completa? La mayoría de las personas piensan que sí. Vaya pregunta más estúpida, ¿verdad? Incluso hay quien se atreve a afirmar que el enunciado que dice "Todos los objetos se quedan igual si les damos una vuelta completa" es un juicio analítico, esto es, un enunciado cuya verdad o falsedad no necesita ser comprobada experimentalmente. Es un teorema matemático, una "verdad absoluta" a la que tienen que obedecer todos los objetos del universo.

Pero la realidad es que se trata de un enunciado sintético. El motivo por el que la mayoría de las personas están convencidas de que los objetos se quedan igual al darles una vuelta completa es porque tienen una fuerte evidencia experimental a favor de este enunciado, ya que han manipulado objetos y los han girado desde que tenían pocos meses de vida. Todos los objetos que les damos a los bebés para que jueguen se quedan igual al rotarlos 360º.

Sin embargo, si dejáramos a los bebés jugar directamente con electrones, entonces no sacarían la conclusión de que todos los objetos se quedan igual al darles una vuelta completa. Los electrones no se quedan igual. De hecho, son objetos a los que es necesario darles dos vueltas para que se queden igual. ¿Cómo es eso posible? Eso es lo que voy a tratar de explicar en este post.

 

Los grupos de transformaciones en mecánica cuántica

La clave está en que el mundo físico es cuántico. La teoría que describe satisfactoriamente el comportamiento de este mundo cuántico es la mecánica cuántica. Esta teoría ha cambiado para siempre nuestra concepción del mundo físico, de la teoría de la información y hasta de los objetos matemáticos. Un ejemplo de esto último es lo que ocurre con los grupos de transformaciones. La forma en la que un grupo $G$ de transformaciones actúa sobre un sistema físico puede ser muy complicada. El sistema físico puede ser altamente no lineal y tener una estructura geométrica altamente no trivial. Sin embargo, el principio de superposición de estados cuánticos nos dice que en mecánica cuántica los estados en los que se puede encontrar todo sistema físico son elementos de un espacio vectorial $\mathcal{H}$, ya que cualquier combinación lineal de varios estados cuánticos representa otro estado cuántico posible para el sistema. Esto significa que a cada elemento $g$ del grupo $G$, al actuar sobre el sistema físico, le corresponde una transformación lineal $\pi(g)$, un operador, que actúa sobre este espacio vectorial de estados cuánticos. Y las transformaciones lineales son mucho más fáciles de estudiar. Además, esas transformaciones tienen que ser unitarias, ya que éstas son las únicas que conservan la probabilidad total, ya que la suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos en mecánica cuántica tiene que ser siempre igual a uno, por muchas transformaciones que apliquemos al sistema físico.

Se dice que el conjunto de todas estas transformaciones lineales sobre el espacio de estados cuánticos forma una representación del grupo $G$ sobre el espacio $\mathcal{H}$. Más concretamente, una representación es una función $\pi$ que asocia, a cada elemento $a$ de un grupo, su correspondiente transformación lineal $\pi(a)$ en un espacio vectorial, de manera que la estructura del grupo se respete, es decir, que da lo mismo componer dos transformaciones y hallar la representación del resultado, que componer las representaciones de cada transformación. Matemáticamente, se escribe $$
\pi(b) \cdot \pi(a)=\pi(ba)
$$ Es evidente que mapear todos los elementos de un grupo a la transformación identidad en un espacio vectorial es trivialmente una representación, que se denomina representación trivial o escalar. Lo interesante para los matemáticos es estudiar las representaciones no triviales de los distintos grupos que reproduzcan la estructura de los mismos de forma fiel. A la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{H}$ sobre el que actúan los operadores $\pi(g)$ se la denomina dimensión de la representación $\pi$. También es interesante desde el punto de vista matemático estudiar cuáles son las representaciones irreducibles de cada grupo $G$. Éstas son aquellas que no tienen subrepresentaciones, es decir, donde no hay ningún subespacio vectorial propio $\mathcal{H}^\prime \subset \mathcal{H}$ tal que $\pi$ actuando sobre $\mathcal{H}^\prime$ sea una representación. Esto es así porque, dadas dos representaciones $\pi_1$ y $\pi_2$ actuando sobre dos espacios vectoriales $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$, siempre es posible construir la representación suma directa $\pi_1 \oplus \pi_2$ que actúa sobre el espacio vectorial suma directa $ \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$ generado por el conjunto de vectores que surge al unir el conjunto de los vectores de una base de $ \mathcal{H}_1 $ con el de una base de $\mathcal{H}_2$. En notación matricial:

