En las formulaciones de Heisenberg y de Schrödinger de la mecánica cuántica, los observables están representados por operadores hermíticos en el espacio de Hilbert de todos los posibles estados cuánticos. Sus autovalores son los posibles resultados al realizar la medición del observable, y sus autovectores son los estados cuánticos en los que ese observable toma un valor bien definido. Si llamamos $\hat{A}$ a uno de estos operadores, el estado cuántico $|\psi\rangle$ en el que se encuentra el sistema será, en general, una superposición de autoestados correspondientes a diferentes autovalores de $\hat{A}$, de tal manera que, en ese estado cuántico, el observable correspondiente a $\hat{A}$ no toma un valor bien definido. Es importante remarcar que lo que ocurre no es que el sistema cuántico sí tiene un valor de $\hat{A}$, pero que está oculto para nosotros. Lo que pasa en este caso es que, en ese estado cuántico, entre las propiedades del sistema no está el tomar un valor de $\hat{A}$ bien determinado.
Cualquier estudiante que esté en el ecuador de sus estudios universitarios de Física sabe que el grado de indeterminación del observable $\hat{A}$ en ese estado cuántico $|\psi\rangle$ se puede cuantificar como el módulo de un vector $|\psi_A\rangle$ $$
\Delta A = | |\psi_A\rangle | \>,
$$ donde $|\psi_A\rangle$ es un vector que se obtiene, a partir de $|\psi\rangle$, realizando la operación $$
|\psi_A\rangle= (\hat{A}-\langle A\rangle \hat{I})|\psi\rangle \>.
$$ Aquí $\hat{I}$ es el operador identidad, y$$
\langle A\rangle = \langle \psi | \hat{A} |\psi \rangle
$$ es el valor esperado de $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$. Es sencillo comprobar que, si realizamos muchas mediciones de $\hat{A}$, estando en todas ellas el sistema previamente en el estado $|\psi\rangle$, entonces $\Delta A$ coincide con la desviación típica de los resultados $$
\Delta A= \sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}
$$
La característica principal que tiene la mecánica cuántica, que la hace completamente diferente a la física anterior, es que los operadores que se utilizan para describir los observables físicos en general no conmutan. Si llamamos $\hat{B}$ a uno de los operadores que no conmuta con $\hat{A}$ $$
[\hat{A},\hat{B}]\neq 0
$$ entonces se puede ver que la desigualdad de Schwarz, aplicada a los estados $| \psi_A\rangle$ y $| \psi_B\rangle$, $$
\langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle \geq | \langle \psi_A | \psi_B \rangle |^2 \geq (\operatorname{Im} \langle \psi_A | \psi_B \rangle )^2 \>,
$$ conduce a la relación de indeterminación $$
\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle|
$$
El significado físico de esta relación es que, si el conmutador es no nulo, es imposible encontrar algún estado cuántico en el que ambos observables estén bien determinados y, cuanto más determinado esté el observable $\hat{A}$ en un estado cuántico, más indeterminado estará $\hat{B}$ en ese estado, ya que el producto de las indeterminaciones no puede ser inferior a $\frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle|$. Por ejemplo, si tomamos $\hat{A}=\hat{x}$ y $\hat{B}=\hat{p}$, como el conmutador entre la coordenada $\hat{x}$ y su momento correspondiente $\hat{p}$ es $$
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \hat{I}
$$ lo que se obtiene es la famosa relación de indeterminación de Heisenberg $$
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$
Sin embargo, hay otra formulación de la mecánica cuántica, equivalente a la de Heisenberg y a la de Schrödinger, en la que los observables no entran como operadores en el espacio de Hilbert de estados cuánticos. Se trata de la formulación de la integral de camino de Feynman. Para una persona que no conozca esta formulación de la mecánica cuántica, puede ser conveniente estudiar qué ocurre en un caso sencillo, como el interferómetro de Mach-Zehnder, donde se produce interferencia entre dos caminos. Para saber si esta interferencia es constructiva o destructiva hay que estudiar la diferencia entre las fases asociadas a cada camino, teniendo cuidado de no equivocarnos en el cálculo de cada una de las fases. Con este ejemplo sencillo se puede ver con claridad que, para que las probabilidades de que el fotón llegue a los distintos detectores sumen uno, lo que hay que sumar de cada camino para calcular la interferencia no es la probabilidad, sino la amplitud de probabilidad.
Dado que los dos caminos en el interferómetro contribuyen al patrón de interferencias, tenemos que admitir que el fotón que es detectado por el detector en el que hay interferencia constructiva no ha seguido ninguno de los dos camino de forma bien definida: entre las propiedades del fotón no está el haber seguido una trayectoria bien determinada. Podemos colocar los detectores de otra manera, para comprobar si el fotón se refleja o no en el primer espejo semireflector, pero entonces el observable que antes sí tomaba un valor bien definido (el que decía que el fotón acabará con probabilidad 1 en el detector donde se producía interferencia constructiva), ahora ya no toma ningún valor bien definido. Tenemos así un ejemplo sencillo de dos observables incompatibles, como $\hat{A}$ y $\hat{B}$ en el ejemplo anterior.
