Páginas

▼

10 oct 2020

Funciones de onda que dependen a la vez de las coordenadas y de los momentos. Parte 2: Estados estrujados generalizados y funciones de distribución cuánticas

En el artículo anterior hemos visto que es posible definir una representación, denominada holomorfa, en la que las funciones de onda dependen, a la vez, de las coordenadas $q$ y de los momentos $p$. Aunque el sistema cuántico con el que estamos trabajando sea muchísimo más complicado que el oscilador armónico, dado un número real positivo $\omega$, podemos definir los correspondientes operadores aniquilación y creación como
$ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} + i \hat{p}) $
$ \hat{a}^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} - i \hat{p}) $
de forma que $\omega$ se interpreta como la frecuencia asociada a un oscilador armónico de masa $m=1$. Denotamos los correspondientes estados estacionarios de este oscilador como $|n\rangle$. Si trasladamos el estado fundamental de este oscilador armónico por el espacio de fases hasta que esté centrado en el punto $(q,p)$, podemos obtener el estado coherente $|\alpha\rangle$, donde $\alpha$ es un número complejo cuyas partes reales e imaginaria son, salvo factores multiplicativos, respectivamente $q$ y $p$.
$ \alpha=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q+\frac{i}{\omega} p \right) $
Para conseguir la función de onda correspondiente al estado $|\psi \rangle$ en esta representación sólo hay que multiplicar escalarmente este estado por el estado coherente.
$ |\alpha\rangle_{\rm bad} = e^{\frac{1}{2}|\alpha|^2} | \alpha\rangle $
Este estado no está normalizado a la unidad. Esto es importante, porque si tomamos el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa,
$ | _{\rm bad} \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $
lo que se obtiene es el módulo al cuadrado de un producto escalar de estados cuánticos donde uno de ellos no está normalizado a la unidad. Es por ello que no podemos interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa como una probabilidad cuántica.

También hemos visto que la versión normalizada de este estado coherente no es más que el estado fundamental para un oscilador armónico (que es un estado que satura la relación de indeterminación de Heisenberg) trasladado por el espacio de fases mediante el operador desplazamiento de Weyl.
$ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$
Por ello, si normalizamos adecuadamente a la unidad los estados coherentes utilizados como base en la representación holomorfa, aunque ésta deja de ser holomorfa, el módulo al cuadrado de la función de onda así obtenida
$ | \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $
sí que es una probabilidad cuántica asociada a cada punto del espacio de fases. A esta distribución de probabilidad se la denomina distribución de Husimi. ¿Cuál es su significado físico y qué propiedades tiene? Una de las cosas que vamos a hacer en este artículo es ver en mayor detalle cómo podemos utilizar los estados coherentes para definir funciones de distribución de probabilidad en el espacio de fases.

Las bases de estados coherentes nos permiten explorar en qué punto del espacio de fases se encuentra una partícula cuántica, con la mejor resolución posible dentro de lo que nos permite el principio de indeterminación. La pregunta que surge ahora es, ¿es la representación de estados coherentes la más general posible que se puede conseguir con la técnica de realizar transformaciones en el espacio de fases sobre el estado fundamental del oscilador armónico? Además de traslaciones en el espacio de fases, podemos someter también al estado fundamental del oscilador armónico a otras transformaciones, como rotaciones y estrujamientos. Para asegurarnos de que estamos trabajando con la base de estados $|q,p\rangle$ más general posibles, en este artículo vamos a estudiar cómo afectan a estos estados las distintas transformaciones que podemos hacer en el espacio de fases de la partícula. Esto nos va a permitir generalizar los resultados de la primera parte de este artículo.



Transformaciones en el espacio de fases en mecánica clásica


En mecánica clásica, cada estado del sistema viene caracterizado por un punto de coordenadas $(q,p)$ del espacio de fases. Cualquier función $f(q,p)$ representa un observable concreto. Si el hamiltoniano del sistema fuera igual al observable $f(q,p)$, entonces el estado del sistema evolucionaría con el tiempo según las ecuaciones de Hamilton
$\dot{q}=\frac{\partial f}{\partial p}$
$\dot{p}=-\frac{\partial f}{\partial q}$
que pueden escribirse en términos del corchete de Poisson de la forma
$\dot{g}=\{  g,f \}$
donde
$\{ g,f \}= \frac{\partial g}{\partial q} \frac{\partial f}{\partial p} -  \frac{\partial g}{\partial p} \frac{\partial f}{\partial q} $

Cuando el observable $f(q,p)$ no es el hamiltoniano del sistema, podemos interpretar estas ecuaciones como las ecuaciones que nos dicen cómo cambia el estado clásico del sistema físico cuando realizamos sobre éste una transformación generada por el observable $f(q,p)$. Por ejemplo, el observable $p$ genera la transformación
$\frac{dq}{da}=\{  q,p  \}=1 \Rightarrow   q(a) = q(0) + a$
que no es más que una traslación en la coordenada $q$. Físicamente, por tanto, el corchete de Poisson $ \{ g,f  \} $ nos dice cómo cambia en mecánica clásica el observable $g$ cuando realizamos sobre el sistema físico la transformación que genera el observable $f$. Matemáticamente se dice que el observable $f$ actúa como la aplicación momento (moment map) de un campo vectorial en el espacio de fases. Esto no es más que una forma pedante de decir que a cada función $f(q,p)$ le corresponde un campo vectorial $X_f$ que asocia a cada función $g(q,p)$ otra función
$ X_f(g)=\{ g,f \} $
Este campo vectorial es el que nos da el vector velocidad (cuidado, "velocidad" en el espacio de fases) asociado a las trayectorias en el espacio de fases que nos dan cómo evoluciona el sistema físico al aplicar la transformación que genera $f$. Esta transformación es lo que los físicos conocemos como "transformación canónica", ya que preserva los corchetes de Poisson.

Como el corchete de Poisson es antisimétrico, bilineal y, además, satisface la identidad de Jacobi, matemáticamente se dice que el corchete de Poisson es el corchete de Lie que asigna al espacio de funciones en el espacio de fases la estructura de álgebra de Lie. De hecho este álgebra de Lie, que tiene dimensión infinita, fue históricamente el primer álgebra de Lie que se estudió.

