El principio de indeterminación nos dice que, cada partícula, en su movimiento, no sigue una trayectoria bien definida. Un error común consiste en pensar que lo que nos dice este principio es que las trayectorias de las partículas están ocultas para nosotros. Sin embargo, el principio de indeterminación va mucho más allá. Lo que dice no es sólo que no podemos saber con total precisión cuál es la trayectoria que ha seguido una partícula, sino que la trayectoria, como ente físico, no existe. Usted, querido lector, puede afirmar que su cuerpo ha seguido, desde que se levantó esta mañana de la cama hasta el lugar donde ha tomado el desayuno, una trayectoria bien definida con una precisión de más/menos un micrómetro, pero cada uno de los electrones, protones y neutrones que forman parte de su cuerpo no ha seguido ninguna trayectoria concreta. Y, si no han seguido ninguna trayectoria bien definida, tampoco tienen en cada instante de tiempo unos valores de las coordenadas que dan la posición $q$ y las que dan el momento $p$ bien definidos simultáneamente (ya que, si estuvieran bien definidos en cada instante de tiempo, entonces la trayectoria también estaría bien definida).
Aunque todos los sistemas físicos obedecen al principio de indeterminación, sí es posible seguirle el rastro, seguirle la trayectoria con cierta incertidumbre experimental, a la mayoría de los sistemas macroscópicos. Por ejemplo, es posible ver cómo una aguja de un aparato de medida va pasando de la posición 5 a la posición 6. De esto se aprovecha la mecánica cuántica: los aparatos de medida con los que estudiamos los sistemas físicos son siempre, en buena aproximación, clásicos. Estudiando cómo evoluciona ese sistema clásico mientras interacciona con el sistema cuántico podemos obtener información sobre el sistema cuántico. Este truco nos permite hacer física a pesar del principio de indeterminación.
Pero el precio que tenemos que pagar es trabajar con magnitudes físicas que no son características sólo del sistema cuántico, sino que son propiedades del conjunto formado por el sistema cuántico y los aparatos de medida [Landau1962]. Las características dinámicas de los objetos cuánticos sólo están, por tanto, asociadas a los resultados de la medición cuántica, y por eso se les llama "observables". Por ejemplo, si dispongo los aparatos para medir con muchísima precisión la posición de una partícula, el observable posición $q$ tomará un valor bien definido, y podemos llamar $|q\rangle$ al estado cuántico en el que se encuentra la partícula. Pero entonces el observable momento $p$ no tomará una valor bien definido. ¡Ojo! No es que tome un valor bien definido desconocido para nosotros, sino que no toma ningún valor en concreto. Al ser una característica asociada, no sólo al sistema cuántico, sino también a una disposición concreta de los aparatos de medida que hemos decidido no implementar, es una característica de algo que no existe en ese momento y, por tanto, su valor no existe en ese momento. Si, después, ponemos los aparatos de medida de tal forma que midan la velocidad, entonces el observable momento $p$ sí tomará un valor bien definido y llamamos al estado cuántico correspondiente $|p\rangle$, pero entonces el observable posición $q$ estará indeterminado. Por simplicidad nos limitaremos al caso unidimensional en el que hay sólo una coordenada espacial $q$ y su momento asociado $p$, pero todo lo que vamos a ver se puede generalizar para cualquier número de dimensiones.
En general, el estado mecanocuántico $|\psi \rangle$ en que se encuentra una partícula va a ser un estado superposición de estados $|q\rangle$ con posición bien definida diferente:
$ | \psi \rangle = \int dq \psi (q) | q \rangle $
Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ la posición de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\psi(q)$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir la posición de la partícula, obtengamos el valor $q$. A la función $\psi$ que asigna a cada posición $q$ la amplitud de probabilidad $\psi (q)$ se la denomina función de onda en la representación de coordenadas de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\psi (q)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminada está la posición de la partícula.
Análogamente, este mismo estado $|\psi \rangle$ también se puede escribir como superposición de estados $|p\rangle$ con momento bien definido diferente:
$ | \psi \rangle = \int dp \tilde{\psi (p)} | p \rangle $
Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ el momento de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\tilde{\psi(p)}$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir el momento de la partícula, obtengamos el valor $p$. A la función $\tilde{\psi}$ que asigna a cada momento $p$ la amplitud de probabilidad $\tilde{\psi} (p)$ se la denomina función de onda en la representación de momentos de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\tilde{\psi} (p)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminado está el momento de la partícula.
La función $\tilde{\psi} (p)$ contiene exactamente la misma información que la función de onda en la representación de coordenadas $\psi (q)$ y todo estudiante de física sabe que se puede pasar de una a la otra mediante una transformación unitaria que se denomina transformada de Fourier.