De todo esto se deduce que, para poder calcular la amplitud de probabilidad de que el fotón llegue, desde la fuente $a$ hasta un detector $b$ que haya en el interferómetro de Mach-Zehnder, hay que sumar las amplitudes de probabilidad asociadas a cada camino. $$
\Phi(a,b)=\Phi_1+\Phi_2
$$
Pero, ¿qué ocurre si vamos modificando el experimento poco a poco para que cada vez sean más los caminos accesibles al fotón? En ese caso tenemos $$
\Phi(a, b) = \sum _{{\rm todos \> los \>caminos \> desde} \> a \> {\rm hasta} \> b} \>
\Phi_i \>.
$$ Todos los caminos tienen que contribuir con una amplitud de probabilidad $\Phi_i$ del mismo módulo, pero con argumentos (fases) distintos, para que pueda haber interferencias. Como, además, estos $\Phi_i$ tienen que ser funcionales del camino $x(t)$, podemos escribir $$
\qquad \Phi(a, b) = \sum _{{\rm todos \> los \>caminos \> desde} \> a \> {\rm hasta} \> b} \> e^{i S [x (t)] / \hbar} \>, \qquad
$$ donde $S[x(t)]$ es la fase asociada al camino $x(t)$, multiplicada por $\hbar$ para que tenga unidades de acción. Al tratarse de un continuo de caminos, este sumatorio tiene que ser, en realidad una especia de integral, $$
\Phi(a, b) = \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}\>,
$$ y este es el motivo por el que se le denomina integral de camino de Feynman.
Una de las ventajas que tiene la formulación de la integral de camino de Feynman es que en ella se ve con claridad por qué los números complejos son necesarios en mecánica cuántica. Es el hecho de que la fase asociada a cada camino sea el argumento de un número complejo lo que hace que pueda haber interferencias, ya que, al crecer ésta, la dirección a la que apunta ese número complejo va girando sin que por ello éste cambie de módulo.
Aquellos caminos cuyas amplitudes asociadas sean números complejos de argumento similar dan lugar a interferencia constructiva, de la misma manera que las fuerzas que se aplican sobre un objeto en una misma dirección colaboran para acelerar ese objeto en esa dirección.
Otra de las ventajas de esta formulación es que con ella el límite clásico ($ \hbar \to 0 $) se puede hacer de forma inmediata, ya que, cuando las acciones de todos los caminos son mucho mayores que $\hbar$ ($ S \gg \hbar $), lo que tenemos son giros muy rápidos de los números complejos, incluso aunque correspondan a trayectorias muy parecidas. Se puede decir que cada camino da lugar a un número complejo del mismo módulo, pero de dirección aleatoria.
\delta S = 0 \>,
$$ ya que entonces los caminos cercanos a ellos tiene una fase muy parecida, con lo que no hay cancelación. Es decir, en este límite los únicos caminos que contribuyen son los que está muy cerca del camino que hace extrema a S. Vemos, por tanto, que en el límite clásico $S$ se comporta como la acción, y por eso la podemos identificar como la acción de la teoría clásica que surge como el límite $ \hbar \to 0 $ de la teoría cuántica con la que estamos trabajando. En este límite sí podemos decir que la partícula ha seguido una trayectoria más o menos bien definida: la que hace a la acción extremal.
Pero volviendo a las condiciones en las que las acciones no son mucho más grandes que $\hbar$, es decir, a las condiciones en las que los efectos cuánticos sí son importantes, nos surge la siguiente pregunta. Dado que la formulación de Feynman de la mecánica cuántica es equivalente a las de Heisenberg y Schrödinger, las relaciones de indeterminación tienen que estar escondidas en algún sitio. Una característica sorprendente de las integrales de camino es que con ellas se trabaja con números reales y complejos, en vez de con operadores que no conmutan. ¿Dónde están escondidas, por tanto, las relaciones de indeterminación en esta formulación? Eso es lo que vamos a analizar en este artículo.
Integral de camino de la partícula libre en el espacio de fases
Vamos a comenzar derivando la integral de camino de Feynman a partir de la formulación de Heisenberg de la mecánica cuántica en el caso más sencillo: el de la partícula libre no relativista. Aunque este artículo es muy técnico para ser un post de un blog, vamos a tratar de dejar claro el significado físico de todas las operaciones matemáticas que vamos a realizar. El que nos vayamos a centrar sobre todo en las ideas intuitivas puede hacer que el tratamiento pierda rigurosidad. Para los detalles técnicos que vamos a dejar de lado, el lector puede consultar las referencias [Feynman1965)] [Schulman1981] [Rosenfelder2009)] .
La amplitud de probabilidad de que una partícula libre, teniendo una posición inicial $x_a$ en el instante $t_a$ bien definida, sea detectada en $x_b$ en el instante $t_b$ viene dada por el elemento de matriz $$
U(x_b, t_b ; x_a, t_a) = \langle x_b \, \left | \> \hat U(t_b,t_a) \> \right | \, x_a \rangle
=\langle x_b \, \left | \> e^{ -i (t_b - t_a) \hat H /\hbar }\> \right |
\, x_a \rangle \>
$$ del operador evolución $\hat{U}$, donde el hamiltoniano en este caso viene dado sólo por la energía cinética $\hat{T}$: $$
\hat{H}=\hat{T}=\frac{\hat{p}^2}{2m}
$$
La representación de la integral de camino de esta amplitud se puede obtener si descomponemos el intervalo temporal $ t_b - t_a $ en $ N $ intervalos infinitesimales $$
\epsilon = \frac{t_b - t_a}{N},
$$ (con $N$ tendiendo a infinito), de tal manera que podemos aplicar en el cálculo de la amplitud la fórmula de Trotter $$
\exp \left [ -i(t_b - t_a) \hat H /\hbar \right ] \> = \lim_{N \to \infty}
\prod_{k=1}^N \>
e^{-i \epsilon \hat H/\hbar} \>.