La aplicación que asocia a cada $f$ el campo vectorial $-X_f$ es un homomorfismo entre el álgebra de Lie de las funciones en el espacio de fases y el álgebra de Lie de los campos vectoriales en el espacio de fases. Pero nótese que este homomorfismo no es inyectivo, ya que al añadir una constante a $f$ el correspondiente $X_f$ no cambia. Tampoco es suprayectivo, porque no todos los campos vectoriales en el espacio de fases se pueden escribir de la forma $ X_f(g)=\{ g,f \} $.

El requerimiento físico de que el corchete de Poisson sea igual a una derivada nos obliga a que este corchete de Lie tenga una propiedad extra: debe obedecer la regla de derivada del producto de Leibniz. Esto hace que, al menos para las funciones polinomiales en el espacio de fases, el corchete de Poisson esté determinado únicamente por sus valores sobre las funciones lineales, ya que el cálculo de todos los demás se reducen a los de las funciones lineales aplicando la regla de Leibniz. Estos valores de los corchetes de Poisson de las funciones lineales nos definen una forma simpléctica en el espacio de fases dual (el espacio generado por las coordenadas $q$ y $p$)
$ \Omega (g,f) = \{ g,f \} $
Nótese que $\Omega (g,f) $ es una aplicación bilineal antisimétrica y no degenerada que dota al espacio de fases dual de la estructura de espacio simpléctico. Y este es el motivo por el que los matemáticos a las transformaciones canónicas las llaman simplectomorfismos. Al preservar los corchetes de Poisson preservan también la forma simpléctica que se define a partir de éstos.


Transformaciones en el espacio de fases en mecánica cuántica


Dado cualquier sistema clásico con un hamiltoniano, los manuales de mecánica cuántica con los que habitualmente se estudia esta asignatura nos dicen que hay una receta estándar para construir un sistema cuántico que tenga como límite clásico el sistema anterior. A esta receta se la denomina cuántización canónica. Ésta consiste en asignar, a cada función $f(q,p)$ en el espacio de fases, incluyendo el hamiltoniano, un operador hermítico $\hat{f}$. Pero esto hay que hacerlo de forma consistente con la estructura de álgebra de Lie que tiene el conjunto de funciones en el espacio de fases, es decir, de tal manera que a la función $\{f,g\}$ que se obtiene al hacer el corchete de Poisson de $f$ con $g$ le corresponda el operador
$ \widehat{\{f,g\}}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{f},\hat{g}] $
En otras palabras, como el conjunto de funciones en el espacio de fases es un espacio vectorial de dimensión infinita al que el corchete de Poisson dota de la estructura de álgebra de Lie, lo que tenemos que hacer es buscar una representación unitaria del álgebra de Lie de funciones en el espacio de fases. Esta representación unitaria consiste en asignar a cada función $f(q,p)$ un operador hermítico actuando sobre el espacio de estados cuánticos.

Ya hemos visto en la primera parte de este artículo que esto se puede hacer al menos para los polinomios de orden 1 en $q$ y $p$ (para las  combinaciones lineales de $q$, $p$ y $1$). Los correspondientes operadores $\hat{q}$, $\hat{p}$ y $\hat{I}$ constituyen una representación unitaria del álgebra de Heisenberg (la única que existe de forma efectiva de acuerdo con el teorema de Stone-von Neumann) y generan el grupo de Heisenberg, que es el grupo de traslaciones en las coordenadas, traslaciones en los momentos y cambios de fase de la función de onda. Ya estudiamos en el artículo anterior que, aplicando los elementos de este grupo al estado fundamental del oscilador armónico, podemos obtener los estados coherentes $|\alpha(q,p)\rangle$.

El problema es que el álgebra de Heisenberg sólo es isomorfa al subálgebra del espacio de funciones en el espacio de fases que estén formadas por combinaciones lineales de $\hat{q}$, $\hat{p}$ y $\hat{I}$ y la representación de Schrödinger es una representación unitaria sólo de este subálgebra, no del álgebra completa de funciones en el espacio de fases. Si queremos hacer más transformaciones en el espacio de fases sobre el estado fundamental del oscilador armónico necesitamos una representación unitaria de funciones que no sean simplemente polinomios de orden 1 en $q$ y $p$.

Afortunadamente, se puede demostrar que la representación de Schrödinger se puede extender hasta un subálgebra un poco mayor, la formada por todos los polinomios cuadráticos en el espacio de fases. Esto incluye añadir, en el caso más sencillo de dimensión 1, los operadores $\hat{q}^2$, $\hat{p}^2$ y $\hat{p}\hat{q}$, pero en este último caso tenemos la ambigüedad de orden al no conmutar las posiciones y los momentos. En efecto, hay distintas formas de asignar, a cada observable $f(q,p)$ en mecánica clásica, su correspondiente observable $f(\hat{q},\hat{p})$ en mecánica cuántica. Hay distintas asignaciones posibles porque estos observables dependen de con qué criterio se ordenan los productos de $q$ con $p$. A cada una de estas formas se le denomina esquema de cuantización, y cada uno de estos criterios de ordenamiento da lugar a una teoría cuántica con predicciones distintas, con lo que es importante saber cuál es el adecuado en cada caso. Afortunadamente en este caso esta ambigüedad de orden se elimina al imponer que el operador sea hermítico y simetrizar $(1/2)(\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q})$. Si el hamiltoniano, como es el caso del oscilador armónico, pertenece a este conjunto, sólo hay un esquema de cuantizacón posible. Este subálgebra, de dimensión $6$, genera un grupo que se denomina grupo de Jacobi y que tiene como subgrupo normal al grupo de Heisenberg, pero sigue sin ser el álgebra completa de funciones del espacio de fases, que es de dimensión infinita y que incluye polinomios de orden mayor que dos.

En cuanto queremos cuantizar funciones polinomiales en el espacio de fases de orden mayor que dos, nos encontramos con que la condición de hermiticidad no es suficiente para fijar la ambigüedad de orden, de forma que tenemos diferentes esquemas de cuantización para un mismo sistema clásico. Hay un teorema, denominado teorema de Groenewold-van Hove, que nos dice que es imposible construir una representación unitaria de un subálgebra del espacio de funciones en el espacio de fases que incluya polinomios de orden mayor que dos. Este teorema nos garantiza que, a no ser que nos limitemos a observables mecanocuánticos que sean polinomios de $\hat{q}$ y $\hat{p}$ de orden dos o menores (como ocurre con el hamiltoniano del oscilador armónico) o con sumandos que no mezclen coordenadas con momentos (como ocurre en el del átomo de hidrógeno), nos vamos a encontrar genéricamente con distintos esquemas de cuantización para un mismo sistema clásico que dan predicciones físicas distintas. Esto es lo que ocurre genéricamente, por ejemplo, en el caso de una partícula cargada sometida a un campo electromagnético.


