By Cmglee - Own work, CC BY-SA 4.0, Link
La relatividad general es una teoría de la
interacción gravitatoria y, a la vez, relativista. Los fenómenos en los
que los efectos relativistas de la interacción gravitatoria se
manifiestan vienen en esta teoría caracterizados, por tanto, por las constantes
fundamentales $c$ y $G^N_4$, que son respectivamente la velocidad de la
luz en el vacío y la constante de gravitación de Newton. En un mundo
como el nuestro, con $d+1=4$ dimensiones espaciotemporales, la constante
de gravitación de Newton $G^N_4$ tiene dimensiones de longitud al cubo partido
por masa y partido también por tiempo al cuadrado. Esto hace que, a todo
objeto de masa $M$ en relatividad general se le pueda asociar un tamaño virtual, que vamos a llamar tamaño gravitacional del objeto $R_G$, de valor:
$R_G=G^N_4M/c^2$
(en
lo que sigue trabajaremos con unidades en las que $c=1$, con lo que
longitud y tiempo tienen las mismas dimensiones y escribiremos $R_G=G^N_4M$).
Este tamaño gravitacional del objeto no es en general el tamaño del
objeto, sino un tamaño característico de este objeto que es proporcional
a su masa. Por ejemplo, el Sol tiene un tamaño que viene dado por un radio de $7 \cdot 10^5$km, pero su tamaño gravitacional es de 1,5 km. Y la Tierra tiene un radio de unos 6400 km, pero su radio gravitacional es de unos 4,5 mm. Es decir, desde que entendemos, gracias a Einstein, aunque no sólo a él, cómo son los aspectos relativistas de la interacción gravitatoria, a cada objeto le podemos asignar, además de su tamaño real, otro tamaño "virtual" $R_G$, que es proporcional a su masa. Como es distinto al tamaño físico del objeto, ¿qué significado físico tiene este tamaño gravitacional? Eso es lo que vamos a explicar en este post.
Antes de la construcción de la relatividad general, en
relatividad especial la estructura causal del espacio-tiempo, que es el
espacio cuadridimensional de Minkowski, venía descrita por un cono de
luz asociado a cada suceso $p$. Sólo los sucesos en la superficie y en
el interior de la parte superior del cono de luz pueden ser
influenciados por $p$, y sólo los sucesos de la superficie y el interior
de la parte inferior del cono pueden afectar causalmente a $p$. En
relatividad general, en cambio, la estructura causal del espacio-tiempo
viene determinada por la métrica $G_{\mu\nu}$ y, aunque localmente es
topológicamente la misma que en relatividad especial, puede haber
globalmente muchas diferencias. Una de ellas podría ser que un suceso
sea parte del futuro causal de otro suceso y, a la vez, parte de su
pasado. Para evitar problemas vamos a restringirnos sólo a
espacio-tiempos en los que pueda hacerse una designación continua de qué
mitad del cono es el futuro y qué mitad es el pasado.
No obstante, hay otras diferencias de tipo global con Minkowski que sí que son físicamente aceptables, como la que exista una región del espacio-tiempo, denominada agujero negro, de forma que ninguna partícula o rayo de luz pueda escapar hacia el exterior de ésta. Es claro que esta definición tiene que ser matizada de alguna forma, ya que, de lo contrario, el futuro causal de cualquier suceso del espacio tiempo sería un agujero negro. Para ello hay que especificar cuál es la región del espacio-tiempo de posible escape. Vamos a restringir nuestra atención a espacio-tiempos que sean asintóticamente planos, es decir, que se hagan minkowskianos "lejos'' de alguna "región central" y esto "en todo instante de tiempo''. Para la presente discusión no necesitamos más detalles. Una definición rigurosa de espacio tiempo asintóticamente plano viene dada en [Wald1984]. Los espacios asintóticamente planos representan en relatividad general sistemas aislados. Podemos así dar la definición de que un agujero negro es una región del espacio-tiempo situada en esa "región central'' desde la que no es posible escapar hacia la región asintótica. Su frontera, que es una superficie nula, se denomina horizonte de sucesos.
Empecemos repasando algunas soluciones concretas de tipo agujero negro que aparecen en teorías que contienen la gravitación, para luego tratar el tema de forma más general. Este es un post técnico, para estudiantes universitarios de física. Si lo que buscas es un post de divulgación sobre agujeros negros, apropiado para quien tenga conocimeintos de física de nivel de Bachillerato, es mejor que leas este otro artículo.
La solución de Schwarzschild
En relatividad general, la acción para el campo gravitatorio en ausencia de materia, denominada de Einstein-Hilbert es
$ S_{EH}\left[ G\right] =\frac 1{16\pi G_4^N}\int dx^4\sqrt{G}R\left[ G\right] $
Las ecuaciones de movimiento clásicas que se derivan de esta acción son $ R_{\mu \nu }=0 $
La única solución esféricamente simétrica (teorema de Birkhoff) de estas ecuaciones es la solución de Schwarzschild: $ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2d\Omega _2^2 $
donde $f=1-\frac{R_S}{r}.$, siendo $R_S$ una constante con unidades de longitud que caracteriza a la solución y que se llama radio de Schwarzschild. Esta solución tiene las siguientes propiedades:- Es una solución asintóticamente plana. Eso significa que esta solución describe un objeto o conjunto de objetos situado en el espacio de Minkowski.
- Es también una solución constante, ya que existe un sistema de coordenadas, las de las fórmulas anteriores, en el que los coeficientes de la métrica son independientes de una coordenada, $t$ en este caso, que hace de tiempo universal. Otra forma de verlo es que el vector que genera las traslaciones de $t$ es un vector de Killing. Como, en rigor, un campo gravitatorio producido por varios objetos que sólo interaccionan gravitatoriamente nunca puede ser constante, porque su atracción gravitatoria mutua daría lugar a un movimiento, podemos decir que se trata del campo gravitatorio producido por un sólo objeto.
- Además, es una solución estática, porque es constante y las componentes $G_{0\alpha}$ de la métrica son nulas (donde aquí $\alpha$ es un índice espacial). Ese objeto no tiene rotación.