Por tanto, parece que tenemos básicamente dos opciones. O bien representamos el estado cuántico $|\psi\rangle$ mediante la función de onda $\psi(q)$, con la que se visualiza perfectamente la indeterminación de la posición de la partícula, o bien trabajamos con $\tilde{\psi}(p)$ para visualizar la indeterminación en el momento. Sin embargo, en realidad existen infinitas formas de especificar el estado cuántico que son distintas a $\psi(q)$ y $\tilde{\psi}(p)$. ¿Es posible construir una función de onda $\psi^\prime (q,p)$ que represente al estado cuántico $|\psi\rangle$ y que sea dependiente tanto de las coordenadas como de los momentos? Eso es lo que vamos analizar en este artículo.
La primera idea que se le ocurre a uno consiste en definir la función $\psi^\prime (q,p)$ como aquella que asigna a cada par $(q,p)$ la amplitud de probabilidad de obtener un valor $q$ al medir la posición de la partícula, y un valor $p$ al medir su momento. Pero esta idea no funciona. No existe esa amplitud de probabilidad, porque la posición y el momento de una partícula cuántica no se pueden medir simultáneamente, ya que ambas magnitudes no pueden tomar valores bien definidos en la naturaleza simultáneamente, por el principio de indeterminación.
Pero nos queda otra opción. En la práctica, sí que podemos medir simultáneamente $q$ y $p$, siempre que ambas medidas se realicen con incertidumbres experimentales $\Delta q$ y $\Delta p$ que no violen la relación de indeterminación de Heisenberg
$ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $
Es decir, sí que podemos medir en qué punto $(q,p)$ del espacio de fases se encuentra la partícula en un instante dado, pero siempre que lo hagamos con un ojo miope, que en vez de ver un punto $(q,p)$ vea una mancha en torno al punto $(q,p)$, mancha que tiene que tener unos grosores $\Delta q$ y $\Delta p$ que no violen la relación de indeterminación de Heisenberg.
Matemáticamente, esto implica trabajar con una base de estados $|q,p\rangle$ que tengan simultáneamente $q$ y $p$ bien definido salvo variación dentro de un intervalo de anchuras $\Delta q$ y $\Delta p$. La idea es que, como el estado $|q,p\rangle$ tiene una función de onda en la representación coordenadas que vale prácticamente cero en todas partes menos en un estrecho intervalo en torno a la posición $q$ y, a la vez, tiene una función de onda en la representación de momentos que vale prácticamente cero en todas partes menos en un estrecho intervalo en torno al momento $ P $, entonces, dado cualquier otro estado $ |\psi \rangle $, el producto escalar $ \langle q, p | \psi \rangle $ nos mide cómo de solapadas están ambas funciones de onda (tanto en la representación de coordenadas como en la de momentos), es decir, nos da una idea de cómo se acerca el estado $|\psi \rangle$ al estado $|q,p\rangle$. En otras palabras, la amplitud de probabilidad de que el estado cuántico $|\psi \rangle$ sea medido como el estado $|q,p\rangle$, que se escribe como el producto escalar
$ \langle q, p | \psi \rangle $
es una función de onda que depende tanto de la coordenada $q$ como del momento $p$, es decir, es una función de onda que, en vez de tener como dominio el espacio de la posición o el del momento, tiene como dominio todo es espacio de fases de la partícula.Lo que vamos a hacer en este artículo y en su segunda parte es estudiar cuáles son los estados $|q,p\rangle$ que tienen los rangos de indeterminación más estrechos que nos permite la relación de indeterminación. A continuación, para asegurarnos de que estamos trabajando con los estados $|q,p\rangle$ más generales posibles, vamos a estudiar cómo afectan a estos estados las distintas transformaciones que podemos hacer al espacio de fases de la partícula. Por último, vamos utilizar estos estados para ver cómo podemos definir funciones de distribución de probabilidad en el mismo espacio de fases.