Rotaciones en el espacio de fases


En el caso de la función cuadrática
$f(q,p)=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega^2 q^2}{2}$
que se corresponde con el hamiltoniano del oscilador armónico de masa $1$ y frecuencia $\omega$, la transformación que genera es, reescalando adecuadamente las unidades en las que se miden $q$ y $p$, una rotación en el espacio de fases. Esto se puede ver clásicamente porque las trayectorias que genera su campo vectorial en el espacio de fases asociado son elipses, ya que, si $f(q,p)$ fuera el hamiltoniano, la solución a las ecuaciones de movimiento clásicas serían
$q(t)=q(0)\cos (\omega t) + \frac{p(0)}{\omega} \sin (\omega t)$
$p(t)=p(0)\cos (\omega t) - \omega q(0) \sin (\omega t) $

Cuánticamente, el operador unitario $\exp (-i\hat{f} t) $ lo que hace, por tanto, es implementar un automorfismo del grupo de Heisenberg que lo que hace es rotar a los operadores $q$ y $p$ en el espacio de fases, lo que se traduce, en términos del operador aniquilación, en
$\exp (i\hat{f} t) \hat{a} \exp (-i\hat{f} t) = \exp (-i \omega t) \hat{a}$
Por tanto, si aplicamos esta transformación a los estados coherentes, lo que se obtiene es, salvo un cambio de fase, el estado coherente centrado el punto del espacio de fases rotado un ángulo $\omega t$:
$\exp (-i\hat{f} t) |\alpha \rangle =    \exp (-i \frac{\omega}{2} t)  |  \exp (-i\omega t)\alpha \rangle$
Esto es así porque los estados coherentes, si los haces evolucionar con el hamiltoniano del oscilador armónico, siguen siendo estados coherentes, pero rotan en el espacio de fases siguiendo la trayectoria clásica. Por cierto, como estas rotaciones en el espacio de fases no son más que elementos del grupo U(1), su generador, el hamiltoniano del oscilador armónico, tiene que tener autovalores discretos y equiespaciados, y este es el motivo por el que los niveles de energía del oscilador armónico son discretos y equiespaciados. 

Como los estados coherentes se convierten en otros estados coherentes centrados en otro punto, al aplicar una rotación en el espacio de fases no obtenemos ningún conjunto nuevo de estados que utilizar como base para una nueva representación del estado cuántico de la partícula. Por tanto, esta transformación no nos ayuda mucho. Sólo equivale a definir los estados coherentes con unos nuevos operadores aniquilación $\hat{b}$ y creación $\hat{b}^\dagger$ que son iguales a los anteriores salvo por un factor de fase:
$\hat{b}= \exp (-i \omega t) \hat{a} $
$ \hat{b}^\dagger= \exp (+i \omega t) \hat{a}^\dagger $

Estrujamientos en el espacio de fases


Por otro lado, la función
$f(q,p)=-qp$
lo que genera es un estrujamiento en el espacio de fases, que consiste en dilatar la coordenda $q$ y comprimir $p$ en el mismo factor. Si miramos la expresión del operador $\hat{a}$ en función de $\hat{q}$ y $\hat{p}$
$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \hat{q} + i \hat{p})$
podemos ver que el efecto que tiene esta transformación sobre los operadores creación y aniquilación es simplemente multiplicar $\sqrt{\omega}$ por un factor. Como los estados coherentes se definen sólo a partir de la expresión escogida para $\hat{a}$, entonces se concluye que el efecto que tiene la transformación generada por $f(q,p)=-qp$ sobre los estados coherentes es simplemente cambiar el valor de $\omega$. Dado que los estados coherentes tienen anchuras
$ \Delta q = \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega}} $
$ \Delta p = \sqrt{\frac{\hbar\omega}{2}} $
podemos intepretar geométricamente esta transformación como que estamos estrujando los estados coherentes, como si fueran limones, haciendo que su indeterminación en $q$ disminuya a costa de aumentar su indeterminación en $p$. Los estados estrujados que se obtienen siguen siendo estados coherentes, pero lo son de otro oscilador armónico, un oscilador con una frecuencia angular $\omega$ distinta.

Por ejemplo, si partimos de los estados coherentes asociados al oscilador armónico de frecuencia $\omega=1$ y realizamos la transformación
$q\to e^r q$
$p\to e^{-r}p$
entonces obtenemos los estados coherentes asociados al oscilador armónico de frecuencia $\omega=e^{2r}$. Esto equivale a definir los estados coherentes con unos nuevos operadores aniquilación $\hat{b} $ y creación $\hat{b}^\dagger $ que se escriben en términos de los anteriores mediante la expresión
$\hat{b}=\cosh r \hat{a} + \sinh r \hat{a}^\dagger$
$\hat{b}^\dagger$= sinh r \hat{a} + cosh r \hat{a}^\dagger$

A la relación entre el estado fundamental del primer oscilador armónico y el segundo viene dada por la transformación
$ |0\rangle_r= \hat{S}(r) |0\rangle_0 $
donde $\hat{S}(r)$ es un operador unitario denominado operador unitario de estrujamiento:

$ \hat{S}(r) \exp \left[ -\frac{ r}{2} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger -\hat{a}\hat{a}\right) \right] $


Estructuras complejas en el espacio de fases


Pero las rotaciones y los estrujamientos en el espacio de fases son sólo dos ejemplos de transformaciones generadas por polinomios de grado 2 en $q$ y $p$. Si juntamos todas las transformaciones en el espacio de fases que generan los polinomios de grado 2, obtenemos un grupo de automorfismos del grupo de Heisenberg. Se trata de un grupo que está formado por transformaciones lineales en el espacio de fases que preservan a la forma simpléctica $\Omega$. A este grupo se le denomina grupo simpléctico. En el caso más sencillo que estamos detallando aquí, el de una dimensión espacial, se puede ver que el grupo simpléctico es isomorfo al grupo de matrices 2x2 con elementos reales y con determinante 1. Por tanto, su álgebra de Lie está generada por matrices 2x2 reales de traza nula. En el lenguaje que utilizan los matemáticos se dice que el grupo simpléctico actúa sobre el grupo de Heisenberg mediante automorfismos.