- Si consideramos sólo el caso $R_S>0$, en $r=R_S$ algunos coeficientes de la métrica divergen. Pero esto no quiere decir que en $r=R_S$ haya una singularidad real. El análisis de los invariantes de curvatura revela que se trata sólo de una singularidad de coordenadas, es decir, que aparece sólo como consecuencia de que las coordenadas que se están usando no cubren esa región del espacio-tiempo. El uso de otros sistemas de coordenadas, como por ejemplo las de Kruskal-Szekeres, pone de manifiesto que $r=R_S$ es un horizonte de sucesos [waldrg1984]. La región interior $r<R_S$ es un agujero negro.
- Aunque $R=0$ y $R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }=0$ en todos los puntos, hay otros invariantes de curvatura, como por ejemplo $R^{\mu \nu \rho \sigma}R_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{48\left( \frac{R_S}{2G_4^N}\right)^2\cos ^2\theta }{r^6}+...$ que divergen en $r=0$. Esto pone de manifiesto que en $r=0$ hay una singularidad real, que sigue estando sea cual sea el sistema de coordenadas que se use.
By Dr Greg, CC BY-SA 3.0, Link
- La región I, región asintóticamente plana y exterior al agujero negro.
- La región II, el interior del agujero negro. Todo observador en su interior acabará en el futuro en la singularidad.
- La región III, asintóticamente plana.
- La región IV, un agujero blanco. Todo observador en su interior tiene una singularidad en su pasado y acabar\á, en el futuro, o en la región I o en la IV.
En la
relatividad general no existe un método preciso general para calcular la
masa exacta de un objeto integrando alguna cantidad en el interior de
éste. La masa del agujero negro o de cualquier otro cuerpo celeste solo
se puede calcular con precisión desde el exterior, por ejemplo,
comparando cómo es la métrica lejos del objeto con el límite newtoniano
$-G_{00}=1+2\phi/c^2$, siendo $\phi $ el potencial gravitatorio. Así es
como se define la masa de Arnowitt-Deser-Misner (ADM) del objeto, que en
el caso del agujero negro de Schwarzschild es $M=\frac {R_S}{2G_4^N}$.
Podemos decir que la masa ADM es el numerador de la fracción que
determina la desviación de la componente $G_{00}$ con respecto a la de
Minkowski lejos del objeto, es decir, viendo cómo es el campo
gravitatorio del objeto lejos de éste. Sin embargo, eso no significa que
el interior del agujero negro, región II, sea la causa del campo
gravitatorio que hay en su exterior, región I, aunque ambas regiones
están continuamente conectadas. En el caso de un agujero negro, esta
interpretación de la causa y el efecto está estrictamente prohibida
porque el espacio-tiempo externo no pertenece al cono de luz futuro del
interior. Nada de lo que ocurra o que haya en el interior del agujero
negro puede influir en la región exterior. Al contrario, la singularidad
del agujero negro es una consecuencia del fuerte campo gravitacional
que ha existido alrededor del objeto, y podemos considerar que ese
objeto es pura geometría. Recordemos que en la física de Newton el campo
gravitatorio se podía interpretar como una consecuencia secundaria
causada por los objetos, que son primarios, e incluso se podía
considerar que era simplemente un concepto matemático auxiliar sin
existencia física. Pero en relatividad, al existir una velocidad máxima
de propagación de las interacciones, los campos gravitatorios son tan
reales como los objetos con masa y están constituidos por la métrica del
espaciotiempo.
Pero,
además, este campo gravitatorio tiene consecuencias sorprendentes para
los objetos que se mueven a través de él. Para verlo, consideremos
dos observadores situados en la región I: Alice, que está en caída
libre hacia el agujero negro, y Bob, que se mantiene alejado del agujero
negro y a una distancia fija con respecto a los observadores
asintóticos. Supongamos además que Alice está enviando señales de forma
periódica a Bob. Entontes, la métrica de Schwarzschild nos dice que
estas señales serán recibidas por Bob separadas cada vez con un
intervalo temporal mayor, ya que el coeficiente $G_{00}$ de la métrica
se va haciendo cada vez más pequeño a medida que nos acercamos al
horizonte de sucesos. Si Bob pudiera detectar todas estas señales
(formadas por fotones de frecuencia cada vez más pequeña), la caída de
Alice le parecería estar congelándose, hasta que llega un momento (para
el que Bob tiene que esperar un tiempo infinito pero Alice un tiempo
finito) en el que Bob no recibe nada. El horizonte de sucesos
precisamente está formado por las trayectorias de los primeros rayos de
luz enviados por Alice (por todas las Alice que caen al agujero negro
desde todos los ángulos) y que nunca llegan a Bob (prolongadas también
hacia el pasado). Lo sorprendente aquí es que esas trayectorias de esos
rayos de luz que definen el horizonte, aunque para Alice son
trayectorias espaciotemporales que se mueven a la velocidad de la luz,
para Bob forman una superficie esférica estática de área $A=4\pi R_S^2$
que, al llegar Alice a ella, se queda ahí congelada.
Pero,
por el principio de equivalencia, para Alicia no ocurre nada espacial
cuando atraviesa este horizonte. Acaba de pasar una frontera
irreversible, pero ella simplemente sigue notando que está en caída
libre (ingravidez) y, si su tamaño es pequeño comparado con el tamaño
asociado a la curvatura en el horizonte, que es del orden $R_S=2GM/c^2$,
grande para los agujero negros astrofísicos, ni siquiera va a notar que
las fuerzas de marea se hayan incrementado mucho. De hecho, aunque a Bob
le parece que Alice tarda infinito tiempo en llegar desde un punto de
coordenada $r$ exterior al agujero negro hasta el horizonte de sucesos,
el intervalo de tiempo propio para Alice es finito. Por ejemplo, si
Alice partió en línea recta hacia el agujero negro desde muy lejos con
energía cinética prácticamente nula, el tiempo propio que tarda Alice en
ir desde $r$ hasta el horizonte $R_S$ es de
$\frac{2}{3\sqrt{2GM}}(r^{3/2}-R_S^{3/2})$.
No
es hasta que Alicia se acerca a la singularidad que empieza a notar unas
enormes fuerzas de marea, haciéndose infinitas en la singularidad, a la
que llega también en un tiempo finito $\frac{2}{3\sqrt{2GM}}R_S^{3/2}$.