En física, sin embargo, lo interesante es saber en cada caso concreto bajo qué representaciones transforman los estados cuánticos de cada sistema físico. Como todas estas representaciones tienen que ser unitarias, los operadores $\pi(g)$ tienen que ser todos unitarios, es decir, su adjunto debe ser igual a su inverso. A este tipo de representaciones del grupo $G$ se las denomina representaciones unitarias. Como las transformaciones unitarias en un espacio vectorial conservan el producto escalar, vectores que eran ortogonales lo siguen siendo después de esa transformación. Esto hace que toda representación reducible se pueda escribir como suma directa de representaciones irreducibles, aunque puede ser difícil encontrar la base en la que ésta se exprese en forma de bloques en la diagonal, como en la matriz anterior.

Reflexiones en el plano

Cuando uno hace una rotación, la hace siempre en un plano, de forma que la dimensión (o "dimensiones", quién sabe) que es perpendicular a ese plano se queda igual. Por tanto, para responder a la pregunta que da título a este artículo sólo necesitamos considerar de primeras un mundo de dos dimensiones.

Las rotaciones en dos dimensiones forman el grupo de Lie más sencillo que hay, el grupo SO(2), que es isomorfo a U(1), y está formado por las matrices 2x2 ortogonales de determinante unidad. Si no sabes lo que significa esto que acabas de leer, a lo mejor necesitas leer este otro post. En este grupo, la rotación de 360 grados, la vuelta completa, es equivalente al elemento neutro, es decir, a no efectuar ninguna transformación. Por tanto, todos los objetos se quedan igual si les damos una vuelta completa. ¿Asunto zanjado? No. No es tan sencillo. Las cosas no son tan simples como aparentan. Vamos a verlo.

El teorema de Cartan-Dieudonne establece que, en un espacio de $d$ dimensiones, uno puede obtener cualquier rotación componiendo al menos $d$ reflexiones ortogonales en distintos hiperplanos. Aplicando esto a $d=2$, lo que se tiene es que cualquier rotación la podemos obtener mediante la composición de dos reflexiones, como el ejemplo del dibujo, en el que podemos obtener una rotación de $\pi$ radianes simplemente componiendo dos reflexiones, una vertical y otra horizontal.

Llamemos $\gamma_1$ a la reflexión a lo largo del eje horizontal (reflexión en torno al eje vertical), es decir, la reflexión que cambia de signo la primera componente de los vectores. En cambio, $\gamma_2$ es la reflexión que cambia el signo de la componente vertical de los vectores. Como al hacer dos reflexiones seguidas cualquier objeto se queda igual (cada reflexión es su propia inversa $\gamma^{-1}=\gamma$) se tiene que $$
\gamma_1^2=\gamma_2^2=1
$$ siendo $1$ el elemento neutro, la transformación identidad, dejarlo todo igual.