No obstante, cuánticamente los operadores que son polinomios de grado 2 en $\hat{q}$ y $\hat{p}$ no generan estrictamente hablando una representación unitaria del grupo simpléctico, sino de un recubrimiento doble de éste que se denomina grupo metapléctico. Una forma de ver que es un recubrimiento doble es que, al realizar una vuelta completa en el espacio de fases, es decir, cuando en la rotación que genera el hamiltoniano del oscilador armónico se tiene $\omega t = 2\pi$, los estados cuánticos no se quedan igual, sino que quedan multiplicados por $-1$. El responsable de este cambio de signo es el hecho de que el hamiltoniano del oscilador armónico no es exactamente $\hbar \omega$ multiplicado por el operador número, sino que hay que sumarle la energía del estado fundamental, que no es nula por el principio de indeterminación. En cambio, si tomamos como criterio de ordenamiento en el hamiltoniano que los operadores creación se escriban siempre a la derecha de los operadores aniquilación, entonces los estados cuánticos sí se quedan igual al rotar $2\pi$ en el espacio de fases, obteniéndose una representación unitaria del grupo simpléctico, en vez de su doble recubrimiento. 

Hemos visto que los operadores creación $\hat{a}^\dagger$ y aniquilación $\hat{a}$ que hemos utilizado para definir los estados coherentes y la representación holomorfa cuantizan coordenadas complejas en el espacio de fases
$ \alpha=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q+\frac{i}{\omega} p \right) $
$ \alpha^*=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q-\frac{i}{\omega} p \right) $
Así, por ejemplo, para el caso $\omega=1$, y trabajando en las unidades naturales $\hbar=1$, la elección de estas coordenadas complejas se corresponde con haber introducido en el espacio de fases la estructura compleja $J_0$, que es un operador lineal que produce un giro de 90º en el espacio de fases
$J_0(q)=p$
$J_0(p)=-q$
Al ser una rotación en el espacio de fases, es una transformación simpléctica, es decir, preserva el corchete de Poisson. Se dicen entonces que $J_0$ es una estructura compleja compatible con la estructura simpléctica del espacio de fases. Las coordenadas complejas se pueden escribir como
$ \alpha^*=\sqrt{\frac{1}{2}} \left( q-iJ_0 (q) \right) $
de tal forma que el operador $J_0$ actúa sobre $\alpha^*$ como una multiplicación por la unidad imaginaria
$J_0(\alpha^*)=i\alpha^*$

Otra forma de caracterizar a las estructuras complejas compatibles con la estructura simpléctica es mediante el subgrupo del grupo simpléctico que la deja invariante. En el caso de $J_0$, este subgrupo es el de rotaciones en el espacio de fases, el generado por el hamiltoniano del oscilador armónico $\omega =1$. Notese también que la estructura compleja $J_0$ da lugar a unos operadores aniquilación y creación cuyo conmutador es
$ [\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1 >0$
Se dice entonces que la estructura compleja $J_0$ es una estructura compleja positiva compatible con la estructura simpléctica.

Esto nos da una idea de que podemos encontrar nuevas estructuras complejas compatibles con la estructura simpléctica a partir de $J_0$ realizando sobre ella una transformación simpléctica que no la deje invariante. Esto, por ejemplo, es lo que hemos hecho en el apartado de los estrujamientos en el espacio de fases. $J_0$ se corresponde con $r=0$, pero para cualquier $r$ real obtenemos una nueva estructura compleja positiva compatible con la estructura simpléctica. Esta nueva estructura compleja viene caracterizada por el hamiltoniano del oscilador armónico de frecuencia $\omega=e^{2r}$, que es el generador de las transformaciones simplécticas que la dejan invariante. Los nuevos operadores creación $\hat{b}^\dagger$ y aniquilación $\hat{b}$ que surgen a partir de esta nueva estructura compleja son combinaciones lineales de los operadores creación y aniquilación antiguos. Es decir, al cambiar la estructura compleja en el espacio de fases estamos mezclando los operadores creación y aniquilación, y esto nos da lugar a la representación de los estados estrujados.

Pero las rotaciones y los estrujamientos en el espacio de fases no son las únicas transformaciones simplécticas posibles, con lo que podemos encontrar nuevas estructuras complejas que den lugar a estados estrujados generalizados. Por ejemplo, tomando un número complejo arbitrario $\tau$ podemos generalizar nuestra elección de coordenadas complejas a
$ \alpha^*=\sqrt{\frac{1}{2}} \left( q-\tau p \right) $
pero manteniendo el hecho de que el operador estructura compleja actúa sobre $\alpha^*$ como una multiplicación por la unidad imaginaria
$J(\alpha^*)=i\alpha^* $
Esto requiere que
$ J(q)=-\frac{\operatorname{Re} \tau }{\operatorname{Im} \tau} q + \left( \operatorname{Im} \tau + \frac{(\operatorname{Re} \tau )^2}{ \operatorname{Im} \tau} \right) p $
$J(p)=-\frac{1 }{\operatorname{Im} \tau} q + \frac{\operatorname{Re} \tau }{\operatorname{Im} \tau} p $
Nótese que el determinante de esta transformación es igual a 1, como se espera de las transformaciones simplécticas en un dimensión espacial. Es, por tanto, una estructura compleja compatible con la estructura simpléctica. Para que, además, se cumpla la condición de positividad, se requiere que $\operatorname{Im} \tau >0$, y esta condición garantiza que los estados estrujados generalizados que se obtienen como autoestados el operador
$ \hat{b}=\sqrt{\frac{1}{2\operatorname{Im}\tau}} \left( q-\tau^* p \right) $
sean normalizables.

Los estados estrujados de la sección anterior son los que se corresponden con el caso particular
$\operatorname{Re}\tau=0$
$\operatorname{Im}\tau=e^{2r}$
A los estados autoestados de $\hat{b}$ que se obtienen cuando $\operatorname{Re}\tau \neq 0$ podemos llamarlos estados estrujados generalizados. ¿Son estos la mayor generalización posible de los estados estrujados? Vamos a verlo.