Esta singularidad es como el final del tiempo en esta descripción. Pero
como la relatividad general deja de ser válida allí, no sabemos qué
ocurre en ese punto. De hecho, es muy difícil asignar significado físico
al entorno de la singularidad, ya que, no sólo Alice, sino cualquier
aparato de medición ahí sería automáticamente destruido sin posibilidad
alguna de enviar la información fuera del agujero negro. Desde dentro el
agujero negro ya no se ve como algo estático. Todo colapsa en la
singularidad.
Sin embargo, es importante
remarcar que lo que hace que un agujero negro sea un agujero negro no es
la singularidad, sino la existencia del horizonte. Esa es la la
definición que hemos dado porque es el horizonte el que hace que los
agujeros negros objetos tan sean especiales. Si $R_S>0$, es decir, $M>0$, la singularidad está cubierta por
el horizonte, en el sentido de que nada que ocurra en la singularidad
puede afectar a un observador lejano en la región asintóticamente plana
debido a que $r=0$ está dentro del agujero negro. Pero si hiciéramos
$R_S<0$, entonces no ocurre esto porque no hay horizonte. En ese caso
no habría agujero negro y se dice entonces que $r=0$ sería una singularidad desnuda.
Nótese que esta condición implicaría que $M<0$, pero no debemos
llamar a esta solución "agujero negro de masa negativa". No existen los
agujeros negros de masa negativa. En primer lugar, porque no hay ninguna
simetría en la solución de Schwarzschild entre $M>0$ y $M<0$, ya
que el caso $M<0$ es
una solución de naturaleza completamente distinta, sin horizontes, con
una singularidad desnuda, y, en segundo lugar, porque la solución con
$M<0$ no puede ocurrir en una teoría consistente de la gravedad
porque causaría que el vacío fuera inestable, ya que se podrían producir regiones de energía negativa y positiva en pares a partir del vacío, sin violar ninguna ley de conservación.
La solución de Reissner-Nordström
Consideremos ahora el campo gravitatorio acoplado a un campo gauge $A_\mu $. La acción de este sistema, denominada de Einstein-Maxwell, es:
$
S_{EM}\left[ G,A\right] =\frac 1{16\pi G_4^N}\int dx^4\sqrt{G}R\left[
G\right] +\int d^4x\sqrt{G}\left[ -\frac 14F_{\mu \nu }F^{\mu \nu
}\right] $
donde $F=dA$. Las ecuaciones de movimiento clásicas que se derivan de esta acción son
$ R_{\mu \nu }=8\pi G_4^NT_{\mu \nu }$
$ \nabla _\mu F^{\mu \nu }=0 $
donde
$T_{\mu \nu }=F_{\mu \rho }F_\nu ^{\quad \rho }-\frac 14G_{\mu \nu
}F_{\rho \sigma }F^{\rho \sigma }$ es el tensor energía impulso asociado
al campo gauge y $\nabla $ es la derivada covariante. La única solución
esféricamente simétrica de estas ecuaciones que contiene como caso
particular a la solución de Schwarzschild es la solución de Reissner-Nordström [ortin]:
$ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2d\Omega _2^2 $
$ F_{tr}=\frac{4G_4^NQ}{r^2} $
donde
$f=\frac{\left( r-r_{+}\right) \left( r-r_{-}\right) }{r^2}$,
$r_{\pm}=G_4^NM\pm r_o$ y $r_o=G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2}.$ Esta solución
tiene las siguientes propiedades:
- Es una solución estática y asintóticamente plana.
- Su masa ADM es $M$.
- Está cargada eléctricamente con carga $Q$ respecto del campo gauge, en el sentido de que $Q=\frac 1{16\pi G_4^N}\int_{S_\infty ^2}*F$, donde $S_\infty ^2$ es la 2-esfera centrada en $r=0$ de radio $R\rightarrow \infty $. Es decir, $Q$ se puede interpretar como la carga total del espacio-tiempo. Nótese que hemos definido así la carga eléctrica para que tenga unidades de masa (hablaremos de esto más adelante en otro post cuando definamos las unidades de Planck).
- Presenta una singularidad en $r=0$.
- Si $M>2\left| Q\right| $ hay un horizonte en $r=r_{+}$, pero también hay un horizonte interno en $r=r_{-}$, es decir, la singularidad en los agujeros negros cargados (y también los que tienen rotación) se encuentra cubierta por dos horizontes. Un aspecto extraño de estas soluciones es que hay infinitas maneras de extender la geometría del espacio-tiempo más allá del horizonte interno: las ecuaciones de Einstein dejan de producir extensiones únicas. En esta figura viene representado el diagrama conforme de una extensión analítica de la solución en el caso $M>2\left| Q\right|$. El diagrama es periódico. Al contrario de lo que ocurre en Schwarzschild, un observador en el interior del agujero negro puede evitar la singularidad y salir a otra región del espacio-tiempo asintóticamente plana.
- Si $-2\left| Q\right| <M<2\left| Q\right| $ las constantes $r_{+}$ y $r_{-}$ son complejas y no hay horizontes. La singularidad está desnuda.
- Si $M<-2\left| Q\right| $ las constantes $r_{+}$ y $r_{-}$ son reales y negativas y no hay horizonte. La singularidad está desnuda.
- El caso especial $M=2\left| Q\right| $ se denomina solución de agujero negro extremal o extremo. En ella, hay un sólo horizonte en $r=r_{+}=r_{-}=$ $G_4^NM$ cubriendo la singularidad. La relación que hay entre la carga y la masa de un agujero negro extremo de Reissner-Nordström permite que existan en la teoría soluciones estáticas que describan varios agujeros negros de este tipo en equilibrio [Ortin2015]. Como veremos más adelante en otro post, estas soluciones de agujero negro extremal son muy interesantes para la física teórica. Sin embargo, no tienen interés para la astrofísica. Es difícil que los objetos astrofísicos tengan carga neta y, si este agujero negro la tiene, entonces la fuerza eléctrica con la que repelería a una carga $q$ lejana del mismo signo (o atraería a la de signo contrario) sería proporcional a $qQ$, mientras que la fuerza gravitatoria de atracción sobre esa carga, de masa $m$, sería proporcional a $mM$. Dado que, para el electrón se tiene $q/m$ ~ $10^{21}$, y para el protón $q/m$ ~ $10^{18}$, si $Q/M$ ~ $10^{-18}$ la fuerza eléctrica con a que el agujero negro repele cargas del mismo signo sería mayor que la fuerza gravitatoria con la que las atrae, lo que hace prácticamente imposible que un agujero negro astrofísico pueda tener $Q/M > 10^{-18}$, quedando lejísimos de ser extremal.