Las relaciones de indeterminación
Técnicamente, en las formulaciones de Heisenberg y de Schrödinger de la mecánica cuántica, los observables están representados por operadores hermíticos en el espacio de Hilbert de todos los posibles estados cuánticos. Sus autovalores son los posibles resultados al realizar la medición del observable, y sus autovectores son los estados cuánticos en los que ese observable toma un valor bien definido. Así
$\hat{q}|q\rangle=q|q\rangle $
$\hat{p}|p\rangle=p|p\rangle $
Nótese que, como $q$ y $p$ son conjuntos de parámetros continuos (números reales), tanto los estados de posición $|q\rangle $, como los de momentos $|p\rangle $, forman un conjunto no numerable, no pueden tener asociadas funciones propiamente dichas, sino distribuciones, y, además, no se puede fijar su módulo a la unidad. Siempre se usa el convenio
$ \langle q^\prime | q \rangle = \delta (q-q^\prime) $
$\langle p^\prime | p \rangle = \delta (p-p^\prime)$
Además de estar formados por vectores linealmente independientes, ambos conjuntos generan un espacio vectorial que es denso en el espacio de estados. Cada uno de estos dos conjuntos de vectores es, por tanto, una base de Hilbert del espacio de estados y se cumplen las relaciones de resolución de la identidad:$\hat{I}=\int dq |q\rangle \langle q| $
$\hat{I}=\int dp |p\rangle \langle p| $
Si, por ejemplo, en estas expresiones restringimos el rango de integración a sólo un intervalo de las posiciones, en vez de a todos los valores posibles, entonces no se obtiene el operador identidad $\hat{I}$, sino el proyector hacia el subespacio en el que la posición (o el momento) está en ese intervalo. Por ejemplo, el proyector hacia el subespacio en el que la posición está dentro del intervalo infinitesimal $(q,q+dq)$ es$ P_{dq}= dq |q\rangle \langle q| $
con lo que la amplitud de probabilidad de que la partícula tenga una posición localizada dentro de ese intervalo infinitesimal es
$ \langle \psi | P_{dq} | \psi \rangle=dq |\langle q|\psi\rangle|^2$
Si llamamos $\hat{A}$ a un operador correspondiente a un observable mecanocuántico concreto, el estado cuántico $|\psi\rangle$ en el que se encuentra el sistema será, en general, una superposición de autoestados correspondientes a diferentes autovalores de $\hat{A}$, de tal manera que, en ese estado cuántico, el observable correspondiente a $\hat{A}$ no toma un valor bien definido. Es importante remarcar que lo que ocurre no es que el sistema cuántico sí tiene un valor de $\hat{A}$, pero que está oculto para nosotros. Lo que pasa en este caso es que, en ese estado cuántico, entre las propiedades del sistema no está el tomar un valor de $\hat{A}$ bien determinado.
Cualquier estudiante que esté en el ecuador de sus estudios universitarios de Física sabe que el grado de indeterminación del observable $\hat{A}$ en ese estado cuántico $|\psi\rangle$ se puede cuantificar como el módulo de un vector $|\psi_A\rangle $
$ \Delta A = | |\psi_A\rangle | $
donde $|\psi_A\rangle$ es un vector que se obtiene, a partir de $|\psi\rangle$, realizando la operación$ |\psi_A\rangle= (\hat{A}-\langle A\rangle \hat{I})|\psi\rangle $
Aquí $\hat{I}$ es el operador identidad, y
La característica principal que tiene la mecánica cuántica, que la hace completamente diferente a la física anterior, es que los operadores que se utilizan para describir los observables físicos en general no conmutan. Si llamamos $\hat{B}$ a uno de los operadores que no conmuta con $\hat{A}$
$ \langle A\rangle = \langle \psi | \hat{A} |\psi \rangle $
es el valor esperado de $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$. Es sencillo comprobar que, si realizamos muchas mediciones de $\hat{A}$, estando en todas ellas el sistema previamente en el estado $|\psi\rangle$, entonces $\Delta A$ coincide con la desviación típica de los resultados$ \Delta A= \sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2} $
La característica principal que tiene la mecánica cuántica, que la hace completamente diferente a la física anterior, es que los operadores que se utilizan para describir los observables físicos en general no conmutan. Si llamamos $\hat{B}$ a uno de los operadores que no conmuta con $\hat{A}$
$[\hat{A},\hat{B}]\neq 0 $
entonces se puede ver que la desigualdad de Schwarz, aplicada a los estados $| \psi_A\rangle$ y $| \psi_B\rangle$,
$ \langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle \geq | \langle \psi_A | \psi_B \rangle |^2 \geq (\operatorname{Im} \langle \psi_A | \psi_B \rangle )^2 $
conduce a la relación de indeterminación
$ \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle $
El significado físico de esta relación es que, si el conmutador es no nulo, es imposible encontrar algún estado cuántico en el que ambos observables estén bien determinados y, cuanto más determinado esté el observable $\hat{A}$ en un estado cuántico, más indeterminado estará $\hat{B}$ en ese estado, ya que el producto de las indeterminaciones no puede ser inferior a $\frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle|$. Por ejemplo, si tomamos $\hat{A}=\hat{q}$ y $\hat{B}=\hat{p}$, como el conmutador entre la coordenada $\hat{q}$ y su momento correspondiente $\hat{p}$ es$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \hat{I} $
lo que se obtiene es la relación de indeterminación de Heisenberg
$ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $
que tiene forma de gato:
Todo lo que puede hacer la mecánica cuántica es, dado el resultado de una medida, tratar de predecir, pasado un tiempo $t$, cuál será el resultado de una futura nueva medida. A la función que nos da la amplitud de probabilidad para cada posible resultado de la medición se la conoce como función de onda. Como los tipos de mediciones que podemos realizar son diferentes en función de qué observable hemos elegido libremente medir (elección de Heisenberg), a un mismo estado cuántico le corresponde una función de onda distinta para cada observable que queramos medir. Se dice que son funciones de onda que corresponden a representaciones distintas, pero equivalentes, del mismo estado cuántico.