La representación de estados estrujados generalizados


Como hemos visto en los ejemplos anteriores, las transformaciones simplécticas, al actuar linealmente sobre $\hat{q}$ y $\hat{p}$, también lo hacen sobre el operador aniquilación $\hat{a}$ y su adjunto, el operador creación $\hat{a}^\dagger$ y, en este contexto, a estas transformaciones los físicos las llamamos transformaciones de Bogoliubov. Los nuevos operadores aniquilación y creación, que llamaremos operadores aniquilación y creación generalizados, se escriben como una combinación lineal de los anteriores:
$ \hat{b}=\mu \hat{a} + \nu \hat{a}^\dagger $
$ \hat{b}^\dagger=\mu^* \hat{a}^\dagger + \nu^* \hat{a}$
donde $\mu,\nu\in\mathbb{C}$ reciben el nombre de parámetros de estrujamiento generalizados (generalized squeezing parameters). Esto hace que en el sistema cuántico con el que estamos trabajando, que, insisto, nada tiene que ver con el oscilador armónico, se puedan definir los estados estrujados generalizados como los autoestados de $\hat{b}$. Los denotamos como $|\beta\rangle$, siendo $\beta$ el autovalor correspondiente
$ \hat{b}|\beta\rangle=\beta |\beta\rangle $
Estos estados existen y son normalizables para todo $\beta\in\mathbb{C}$ si $|\mu|-|\nu|>0$. También puede verse que la dependencia en $\beta$, $\mu$ y $\nu$ viene dada enteramente en términos de los cocientes $\beta/\mu$ y $\nu/\mu$, con lo que podemos asumir que $|\mu|^2-|\nu|^2=1$ sin pérdida de generalidad. Esta condición implica la condición de positividad:
$ [\hat{b},\hat{b}^\dagger]=[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1 $
y, además, es la condición para que esta transformación sobre los operadores creación y aniquilación sea equivalente a una transformación simpléctica sobre $\hat{q}$ y $\hat{p}$. Nótese que las transformaciones lineales sobre $\hat{a}$ y $\hat{a}^\dagger$ que satisfacen $|\mu|^2-|\nu|^2=1$ forman el grupo $SU(1,1)$ de matrices de determinante 1 que preservan el producto escalar hermítico con signatura $(+1,-1)$. Éste grupo es isomorfo al grupo simpléctico en una dimensión espacial.

El estado que llamaremos"vacío'' $|0\rangle$, correspondiente a $\beta=0$, puede determinarse a partir del estado fundamental del oscilador armónico $|0\rangle_0$ mediante la transformación de Bogoliubov
$ |0\rangle= \exp \left[ -\frac{\nu}{2\mu} \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \right] |0\rangle_0 $
Físicamente se trata, al igual que $|0\rangle_0$, de un estado centrado en el punto $(0,0)$ del espacio de fases ($<q>=0$, $<p>=0$) en el que el parámetro $\omega$ es proporcional a $(\Delta p)^2$ e inversamente proporcional a $(\Delta q)^2$. El efecto que introducen los parámetros de estrujamiento es una modificación no correlacionada de las anchuras $\Delta q$ y $\Delta p$, 
$ \Delta q = \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega}} |\mu-\nu|$
$ \Delta p = \sqrt{\frac{\hbar\omega}{2}} |\mu+\nu| $
de tal forma que
$ \frac{\hbar}{2} \leq \Delta q\Delta p = \frac{\hbar}{2} |\mu^2-\nu^2| $

El resto de estados estrujados se pueden construir simplemente realizando una traslación en el espacio de fases sobre $|0\rangle$ hasta centrar el estado en un punto $(p,q)$ tal que
$ \beta= \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} \left[ \omega (\mu+\nu) q + i (\mu-\nu) p \right] $
con lo que los valores anteriores de $\Delta q$ y $\Delta p$ siguen siendo válidos para $\beta\neq 0$. Ya hemos visto que esta traslación puede realizarse utilizando el operador unitario desplazamiento de Weyl, que puede escribirse como
$\hat{D}(p,q)=e^{\frac{i}{\hbar}(p \hat{q}-q \hat{p})}= \exp \left[ \beta \hat{b}^\dagger - \beta^* \hat{b} \right] $ 
Por tanto
$ |\beta\rangle = \hat{D}(p,q) |0\rangle = \exp \left[ \beta \hat{b}^\dagger - \beta^* \hat{b} \right] |0\rangle=$
$= e^{-\frac{1}{2}|\beta|^2} e^{\beta \hat{b}^\dagger} |0\rangle$
De esta última ecuación se tiene que
$\hat{b}^\dagger |\beta\rangle= \left( \frac{1}{2} \beta^* + \frac{\partial}{\partial \beta} \right) |\beta\rangle $
y que los estados estrujados generalizados así obtenidos están normalizados de forma que
$ \langle \beta_1^*|\beta_2 \rangle = \exp \left[ \beta_1^*\beta_2 - \frac{1}{2} |\beta_1|^2 - \frac{1}{2} |\beta_{2}|^2 \right] $
Aunque estos estados no sean ortogonales, sí que forman una base sobrecompleta del espacio de Hilbert, con relación de cierre
$\hat{I} = \frac{1}{\pi} \int d\beta d\beta^* |\beta\rangle \langle \beta | $
con lo que todo estado $|\psi\rangle$ puede expresarse en la representación de estados estrujados mediante la función de onda
$ \psi(\beta^*)= \langle \beta |\psi\rangle $

Obsérvese que esta función de onda es una función dependiente tanto de $q$ como de $p$, ya que $(q,p)$ es el punto del espacio de fases en torno al cual está centrado el estado . Sin embargo, esta función de onda depende adicionalmente de los parámetros de base $\omega$, $\mu$ y $\nu$, elegidos para construir los estados estrujados. Por tanto, no puede interpretarse en rigor como la amplitud de probabilidad de que el sistema cuántico con el que estamos trabajando esté en el punto del espacio de
fases $(q,p)$. Insistimos en que eso es imposible. La interpretación que tiene esta función de onda es que nos da la amplitud de probabilidad de que el estado cuántico del sistema se encuentre en el estado estrujado $| \beta \rangle$, es decir, en torno al punto $(q,p)$ con unas indeterminaciones $\Delta q$ y $\Delta p$ que vienen dadas en función de $\omega$, $\mu$ y $\nu$ mediante las fórmulas anteriores. Volveremos sobre este punto más adelante.