Vamos a ver que es posible construir una representación del grupo de reflexiones y rotaciones en la que los operadores que representan esa reflexión son los mismos objetos matemáticos que los vectores de la base cartesiana ortonormal del espacio de dos dimensiones. Es decir, vamos a representar cada vector en esta base como $$
v=v_1\gamma_1+v_2\gamma_2
$$ Como hacer una reflexión en el eje $\gamma_1$ es lo mismo que hacerla en el mismo eje pero con orientación contraria ($-\gamma_1$), y multiplicar los vectores de la base por un número real $\lambda\neq 0$ tampoco afecta a la forma en que se hacen las reflexiones, las reflexiones tienen que actuar sobre el vector $v$ de una forma que no dependa de su signo o del factor $\lambda$. Nos vemos obligados a probar con la conjugación $$
v \to x \gamma_1^{-1} v \gamma_1=x\gamma_1 v \gamma_1
$$ donde $x$ es una constante por determinar. Se tiene, por tanto: $$
x\gamma_1 v \gamma_1=-v_1\gamma_1+v_2 \gamma_2
$$ De aquí se deduce que: $$
x\gamma_1 \gamma_1 \gamma_1 =-\gamma_1
$$ con lo que x=-1. También se deduce que: $$
\gamma_1 \gamma_2 \gamma_1=\gamma_2
$$ y multiplicando a la derecha por $\gamma_1$ se encuentra que $$
\gamma_1\gamma_2=-\gamma_2 \gamma_1
$$ Por tanto, $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son objetos matemáticos que anticonmutan recíprocamente entre ellos, y cada uno es el inverso de sí mismo. A los objetos que cumplen estas dos características se les dice que constituyen una representación del álgebra de Clifford en dos dimensiones. Estrictamente hablando, el álgebra de Clifford en 2 dimensiones es el espacio vectorial generado por todas las combinaciones lineales de las reflexiones $\gamma_1$, $\gamma_2$ y de todos los productos de estas gammas.

Rotaciones en el plano

¿Como se comportan las reflexiones en esta representación? Como las rotaciones constan de la composición de dos reflexiones, el signo menos de $x=-1$ se cancela, de tal forma que las rotaciones actúan sobre el vector $v$ por conjugación. Por ejemplo, la rotación de 180 grados es $$
v \to \gamma_2 \gamma_1 v \gamma_1^{-1} \gamma_2^{-1}=(\gamma_2 \gamma_1)v (\gamma_2 \gamma_1)^{-1}=-v_1\gamma_1-v_2\gamma_2
$$
Si, en cambio, lo que queremos es hacer una rotación de 360º, entonces, como $$
(\gamma_2 \gamma_1) (\gamma_2 \gamma_1)= -\gamma_2 \gamma_1\gamma_1 \gamma_2=-\gamma_2 \gamma_2=-1
$$ tenemos $$
v \to (-1) v (-1)=v
$$ Es decir, el vector se queda igual. Las cosas se quedan igual al darles una vuelta completa. ¿Asunto zanjado? No todavía.

Acabamos de ver que el operador $\gamma_1\gamma_2$ tiene una propiedad interesante: su cuadrado es $-1$, ¡exactamente igual que la unidad imaginaria! Es por ello por lo que el álgebra generada por las combinaciones lineales de $1$ y de $\gamma_1\gamma_2$ y todos sus productos es isomorfa al álgebra de los números complejos. Por tanto, podemos aplicar la fórmula de Euler $$
e^{\phi i}=\cos\phi+i\sin \phi 
$$ a nuestro caso $$
e^{\phi \gamma_1\gamma_2}=\cos\phi+\gamma_1\gamma_2\sin \phi 
$$ Y este operador, ¿qué transformación implementa sobre $v$? Vamos a calcularla: $$
e^{-\phi \gamma_1\gamma_2} v e^{\phi \gamma_1\gamma_2}=(v_1\cos(2\phi)-v_2\sin(2\phi))\gamma_1 + (v_1\sin(2\phi)+v_2\cos(2\phi))\gamma_2
$$ Se obtiene que ¡se trata de una rotación un ángulo $\theta=2\phi$ en torno al eje z perpendicular al plano! Por tanto, podemos generar todas las rotaciones en el plano con los operadores $$
e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}=\cos(\frac{\theta}{2})+\sin( \frac{\theta}{2}) \gamma_1\gamma_2
$$ actuando sobre los vectores mediante conjugación.

