El principio de indeterminación nos dice que, cada partícula, en su movimiento, no sigue una trayectoria bien definida. Un error común consiste en pensar que lo que nos dice este principio es que las trayectorias de las partículas están ocultas para nosotros. Sin embargo, el principio de indeterminación va mucho más allá. Lo que dice no es sólo que no podemos saber con total precisión cuál es la trayectoria que ha seguido una partícula, sino que la trayectoria, como ente físico, no existe. Usted, querido lector, puede afirmar que su cuerpo ha seguido, desde que se levantó esta mañana de la cama hasta el lugar donde ha tomado el desayuno, una trayectoria bien definida con una precisión de más/menos un micrómetro, pero cada uno de los electrones, protones y neutrones que forman parte de su cuerpo no ha seguido ninguna trayectoria concreta. Y, si no han seguido ninguna trayectoria bien definida, tampoco tienen en cada instante de tiempo unos valores de las coordenadas que dan la posición $q$ y las que dan el momento $p$ bien definidos simultáneamente (ya que, si estuvieran bien definidos en cada instante de tiempo, entonces la trayectoria también estaría bien definida).
Aunque todos los sistemas físicos obedecen al principio de indeterminación, sí es posible seguirle el rastro, seguirle la trayectoria con cierta incertidumbre experimental, a la mayoría de los sistemas macroscópicos. Por ejemplo, es posible ver cómo una aguja de un aparato de medida va pasando de la posición 5 a la posición 6. De esto se aprovecha la mecánica cuántica: los aparatos de medida con los que estudiamos los sistemas físicos son siempre, en buena aproximación, clásicos. Estudiando cómo evoluciona ese sistema clásico mientras interacciona con el sistema cuántico podemos obtener información sobre el sistema cuántico. Este truco nos permite hacer física a pesar del principio de indeterminación.
Pero el precio que tenemos que pagar es trabajar con magnitudes físicas que no son características sólo del sistema cuántico, sino que son propiedades del conjunto formado por el sistema cuántico y los aparatos de medida [Landau1962]. Las características dinámicas de los objetos cuánticos sólo están, por tanto, asociadas a los resultados de la medición cuántica, y por eso se les llama "observables". Por ejemplo, si dispongo los aparatos para medir con muchísima precisión la posición de una partícula, el observable posición $q$ tomará un valor bien definido, y podemos llamar $|q\rangle$ al estado cuántico en el que se encuentra la partícula. Pero entonces el observable momento $p$ no tomará una valor bien definido. ¡Ojo! No es que tome un valor bien definido desconocido para nosotros, sino que no toma ningún valor en concreto. Al ser una característica asociada, no sólo al sistema cuántico, sino también a una disposición concreta de los aparatos de medida que hemos decidido no implementar, es una característica de algo que no existe en ese momento y, por tanto, su valor no existe en ese momento. Si, después, ponemos los aparatos de medida de tal forma que midan la velocidad, entonces el observable momento $p$ sí tomará un valor bien definido y llamamos al estado cuántico correspondiente $|p\rangle$, pero entonces el observable posición $q$ estará indeterminado. Por simplicidad nos limitaremos al caso unidimensional en el que hay sólo una coordenada espacial $q$ y su momento asociado $p$, pero todo lo que vamos a ver se puede generalizar para cualquier número de dimensiones.
En general, el estado mecanocuántico $|\psi \rangle$ en que se encuentra una partícula va a ser un estado superposición de estados $|q\rangle$ con posición bien definida diferente:
$ | \psi \rangle = \int dq \psi (q) | q \rangle $
Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ la posición de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\psi(q)$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir la posición de la partícula, obtengamos el valor $q$. A la función $\psi$ que asigna a cada posición $q$ la amplitud de probabilidad $\psi (q)$ se la denomina función de onda en la representación de coordenadas de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\psi (q)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminada está la posición de la partícula.
Análogamente, este mismo estado $|\psi \rangle$ también se puede escribir como superposición de estados $|p\rangle$ con momento bien definido diferente:
$ | \psi \rangle = \int dp \tilde{\psi (p)} | p \rangle $
Esto significa físicamente que en el estado $| \psi \rangle$ el momento de la partícula no toma un valor bien determinado. Los coeficientes $\tilde{\psi(p)}$ de esta superposición nos dan las amplitudes de probabilidad de que, al medir el momento de la partícula, obtengamos el valor $p$. A la función $\tilde{\psi}$ que asigna a cada momento $p$ la amplitud de probabilidad $\tilde{\psi} (p)$ se la denomina función de onda en la representación de momentos de Schrödinger. El tamaño del rango en el que $\tilde{\psi} (p)$ es muy distinta de cero nos da una idea aproximada de cómo de indeterminado está el momento de la partícula.
La función $\tilde{\psi} (p)$ contiene exactamente la misma información que la función de onda en la representación de coordenadas $\psi (q)$ y todo estudiante de física sabe que se puede pasar de una a la otra mediante una transformación unitaria que se denomina transformada de Fourier.
Por tanto, parece que tenemos básicamente dos opciones. O bien representamos el estado cuántico $|\psi\rangle$ mediante la función de onda $\psi(q)$, con la que se visualiza perfectamente la indeterminación de la posición de la partícula, o bien trabajamos con $\tilde{\psi}(p)$ para visualizar la indeterminación en el momento. Sin embargo, en realidad existen infinitas formas de especificar el estado cuántico que son distintas a $\psi(q)$ y $\tilde{\psi}(p)$. ¿Es posible construir una función de onda $\psi^\prime (q,p)$ que represente al estado cuántico $|\psi\rangle$ y que sea dependiente tanto de las coordenadas como de los momentos? Eso es lo que vamos analizar en este artículo.