Para que esta representación de estados estrujados generalizados sea una generalización de la representación de Bargman-Fock, la dependencia en $\beta$ de las funciones de onda en esta representación $\langle \beta | \psi \rangle$ tiene que ser antiholomorfa. Esto se consigue fácilmente normalizando los estados estrujados generalizados de otra manera:
$ |\beta\rangle_{\rm bad} = e^{\frac{1}{2}|\beta|^2} \beta\rangle $
Con esta normalización, algunas de las fórmulas anteriores cambian: 
$ |\beta\rangle_{\rm bad}= e^{\beta \hat{b}^\dagger} |0\rangle $
$ \hat{b}^\dagger |\beta\rangle_{\rm bad}= \frac{\partial}{\partial \beta} |\beta\rangle_{\rm bad}$
$ _{\rm bad}\langle\beta_1^*|\beta_2 \rangle_{\rm bad} = e^{\beta_1^*\beta_2} $
$ \hat{I}= \frac{1}{\pi} \int d\beta d\beta^* |\beta\rangle_{\rm bad} e^{-|\beta|^2} \langle \beta |_{\rm bad} $

En el caso particular de que $\nu=0$ los estados $|\beta\rangle$ pasan a ser los autoestados de $\hat{a}$ y son los estados coherentes descritos en el artículo anterior, recuperándose la representación holomorfa. Además, en el límite $\omega \to \infty$, $\Delta q \to 0$ y recuperamos la representación coordenadas, mientras que en el límite contrario $\omega \to 0$, $\Delta p \to 0$ y recuperamos la representación de momentos.


Relación con el problema de la dependencia en el background en cuerdas topológicas


Imaginemos que estamos trabajando con una serie de fenómenos que no sabemos tratar todavía cuánticamente. Imaginemos que en alguno de los modelos con los que tratamos de cuantizar ese fenómeno nos empeñamos en trabajar como si existieran estados cuánticos en los que las coordenadas $q$ y los momentos $p$ están bien determinados al mismo tiempo. Y que, al hacer esto, nos aparece cierta amplitud que es función, a la vez, de $q$ y de $p$. ¿Cómo podemos evitar caer en el error de interpretar esta cantidad como la amplitud de probabilidad de que el sistema se encuentre exactamente en el punto $(q,p)$ del espacio de fases?

Algo raro tiene que haber que nos indique que, por nuestra ignorancia, estamos cometiendo el error de no darnos cuenta de que aquí se aplica el principio de indeterminación. Y una cosa que puede ocurrir es que esa amplitud dependa, además de las coordenadas del espacio de fases $(q,p)$, de otros parámetros de "background" $\omega$, $\mu$ y $\nu$. Puede ocurrir que la dependencia en estos parámetros de
background obedezca a unas ecuaciones que son precisamente las ecuaciones que satisfacen las funciones de onda en la representación de estados estrujados generalizados. Esto nos estaría diciendo que la amplitud con la que estamos trabajando no es más que la función de onda $\langle \beta | \psi \rangle$ en la representación de estados estrujados generalizados, y que el estado al que representa, en realidad, no depende de los parámetros del background $\omega$, $\mu$ y $\nu$. Éstos parámetros no son más que una consecuencia de estudiar la teoría con los "ojos" de los estados estrujados $|\beta \rangle$. Pero es posible ir a otras representaciones, por ejemplo, la representación de coordenadas $\langle q | \psi \rangle$, en la que esos parámetros $\omega$, $\mu$ y $\nu$ no aparecen. Esto demostraría que la física que estamos estudiando es en realidad independiente del background.

Bien, pues esto es precisamente lo que le ocurrió a Edward Witten cuando estaba estudiando las cuerdas topológicas, una versión simplificada de la teoría de cuerdas con múltiples aplicaciones en geometría algebraica y geometría simpléctica, y que constituye, a su vez, un laboratorio para estudiar algunas ideas muy complejas de la misma teoría de cuerdas. Una anomalía, la anomalía holomorfa, nos dice que esta función de partición es en realidad una función de onda de la cuantización del espacio de 3-formas de cohomología del Calabi-Yau en el que vive la cuerda, y que las coordenadas de este espacio vectorial de cohomología son cuánticamente variables conjugadas. Esto nos lleva a que la dependencia en el background en el que se sitúa la cuerda es tan artificial como la dependencia en $\omega$, $\mu$ y $\nu$ de las funciones de onda en la representacion de estados estrujados generalizados. Tiene que haber, por tanto, una representación unitariamente equivalente en la que la función de onda no dependa de $\omega$. En mi tesis doctoral y en este paper explico que esta descripción equivalente independiente del background se corresponde precisamente con el dual de cuerda abierta, que es en este modelo de juguete el equivalente al lado CFT de la correspondencia AdS/CFT. El problema de la dependencia en el background en gravitación cuántica está resuelto en este modelo de juguete. 

Sin embargo, el precio que tenemos que pagar por trabajar en una representación independiente del background, en este caso, independiente de la estructura compleja del Calabi-Yau, es que tenemos que fijar una distinción entre qué coordenadas del espacio de fases actúan como momentos generalizados y qué otras actúan como coordenadas generalizadas del espacio de configuraciones. Al final, para poder cuantizar el espacio de fases, es necesario introducir una estructura adicional más allá de los corchetes de Poisson, ya sea una descomposición de las coordenadas en posiciones y momentos, como se hace en la representación de Schrödinger, ya sea una estructura compleja en el espacio de fases, como se hace en la representación holomorfa y en su generalización, la representación de estados estrujados generalizados. Para cada una de estas estructuras extra tenemos una representación unitaria distinta del grupo de Heisenberg (y de su extensión, el grupo de Poisson), aunque todas son unitariamente equivalentes, y por eso, en abstracto, podemos hablar de que existe el estado cuántico $|\psi_{top} \rangle $, que contiene toda la información acerca de la función de partición de las cuerdas cerradas en ese Calabi-Yau y, a la vez, toda la información acerca de su dual de cuerda abierta.