Por ejemplo, como la amplitud de probabilidad de que, en el estado cuántico $|\psi\rangle$, se obtenga al medir la posición un valor dentro del intervalo $(q,q+dq)$ es igual a $dq$ por el producto escalar de este vector por $|q\rangle$, entonces, se tiene que la función de onda en la representación de coordenadas es:
$ \psi(q)=\langle q | \psi \rangle $
ya que ésta es la función cuyo módulo al cuadrado nos da la densidad de probabilidad de que la posición sea $q$.En cambio, la función de onda en la representación de momentos es
$ \tilde{\psi}(p)=\langle p | \psi \rangle $
ya que ésta es la función cuyo módulo al cuadrado nos da la densidad de probabilidad de que el momento sea $p$. Introduciendo en esta expresión la relación de resolución de la identidad de los estados $|q\rangle$ se obtiene la transformación unitaria que nos relaciona ambas representaciones
$ \tilde{\psi}(p)=\int dq \langle p |q\rangle \langle q | \psi \rangle= \tilde{\psi}(p)=\int dq \frac{e^{-ipq/\hbar}}{\sqrt{2\pi \hbar}} \psi(q) $
$ \tilde{\psi}(p)=\int dq \langle p |q\rangle \langle q | \psi \rangle= \tilde{\psi}(p)=\int dq \frac{e^{-ipq/\hbar}}{\sqrt{2\pi \hbar}} \psi(q) $
que no es más que una transformada de Fourier. En este contexto lo que nos dice la relación de indeterminación es que, sea cual sea el estado $|\psi\rangle$, si éste está muy localizado en el espacio de coordenadas, entonces su transformada de Fourier estará muy poco localizada en el espacio de momentos, y viceversa. $\psi(q)$ y $\tilde{\psi}(p)$ son como estos dos gatos:
Los estados que saturan las relaciones de indeterminación
$ \langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle = | \langle \psi_A | \psi_B \rangle |^2 $
Esto implica que los estados $ | \psi_A \rangle $ y $| \psi_B \rangle $ tienen que ser proporcionales
$ | \psi_A \rangle = \lambda | \psi_B \rangle $
donde $ \lambda $ es un número complejo. La segunda es que$ \operatorname{Re} \langle \psi_A | \psi_B \rangle =0 $
lo que implica que la constante de proporcionalidad tenga que ser imaginaria
$\lambda= i \omega$
con $\omega$ un número real.
Particularizando para los operadores $\hat{q}$ y $\hat{p}$ y llamando $q$ y $p$ a sus respectivos valores medios, se tiene:
$(\hat{p}-p) |\psi\rangle = i \omega (\hat{q}-q) |\psi\rangle $
Poniendo todos los operadores a la izquierda, y todos los números a la derecha, vemos que lo que se obtiene es una ecuación de autovalores:
$ \hat{a} |\psi \rangle = \alpha |\psi \rangle $
donde$\hat{a}= \sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( \hat{q}+\frac{i}{\omega} \hat{p} \right) $
coincide con el operador aniquilación del oscilador armónico de masa $m=1$ y frecuencia angular $ \omega $, y el número complejo$ \alpha=\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( q+\frac{i}{\omega} p \right) $
que depende de los valores medios $q$ y $p$, es el autovalor de este operador correspondiente al autoestado $|\psi \rangle$. Esta ecuación de autovalores es, en la representación de coordenadas, una ecuación diferencial que tiene solución única, salvo constante de normalización. Podemos, por tanto, denotar al estado $| \psi \rangle$ que satura la relación de indeterminación por su autovalor correspondiente, de tal forma que escribimos $ \hat{a} |\alpha \rangle = \alpha |\alpha \rangle $
A estos estados, que son autoestados del operador aniquilación, se les denomina estados coherentes. Son estados centrados en el punto $(q,p)$ del espacio de fases con anchuras tales que saturan la relación de indeterminación.El más sencillo es el que corresponde a $\alpha=0$. Éste está centrado en el punto $(0,0)$ del espacio de fases y, al ser aniquilado por el operador aniquilación, corresponde al estado fundamental del oscilador armónico. En la representación coordenadas es una gaussiana
$\langle q | 0 \rangle=\left( \frac{\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\omega q^2/(2\hbar)} $
de anchura
$\Delta q= \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega}}$
y en la representación de momentos también es una gaussiana
$\langle p | 0 \rangle=\left( \frac{1}{\pi \hbar \omega} \right)^{1/4} e^{- p^2/(2 \hbar \omega)} $
de anchura
$\Delta p= \sqrt{\frac{\hbar \omega}{2}}$
Por tanto, dada una partícula cuántica en el estado $|\psi \rangle$, el producto escalar $\langle 0 | \psi \rangle$ nos mide en qué grado ese estado $|\psi \rangle$ está centrado en el punto $(0,0)$ del espacio de fases, con una precisión que viene dada por las anchuras anteriores.