El grupo Spin(2)  

Y aquí es donde viene el meollo de la cuestión. Los operadores $ e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}$ y $- e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}$ son diferentes, pero implementan sobre los vectores $v$ exactamente la misma rotación. Esto es así porque el operador que implementa la vuelta completa de $2 \pi$ radianes es $$

e^{\frac{2\pi}{2} \gamma_1\gamma_2}=-1

$$ Esto lo que significa es que los operadores $ e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2}$ forman un grupo que es un doble recubrimiento del grupo U(1)=SO(2). En este nuevo grupo, que vamos a llamar Spin(2), es necesario dar dos vueltas para obtener el elemento neutro. Si hacemos que estos operadores actúen por conjugación sobre los vectores, lo que tenemos es una representación de Spin(2) que no es fiel, ya que es una representación en la que obtenemos el elemento neutro con sólo dar una vuelta. Pero es posible definir matemáticamente de forma consistente un espacio vectorial, que llamaremos espacio de espinores $\chi$, sobre el que el grupo $Spin(2)$ actúa de forma fiel: $$
\chi \to \chi\prime= e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2} \chi
$$

Por tanto, existen objetos matemáticos, los espinores, a los que, al contrario que los vectores, es necesario darles dos vueltas para que se queden igual. Se trata de objetos que, al rotarlos, transforman de acuerdo con elementos del grupo Spin(2), en vez de SO(2).

     

Uno puede decir que esto es sólo un truco matemático que se inventó Cartan en 1913, pero que, en realidad, el grupo que implementa las rotaciones en los objetos físicos es SO(2). Sin embargo, la naturaleza no tiene por qué ser lo que uno tiene en la cabeza. No tiene por qué comportarse toda ella como los juguetes que nos daban cuando éramos bebés. Hemos crecido, y hemos jugado también con átomos y con las partículas elementales. Y ahora sabemos que el grupo que implementa las rotaciones en la naturaleza no es SO(2), sino Spin(2). Los estados cuánticos de algunos objetos transforman de acuerdo con representaciones de Spin(2) en las que basta girar $2\pi$ radianes para obtener el mismo estado, pero muchos otros no. Una vez hemos crecido y hemos asistido a nuestro primer curso de mecánica cuántica en la universidad, aprendemos que la función de onda de un electrón es un objeto matemático, denominado espinor, de dos componentes, que transforma según una representación reducible de Spin(2). La primera componente transforma cuando se realiza una una rotación con respecto al eje z mediante la representación irreducible $$
\chi_1 \to \chi_1\prime= e^{\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2} \chi_1
$$ del grupo Spin(2), mientras que la segunda transforma según la representación inversa $$\chi_2 \to \chi_2\prime= e^{-\frac{\theta}{2} \gamma_1\gamma_2} \chi_2
$$ Si $\theta=2\pi$, ambas componentes quedan, por tanto, multiplicadas por $-1$. Es decir, si le damos una vuelta completa a un electrón, su estado cuántico queda multiplicado por $-1$.

El grupo Spin(3)