\label{Trotter}
$$ Esta fórmula nos dice que la evolución a lo largo de un intervalo temporal finito se puede describir mediante una sucesión de evoluciones infinitesimales. Si ahora insertamos el operador identidad $$
\hat{I} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx_j \> \left | x_j \rangle \langle x_j \right| \hspace{1.5cm}
j = 1,2 \ldots (N-1)
$$ entre cada factor, llegamos a la expresión de la integral de camino: $$
U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> ... \> dx_{N-1} \>
\langle x_b \, \left | \, e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \, \right |\, x_{N-1} \rangle \>
$$ $$ \hspace{4cm}\cdot \>
\> \langle x_{N-1} \, \left | \, e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \, \right | \, x_{N-2} \rangle \>
$$ $$ \hspace{4cm} \vdots
$$ $$ \hspace{4cm} \cdot \>
\langle x_1 \, \left | \, e^{-i\epsilon\hat T/\hbar} \, \right | \, x_a \rangle \>
$$ Es decir, hemos conseguido representar la evolución mecanocuántica de la partícula que viaja desde $x_a$ hasta $x_b$ como una suma de historias. En cada una de esas historias la partícula tiene distintas posiciones intermedias $x_1$, $x_2$... $x_{N-1}$, pero la misma posición inicial $x_0=x_a$ y la misma posición final $x_N=x_b$, como muestra el siguiente dibujo:
La expresión que hemos obtenido nos dice de forma exacta cómo llevar a cabo la "suma para todos los caminos que van desde $a$ hasta $b$" de la que hablábamos en la introducción. Esta operación matemática, en el límite en el que $$
N \to \infty \>, \> \> \epsilon \to 0 \>,
\hspace {0.5cm} {\rm con} \> \> \> \epsilon N = t_b - t_a \hspace {0.5cm}
{\rm fijo}
$$ es una integral de dimensión infinita, y se llama integral funcional. Nótese que en esta fórmula la integral sobre un punto intermedio $x_j$ significa físicamente que estamos sumando sobre todos los caminos entre $x_{j-1}$ y $x_{j+1}$, ya que, para $x_{j-1}$ y $x_{j+1}$ fijos, el hecho de que $x_j$ tome un valor distinto nos define un nuevo camino.
Para que la expresión que hemos obtenido sea útil, necesitamos calcular los elementos de matriz de $ \exp (-i \epsilon \, \hat T / \hbar) $ entre estados de posición consecutivos. Insertando la relación de cierre de los autoestados del momento, y utilizando que $\hat T = \hat p^2/(2 m)$ es diagonal en el espacio de momentos, se obtiene $$
\langle x_{j+1} \, \left | \, e^{-i\epsilon \hat T/\hbar}\, \right | \, x_j \rangle =
\frac{1}{2 \pi \hbar}
\int_{-\infty}^{+\infty} dp_j \> \exp \left (-i
\frac{\epsilon}{\hbar} \frac{p_j^2}{2m}
\right ) \> e^{i p_j \cdot (x_{j+1} - x_j)/\hbar} \> .
\label{Impulsintegral}
$$
Aquí es importante remarcar que $p_j$ no es el momento asociado al instante $t_j$, sino al intervalo entre $t_j$ y $t_{j+1}$. Éste es el motivo por el que tenemos, además de la integrales en las posiciones $x_1$, $x_2$...$x_{N-1}$, las integrales sobre los momentos $p_1$... $p_{N-1}$, y también sobre $p_0$. Llegamos así a la expresión de la integral de camino en el espacio de fases:$$
\hspace{-1cm} U(x_b, t_b; x_a, t_a) =
$$ $$
= \lim_{N \to \infty} \>
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> ... \> dx_{N-1} \>
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dp_0}{2 \pi \hbar} \> \frac{dp_1}{2 \pi \hbar}
\> \ldots \> \frac{dp_{N-1}}{2 \pi \hbar}
\cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
p_{j} \cdot \frac{x_{j+1} - x_{j}}{\epsilon} -
\frac{p_{j}^2}{2m})\right ]
\> \right \}
=
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} \frac{ {\cal D}'x(t) \> {\cal D}p(t)}
{2 \pi \hbar} \> \exp \left \{ \frac{i}{\hbar}
\int_{t_a}^{t_b} dt \> \left [ \, p(t) \cdot \dot x(t) - H(p(t),x(t)) \, \right ] \>
\right \} \> .
$$
Nótese que en esta expresión el argumento de la exponencial es, efectivamente, la acción clásica de la partícula en unidades de $\hbar$, pero escrita como funcional de las coordenadas y también de los momentos. El hecho de que también haya que integrar sobre los momentos hace que esta expresión sea difícil de interpretar en términos de "suma de caminos" y que, además, no sea una fórmula que, al generalizarla para la partícula libre relativista, muestre la invariancia de Lorentz de forma explícita.
