En
el artículo anterior hemos visto que es posible definir una representación, denominada holomorfa, en la que las funciones de onda dependen, a la vez, de las coordenadas $q$ y de los momentos $p$. Aunque el sistema cuántico con el que estamos trabajando sea muchísimo más complicado que el oscilador armónico, dado un número real positivo $\omega$, podemos definir los correspondientes operadores aniquilación y creación como
$ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} + i \hat{p}) $
$ \hat{a}^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} - i \hat{p}) $
de forma que $\omega$ se interpreta como la frecuencia asociada a un oscilador armónico de masa $m=1$. Denotamos los correspondientes estados estacionarios de este oscilador como $|n\rangle$. Si trasladamos el estado fundamental de este oscilador armónico por el espacio de fases hasta que esté centrado en el punto $(q,p)$, podemos obtener el estado coherente $|\alpha\rangle$, donde $\alpha$ es un número complejo cuyas partes reales e imaginaria son, salvo factores multiplicativos, respectivamente $q$ y $p$.
$ \alpha=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q+\frac{i}{\omega} p \right) $
Para conseguir la función de onda correspondiente al estado $|\psi \rangle$ en esta representación sólo hay que multiplicar escalarmente este estado por el estado coherente.
$ |\alpha\rangle_{\rm bad} = e^{\frac{1}{2}|\alpha|^2} | \alpha\rangle $
Este estado no está normalizado a la unidad. Esto es importante, porque si tomamos el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa,
$ | _{\rm bad} \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $
lo que se obtiene es el módulo al cuadrado de un producto escalar de estados cuánticos donde uno de ellos no está normalizado a la unidad. Es por ello que no podemos interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa como una probabilidad cuántica.
También hemos visto que la versión normalizada de este estado coherente no es más que el estado fundamental para un oscilador armónico (que es un estado que satura la relación de indeterminación de Heisenberg) trasladado por el espacio de fases mediante el operador desplazamiento de Weyl.
$ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$
Por ello, si normalizamos adecuadamente a la unidad los estados coherentes utilizados como base en la representación holomorfa, aunque ésta deja de ser holomorfa, el módulo al cuadrado de la función de onda así obtenida
$ | \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $
sí que es una probabilidad cuántica asociada a cada punto del espacio de fases. A esta distribución de probabilidad se la denomina
distribución de Husimi. ¿Cuál es su significado físico y qué propiedades tiene? Una de las cosas que vamos a hacer en este artículo es ver en mayor detalle cómo podemos utilizar los estados coherentes para definir funciones de distribución de probabilidad en el espacio de fases.
Las bases de estados coherentes nos permiten explorar en qué punto del espacio de fases se encuentra una partícula cuántica, con la mejor resolución posible dentro de lo que nos permite el principio de indeterminación. La pregunta que surge ahora es, ¿es la representación de estados coherentes la más general posible que se puede conseguir con la técnica de realizar transformaciones en el espacio de fases sobre el estado fundamental del oscilador armónico? Además de traslaciones en el espacio de fases, podemos someter también al estado fundamental del oscilador armónico a otras transformaciones, como rotaciones y estrujamientos. Para asegurarnos de que estamos trabajando con la base de estados $|q,p\rangle$ más general posibles, en este artículo vamos a estudiar cómo afectan a estos estados las distintas transformaciones que podemos hacer en el espacio de fases de la partícula. Esto nos va a permitir generalizar los resultados de la primera parte de este artículo.