El grupo de Heisenberg
Si lo que queremos es estimar en qué grado el estado $|\psi \rangle$ está centrado en un punto genérico $(q,p)$ del espacio de fases, y construir así una función a la vez de las coordenadas y de los momentos, lo que podemos hacer es trasladar el estado $|0\rangle$ a través del espacio de fases hasta que esté centrado en el punto $(q,p)$ en vez de en $(0,0)$.
En primer lugar, lo podemos trasladar en la dirección de $q$. Esto lo podemos hacer aplicando la transformación correspondiente al elemento $a$ del grupo de traslaciones en el espacio $q \to q+a$. Al ser la función de onda $\psi (q) = \langle q|\psi\rangle$ una función de $q$, esta traslación está representada en el espacio de funciones por el operador
$\psi (q) \to \psi(q-a)= e^{-a \frac{d}{dq}}\psi(q)$
donde hemos aplicado la fórmula de Taylor en la última igualdad. Como en la representación de Schrödinger de coordenadas el operador derivada es básicamente el operador momento $\hat{p}$, entonces esa traslación actúa sobre el espacio de Hilbert de los estados cuánticos representada por el operador unitario
$e^{-\frac{i}{\hbar}a\hat{p}}$
En otras palabras, la representación del grupo de traslaciones del espacio sobre el espacio de estados cuánticos está generada por el operador momento. El álgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie "traslaciones del espacio" es un espacio vectorial de dimensión 1 generado por el operador momento. El lector que no entiende que significa matemáticamente esta última frase puede consultar esta otra entrada.
Análogamente, como en la representación de Schrödinger de momentos el operador que actúa como derivada es $\hat{q}$, la representación del grupo de traslaciones del espacio de momentos sobre el espacio de estados cuánticos está generada por el operador posición. Es decir, al trasladarnos una cantidad $p$ en el espacio de momentos el estado del sistema transforma según el operador unitario
$e^{\frac{i}{\hbar}p\hat{q}}$
El grupo de Lie de traslaciones en el espacio de momentos está generado por $-\hat{q}$.Combinando todas las traslaciones posibles, tanto en las coordenadas como en los momentos, se genera un grupo de Lie que se denomina grupo de Heisenberg. Al contrario de lo que ocurre con el grupo de traslaciones solamente espaciales, el grupo de Heisenberg, que es el grupo de traslaciones en el espacio de fases, es mucho más interesante porque es no abeliano. Como $\hat{q}$ y $\hat{p}$ no conmutan, no es lo mismo realizar una traslación en las coordenadas y después en los momentos, que hacer estas traslaciones en orden contrario. No obstante, como el conmutador de $\hat{q}$ y $\hat{p}$ es proporcional a la identidad, utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se puede ver que el estado cuántico va a diferir, al hacerse estas operaciones en un orden o en el contrario, sólo en un factor de fase.