Hay
que señalar que la estructura causal del agujero negro extremal de
Reissner-Nordström es completamente distinta de la del caso $
M>2\left| Q\right| $, da igual lo cerca que se esté del caso
extremal. Esto sugiere que las propiedades físicas de estas soluciones
pueden tener discontinuidades en $M=2\left| Q\right| $, con lo que el
estudio del agujero negro extremo no puede hacerse tomando el caso no
extremo y luego haciendo el límite $M\rightarrow 2\left| Q\right| .$
Generalizaciones de la solución de Reissner-Nordstrom
En
primer lugar, hay que señalar que la teoría que estamos considerando
aquí, la de Einstein-Maxwell, permite soluciones de tipo agujero negro,
no sólo con cargas eléctricas, sino también magnéticas, dando lugar a lo que se llaman agujeros negros diónicos de Reissner-Nordström.
Una forma de obtenerlos es partir de la solución de Reissner-Nordstrom y
hacer uso de una dualidad, denominada dualidad S, que tiene la teoría
[Ortin2015].
Pero
si, además, añadimos a la acción de Einstein-Maxwell la acción de un
campo escalar $\phi$ con potencial plano (como ocurre genéricamente en teoría de cuerdas si no están los moduli estabilizados) y dejamos que el acoplo gauge
$g(\phi)$ dependa de este campo escalar,
$
S_{EM\phi}\left[ G,A\right] =\frac 1{16\pi G_4^N}\int
dx^4\sqrt{G}R\left[ G\right] +\int d^4x\sqrt{G}\left[ -\frac 14F_{\mu
\nu }F^{\mu \nu }+2\vert d\phi\vert^2\right] $
entonces se
pueden obtener más soluciones de tipo agujero negro que generalizan a
los agujeros de Reissner-Nordstrom diónicos. En efecto, el hecho de que
el campo escalar tenga un potencial plano hace que cada valor asintótico
posible $\phi_\infty$ que puede tomar este campo escalar
asintóticamente en el infinito determine un vacío distinto de la teoría
efectiva. Al conjunto de todos estos vacíos se le denomina espacio de moduli
de la teoría. Típicamente es una variedad parametrizada por todos los
campos escalares con potencial plano donde hay definida una métrica que
se obtiene del término cinético de la acción de estos campos escalares.
En el caso sencillo que estamos considerando, con sólo un campo escalar,
la métrica es un tensor 1x1 cuya única componente asignamos el valor 1.
Al ser el valor de este potencial plano cero, entonces podemos estudiar
cuáles son las soluciones de tipo agujero negro de esta teoría que
asintóticamente tienen en el infinito al espacio de Minkowski con un
valor del campo escalar concreto $\phi_\infty$, y así es como pueden
obtenerse soluciones de tipo agujero negro que son generalizaciones de
los agujeros negros diónicos que han sido estudiados extensivamente en
la literatura.
Un ejemplo más complicado puede verse en los agujeros negros de mi tesis doctoral,
que son soluciones de la teoría efectiva que surge de compactificar la
teoría de cuerdas tipo IIB con una variedad de tipo Calabi-Yau, en donde
los campos escalares, que parametrizan la estructura compleja del
Calabi-Yau, cambian a medida que nos acercamos al agujero negro. Si
se analizan estas soluciones, se puede ver que en el caso no extremal
el valor de los moduli $\phi_h$ en el horizonte va a depender de los
valores $\phi_\infty$ fijados en el infinito. Pero en el caso extremal
lo que se encuentra siempre es que los valores $\phi_h$ de los moduli en
el horizonte están completamente determinados por las cargas $Q$ y $P$
(eléctricas y magnéticas) del agujero negro y son independientes de los
valores asintóticos $\phi_\infty$. El punto correspondiente del espacio
de moduli $\phi_h=\phi(P,Q)$ se denomina punto del atractor.
En
todas las esquinas de la teoría de cuerdas donde tenemos control la
dependencia del acoplo gauge con los campos escalares es de tipo
exponencial. Así, en este ejemplo sencillo de un solo campo escalar tomaremos $g=e^{-a\phi}$,
donde $a$ es una constante positiva. Como el acoplo gauge
$g(\phi)\rightarrow 0$ cuando $\phi\rightarrow \infty$, la región
asistótica en el espacio de moduli es una región de acoplo gauge débil,
en la que la simetría local que genera la interacción gauge se convierte
en una simetría global. Puede demostrarse que en este caso sencillo
[Garfinkle:1990qj,Draper:2019utz] la métrica de la solución no extremal
para un agujero negro con carga $Q$ y masa $M$ es:
$ ds^2=-fdt^2+f^{-1}dr^2+r^2R^2d\Omega_2^2 $
donde
$ f=\left(1-\frac{r_+}{r}\right)\left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{1-a^2}{1+a^2}},\quad R= \left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{a^2}{1+a^2}},$
y $r_-,r_+$ son las posiciones del horizonte interno y externo respectivamente, que vienen dadas como función de $Q,M$. El campo escalar y el campo gauge varían con la distancia al horizonte de sucesos de la siguiente manera
$ phi=\phi_\infty-\frac{1}{a}\log R,\quad F_{tr}=\frac{4G_4^Ne^{+a(\phi-\phi_\infty)}Q}{r^2}$
El
caso extremal corresponde con $r_h\equiv r_-=r_+$, lo que ocurre cuando
$r_h=(1+a^2)G_4^NM=\sqrt{1+a^2}G_4^NQe^{+a\phi_\infty}$ e implica que
$f=R^{2/a^2}$. Como $R(r\rightarrow r_h)\rightarrow 0$, $\phi$ diverge
en el horizonte (volviéndose así independiente de $\phi_infty$), el
acoplo gauge tiende a cero en el horizonte y el área del horizonte
$A=r_h^2 R(r_h)^2$ también se hace arbitrariamente pequeña. Por eso a
este tipo de soluciones se les denomina agujeros negros pequeños [Sen199,Sen1994].