La integral de camino de la partícula libre en el espacio de configuraciones
Para evitar estos problemas, vamos a eliminar las integrales en los momentos haciendo el cálculo de éstas. Para ello, primero tenemos que calcular el valor de la integral gaussiana $$
G(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \> e^{- a x^2} \>.
$$ Esto se hace fácilmente calculando su cuadrado $$
G^2(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}
dx \> dy \> \exp \left[- a (x^2 + y^2) \right]
$$ en coordenadas polares $x = r \cos \phi , y = r \sin \phi, \> dx dy = r dr d\phi \> $. Se obtiene $$
G^2(a) = \int_0^{2 \pi} d\phi \> \int_0^{\infty} dr \, r \, \exp(-a r^2)
=
$$ $$ =2 \pi \int_0^{\infty} dr \left ( - \frac{1}{2 a} \frac{d}{dr} \right)
\> \exp(-a r^2)
= \frac{\pi}{a}\> .
$$ Por tanto $$
G(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \> e^{- a x^2} =
\sqrt{\frac{\pi}{a}}\> , \quad {\rm Re} \> \> a > 0 \> .
$$ La condición de que el parámetro complejo $ \> a \ $ tenga que tener parte real positiva se fija para que la integral sea convergente.
La integral en los momentos que tenemos que hacer no es estrictamente una gaussiana, sino que viene de la gaussiana en el límite $ \> {\rm Re} \, a \to 0 \> $. Es por ello por lo que hay que entender estas integrales como la continuación analítica de integrales gaussianas. Si ahora $a$ es un parámetro real, se tiene: $$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx \> e^{i a x^2} = \lim_{\delta \to 0^+} \,
\int_{-\infty}^{+\infty} dx \> e^{- ( \delta - i a) \, x^2} =
$$ $$ =
\lim_{\delta \to 0^+} \,
\sqrt{\frac{\pi}{\delta - i a}} \>.
$$ Ésta todavía no es la integral en los momentos que tenemos que hacer, pero podemos transformarla en la que necesitamos con la regla de la suma de cuadrados: $$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx \> e^{i a x^2 + i b x} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \> \exp \left[
i a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - i \frac{b^2}{4 a} \right)=
$$ $$
=\sqrt{\frac{\pi}{-i \, a}} \,
\exp \left( - \frac{ib^2}{4a} \right) \>.
\label{erw Fresnel}
$$
El resultado, por tanto, es $$
\langle x_{j+1} | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> | x_j \rangle =
\sqrt{\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar}} \> \exp \left[ \frac{i m}{2 \hbar}
\frac{ (x_{j+1} - x_j)^2}{\epsilon} \right]
$$ Y esta expresión nos permite pasar de la integral de camino en el espacio de fases a la integral de camino en el espacio de configuraciones: $$
\hspace{-1cm} U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> \ldots \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \right )^2 \right ] \> \right \} =
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar} \> \>
$$
¿Qué tipo de trayectorias son las que se suman en la integral de camino?
En la expresión desarrollada de la integral de camino en el espacio de configuraciones que hemos obtenido se observa que, para un $x_j$ fijo, la integral en $x_{j+1}$ es la continuación análitica de una gaussiana centrada en $x_{j+1}=x_j$ y con anchura proporcional a $\sqrt{\hbar \epsilon /m}$. Esta anchura se va a cero en el límite $\epsilon \to 0$. Esto quiere decir que cada una de las trayectorias que se suman en la integral de camino son trayectorias continuas.
No obstante, haciendo el cambio de variable $v_{j}=(x_{j+1}-x_j)/\epsilon$, la integral en $x_{j+1}$ se puede interpretar como una integral en la velocidad que tiene la partícula en el intervalo $(t_j,t_{j+1})$. Esta integral es una gaussiana, centrada en $v_{j}=0$, pero de anchura proporcional a $$
\sqrt{\frac{\hbar}{m\epsilon}}.
$$ En este caso esta anchura se va a infinito en el límite $\epsilon \to 0$, y esto quiere decir que, aunque las trayectorias que se suman en la integral de camino son continuas, no son en general diferenciables, y tienen este aspecto:
Integral de camino de una partícula sometida a un potencial
¿Podemos repetir la derivación que hemos hecho de la integral de camino en el espacio de configuraciones en el caso de que la partícula esté sometida a un potencial? $$
\hat H = \hat T \> + \> \hat V, \> \> \> \> \hat V \> = V(\hat x)
$$ Sí se puede hacer y, aunque en lo que sigue asumiremos que el potencial es independiente del tiempo y de las velocidades, lo que vamos a obtener también es generalizable en estos casos. El lector puede consultar la referencia [Rosenfelder2017] para más detalles.