$e^{\frac{i}{\hbar}p\hat{q}} e^{-\frac{i}{\hbar}q\hat{p}} = e^{-\frac{i}{\hbar}q\hat{p}} e^{\frac{i}{\hbar}p\hat{q}} e^{\frac{i}{\hbar}pq}$
Esto matemáticamente lo que quiere decir es que el grupo de Heisenberg no sólo está generado por los operador $\hat{q}$ y $\hat{p}$, sino también por la identidad $\hat{I}$. Es decir, el álgebra que genera este grupo, que se denomina álgebra de Heisenberg, es un espacio vectorial tridimensional, siendo el conjunto $ \{\hat{q},\hat{p},\hat{I} \} $ una base [Woit2017]. Los físicos a veces llamamos al grupo de Heisenberg grupo de Weyl, ya que fue Weyl el que se dio cuenta de que las relaciones de conmutación entre estos tres operadores se corresponden con una representación de un álgebra de Lie, y que el espacio de estados de una partícula cuántica no es más que una representación unitaria en dimensión infinita de este álgebra y del grupo de Lie que genera. Además, más tarde se demostró que, para un número finito de grados de libertad y salvo cambio de unidades para las coordenadas y los momentos, todas las representaciones irreducibles del grupo de Heisenberg son unitariamente equivalentes. La representación de Schrödinger de las coordenadas $\psi(q)$ y la de los momentos $\tilde{\psi}(p)$ son dos ejemplos, con la transformación unitaria que pasa de una a la otra siendo la transformada de Fourier. La representación $\psi(q,p)$ que estamos buscando es otro ejemplo, y tiene que estar relacionada con las anteriores mediante una transformación unitaria. En notación de Dirac, por tanto, todas estas representaciones tienen que ser de forma efectiva la misma, que es la que denotamos por $|\psi\rangle$. Al teorema que demuestra esto se le denomina teorema de Stone-von Neumann.Nótese también que el grupo de Heisenberg no es un grupo de simetría de ninguna partícula sometida a ningún potencial, ya que no hay hamiltoniano no trivial que conmute simultáneamente con todos sus generadores. El papel que juega este grupo en mecánica cuántica es todavía más profundo, ya que la única representación unitaria que tiene es la que determina por completo la mayor parte de la estructura matemática que se describe en los manuales estándar de mecánica cuántica.
Por tanto, para poder denotar a cada elemento del grupo de Heisenberg simplemente con el par $(q,p)$ que traslada en el espacio de fases, es necesario fijar una forma de ordenar las traslaciones en las coordenadas y en los momentos. En primer lugar, escogeremos aquí el convenio de utilizar el operador desplazamiento de Weyl
$\hat{D}(p,q)=e^{\frac{i}{\hbar}(p \hat{q}-q \hat{p})}$
que denota una traslación una cantidad $ +q $ en las coordenadas, y una cantidad $ +p $ en los momentos. En términos de los operadores creación y aniquilación este operador se puede escribir
$ \hat{D}(p,q) = \exp \left[ \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a} \right] = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} e^{-\alpha^* \hat{a}}$
y se suele denotar como $\hat{D}(\alpha)$. Pero nótese que esta notación es engañosa, ya que podría creerse que $ \hat{D}(\alpha) $ depende de la frecuencia angular $\omega$ del oscilador armónico elegido para definir $\hat{a}$ y $\alpha$, cuando en realidad es independiente de ésta.
Se puede demostrar que, si aplicamos el operador desplazamiento de Weyl al operador aniquilación, lo que se obtiene es que precisamente el desplazamiento que aplica este operador en el espacio de fases se traduce en un desplazamiento en el plano complejo $\alpha$:
$\hat{D}(\alpha) \hat{a} \hat{D}^{-1}(\alpha) = \hat{a} - \alpha$
Matemáticamente, esta ecuación significa que el grupo de Heisenberg actúa sobre su propia álgebra de Lie mediante su presentación adjunta, a través de automorfismos.
La representación de estados coherentes
Por tanto, a partir del estado $|0\rangle $, podemos obtener el resto de estados coherentes [Engel2003] $|\alpha\rangle $ mediante una traslación en el espacio de fases sobre $|0\rangle$
$ |\alpha\rangle = \hat{D}(\alpha) |0\rangle = \exp \left[ \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a} \right] |0\rangle=$
$= e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$
Así podemos centrar el estado en un punto $(p,q)$ tal que
$ \alpha= \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} \left[ \omega q + i p \right] $
con lo que los valores anteriores de las anchuras $\Delta q$ y $\Delta p$ siguen siendo válidos para $\alpha\neq 0$. $\hat{a}^\dagger |\alpha\rangle= \left( \frac{1}{2} \alpha^* + \frac{\partial}{\partial \alpha} \right) |\alpha\rangle $
y que los estados coherentes así obtenidos están normalizados de forma que
$ \langle \alpha_1^*|\alpha_2 \rangle = \exp \left[ \alpha_1^*\alpha_2 - \frac{1}{2} |\alpha_1|^2 - \frac{1}{2} |\alpha_{2}|^2 \right] $
Nótese que, al ser los estados coherentes autoestados de un operador $\hat{a}$ que no es hermítico, el teorema espectral para operadores hermiticos no se aplica en este caso, y estos estados no son ortogonales. Aunque los estados coherentes no sean ortogonales, sí que forman una base sobrecompleta del espacio de Hilbert. El hecho de que sea sobrecompleta introduce un factor $1/\pi$ en la relación de resolución de la identidad:
$\hat{I} = \frac{1}{\pi} \int d\alpha d\alpha^* |\alpha\rangle \langle \alpha | $
Por tanto, todo estado $|\psi\rangle$ puede expresarse en la representación de estados coherentes mediante la función de onda
$ \psi(\alpha^*)= \langle \alpha |\psi\rangle $
Obsérvese que esta función de onda es una función dependiente tanto de $q$ como de $p$ , ya que $(q,p)$ es el punto del espacio de fases en torno al cual está centrado el estado . Sin embargo, esta función de onda depende adicionalmente del parámetro de base $\omega$, elegido para construir los estados coherentes. Por tanto, no puede interpretarse en rigor como la amplitud de probabilidad de que el sistema cuántico con el que estamos trabajando esté exactamente en el punto del espacio de fases $(q,p)$. Insistimos en que eso es imposible. La interpretación que tiene esta función de onda es que nos da la amplitud de probabilidad de que el estado cuántico del sistema se encuentre en el estado coherente $| \alpha \rangle$, es decir, en torno al punto $(q,p)$ con unas indeterminaciones $\Delta q$ y $\Delta p$ que vienen dadas en función de $\omega$ mediante las fórmulas anteriores.