Es importante señalar que la existencia teórica de estos agujeros
negros pequeños es independiente de cual sea la función $g(\phi)$
siempre que ésta cumpla condición de tender a cero cuando $\phi$ tiende a
infinito [Hamada2021]. Como veremos en un post posterior, los agujeros negros pequeños, aunque ausentes en astrofísica, juegan un papel muy importante en el estudio de las consecuencias que tiene la gravedad cuántica sobre la física de baja energía.
La solución de Kerr-Newman
La solución de Kerr-Newman es una familia de soluciones estacionarias de la acción de Einstein-Maxwell (sin campo escalar o con campo escalar constante) con tres parámetros $M$, $Q$ y $a$:
$
ds^2=-\left[1-\frac{2MrG_4^N-4q^2\left(G_4^N\right)^2}{\Sigma}\right]dt^2+2G_4^Na\frac{\left[2MrG_4^N-4q^2\left(G_4^N\right)^2\right]sen^2\theta}{\Sigma}dtd\phi-$
$-\frac{\Sigma}{\Delta}dr^2+\Sigma d\theta^2-\frac{\Gamma}{\Sigma}d\phi^2 $
$A_{\mu}=\frac{4G_4^NQr}{\Sigma}\left[\delta_{\mu t}-\delta_{\mu\phi}aG_4^Nsen^2\theta\right] $
donde
$\Sigma=r^2+a^2cos^2\theta \left(G_4^N\right)^2 $
$\Delta=r^2-2MrG_4^N+4Q^2\left(G_4^N\right)^2+a^2\left(G_4^N\right)^2 $
$\Gamma=\Sigma\left[r^2+a^2\left(G_4^N\right)^2\right]+\left[2MrG_4^N-4Q^2\left(G_4^N\right)^2\right]a^2\left(G_4^N\right)^2sen^2\theta
$
Esta solución tiene las siguientes propiedades:- Su masa ADM es $M$
- Su momento angular de rotación ADM es $J=aMG_4^N $
- Está cargada eléctricamente con carga $Q$ respecto del campo gauge. La rotación hace que la solución también tenga momento dipolar magnético.
- Presenta una singularidad en los puntos donde $r^2+a^2\left(G_4^N\right)cos^2\theta=0$, denominada singularidad de anillo.
- Si $M^2\geq 4Q^2+a^2$ la solución describe un agujero negro con horizonte en $r=r_{+}=G_4^NM+G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2-a^2}$ y un horizonte interior en $r=r_{-}=G_4^NM-G_4^N\sqrt{M^2-4Q^2-a^2}$.
- Si $M^2< 4Q^2+a^2$, no hay agujero negro y la singularidad está desnuda.
El colapso gravitatorio y el significado físico del tamaño gravitacional
relatividad
general. Pero no hay ningún motivo para pensar que haya alguna región
del universo que corresponda a esta solución extendida, ya que harían
falta dos regiones asintóticamente planas junto con una singularidad en
la región IV que las conectara en el pasado.
No
obstante, sí que puede generarse parte de esta solución partiendo de
una configuración físicamente razonable. Supongamos un cuerpo esférico
de masa $M$ y de radio $R>2G_4^NM$. El campo gravitatorio en esta
configuración viene dado por la solución de Schwarzschild en el exterior
$r>R$ y por la denominada solución interior de Schwarzschild en
$r<R$ [Wald1984], una solución esféricamente simétrica de las
ecuaciones de Einstein con materia y sin horizonte. Debido a que se
tiene la solución de Schwarzschild sólo en $r>R>R_S=2G_4^NM$, esta
configuración no es un agujero negro. Pero Oppenheimer y Snyder en 1939
demostraron que es posible que, en ciertas condiciones, el cuerpo sufra
una disminución de su radio de forma que se llegue a que $R$ se haga
menor que $2G_4^NM$ y que este proceso puede ocurrir para cualquier
densidad, siempre que la masa del objeto que colapsa sea lo
suficientemente grande. Consideremos entonces un partícula de la
superficie del cuerpo cuando $R$ está ya muy cerca de $2G_4^NM$. Sobre
ella actúan diversas fuerzas debido a la interacción con otras
partículas del cuerpo y también lo que podemos llamar la fuerza
gravitatoria (en el molusco de referencia hecho por relojes imaginarios
situados cada uno en una posición $r$ constante) . Como el campo
gravitatorio en la posición de la partícula, que viene dado por la
solución de Schwarzschild, es muy intenso en ese molusco de referencia
al estar la partícula muy cerca de $r=2G_4^NM$, todas las fuerzas sobre
la partícula son despreciables frente a la gravitatoria [Landau]. Por
tanto, la trayectoria de la partícula, que representa el movimiento de
la superficie del cuerpo macroscópico, será aproximadamente una
geodésica de la solución de Schwarzschild. Como hemos comentado
anteriormente, el estudio de esta geodésica revela que, en un tiempo
propio finito de la partícula, ésta llegará a la posición $r=0$ sin
haber notado nada especial al pasar por $r=2G_4^NM$. Por tanto, en un
tiempo propio finito para un observador que se encuentre en la
superficie del cuerpo, el cuerpo colapsará. Como Schwarzschild es la
única solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en
el vacío, el colapso gravitatorio de este cuerpo esférico necesariamente
producirá un agujero negro de Schwarzschild. Podemos decir, por tanto,
que la existencia de agujeros negros es una condición necesaria que
viene de la combinación del principio de equivalencia de la relatividad
general con el principio de velocidad máxima de propagación de las
interacciones.