Podemos proceder de la misma manera que con la partícula libre, introduciendo la fórmula de Trotter en la amplitud $$
U(x_b, t_b ; x_a, t_a) = \langle x_b \, \left | \> \hat U(t_b,t_a) \> \right | \, x_a \rangle
= \langle x_b \, \left | \> e^{ -i (t_b - t_a) \hat H /\hbar }\> \right |
\, x_a \rangle \> .
$$ Pero ahora, nos encontramos con que tenemos que poner el término de la energía cinética en una exponencial distinta al del término de la energía potencial. Si fueran funciones, bastaría con escribir la exponencial de la suma como producto de exponenciales, pero, como $\hat{x}$ y $\hat{p}$ no conmutan, nos vemos obligados a utilizar la fórmula de Glauber $$
e^{A+B}=e^Ae^Be^{-\frac{1}{2}[A,B]}=e^Ae^B \left( 1-\frac{1}{2}[A,B]+...\right)
$$ Al aplicar esta fórmula a $-i \epsilon \hat T$ y $-i \epsilon \hat V$, obtenemos $$
\exp \left [ -i \epsilon ( \hat T + \hat V) /\hbar \right ]
\> =
\exp \left [-i \epsilon \hat T / \hbar \right ] \> \cdot \>
\exp \left [ -i \epsilon \hat V / \hbar \right ] \> + {\cal O}(\epsilon^2)
\>,
$$ donde podemos ignorar el término ${\cal O}(\epsilon^2)$ porque no contribuye al resultado final una vez hagamos el límite $\epsilon \to 0$. Usando ahora esta expresión en la fórmula de Trotter e insertando, como antes, el operador identidad $$
\hat{I} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx_j \> \left | x_j \rangle \langle x_j \right| \hspace{1.5cm}
j = 1,2 \ldots (N-1)
$$ entre cada factor, podemos obtener la integral de camino como antes, sólo que ahora tenemos que aplicar que $ V(\hat x) | \, x > = V(x) | \, x > $ en cada $x_j$. Se llega así a $$
U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> ... \> dx_{N-1} \> \cdot
$$ $$
\cdot \langle x_b \, \left | \, e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \, \right |\, x_{N-1} \rangle \>
e^{-i \epsilon V(x_{N-1})/\hbar} \cdot
$$ $$
\cdot \>
\> \langle x_{N-1} \, \left | \, e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \, \right | \, x_{N-2} \rangle \>
e^{-i \epsilon V(x_{N-2})/\hbar} \cdot
$$ $$
\hspace{4cm} \vdots
$$ $$
\cdot \>
\langle x_1 \, \left | \, e^{-i\epsilon\hat T/\hbar} \, \right | \, x_a \rangle \>
e^{-i \epsilon V(x_a)/\hbar}
$$
Utilizando el resultado ya calculado anteriormente $$
\langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle =
\sqrt{\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar}} \> \exp \left [ \frac{i m}{2 \hbar}
\frac{ (x_{j+1} - x_j)^2}{\epsilon} \right ]
$$ se llega a $$
U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> ... \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \> \prod_{j=0}^{N-1} \>
\exp \left [ \> \frac{i m}{2 \epsilon \hbar}
(x_{j+1} - x_j)^2 \right ] \>
\exp \left [ \frac{-i \epsilon}{\hbar} V(x_j) \right ] \> .
$$ Con lo que, aplicando el límite$$
\epsilon \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{(x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \right )^2 -
V(x_j) \right ] \longrightarrow
\int_{t_a}^{t_b} dt \> \left [ \, \frac{m}{2} \dot x(t)^2 - V(x(t)) \, \right ] =
$$ $$
= \int_{t_a}^{t_b} dt \> L(x(t),\dot x(t))
= S[x(t)] \>,
$$ se obtiene la integral funcional deseada $$
\hspace{-1cm} U(x_b, t_b; x_a, t_a) = \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> \ldots \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \exp \left \{ \frac{i \epsilon}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left [
\frac{m}{2} \left ( \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \right )^2 -
V(x_j) \right ] \> \right \} =
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar} \> \> .
$$
El orden importa
Una vez hemos aprendido cómo obtener, a partir de la expresión de las amplitudes en la representación de Schrödinger, la expresión correspondiente en términos de la integral de camino, ahora podemos analizar qué consecuencias tiene en ésta última el hecho de que los operadores $\hat{x}$ y $\hat{p}$ no conmuten.
Si, en vez de escribir $$
\exp \left [ -i \epsilon ( \hat T + \hat V) /\hbar \right ]
\> =
\exp \left [-i \epsilon \hat T / \hbar \right ] \> \cdot \>
\exp \left [ -i \epsilon \hat V / \hbar \right ] \> + {\cal O}(\epsilon^2)
\> ,
\label{kurz Zeit 1}
$$ hubiéramos escrito $$
\exp \left [ -i \epsilon ( \hat T + \hat V) /\hbar \right ]
\> = \exp \left [ -i \epsilon \hat V /\hbar \right ] \> \cdot
\exp \left [-i \epsilon \hat T / \hbar \right ] \> + {\cal O}(\epsilon^2) \> ,
\label{kurz Zeit 2}
$$ habríamos obtenido una acción en la que aparece el término $ \> V(x_{j+1}) \> $ en vez de $ \> V(x_j) \> $ , ya que, al quedar el potencial a la izquierda, éste habría actuado sobre el bra $\langle x_{j+1}|$ en vez de sobre el ket $|x_j\rangle$.