La representación holomorfa
Nótese que, por culpa del factor que depende de $|\alpha|$ en esta fórmula
$ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle$
el estado coherente $ |\alpha\rangle $ no tiene dependencia holomorfa en la variable compleja $\alpha$. Esto hace que la función de onda en la representación de estados coherentes
$ \psi(\alpha^*)= \langle \alpha |\psi\rangle $
no sea una función holomorfa en $\alpha^*$. Para que la dependencia de esta función de onda sea holomorfa, es mejor utilizar una normalización diferente para los estados coherentes:
$ |\alpha\rangle_{\rm bad} = e^{\frac{1}{2}|\alpha|^2} | \alpha\rangle $
Nótese que esta normalización corresponde a cambiar el criterio de ordenamiento de operadores en el operador desplazamiento de Weyl. Ahora estamos poniendo a todos los operadores creación antes que los de aniquilación. Con esta normalización, algunas de las fórmulas anteriores cambian:
$ |\alpha\rangle_{\rm bad}= e^{\alpha \hat{a}^\dagger} |0\rangle $
$ \hat{a}^\dagger |\alpha\rangle_{\rm bad}= \frac{\partial}{\partial \alpha} |\alpha\rangle_{\rm bad}$
$ _{\rm bad}\langle\alpha_1^*|\alpha_2 \rangle_{\rm bad} = e^{\alpha_1^*\alpha_2} $
$ \hat{I}= \frac{1}{\pi} \int d\alpha d\alpha^* |\alpha\rangle_{\rm bad} e^{-|\alpha|^2} \langle \alpha |_{\rm bad} $
A la función de onda
$ \psi(\alpha^*)= _{\rm bad}\langle \alpha |\psi\rangle $
se la denomina función de onda en la representación holomorfa, aunque en la literatura es posible encontrar los más variopintos nombres: representación de Bargmann-Fock, representación del oscilador, representación de Segal-Shale-Weil, etc. Como
$ \alpha^*= \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}} \left[ \omega q - i p \right] $
podemos decir que se trata de una función de onda que depende a la vez de la coordenada $q$ y de su momento asociado $p$ [Folland1989]. La relación de resolución de la identidad anterior nos proporciona, por un lado, la expresión de cómo es el producto escalar en esta representación:$ \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle= \frac{1}{\pi} \int d\alpha d\alpha^* \langle \psi_1 | \alpha\rangle_{\rm bad} e^{-|\alpha|^2} _{\rm bad} \langle \alpha | \psi_2 \rangle $
y también la expresión de la transformación unitaria que nos relaciona esta representación con la representación de Schrödinger de coordenadas:$ \langle q | \psi \rangle= \frac{1}{\pi} \int d\alpha d\alpha^* \langle q | \alpha\rangle_{\rm bad} e^{-|\alpha|^2} _{\rm bad} \langle \alpha | \psi \rangle $
Nótese también que en esta representación el operador que actúa como derivada (respecto de $\alpha^*$) es $\hat{a}$, mientras que su adjunto, $\hat{a}^\dagger$, actúa simplemente multiplicando por $\alpha^*$. Como el estado fundamental del oscilador armónico se representa en esta representación mediante la función $1$, al resto de estados estacionarios $|n\rangle$ del oscilador armónico les corresponde las funciones de onda
$ \langle \alpha | n \rangle = \frac{(\alpha^*)^n}{\sqrt{n!}} $
Este hecho es interesante, ya que nos permite entender el espacio de Hilbert de la partícula como la compleción del espacio de polinomios en $\alpha^*$. Como los estados estacionarios del oscilador armónico forman una base completa de este espacio de Hilbert, el desarrollo en serie de potencias de $\alpha^*$ lo que nos da es las descomposición del estado cuántico de la partícula como una superposición de los estados $|n\rangle$.