La existencia de ese estado $|\psi_{top} \rangle $ es muy interesante. En palabras de Witten, "lo que es inusual en este caso, al contrario de lo que ocurre normalmente en el que la elección de un vector en el espacio de Hilbert es equivalente a elegir unas condiciones iniciales, es que el sistema físico aquí (la cuerda topológica) determina un vector privilegiado en el espacio de estados cuánticos, el que nos da la función de partición. Antes de indentificar esto como un sueño cosmológico, en el que las condiciones iniciales del universo quedan completamente determinadas por la teoría fundamental, debemos deternernos para darnos cuenta de que, en las aplicaciones físicas de la teoría de cuerdas, la independencia en el background se lleva a cabo 'regulamente' y probablemente no es deseable abandonarla, ya que la realización de la independencia en el background es 'regular'  "


Funciones de distribución cuánticas


Ya hemos visto que podemos usar los estados estrujados generalizados como base para representar el estado cuántico $|\psi\rangle$ de un sistema mediante una función de onda que dependa, a la vez, de las coordenadas y de los momentos. Pero hay otra posibilidad de caracterizar al estado $|\psi\rangle$ mediante una función en el espacio de fases: el uso de las funciones de distribución cuánticas. Éstas tratan de emular en mecánica cuántica el comportamiento de las distribuciones de probabilidad de la mecánica estadística clásica.

La función de distribución cuántica $F(p,q)$ asociada a $|\psi\rangle$ se define  como una función en el espacio de fases a partir de la cual se puede obtener el valor esperado de cualquier observable cuántico $\hat{A}(\hat{p},\hat{q})$ en el estado $|\psi\rangle$ mediante el promedio
$ \langle \psi | \hat{A}(\hat{p},\hat{q}) |\psi\rangle=\int dqdp A(p,q) F(p,q) $
En esta fórmula $A(p,q)$ es el observable clásico asociado con $\hat{A}(\hat{p},\hat{q})$.

Pero, dado que cuánticamente $\hat{q}$ y $\hat{p}$ no conmutan, hay infinitas formas distintas de definir el mapa $A(p,q)\to\hat{A}(\hat{p},\hat{q})$, cada una de las cuales corresponde a una función de distribución cuántica distinta. Cada una de estas prescripciones de ordenamiento de operadores viene determinada por una función núcleo (kernel function) $f(\xi,\eta)$ distinta, definida por la asignación
$ e^{\frac{i}{\hbar}(\xi q-\eta p)}\to f(\xi,\eta)e^{\frac{i}{\hbar}(\xi \hat{q}-\eta \hat{p})} $
La función en el espacio de fases $A^f(p,q)$ asociada al observable $\hat{A}(\hat{p},\hat{q})$ viene entonces dada por
$ A^f(p,q)=\frac{1}{2\pi} \int d\xi d\eta \frac{\tilde{A}(\xi,\eta)}{f(\xi,\eta)} e^{\frac{i}{\hbar}(\xi q-\eta p)} $
donde $\tilde{A}(\xi,\eta)$ son los coeficientes de la expansión de Fourier
$ \hat{A}(\hat{p},\hat{q})=\frac{1}{2\pi} \int d\xi d\eta \tilde{A}(\xi,\eta) e^{\frac{i}{\hbar}(\xi \hat{q}-\eta \hat{p})} $
y la función de distribución cuántica correspondiente es
$ F^f(p,q)=\frac{1}{4\pi^2} \int d\xi d\eta \langle \psi | f(\xi,\eta)e^{\frac{i}{\hbar}(\xi \hat{q}-\eta \hat{p})} |\psi\rangle e^{-\frac{i}{\hbar}(\xi q-\eta p)} $
Esta función de distribución contiene toda la información sobre el estado cuántico del sistema, de tal manera que se puede reformular toda la mecánica cuántica en términos de $F^f(p,q)$. Sin embargo, trabajar con estas formulaciones no tiene muchas ventajas porque las ecuaciones de evolución de las funciones de distribución cuánticas que se siguen de la ecuación de Schrödinger son bastante más complicadas que la misma ecuación de Schrödinger.

La función de Wigner

La función de Wigner es aquella que viene determinada por el ordenamiento de Weyl (el ordenamiento del operador desplazamiento de Weyl), que es aquel en el que la función núcleo es la unidad
$ f^W=1 $
Esto implica que $A^W(p,q)$ es la función de Weyl asociada al operador $\hat{A}(\hat{p},\hat{q})$
$ A^W(p,q)=2\int dq^\prime \langle q+q^\prime | \hat{A}(\hat{p},\hat{q}) |q-q^\prime \rangle e^{-2\frac{i}{\hbar}q\prime p} $
y que la función de Wigner es la función de Weyl asociada al operador densidad $|\psi\rangle \langle \psi |$
$ F^W(p,q)=\frac{1}{\pi \hbar} \int d q^\prime \langle q+q^\prime |\psi\rangle \langle \psi |q-q^\prime \rangle e^{-2\frac{i}{\hbar}q\prime p} $
Podemos expresar la función de Wigner equivalentemente como el valor medio del operador paridad $\hat{P}$ en el estado $\hat{D}(p,q)|\psi\rangle$
$ F^W(p,q)=\frac{1}{\pi \hbar} \langle \psi | \hat{D}^\dagger(p,q) \hat{P} \hat{D}(p,q) | \psi \rangle $
De esta última expresión se observa explícitamente que $F^W(p,q)\in [-\frac{1}{\pi \hbar},+\frac{1}{\pi \hbar}]$ es una función real, pero no definido-positiva. De hecho oscila mucho entre los valores positivos y negativos y en ningún caso pueden interpretarse sus valores como probabilidades. Una ventaja que tiene es que la ecuación de evolución temporal de la función de Wigner se reduce, en el límite $h \to 0$, a la ecuación de Liouville, que es la ecuación que obedecen las distribuciones de probabilidad en mecánica estadística clásica. En el caso sencillo del oscilador armónico esto ocurre incluso aunque no estemos en el límite $ h \to 0$.