¿Se obtiene, por tanto, una integral de camino diferente? No en el caso que acabamos de estudiar de una partícula libre sometida a un potencial $V(x)$, ya que en este caso la diferencia entre las dos opciones que tenemos es de orden $\epsilon$ y se anula al pasar al límite continuo $\epsilon \to 0$. Pero si consideramos interacciones que dependan de la velocidad, como la electromagnética, o insertamos en la amplitud que estamos calculando operadores que contienen, además de $\hat{x}$, al operador $\hat{p}$, entonces el orden en el que $\hat{x}$ y $\hat{p}$ aparecen sí afecta a la expresión de la integral de camino que se obtiene, ya que, al hacer la integración en los momentos para obtener la integral de camino en el espacio de configuraciones, los términos que contenían a $\hat{p}$ se convierten en términos del tipo $m (x_{j+1} - x_j)/\epsilon $, y aquí sí es importante si los términos dependientes de $\hat{x}$ que les acompañaban estaban a la derecha o a la izquierda.
En efecto, por cada operador $\hat{x}\hat{p}$ introducido en $U(x_b, t_b ; x_a, t_a)$ en el instante $t_j$ $$
\langle x_b \, \left | \> \hat U(t_b,t_j) \hat{x} \hat{p}\hat U(t_j,t_a) \> \right | \, x_a \rangle ,
$$ éste aparece en el cálculo de $$
\langle x_{j+1} \left | \> \hat{x} \hat{p} e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle = -i\hbar x_{j+1} \frac{\partial }{\partial x_{j+1}} \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle =
$$ $$
= x_{j+1}m \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle
$$ Mientras que la inserción de $\hat{p}\hat{x}$ da lugar a $$
\langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \hat{p}\hat{x} \> \right | x_j \rangle = -i\hbar x_{j+1} \frac{\partial }{\partial x_{j+1}} \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle x_j =
$$ $$
= m \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} x_j \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle
$$
Nótese que hay que irse a la expresión desarrollada de la integral de camino para apreciar la diferencia entre las dos expresiones, ya que en la notación simbólica $$
\int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> x(t_j) \> mv(t_j) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}
$$ esta diferencia no se aprecia. La expresión simbólica es confusa, porque nos hace creer la inserción de $mxv$ en la integral de camino es la inserción de una función. Sin embargo, estas inserciones son operadores en el espacio de Hilbert de estados cuánticos. ¿Por qué? Porque este espacio de Hilbert es el que se genera al hacer superposiciones de las condiciones de frontera en la integral de camino y los coeficientes de esa superposición son precisamente las amplitudes calculadas mediante la integral de camino. En efecto, la función de onda en el instante $t$ es, en términos de la función de onda en el instante $t_a$: $$
\langle x | \psi(t) \rangle = \langle x | U(t-t_a) | \psi(t_a) \rangle =
$$ $$
=\int dx_a \langle x_a |\psi (t_a) \rangle \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t)=x} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}
$$ Por otro lado, $x(t)mv(t)$ es una cantidad clásica introducida en cada trayectoria individual. Al ser una cantidad diferente en cada trayectoria, al sumar para todos los caminos se convierte en un operador que cambia los coeficientes de esa superposición y, además, lo hace linealmente: $$
\int dx_a \langle x_a |\psi (t_a) \rangle \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t)=x} {\cal D}x(t) \> x(t) \> mv(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}=
$$ $$
=\int dx_a \langle x_a |\psi (t_a) \rangle x(t) (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial x} \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t)=x} {\cal D}x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}=
$$ $$
=x(t) (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial x} \langle x | U(t-t_a) | \psi(t_a) \rangle=
\langle x | \hat{x}\hat{p}U(t-t_a) | \psi(t_a) \rangle
$$ En conclusión: las inserciones $mv(t)$ y $x(t)$ son operadores en la imagen de Heisenberg y, como tales, no conmutan.
Las relaciones de indeterminación calculadas mediante la integral de camino
Para calcular el valor mínimo del producto de las indeterminaciones $$
\Delta x \Delta p \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{x},\hat{p}] |\psi \rangle|
$$ insertamos en el término de la derecha la relación de cierre de los estados de posición $$
\hat{I} = \int dq \> |\, q> <q \,| = \int dq \> e^{ i \hat H t/ \hbar}
\> |\, q> <q \,| \> e^{ -i \hat H t/ \hbar} \> .
$$ Así, se obtiene $$
\langle \psi | [\hat{x},\hat{p}] |\psi \rangle
= \int dq \, dq' \> \left < \psi \left | \>
e^{ i \hat H t'/ \hbar}
\> \right | q' \right > \, \cdot
$$ $$
\cdot \left < q' \left | \> e^{ -i \hat H t'/ \hbar}
[\hat{x},\hat{p}] \>
e^{ i \hat H t/ \hbar} \right | q \right > \cdot \left < q \left | \> e^{ -i \hat H t/ \hbar} \>
\right | \, 0 \right > \> .