Es necesario aclarar que, para
que una distribución de materia pueda colapsar a un agujero negro, no es
necesario que ésta tenga una alta densidad si es una distribución lo
suficientemente grande. En efecto, la densidad es la masa entre el
volumen y, como la masa de un agujero negro es proporcional a su radio,
mientras que el volumen es proporcional al radio al cubo, lo que se
obtiene es que la densidad de un objeto apunto de colapsar a un
agujero negro decae como el inverso del radio al cuadrado. Es decir,
cuanto mayor sea este objeto apunto de colapsar, menor es su densidad.
Lo que sí ocurre es que la existencia de agujeros negros nos garantiza que no podemos concentrar una masa dada en un volumen tan pequeño como queramos
ya que, una vez nos acerquemos, disminuyendo el tamaño, a su radio de
Schwarzschild, ésta colapsará a un agujero negro de ese tamaño. Ese es
el significado físico que tiene el tamaño gravitacional de un objeto. La
existencia de agujeros negros en relatividad general nos dice que todos
los objetos en esta teoría tienen asociado, además de su tamaño, un
tamaño gravitacional $R_S=2G^N_4M$, de tal forma que si su tamaño fuera
comprimido hasta ese tamaño gravitacional, el objeto colapsaría a un
agujero negro, objeto que no podemos decir que tenga asociado un
volumen, pero sí un área $A=4\pi R_S^2$ asociada a su horizonte de
sucesos.
La geometría del espacio-tiempo correspondiente a este proceso de colapso viene representada en la siguiente figura:
En
ella no aparecen ni la región III ni la IV de la extensión de Kruskal,
lo que nos sugiere que estas regiones no son físicamente realistas, como
explican, en estos dos vídeos, David Pereñíguez y Gastón Giribet:
En
el vídeo de Gastón se explica también que, aunque para un observador
asintótico el astro tarda infinito tiempo en colapsar (y la materia que
cae sobre éste también tarda infinito tiempo en atravesar el horizonte),
y aunque para el que colapsa y/o cae ese tiempo es finito, el objeto
que cae no puede recibir información de todo lo que ocurre en el futuro a
los observadores que se quedan en la región asintótica ya que, cuando
muere en la singularidad hay un último rayo de luz que le llega de la
región asintótica y ya no recibirá más información de esta región.
En el caso del colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico cargado eléctricamente con $M>2\left| Q\right| $, que produce un agujero negro de Reissner-Nordström, al igual que ocurre en el caso anterior, hay regiones de la extensión de la solución de Reissner-Nordström que no se generan. No obstante, según cómo sea el cuerpo, el colapso terminará en una singularidad o el cuerpo dejará de
contraerse y empezará a expandirse en otra región asintótica del espacio-tiempo.
En el caso del colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico cargado eléctricamente con $M>2\left| Q\right| $, que produce un agujero negro de Reissner-Nordström, al igual que ocurre en el caso anterior, hay regiones de la extensión de la solución de Reissner-Nordström que no se generan. No obstante, según cómo sea el cuerpo, el colapso terminará en una singularidad o el cuerpo dejará de
contraerse y empezará a expandirse en otra región asintótica del espacio-tiempo.
Vemos,
por tanto, que el colapso esférico descrito anteriormente no es la
única situación en la se predice la formación de una singularidad. De
hecho, los teoremas de singularidad (bien resumidos en [Wald1984]) prueban que estas
predicciones no son consecuencia de haber considerado situaciones con un
alto grado de simetría, sino que son aspectos genéricos del colapso
gravitatorio. Es decir, la relatividad general predice su propia
ruptura. Aunque los teoremas de singularidad no prueban que las
singularidades vayan necesariamente asociadas a curvaturas grandes, se
espera, en general, que la descripción clásica de la gravitación que
proporciona la relatividad general deje de ser válida cerca de las
singularidades porque los efectos cuánticos jueguen un papel dominante.
Las Conjeturas de la Censura Cósmica
Si bien el estudio del colapso de un cuerpo esféricamente simétrico se simplifica bastante debido a teoremas como el de Birkhoff, el estudio del colapso no esférico es muy complicado. Una cuestión importante es saber si, en un colapso, en general no esférico, es posible que aparezcan singularidades desnudas. La evidencia más fuerte que se tiene de que esto no es posible viene del estudio de la evolución de perturbaciones lineales del colapso esférico, que siempre dan lugar a agujeros negros, en vez de singularidades desnudas. De aquí viene la conjetura, denominada de censura cósmica (en su formulación débil), de que, si se tiene un sistema aislado en una situación físicamente razonable, la naturaleza se las apaña para que, si se produce en la evolución de este sistema colapso gravitatorio, se llegue a una situación en la que todas las singularidades que se hayan formado no puedan ser vistas por un observador distante.
Una condición que se requiere para que la situación inicial sea físicamente razonable es que se cumpla la condición de energía dominante: que la velocidad de los flujos de energía asociados a la materia sea menor o igual que la de la luz. Si $t^\mu $ es un campo vectorial tipo tiempo dirigido hacia el futuro, esta condición puede expresarse matemáticamente diciendo que $-T_\nu ^\mu t^\nu $ es un campo
vectorial tipo tiempo dirigido hacia el futuro o es tipo nulo. Por ello, si $n^\mu $ es un campo vectorial que no es de tipo espacio, entonces:
$ T_\nu ^\mu t^\nu n_\mu \geq 0 $
Esta condición implica la denominada condición de energía débil, que establece que la densidad de energía de materia que mide cualquier observador, sea cual sea su movimiento, es no negativa.Un argumento a favor de la formulación débil de la conjetura del censor cósmico es el teorema de positividad de la energía, que establece que la masa ADM de todo espacio-tiempo que sea solución de la ecuación de Einstein con un tensor energía-impulso que satisface la condición de energía dominante es no negativa y sólo se anula para el espacio-tiempo plano (bien explicado en [Ortin2015]. Pero la masa del espacio-tiempo contiene tanto la energía asociada al campo gravitatorio como la asociada a la materia y a todos los demás campos. En el colapso gravitatorio de un cuerpo, la energía gravitatoria de ligadura, que es siempre negativa, crece en valor absoluto. Si el proceso continua, llegaría un momento en el que la
energía gravitatoria se hiciera mayor en valor absoluto que la energía asociada a la materia y el resto de campos, con lo que se violaría el teorema de positividad de la energía. Por ello, lo que se espera es que,
antes de que se llegue a esta situación, aparezca un horizonte de sucesos.