La función de Husimi

Se puede conseguir una función de distribución menos oscilante y, además, definido-positiva, si, en vez del ordenamiento de Weyl, escogemos un ordenamiento antinormal con respecto a los operadores aniquilación generalizados $\hat{b}$. Se llega así a la función de distribución cuántica de Husimi, cuya función núcleo es
$ f^H(\xi,\eta)=e^{-\frac{|\beta(\xi,\eta)|^2}{2}} $
donde
$ \beta(\xi,\eta)=\mu \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \eta + i \xi) + \nu \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} (\omega \eta - i \xi) $
Dado que
$ \hat{D}(p,q)=e^{\beta(p,q) \hat{b}^\dagger-\beta^*(p,q) \hat{b}} $
sean cuales sean $\omega,\mu,\nu$, se tiene
$ F^H(p,q)=\frac{1}{4\pi^2} \int d\xi d\eta \langle \psi |e^{-\beta^*(\xi,\eta)\hat{b}} e^{\beta(\xi,\eta)\hat{b}^\dagger} |\psi\rangle e^{-\frac{i}{\hbar}(\xi q-\eta p)} $
A partir de esta última expresión es directo derivar la relación entre esta función de distribución y $F^W$
$ F^H(p,q)=\frac{1}{\pi\hbar} \int d q^\prime dp^\prime F^W(p^\prime,q^\prime) e^{-2|\beta(p,q)-\beta(p^\prime,q^\prime)|^2} $
Esta expresión nos dice que $F^H$ se obtiene a partir de $F^W$ mediante un proceso de promedio o "difuminado'' en el espacio de fases mediante gaussianas con anchura y parámetros de deformación dados por $\omega,\mu,\nu$. Este proceso de "promedio'' es similar al efecto de promedio en "punto gordo'' inherente a toda medición experimental. Si introducimos la relación de cierre de los estados estrujados generalizados, es directo encontrar que esta aproximación de punto gordo da lugar a una función definido-positiva
$ F^H(p,q)=\frac{1}{2\pi\hbar} |\langle\psi|\beta\rangle|^2 $
Llegamos, por tanto, a la conclusión de que la función de Husimi es, salvo constante multiplicativa para que pueda intepretarse como una densidad de probabilidad en el espacio de fases, igual al módulo al cuadrado de la función de onda en la representación de estados estrujados generalizados, con lo que sí nos da una probabilidad mecanocuántica: la probabilidad de que el estado cuántico $|\psi\rangle$ sea medido como el estado estrujado generalizado $|\beta(q,p)\rangle$, que está centrado en $(q,p)$ y que tiene anchuras dadas por $\omega,\mu,\nu$. Sin embargo, como los estados estrujados generalizados no son autoestados de ningún operador hermítico, no se trata de probabilidades de medir un determinado valor de un observable concreto.

Para que el lector se haga una idea de hasta qué punto, en algunos casos, esta distribución de probabilidad se asemeja a una probabilidad clásica, podemos representar la función de Husimi del estado excitado $|n=10\rangle$ del oscilador armónico con frecuencia $\omega=1$  si cogemos los estados estrujados asociados a ese mismo valor de $\omega$ y $\mu=1$. Se puede ver que el máximo de esta función de Husimi se produce en aquellos puntos del espacio de fases que se corresponden con lo que sería la trayectoria clásica.

No obstante, insistimos que estas probabilidades cuánticas no se pueden interpretar como probabilidades de mecánica estadística clásica. Simplemente son el resultado de una exploración cuántica del espacio de fases llevada a cabo con una resolución que no viola la relación de indeterminación, al barrerse áreas en el espacio de fases (para hacer el difuminado) que son de tamaño igual o superior a la constante de Planck.

La función de Anti-Husimi

Por el contrario, la función de distribución de Anti-Husimi corresponde a un ordenamiento normal con respecto a los operadores de aniquiliación y creación generalizados:
$ f^{AH}(\xi,\eta)=e^{+\frac{|\beta(\xi,\eta)|^2}{2}} $
$F^{AH}(p,q)=\frac{1}{4\pi^2} \int d\xi d\eta \langle \psi | e^{\beta(\xi,\eta)\hat{b}^\dagger} e^{-\beta^*(\xi,\eta)\hat{b}} |\psi\rangle e^{-\frac{i}{\hbar}(\xi q-\eta p)} $
A partir de esta expresión y de la expresión de la función de Wigner, es posible obtener
$ F^W(p,q)=\frac{1}{\pi\hbar} \int d q^\prime dp^\prime F^{AH}(p^\prime,q^\prime) e^{-2|\beta(p,q)-\beta(p^\prime,q^\prime)|^2} $
En palabras, ahora es $F^W$ la que se obtiene a partir de $F^{AH}$ mediante un "difuminado de punto gordo'', también con anchura y parámetros de deformación dados por $\omega,\mu,\nu$. La función de anti-Husimi es, por tanto, todavía más oscilante que la de Wigner y tiene un comportamiento todavía más alejado de lo que sería una función de distribución de probabilidad en mecánica estadística clásica.


Conclusiones


Hemos visto que, tomando el estado fundamental del oscilador armónico y aplicando sobre él transformaciones en el espacio de fases generadas por polinomios de hasta orden 2, es posible encontrar bases de estados estrujados generalizados que nos permiten representar el estado cuántico del sistema como funciones en el espacio de fases que generalizan las de la representación holomorfa que vimos en el artículo anterior. Esto se corresponde con explorar el espacio de fases con una resolución de tamaño la contante de Planck o superior y con ello se consigue construir una función de distribución cuántica, la función de Husimi, que es definido-positiva. Esta función nos da una idea intuitiva, siempre dentro de la límites que nos da el principio de indeterminación, de cómo está situado el estado cuántico del sistema en el espacio de fases.


Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.


Bibliografía

  • Berndt, R. (2001) An introduction to symplectic geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 26, American Mathematical Society, 2001.
  • Engel Ulf Martin (2003): On Quantum Chaos, Stochastic Webs and Localization in a Quantum Mechanical Kick System. Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften im Fachbereich Physik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat der Westfalischen Wilhelms-Universitat Munster.
  • Folland Gerald B. (1989), Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Princeton University Press.
  • Guillemin V. and Sternberg S. (1990), Symplectic techniques in physics, second ed., Cambridge University Press, 1990.
  • Neretin, Y.A. (2011) Lectures on gaussian integral operators and classical groups, London Mathematical Society Monographs. New Series, European Mathematical Society, 2011.
  • Montañez, Sergio (2007): “Geometric Transition as a Change of Polarization.” Journal of High Energy Physics 2007.11 (2007): 035–035.
  • Montañez, Sergio (2007): La función de partición de la cuerda topológica como función de onda: agujeros negros y dualidades de gran N. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de Madrid.
  • Taylor, M.E. (1986) Noncommutative harmonic analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 22, American Mathematical Society, 1986.
  • Witten, E. "Quantum background independence in string theory,'' [arXiv:hep-th/9306122 [hep-th]].
  • Woit P. (2017): Quantum Theory, Groups and Representations. An Introduction. Springer International Publishing.
  • Zelevinsky, V. (2010) Quantum physics: Volume 1 - from basics to symmetries
  • and perturbations, Wiley-VCH, 2010.

No hay comentarios:

Publicar un comentario