\label{G_AB 1}
$$
Podemos calcular el factor de en medio con la integral de camino: $$
\left < q' \left | \> e^{ -i \hat H t'/ \hbar}
\> [\hat{x},\hat{p}] \>
e^{ i \hat H t/ \hbar} \right | q \right > =
$$ $$
= \> \int_{x(t)=q}^{x(t')=q'}
\frac{{\cal D}'x {\cal D}p}{2 \pi \hbar} \> \left( x(0)p(0)-p(0)x(0) \right) \>
\> \exp \left \{ \> \frac{i}{\hbar} \int_{t}^{t'} d\tau \>
[ \, p \dot x - H(x,p) \, ] \> \right \} \> ,
\label{Zeitordnung x x}
$$ donde tenemos insertado el operador $x(0)p(0)-p(0)x(0)$ en el instante intermedio $t=0$. Haciendo las integrales en los momentos, como en la sección anterior, llegamos a $$
\left < q' \left | \> e^{ -i \hat H t'/ \hbar}
\> [\hat{x},\hat{p}] \>
e^{ i \hat H t/ \hbar} \right | q \right > =
$$ $$
= \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> x(t) \> mv(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}-
$$ $$
-\int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b} {\cal D}x(t) \> mv(t) \> x(t) \> e^{i S[x(t)]/\hbar}
$$
Al poner esta expresión desarrollada en integrales de la posición en cada instante de tiempo, todos los factores de las dos integrales que tenemos que restar son comunes, menos el correspondiente al punto intermedio $x_j=x(0)$, para el que se tiene la resta: $$
x_{j+1}m \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle-
$$ $$
- m \frac{x_{j+1} - x_j}{\epsilon} x_j \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle =
$$ $$
= m \frac{(x_{j+1} - x_j)^2}{\epsilon} \langle x_{j+1} \left | \> e^{-i\epsilon \hat T/\hbar} \> \right | x_j \rangle
$$
Por tanto, todas las integrales en las distintas posiciones (una para cada instante de tiempo) se quedan igual que si no hubiéramos insertado el operador $[\hat{x}, \hat{p}]$, salvo las integrales en $x_j$ y $x_{j+1}$. $$
\left < q' \left | \> e^{ -i \hat H t'/ \hbar}
\> [\hat{x},\hat{p}] \>
e^{ i \hat H t/ \hbar} \right | q \right > =
$$ $$
= \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> ... dx_j \> dx_{j+1} \> ... \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot m \frac{(x_{j+1} - x_j)^2}{\epsilon}
\> \prod_{k=0}^{N-1} \>
\exp \left [ \> \frac{i m}{2 \epsilon \hbar}
(x_{k+1} - x_k)^2 \right ] \>
\exp \left [ \frac{-i \epsilon}{\hbar} V(x_k) \right ] \> .
$$
Si las trayectorias que contribuyen a la integral de camino fueran en general diferenciables, entonces, sin haber integrado todavía en $x_j$, la desviación típica de $x_{j+1}$ sería proporcional a $\epsilon$, con lo que la integral en $x_{j+1}$, que es básicamente el valor medio de $(x_{j+1}-x_j)^2/\epsilon$, sería proporcional a $\epsilon^2/\epsilon=\epsilon$, y al hacer el límite de $N$ infinito ($\epsilon \to 0$), obtendríamos cero. El orden en el que aparecen los operadores en las inserciones en la integral de camino no importaría y no habría relaciones de indeterminación. Una partícula podría estar en un estado cuántico con una posición y una cantidad de movimiento bien definidas al mismo tiempo. Se violaría, por tanto, el principio de indeterminación.
Pero hemos visto que las trayectorias generales que contribuyen a la integral de camino no son diferenciables. La desviación típica de $x_{j+1}$ es proporcional a $\sqrt{\epsilon}$, con lo que la integral en $x_{j+1}$ es proporcional a $\sqrt{\epsilon}^2/\epsilon=\epsilon^0=1$. Se obtiene, por tanto, una cantidad finita en el límite $\epsilon \to 0$. Es decir, es el hecho de que la desviación típica de $v_{j}=(x_{j+1}-x_j)/\epsilon$ diverja lo que nos asegura que el valor esperado del conmutador $[\hat{x},\hat{p}]$ no se anule.
En este caso, como lo que tenemos es la continuación analítica de integrales que generalizan a las gaussianas,$$
G(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \> e^{- a x^2},
$$ la inserción de $$
(x_{j+1} - x_j)^2
$$puede entenderse como una derivada respecto de $a$ en la integral gaussiana.$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx \> x^2 \> e^{- a x^2}=-\frac{dG}{da},
$$ Como la dependencia de una integral gaussiana en $a$ es del tipo$$
G(a) \propto a^{-1/2},
$$entonces el efecto que tiene una derivada respecto de $a$ es introducir un factor $1/a$. Aunque en la integral en $x_{j+1}$ también tenemos el término $V(x_{j+1})$, se puede ver que este término no afecta a este razonamiento una vez apliquemos el límite $\epsilon\to 0$, siempre que $V(x)$ sea diferenciable. Aplicando este resultado general a nuestro caso se tiene$$
\left < q' \left | \> e^{ -i \hat H t'/ \hbar}
\> [\hat{x},\hat{p}] \>
e^{ i \hat H t/ \hbar} \right | q \right > =
$$ $$
= \lim_{N \to \infty} \>
\left (\frac{m}{2 \pi i \epsilon \hbar} \right )^{N/2}
\int_{-\infty}^{+\infty} dx_1 \> dx_2 \> ... dx_j \> dx_{j+1} \> ... \> dx_{N-1} \cdot
$$ $$
\cdot \epsilon m \frac{2\hbar}{2\epsilon (-i)m}
\> \prod_{k=0}^{N-1} \>
\exp \left [ \> \frac{i m}{2 \epsilon \hbar}
(x_{k+1} - x_k)^2 \right ] \>
\exp \left [ \frac{-i \epsilon}{\hbar} V(x_k) \right ] \>=
$$ $$
= i\hbar \left < q' \left | \> e^{ -i \hat H t'/ \hbar}
\>
e^{ i \hat H t/ \hbar} \right | q \right >.