Hay otra versión de la conjetura del censor cósmico, que fue la que formuló Penrose [Penrose] inicialmente, que se denomina conjetura de censura cósmica fuerte, ya que, en vez de aplicarse a observadores distantes en un espacio-tiempo asintóticamente plano, se aplica a cualquier observador en cualquier espacio tiempo. Esta versión afirma que, aparte de una posible singularidad inicial como la del big bang, ninguna singularidad es visible por ningún observador (el espacio tiempo debe ser globalmente hiperbólico).
Es importante señalar que la
versión fuerte de la conjetura del censor cósmico no implica la débil.
Podemos poner como contraejemplo cualquier situación en la que, en un
espacio-tiempo asintóticamente plano, se forme una singularidad que se
propaga por una geodésica nula hacia el exterior. Esto violaría la
formulación débil, pero no la fuerte. Tampoco la débil implica la
fuerte. Son conjeturas independientes.
En el colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico de masa $M>0$, que da lugar a la formación de un agujero negro de Schwarzschild, no se viola ninguna de las dos versiones dadas de la conjetura del censor cósmico: ya hemos dicho que un observador en el exterior del agujero negro
no puede ver la singularidad, y uno que cruce el horizonte tampoco, ya que ésta, al ser de tipo espacio, está siempre en su futuro. En cambio, en el agujero negro de Reissner-Nordström, que se forma en el colapso gravitatorio de un cuerpo esférico cargado de masa $M>2\left| Q\right| $, aunque se respeta la versión débil de la conjetura, se viola la fuerte: el hecho de que las singularidades sean de tipo tiempo permite en principio que un observador que haya entrado en el agujero negro las evite, emergiendo en una nueva región el espacio-tiempo asintóticamente plana, de forma que, a lo largo de este viaje, este observador ha podido ver las singularidades. Por eso la versión original de la conjetura de censor cósmico, que era la fuerte, tuvo que ser suavizada para dar lugar a la versión débil. No obstante, si, como resultado de la perturbación que supone el observador, el horizonte interior $r=r_{-}$ se convirtiera en una singularidad de tipo espacio, entonces se salvaría la conjetura fuerte. Es decir, la conjetura de censura cósmica fuerte implica que los horizontes interiores, que, como hemos indicado anteriormente, exponen situaciones en las que las ecuaciones de Einstein no tienen una solución única (en su lugar, tienen muchas), también se evitan, porque son inestables. Siempre que se añadan a estas soluciones alguna perturbación que involucre materia que cumpla con condiciones energéticas razonables, la perturbación crecería exponencialmente y, una vez que llegue a ese horizonte, el espacio-tiempo se volvería singular. Es decir, en las situaciones físicamente realistas el horizonte interior debe ser sustituido por una singularidad
En el colapso gravitatorio de un cuerpo esféricamente simétrico de masa $M>0$, que da lugar a la formación de un agujero negro de Schwarzschild, no se viola ninguna de las dos versiones dadas de la conjetura del censor cósmico: ya hemos dicho que un observador en el exterior del agujero negro
no puede ver la singularidad, y uno que cruce el horizonte tampoco, ya que ésta, al ser de tipo espacio, está siempre en su futuro. En cambio, en el agujero negro de Reissner-Nordström, que se forma en el colapso gravitatorio de un cuerpo esférico cargado de masa $M>2\left| Q\right| $, aunque se respeta la versión débil de la conjetura, se viola la fuerte: el hecho de que las singularidades sean de tipo tiempo permite en principio que un observador que haya entrado en el agujero negro las evite, emergiendo en una nueva región el espacio-tiempo asintóticamente plana, de forma que, a lo largo de este viaje, este observador ha podido ver las singularidades. Por eso la versión original de la conjetura de censor cósmico, que era la fuerte, tuvo que ser suavizada para dar lugar a la versión débil. No obstante, si, como resultado de la perturbación que supone el observador, el horizonte interior $r=r_{-}$ se convirtiera en una singularidad de tipo espacio, entonces se salvaría la conjetura fuerte. Es decir, la conjetura de censura cósmica fuerte implica que los horizontes interiores, que, como hemos indicado anteriormente, exponen situaciones en las que las ecuaciones de Einstein no tienen una solución única (en su lugar, tienen muchas), también se evitan, porque son inestables. Siempre que se añadan a estas soluciones alguna perturbación que involucre materia que cumpla con condiciones energéticas razonables, la perturbación crecería exponencialmente y, una vez que llegue a ese horizonte, el espacio-tiempo se volvería singular. Es decir, en las situaciones físicamente realistas el horizonte interior debe ser sustituido por una singularidad
Nótese que ambas conjeturas, la
fuerte y la débil, implican que el espacio-tiempo no puede extenderse
suavemente mediante las ecuaciones de Einstein en algunas situaciones, y
esto lo hacen para que ningún observador pueda obtener datos de las
singularidades sin acabar en ellas, para que no pueda obtener ninguna
información de aquellas situaciones en las que la relatividad general
falla. Sin embargo, no hay ningún motivo para pensar que la relatividad
general tenga que protegerse a sí misma frente a lo que miden los
observadores de esa manera. Después de todo, sólo se trata de una teoría
efectiva, aproximada, a baja energía. Cuando el espacio-tiempo se
vuelve singular o se acerca a las condiciones de los horizontes
interiores, nuevos términos y nuevos grados de libertad pueden
perfectamente entrar en juego y cambiar completamente lo que ocurre para
que sea consistente sin que sean necesarias las conjeturas de censura
cósmica fuerte ni débil.
En el caso de la débil, hablaremos de ella más adelante en otro post, pero en el caso de la fuerte ya tenemos claro que no es cierta. Se ha demostrado [DefermosLuk] que si realmente perturbas un poco las condiciones iniciales todavía es posible extrapolar el espaciotiempo (es decir, todavía existe localmente una solución de las ecuaciones de Einstein) un entorno finito más allá del horizonte interior del agujero negro. Al contrario de lo que dice la conjetura de la censura cósmica fuerte, el espaciotiempo puede continuar en uno que tiene que incluir una singularidad de tipo luz, en vez de de tipo espacio, así que un observador que cayera al agujero negro en principio sí podría medir información que viene de la singularidad antes de morir y la relatividad general no es capaz de proporcionar predicciones únicas para esas mediciones. Pero una teoría más completa puede producir mediciones únicas. Es sí, si la conjetura de censura cósmica débil es cierta, esas singularidades no pueden transmitir su información al observador asintótico que observa el agujero negro desde fuera de éste.