Uno puede pensar que, como en el fondo Spin(2) no es más que el grupo SO(2) pero dando dos vueltas, este descubrimiento, aunque importante desde el punto de vista físico, no aporta mucho desde el punto de vista matemático.  De hecho, matemáticamente Spin(2) y SO(2) son isomorfos, consistiendo el isomorfismo entre ellos simplemente en dividir el ángulo de giro entre dos. Pero el mundo real tiene 3 dimensiones espaciales o más, y toda la discusión que hemos llevado a cabo en este artículo se puede generalizar fácilmente a cualquier número $d$ de dimensiones. Y, si lo generalizamos a $d>2$, se puede ver que Spin(d) y SO(d) no son isomorfos. Por ejemplo, en nuestro mundo tridimensional, al estar la base formada por tres reflexiones, $\gamma_1$, $\gamma_2$ y $\gamma_3$, al hacer parejas de reflexiones para construir rotaciones nos salen tres unidades imaginarias $$
i=\gamma_3\gamma_2
$$ $$
j=\gamma_1\gamma_3
$$ $$
k=\gamma_2\gamma_1
$$ cuyo cuadrado es $-1$, que se corresponden, respectivamente, con las rotaciones de $\pi$ radianes en torno a los ejes x, y ,z. Las combinaciones lineales de estas 3 rotaciones y la transformación identidad constituyen una generalización de los números complejos denominada cuaterniones de Hamilton. Nótese que

Lo que tenemos entonces es que los cuaterniones puramente imaginarios $ u_1i+u_2 j+u_3 k$, en los que, además, $|u|=1$, son los que generan las rotaciones $$
e^{\frac{\theta}{2} (u_1 i+u_2 j+u_3 k)}=\cos(\theta/2)+(u_1 i+u_2 j+u_3 k)\sin(\theta/2)
$$ y que éstas actúan sobre los vectores $v_1\gamma_1+v_2\gamma_2+v_3\gamma_3$ mediante conjugación. De nuevo se tiene que $-\exp {\frac{\theta}{2} (u_1i+u_2j+u_3k)}$ y $+\exp {\frac{\theta}{2} (u_1i+u_2 j+u_3 k)}$ generan la misma rotación sobre los vectores, y este es el motivo por el que Spin(3) es un recubrimiento doble del grupo SO(3). Pero en el caso de los espinores, la rotación no se hace por conjugación, y ambas rotaciones dan diferentes resultados.

El motivo por el que existe este doble recubrimiento de SO(3) es porque en SO(3), si vamos rotando un objeto hasta girarlo $2\pi$ radianes, pero recordando cuánto hemos rotado en cada instante de tiempo, lo que obtenemos es un camino cerrado en SO(3) que no está continuamente conectado con la identidad (no hacer nada en todos los instantes de tiempo), pero que sí lo está si rotamos $4\pi$ radianes, debido a la estructura topológica de este grupo, que es la del espacio proyectivo en 3 dimensiones. Y, al contrario de lo que ocurre en el caso bidimensional, el doble recubrimiento que se obtiene, Spin(3), no es isomorfo a SO(3), sino que es un grupo con una topología diferente. De hecho, basta con ver que hay un isomorfismo entre las tres unidades imaginarias de los cuaterniones y las matrices de Pauli para darse cuenta de que Spin(3) es isomorfo al grupo SU(2).

¿Qué es el spin de una partícula? 

Como Spin(2) es un grupo isomorfo a SO(2)=U(1), podemos valernos de este isomorfismo para encontrar todas las representaciones irreducibles de Spin(2) a partir de las representaciones irreducibles que obtuvimos para SO(2) en un artículo anterior. Vimos que, en el caso de SO(2), los distintos valores de la componente z del momento angular $L_3$ de la partícula nos servían para caracterizar las distintas representaciones irreducibles de ese grupo de rotaciones. Pero en este caso, al estar el ángulo rotado dividido entre dos, cada representación viene dada por un valor del momento angular que es múltiplo de 1/2 en vez de múltiplo de 1. Esto lo que significa es que las partículas en mecánica cuántica pueden tener un momento angular intrínseco, un momento angular que nada tiene que ver con el momento angular orbital $L_3=q_1p_2-q_2p_1$ del artículo anterior. A este momento angular intrínseco que, además de tomar valores enteros, también puede tomar valores semienteros se le denomina spin de la partícula. En el caso del electrón, el espinor, cuyas dos componentes transforman siguiendo dos representaciones irreducibles diferentes de Spin(2), constituye una representación irreducible del grupo Spin(3), que se obtiene simplemente sustituyendo las unidades imaginaras de los cuaterniones por las matrices de Pauli (multiplicadas por -i). Al igual que ocurre con SO(3), las representaciones irreducibles de Spin(3) vienen caracterizadas por el valor máximo de la componente z del momento angular, sólo que en este caso este valor máximo puede tomar valores semienteros, y es 1/2 para el electrón. Por eso se dice que el electrón tiene espín 1/2.