$$ Es decir, el efecto de la inserción del operador $[\hat{x},\hat{p}]$ es equivalente a multiplicar por $i\hbar$, sea cual sea la amplitud en la que este operador se inserte. Por tanto $$
\Delta x \Delta p \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [\hat{x},\hat{p}] |\psi \rangle|=\frac{\hbar}{2}
$$
Conclusión
Hay dos puntos importantes a tener en cuenta si queremos saber dónde están escondidas las relaciones de indeterminación en la formulación de la integral de camino de Feynman. El primero de ellos es que las inserciones que introducimos en la integral de camino para hacer los cálculos no son simples funciones de $x(t)$ y $v(t)$. Son operadores en la imagen de Heisenberg y, como tales, no conmutan entre sí. Éste hecho queda oculto en la notación simbólica de la integral de camino, pero es explícito en la expresión desarrollada de la misma, ya que $x(t)v(t)=x_{j+1}(x_{j+1}-x_j)/\epsilon$, mientras que $v(t)x(t)=x_{j}(x_{j+1}-x_j)/\epsilon$.
En segundo lugar, la diferencia entre ambas inserciones tendería a cero en el límite continuo $\epsilon \to 0$ si todos los caminos sobre los que se hace la suma fueran diferenciables. Pero estos caminos en general no lo son, lo que hace que la distribución de velocidades $v_j=(x_{j+1}-x_j)/\epsilon$ tenga anchura infinita. Y es precisamente esta divergencia en la desviación típica de las velocidades la que hace que la diferencia entre esas dos inserciones se mantenga finita en el límite $\epsilon \to 0$.
Por tanto, podemos concluir que las relaciones de indeterminación en la integral de camino están escondidas en el hecho de que las trayectorias generales que se suman en ella no son diferenciables, como ocurre al hacer el límite continuo en el problema matemático de los caminos aleatorios.
Cabe, por tanto, preguntarse si es posible formular una teoría que sea como la mecánica cuántica, en el sentido de que las amplitudes se puedan expresar como suma de caminos, pero en la que puedan existir estados en los que la partícula tiene simultáneamente bien definidos $x$ y $p$, violando así las relaciones de indeterminación. Esto se conseguiría mutilando la integral de camino para que sólo se sumen caminos diferenciables. Así, la integral de camino sería una suma de trayectorias que tienen, cada una, bien definidos $x$ y $p$ en cada instante de tiempo
Sin embargo, ésta última propuesta es inconsistente. Eliminar las trayectorias que no sean diferenciables de la integral de camino implicaría modificar la teoría para que la acción de estas trayectorias se volviese imaginaria, de tal forma que $\exp (iS)$ se volviera una exponencial decreciente que apenas afecta a la amplitud de probabilidad. Pero en la derivación de la integral de camino a partir de las formulaciones de Schrödinger y de Heisenberg hemos visto que el hecho de que $S$ sea real viene de que el hamiltoniano $\hat{H}$ es un operador hermítico, y esta última condición viene de que el operator evolución $\hat{U}$ sea unitario. Es decir, en esta modificación de la mecánica cuántica el operador $\hat{U}$ no sería unitario, con lo que al actualizar las probabilidades de los distintos sucesos que pueden ocurrir a medida que transcurre el tiempo $t$, estas probabilidades dejarían de sumar uno, con lo que el mismo concepto de probabilidad, y de amplitud de probabilidad, dejaría de tener sentido.
La formulación de la mecánica cuántica basada en la integral de camino de Feynman es equivalente a las otras y es muy útil para realizar determinados cálculos concretos. A pesar de ser un marco adecuado para abordar distintos problemas de física estadística y de teoría cuántica de campos, normalmente se pasa de puntillas sobre ella en los curso de mecánica cuántica que se estudian en el grado de física. Sin embargo, hemos visto que en ella la esencia de la mecánica cuántica, la existencia de observables incompatibles, está escondida en el hecho anti-intuitivo de que los caminos que contribuyen a las amplitudes de probabilidad no son diferenciables. Esto puede hacer que determinadas "intuiciones" de los estudiantes no funcionen si éstos no tienen cierta soltura trabajando con integrales de camino. Es por ello por lo que considero que en los cursos de mecánica cuántica que se dan en los grados universitarios el uso de la integral de camino debería tener una mayor presencia.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
Referencias bibliográficas
- Feynman R. and Hibbs A.R. (1965): Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill.
- Rosenfelder R. : “Path integrals for potential scattering,” Phys. Rev. A 79 (2009) 012701 [arXiv:0806.3217[nucl-th]].
- Schulman L.S. (1981): Techniques and Applications of Path Integration, John Wiley.
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