La ley de máxima tensión
El hecho de que los objetos en relatividad general tengan asociado un tamaño gravitacional tal que, si el objeto se pudiera comprimir hasta ese tamaño, colapsaría para formar un agujero negro tiene también otra consecuenca sorprendente. Para verlo, consideremos dos objetos de masas \(M_1\) y \(M_2\) separados por una distancia \(D\). La fuerza gravitacional entre ellos es, aproximadamente,
$ F = \frac{G M_1 M_2}{D^2} = \left(\frac{GM_1}{c^2D}\right) \left(\frac{GM_2}{c^2D}\right) \frac{c^4}{G}. $
Sin embargo, \(M_1 M_2\) no puede exceder \(\frac{1}{4} (M_1 + M_2)^2\) y, por lo tanto,
$ F \leq \left(\frac{G(M_1 + M_2)}{c^2 D}\right)^2 \frac{c^4}{4G}. $
Para asegurarnos de que se trata de dos objetos separados, y no de un agujero negro, se tiene que cumplir que $G( M_1 + M_2) < c^2 D$. Por tanto, la tensión o fuerza entre dos cuerpos no puede exceder el valor
$F_g = \frac{c^4}{4G} \approx 3.025 \times 10^{43} $ Newtons.
Cada vez que intentamos superar este límite de fuerza, aparecen horizontes de sucesos que nos lo impiden.
Análogamente, hay una máxima potencia que se puede ejercer, de valor:
$P_g = \frac{c^5}{4G} \approx 9.1 \times 10^{51} $ W.
Y un valor máximo para la tasa de cambio de masa de un objeto:
$\frac{dM}{dt} = \frac{c^3}{4G} \approx 1.0009 \times 10^{35} $ kg/s.
Los Teoremas de Unicidad
- $M$ distinta de cero, $Q=0,$ $J=0$ y el resto de campos triviales es el de Schwarzschild.
- $M$ distinta de cero, $Q=0,$ $J$ distinto de cero, y el resto de campos triviales es el de Kerr, que es la solución de Kerr-Newman en la que $Q=0$.
- $M$ distinta de cero, $Q$ distinta de cero, $J=0$ y el resto de campos triviales es el de Reissner-Nordström.
- $M,$ $Q$, y $J$ distintos de cero y el resto de campos triviales, es el de Kerr-Newman.
de ausencia de pelo: sea cual sea el cuerpo que colapsa, el agujero negro al que da lugar tiene unas características que sólo dependen de su masa, sus cargas (conservadas localmente) y su momento angular.
Las leyes Clásicas de los Agujeros Negros
- (Ley cero) Para todo agujero negro estacionario puede verse que existe un campo vectorial de Killing $\chi^{\mu}$ que es normal al horizonte. Al ser el horizonte nulo, entonces $\chi_{\mu}\chi^{\mu}=0$ en el horizonte. De aquí puede deducirse que la cantidad $\kappa^2=-\frac{1}{2}\left(\nabla^{\mu}\chi^{\nu}\right)\left(\nabla_{\mu}\chi_{\nu}\right)$ denominada gravedad de superficie es constante en todo el horizonte.
- (Primera ley) El campo vectorial de Killing $\chi^{\mu}$ no coincide en general con el Killing temporal $\xi^{\mu}$, de forma que se define la velocidad angular del horizonte $\Omega_H$ como $\chi^{\mu}=\xi^{\mu}+\Omega_H\psi^{\mu} $, donde $\psi^{\mu}$ es el Killing axial, normalizado para que sus órbitas cerradas tengan periodo $2\pi$. $\xi^{\mu}$ se normaliza, al igual que $\chi^{\mu}$, para que $\xi^{\mu}\xi_{\mu}=-1$ en el infinito. Si sobre este agujero negro estacionario realizamos una pequeña perturbación con simetría axial, entonces puede demostrarse que la masa cambia en: $\delta M=\frac{\kappa}{8\pi G_4^N}\delta A + \Omega_H\delta J+ \phi_H\delta q$, donde $A$ es el área del horizonte y $\phi_H$ es el potencial electrostático $A^0$ en el horizonte, que se obtiene al pasar a un sistema de referencia que rota con el horizonte.
- (Segunda ley) El teorema del área de los agujeros negros establece que, dada una solución de tipo agujero negro que verifique que $R_{\mu\nu}k^{\mu}k^{\nu}\geq0 $ (lo que se cumple para toda solución de las ecuaciones de Einstein con materia en la que la materia verifique la condición de energía dominante) el área del horizonte nunca decrece. Así, si se tiene inicialmente un agujero negro en situación estacionaria y se realiza una cierta perturbación, la nueva situación estacionaria a la que el sistema evoluciona tiene un área del horizonte igual o mayor al de la situación inicial.
- (Tercera ley) Es imposible llegar, mediante una sucesión finita de procesos físicos, a la situación en la que $\kappa=0$.
De todo esto, tenemos la correspondencia:
$A\sim S $
$\kappa\sim T $
entre
las magnitudes que caracterizan el estado de un agujero negro y las que
caracterizan el estado de macroscópico de un sistema termodinámico.
Pero, clásicamente, se trata sólo de una analogía formal. $\kappa$ no
puede ser proporcional a la temperatura física del agujero negro, ya que
clásicamente es imposible que un agujero negro esté en equilibrio
térmico (o termoquímico) con un sistema de partículas o radiación como
consecuencia de que nada puede escapar del agujero negro, mientras que
sí que pueden entrar partículas en su interior. Pero el mundo no es
clásico, sino cuántico, así que...
Continuará en un próximo artículo.
Sobre el autor: Sergio Montañez Naz es doctor en física teórica y profesor de secundaria de la enseñanza pública en la Comunidad de Madrid.
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