Conclusión
Tomando el estado fundamental para un oscilador armónico, que es un estado que satura la relación de indeterminación, y trasladándolo por el espacio de fases hemos conseguido definir una representación, denominada holomorfa, en la que las funciones de onda dependen, a la vez, de $q$ y de $p$. Con esta representación podemos explorar en qué punto del espacio de fases se encuentra el sistema cuántico, con la mejor resolución posible dentro de lo que nos permite el principio de indeterminación.
La pregunta que surge ahora es, ¿es esta representación la más general posible que se puede conseguir con esta técnica? La respuesta es no. Además de traslaciones en el espacio de fases, podemos someter al estado fundamental del oscilador armónico a otras transformaciones. ¿Cuáles son estas transformaciones? Lo veremos en la segunda parte de este artículo.
Si tomamos el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa,
$ | _{\rm bad} \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $
lo que se obtiene es el módulo al cuadrado de un producto escalar de estados cuánticos en lo que uno de ellos no está normalizado a la unidad. Es por ello que no podemos interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda en la representación holomorfa como una probabilidad cuántica. Pero si normalizamos adecuadamente a la unidad los estados coherentes utilizados como base en esta representación, aunque ésta deja de ser holomorfa, el módulo al cuadrado de la función de onda así obtenida
$ | \langle \alpha |\psi\rangle |^2 $
sí que es una probabilidad cuántica asociada a cada punto del espacio de fases. A esta distribución de probabilidad se la denomina distribución de Husimi. ¿Cuál es su significado físico y qué propiedades tiene? Lo veremos en la segunda parte de este artículo.
Nótese que es la dependencia adicional en el parámetro de base $\omega$, (la resolución con la que estamos explorando el espacio de fases), la que nos dice que los valores que toma la función de onda $ \langle \alpha |\psi\rangle $ no son exactamente amplitudes de probabilidad de medir simultáneamente $\hat{q}$ y $\hat{p}$, ya que esto es imposible. Podemos conseguir una mejor resolución en la coordenada $q$ usando un $\omega$ muy grande, pero entonces perdemos resolución en su momento $p$ asociado. Esta dependencia en $\omega$ es la señal que nos avisa de que $\hat{q}$ y $\hat{p}$ son observables conjugados que no pueden tomar en la naturaleza valores bien definidos simultáneamente. Precisamente es esto lo que le ocurre a la función de partición de la cuerda topológica cerrada. Una anomalía, la anomalía holomorfa, nos dice que esta función de partición es en realidad una función de onda de la cuantización del espacio de 3-formas de cohomología del Calabi-Yau en el que vive la cuerda, y que las coordenadas de este espacio de cohomología son cuánticamente variables conjugadas. Esto nos lleva a que la dependencia en el background en el que se sitúa la cuerda es tan artificial como la dependencia en $\omega$ de las funciones de onda en la representacion holomorfa. Tiene que haber, por tanto, una representación unitariamente equivalente en la que la función de onda no dependa de $\omega$. En mi tesis doctoral y en este paper explico que esta descripción equivalente independiente del background se corresponde precisamente con el dual de cuerda abierta, que será en este modelo de juguete el equivalente al lado CFT de la correspondencia AdS/CFT. El problema de la dependencia en el background en gravitación cuántica está resuelto en este modelo de juguete. Ya sólo queda el pequeño detalle de hacer lo mismo con la física de los adultos. Comento más sobre este asunto en la segunda parte de este artículo.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
Bibliografía
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- Woit P. (2017): Quantum Theory, Groups and Representations. An Introduction. Springer International Publishing.
- Engel Ulf Martin (2003): On Quantum Chaos, Stochastic Webs and Localization in a Quantum Mechanical Kick System. Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften im Fachbereich Physik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat der Westfalischen Wilhelms-Universitat Munster.
- Montañez, Sergio (2007): “Geometric Transition as a Change of Polarization.” Journal of High Energy Physics 2007.11 (2007): 035–035. Crossref. Web.
- Montañez, Sergio (2007): La función de partición de la cuerda topológica como función de onda: agujeros negros y dualidades de gran N. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de Madrid.
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