Conclusión

 

La mecánica cuántica nos ha llevado a entender las rotaciones de forma diferente a como las entendíamos clásicamente. Los estados cuánticos de los objetos tienen que cambiar, al aplicar sobre éstos una transformación, según alguna representación de ese grupo de transformaciones. Ya vimos en un artículo anterior que esto implica que el momento angular tiene que estar cuantizado, marcando los valores discretos que toma las distintas representaciones irreducibles del grupo SO(2).

Sin embargo, es un hecho experimental que las rotaciones en el plano en la naturaleza no forman el grupo SO(2), sino el grupo Spin(2), que es un doble recubrimiento del primero. Esto permite que haya objetos, y de hecho la naturaleza está plagada de ellos, para los que es necesario dar dos vueltas para que su estado cuántico se quede igual. Generalizando esto a 3 dimensiones se obtiene que el grupo de rotaciones en la naturaleza no es SO(3), como ingenuamente esperábamos, sino su doble recubrimiento, denominado Spin(3), que es isomorfo a SU(2).

Al contrario de lo que ocurre en SO(3), las representaciones irreducibles de Spin(3) vienen marcadas por valores semienteros, además de los enteros, del momento angular. En el caso del electrón, este valor es 1/2. Que este valor sea semientero es el motivo por el que este momento angular intrínseco no se puede explicar mediante un movimiento orbital interno (una rotación del electrón sobre sí mismo), ya que al girar cualquier posición orbital $2\pi$ radianes volvemos a la misma posición. El origen de este momento angular intrínseco radica en que el estado de los objetos cuánticos no viene descrito por su forma en el espacio tridimensional, sino por una función de onda, que representa un vector en un espacio de Hilbert que contiene la información de las amplitudes de probabilidad de cada suceso. Estas funciones de onda transforman bajo rotaciones de acuerdo con alguna representación del grupo Spin(3) y, en el caso del electrón y los demás leptones, y también de los quarks, esta representación no es trivial, sino que es la representación espinorial, que es una representación irreducible de dos dimensiones complejas (dos componentes). Al hacer una rotación, estas componentes van a cambiar, incluso aunque esta partícula sea completamente puntual y no tenga estructura por dentro, incluso aunque no exista ningún espacio físico que rotar en su interior, incluso también en el caso de que la partícula tenga una posición perfectamente definida con un grado de precisión enorme.

Si la partícula tiene un momento angular $L_3$ bien definido, es decir, si su estado cuántico es un autoestado de $L_3$, entonces la función de onda va a cambiar su fase, pero este cambio de fase vendrá determinado por la suma de los momentos angulares orbital e intrínseco. Es decir, este cambio de fase viene tanto de la dependencia espacial de la función de onda como de las transformaciones de las distintas componentes del espinor, y esta última parte está presente incluso aunque estas componentes de la función de onda estén localizadas en un punto del espacio. Una de novedades que introduce la mecánica cuántica es el hecho de que incluso los objetos perfectamente puntuales pueden tener momento angular intrínseco y, además, este momento angular puede ser tal que sean necesarias, no una, sino dos vueltas completas para que el estado cuántico se quede igual.

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.

Referencias bibliográficas

• Stillwell J. (2008), Naive Lie theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
• Tapp K. (2016), Matrix groups for undergraduates, second ed., American Mathematical Society.
• Woit P. (2017): Quantum Theory, Groups and Representations. An Introduction. Springer International Publishing.